2024-2025学年北师大版八年级数学下册暑期收心测试（二）

2024-2025学年北师版八年级数学下册暑期收心测试（二） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．以下图形中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线则菱形的边长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．-3 6．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，中，，D为的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为2，则的长为（   ） A． B． C．4 D．2 8．下列不属于矩形的性质是（    ） A．两组对边分别平行 B．四个角都相等 C．每一条对角线平分一组内角 D．两条对角线相等 9．如图，在边长为8的正方形中，点E是边的中点，在对角线上任取一点M，连接、，当时，的面积为（   ） A．16 B．12 C． D． 10．对数串1：，，进行如下操作：将该数串最后两数进行求和与作差操作，然后按顺序依次放在数串1的后面得到数串2：，，，；重复上述操作，得到数串3：，，，，，；数串4：，，，，，，，；……，对数串1各数进行求和运算，结果记为，，对数串2各数进行求和运算，结果记为，，……，对数串各数进行求和运算，结果记为（，且为整数），下列各结论中，说法正确的个数为（   ） ①对任意数，，均有；②； ③令，，当关于的方程（，且为整数）在时有且只有1个解，则． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 12．如图，直线与直线交于点A，当时，x的取值范围是 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，沿轴向右平移后得到，A点的对应点在直线上，则点B与其对应点间的距离为 ． 14．在菱形中，点、分别是、边上的点，将沿翻折在同一平面内，使点的对应点落在上，与的角平分线交于点，点为的中点，连接，若，，，则 ． 15．如图，四边形是边长为2的正方形，是等边三角形，连接，，，交于点E，则 ， ． 16．一个四位正整数的各个数位上的数字互不相同且均不为0，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数M为“和倍数”．则最小的“和倍数”是 ；将“和倍数”M的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到一个新的四位数N．若为整数，则满足条件的所有M的最大值为 ． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．（1）因式分解：（2）解不等式组： 18．先化简，再求值： ，其中是使得一次函数图象经过第一、二、四象限的整数． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴①，． ∵点是的中点， ∴②． ∴（AAS）． ∴③． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④． 20．如图，在中，点H是边上一点．延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，．   (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 21．为了全面推进素质教育，增强学生体质，丰富校因文化生活，我校将举行春季特色运动会，需购买、两种奖品，经市场调查，若购买种奖品3件和种奖品2件，共需60元；若购买种奖品1件和种奖品3件，共需55元． (1)求、两种奖品的单价各是多少元； (2)运动会组委会计划购买、两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，当运动会组委会购买两种奖品各多少件时才能使总费用最少？最少的总费用是多少元？ 22．如图1，在中，∠C＝90°，，， 动点P从点B出发，沿折线B→C→A运动，到达点A后停止．设点P的运动路程为x，的面积为y． (1)直接写出y 关于x的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围； (2)在图2中画出函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．（结果保留1位小数，误差小于） 23．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，如图所示的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的函数关系，其中品牌收费方式对应品牌的收费方式对应． 请根据相关信息．解答下列问题： (1)品牌共享电动车的起步价是___元；品牌共享电动车的收费是每分钟_____元； (2)求品牌共享电动车超过后，收费关于的函数解析式； (3)请直接写出当骑行时间为何值时，两种品牌的共享电动车收费相差4元． 24．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、B，点C为y轴负半轴上一点，且满足． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点E是线段的中点，点M、N分别是线段上的两个动点，连接，求的最小值； (3)若点P是x轴上一动点，当时，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 25．在平行四边形中，． (1)如图1，若．求四边形的面积； (2)如图2，，点为边上一点，连接，点为上一点，连接交于点，连接，若点为边的中点，连接，且，求证：； (3)如图3，已知，点与点分别为线段与上的动点，满足，连接，直接写出的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2024-2025学年北师版八年级数学下册暑期收心测试（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B D A D A C B B 1．B 【分析】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义逐项分析即可解答． 【详解】A、是整式，不是分式，故此选项不符合题意； B、是分式，故此选项符合题意； C、是整式，不是分式，故此选项不符合题意； D、是整式，不是分式，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意； B、选项中的图形是中心对称图形，故符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意； D、选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 4．D 【分析】此题主要考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，，，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设交于点O， ∵是菱形， ∴，，， ∴， 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将已知根代入方程，解关于k的一元一次方程即可。 【详解】解：把代入关于x的一元二次方程中，得， 解得， 故选：A． 6．