11.5 因式分解-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（华东师大版2024）

23 典例演练 典例1 (1)原式=3m2n.(2)原式=-9xy3.(3)原 式= -24a4b.(4)原 式 = - 34 × - 8 5 x2m4 = 6 5x 2m4. 典例2 (1)原式=16a8c4÷4a2c4=4a6.(2)原式= 6x2-x2=5x2.(3)原 式 = -8a9x3 ÷ 13ax · (-4a2x3)=-24a8x2·(-4a2x3)=96a10x5.(4)原 式=0.16x6y2m÷4x4y2n=0.04x2y2m-2n. 典例3 (1)3a3b5÷ ab·32ab 2 =2ab2(cm).(2)2· ab·32ab2+ab·2ab2+32ab2·2ab2 =(7a2b3+ 6a2b4)cm2. 预学训练 1.D 2.D 3.A 4.C 5.(1)-3a (2)3yz (3)2xy 6.-18 2 7.(1)原式=[12÷(-3)]a2b2=-4a2b2.(2)原式= -32a n+3÷13a n-1=-92a 4.(3)原式=-127 ·x3y12÷ 1 36x 2y8·y3=- 4 3xy 4·y3=- 4 3xy 7. 8.318 9.P=(6a2b2)2=36a4b4,Q=9a6b4÷ -12a 3b = -18a3b3.∴P÷Q=36a4b4÷(-18a3b3)=-2ab. ∵ab=-2,∴P÷Q=4. 第2课时　多项式除以单项式 知识梳理 每一项 相加 典例演练 典例1 (1)原式=6b+5.(2)原式=3y2-2x.(3)原 式=-2xy4+x2y2-3.(4)原式=(16x4y+4x3y- 8x3)÷8x3=2xy+ 1 2y-1. (5)原式=(2a5b4-4a4b2- 2a2b)÷2a2b=a3b3-2a2b-1. 典例2 (1) 原式=a2-2ab-b2-(ab-2a2-2b2+ 4ab)=3a2-7ab+b2.当a=1,b=-1时,原式=3×12- 7×1×(-1)+(-1)2=11.(2)原式=(x2-4y2-4x2+ 4xy-y2-x2+5y2)÷(-2x)=(-4x2+4xy)÷(-2x)= 2x-2y.∵23x÷23y=8,∴23x-3y=23.∴3x-3y= 3(x-y)=3.∴x-y=1.∴原式=2(x-y)=2×1=2. 预学训练 1.C 2.B 3.B 4.B 5.(1)9a2-5b (2)6x- 2y+1 6.4x4-x2y2 7.-6m2-2a2m+ 2 3a 8.(1)原式=6a2x3÷(-3ax3)-a6x5÷(-3ax3)= -2a+13a 5x2.(2)原式=(3a5-2a4)÷ -18a 3 = -24a2+16a.(3)原式=a2+2a-b2-(a2-b2)=a2+ 2a-b2-a2+b2=2a.(4)原式=[3(a-b)3-2(a- b)2-(a-b)]÷(a-b)=3(a-b)2-2(a-b)-1= 3a2-6ab+3b2-2a+2b-1. 9.5 解析:原式=[(x2+y2)-(x2-2xy+y2)+ (2xy-2y2)]÷4y=(4xy-2y2)÷4y=x- 1 2y.∵2 · x-12y =2x-y=10,∴x-12y=5.∴原式=5. 10.由 题 意,得 [21x5y7 -14x7y4 + (2x3y2)2]÷ (-7x5y4)=(21x5y7-14x7y4+4x6y4)÷(-7x5y4)= -3y3+2x2- 4 7x ,即这个多项式为-3y3+2x2- 4 7x. 11.原式= 14x2-2xy+4y2-14x2+y2+x2y2- 5y2 ÷xy=(-2xy+x2y2)÷xy=-2+xy.∵|x- 1|+(y+2)2=0,|x-1|≥0,(y+2)2≥0,∴x-1=0, y+2=0.∴x=1,y=-2.∴ 原式=-2+1×(-2)= -2-2=-4. 11.5 因式分解 知识梳理 1.整式的积 2.相同的因式 典例演练 典例1 (1)原式=3x(x-2).(2)原式=5x2y2(y- 5x).(3)原式=-2m(2m2-8m+13).(4)原式=2(x+ y)(3x-2y).(5)原式=m(m-n)-n(m-n)=(m- n)(m-n)=(m-n)2.(6)原式=6(a-b)2·[3b- 2(a-b)]=6(a-b)2(5b-2a). 典例2 (1)原式=(1+2x)(1-2x).(2)原式=(2a+ 1)2.(3)原式=(x-7)2.(4)原式=(m+1+4)(m+1- 4)=