D 【分析】A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；C、由ABCD可得出∠BAO=∠DCO、∠ABO=∠CDO，结合OA=OC可证出△ABO≌△CDO（AAS），根据全等三角形的性质可得出AB=CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；D、由ABCD、AD=BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．此题得解． 【详解】解：A、∵ABCD、AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形； B、∵ABCD、ADBC，∴四边形ABCD是平行四边形； C、∵ABCD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形； D、由ABCD、AD=BC，则四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键． 7．A 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，根据正方形的面积求出的长，再根据斜边上的中线求出的长即可． 【详解】解：正方形的面积为2， ∴， ∵，D为的中点， ∴； 故选A． 8．C 【分析】根据矩形的性质分别进行判断即可． 【详解】解：A．两组对边分别平行属于矩形的性质，故选项不符合题意； B．四个角都相等属于矩形的性质，故选项不符合题意； C．每一条对角线平分一组内角不属于矩形的性质，故选项符合题意； D．两条对角线相等属于矩形的性质，故选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了矩形，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 9．B 【分析】连接，过M作交于F，交于G，作交于H，证明，根据勾股定理得到，设，由等面积法求出，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过M作交于F，交于G，作交于H， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵在边长为8的正方形中，点E是边的中点， ∴， 解得：， 设， ∵， ∴ 解得： ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 10．B 【分析】本题主要考查定义新运算，整式的混合运算，二次函数图象的性质，理解新定义运算法则，掌握整式的混合运算是关键，根据题目分别求出的进行判定，根据题意得到，，把，代入得到，判定二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：计算和的比值： 根据题目的操作：，，，，，， ∴，当时，成立， ∴对任意不成立，故①错误； 根据题意得到，，， ∴，故②正确； 根据上述计算得到，，， ∴代入得， ， ， ∴， 代入，得，， 方程化简为， 当时，，当时，， 反之，当，解为或， 当时，解为或， ∴在时有且只有1个解，即时，， ∵题目要求，故结论③错误； ∴正确结论为②，共1个， 故选：B． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的含义． 将代入方程得到关于m的等式，变形后即可求出所求式子的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ， ∴ ． 12． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，观察图象可知交点为，从交点向左函数的图象在的图象下方，进而得出取值范围． 【详解】解：观察图象可知， 当时，． 故答案为：． 13．4 【分析】本题考查坐标与平移，正比例函数的图象，根据平移得到的纵坐标为，代入，求出的值，进而求出A点与对应点点的距离，即为B与其对应点间的距离． 【详解】解：由平移，可知：轴，A点与对应点点的距离等于B与其对应点间的距离， ∵， ∴的纵坐标为， ∴当时，则：， ∴， ∴点B与其对应点间的距离为； 故答案为：4． 14． 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，解一元二次方程，直角三角形的性质等知识点，难度较大． 连接，过点作交延长线于点，作交于点，过点作于点，可得， ，设，则，则，由翻折得到，设，在中由勾股定理建立方程，解得：（舍），在中，由勾股定理求得，再由勾股定理求解，由勾股定理求解，可得，再由斜边中线得到． 【详解】解：连接，过点作交延长线于点，作交于点，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴在中，，在中，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵翻折， ∴，设， ∵在中，， ∴， 解得：（舍）， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵与的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵点为的中点， ∴， 故答案为：． 15． /75度 【分析】（1）根据等边三角形的性质和正方形的性质得，，再利用三角形内角和定理求解即可；过点E作于点F，据等边三角形的性质和正方形的性质得，再根据等腰直角三角形的判定可得，设，由直角三角形的性质和勾股定理得，，进而得，求得，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 过点E作于点F， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、直角三角形的性质、三角形内角和定理及解一元一次方程，熟练掌握等边三角形的性质和正方形的性质是解题的关键． 16． 1239 9615 【分析】本题考查新定义，根据题意设这个四位数的千位数字、百位数字、十位数字、个位数字分别为a、b、c、d，可得，由a、b越小，“和倍数”越小，进行求解；根据题意求得，可得能被7整除，再由a、b越大，“和倍数”越大，求最大值即可． 【详解】解：∵一个四位正整数的各个数位上的数字互不相同且均不为0， ∴设这个四位数的千位数字、百位数字、十位数字、个位数字分别为a、b、c、d, 由题意得，， 当时，，此时， ∴最小的“和倍数”是1239； 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴能被7整除， ∴能被7整除， 当时， ∴，此时， ∵各个数位上的数字互不相同且均不为0，且M取最大值， ∴， 当时，， 此时a、b没有满足条件的值， ∴满足条件的所有M的最大值为9615， 故答案为：9615． 17．（1）（2） 【分析】本题考查因时分解，解一元一次不等式组，熟练掌握因式分解和一元一次不等式组的方法和步骤是解题的关键： （1）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式； （2）由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 18．， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一次函数的图象性质，熟练掌握分式运算法则、一次函数的图象性质是解题关键． 先化简分式，再根据一次函数确定的取值范围，代入计算即可． 【详解】解： ， 一次函数图象经过第一、二、四象限， ， 解得：， 是整数， ，，，， ，，， ，，， ， 原式． 19．(1)见解析 (2)①；②；③；④四边形是菱形 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂线的尺规作图： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据矩形或平行四边形的对边平行得到，，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形．再由，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∵点是的中点， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴，． ∵点是的中点， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④四边形是菱形． 20．(1)证明见解析 (2) 【分析】该题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明，得出，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明； （2）根据等腰三角形三线合一得出，，结合平行四边形性质得出，，勾股定理求出，即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， ，， ， ， ， ， 即的长为． 21．(1)种奖品的单价为元，种奖品的单价为元 (2)购买件种奖品，件种奖品时，购买奖品总费用最少，最少总费用为元 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，理解题意是解题的关键． （1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据所给数量关系列二元一次方程组，解方程即可； （2）设运动会组委会购进件种奖品，则购进件种奖品，根据所给数量关系列一元一次不等式组，求出的取值范围，设总费用为，得到关于的一次函数，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元， 依题意，得：， 解得． 答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元． （2）解：设运动会组委会购进件种奖品，则购进件种奖品， 依题意，得：， 解得， 设总费用为， 则, ， 随的增大而减小， 当时，购买奖品总费用最少，最少费用为（元） 综上可知，购买件种奖品，件种奖品时，购买奖品总费用最少，最少费用为元． 22．(1) (2)图象见解析，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）分两种情况分别求出函数解析式即可解答； （2）根据（1）中函数关系式，画出函数图象即可，根据图象进行解答即可； （3）根据函数解析式分别求出当时x的值，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，点P在上，； 当时，点P在上，， 综上，； （2）解：y与x的函数图象如图所示， 当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：令，； 令，． ∴当时，． 23．(1)7， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的列出函数关系式，是解题的关键. （1）直接从图象获取信息，用总费用除以时间，求出A品牌共享电动车的收费即可； （2）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，B品牌共享电动车的起步价是7元，A品牌共享电动车的收费是每分钟：（元）， 故答案为：7；； （2）解：设， 把代入，得：， 解得：； ∴； （3）解：当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上：或． 24．(1) (2) (3)或 【分析】（1）分别把、代入求得、，进而求得，再利用待定系数法求解即可； （2）作点E关于y轴的对称点，作点E关于直线的对称点，连接交y轴于点N，交于点M，连接，可得当点、N、M、四点共线时，的值最小，由题意得，，根据对称的性质得，，再利用勾股定理求解即可； （3）在x轴上取点，连接，过点C作轴，由等腰直角三角形的性质可得，求得，作的角平分线交y轴于点P，则，求得，再根据三角形外角的性质证得，再根据等腰三角形的判定得，再利用勾股定理求解，作点P关于y轴的对称点，此时，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线分别与x轴，y轴交于点A、B， 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入得，， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵点E是线段的中点， ∴， 作点E关于y轴的对称点，作点E关于直线的对称点，连接交y轴于点N，交于点M，连接， ∴，， ∴， 当点、N、M、四点共线时，的值最小， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：在x轴上取点，连接，过点C作轴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， 作的角平分线交y轴于点P，则， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作点P关于y轴的对称点，此时， ∴点P坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、用待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的性质、勾股定理、轴对称的性质及角平分线的定义，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 25．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点H，根据等腰三角形三线合一得到，根据勾股定理得到，即可求出平行四边形的面积； （2）分别延长交于点，根据等边对等角得到，可知，进而得到，根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得到，进而得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据勾股定理即可求证； （3）过点A作，使，根据全等三角形的判定和性质求出，可知当B、P、R三点共线时，的值最小，最小值为，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：过点D作于点H， ∴ ∵，， ∴ 在中，，， ∴ ∴； （2）解：分别延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 在和中 ∴． ∴， ∴， ∴， ∴ ∵点H为边的中点 ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）解：的最小值为 过点A作，使， ∵，， ∴ ∵， ∴ ， ∴， 当B、P、R三点共线时，的值最小，最小值为． ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握各知识点是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$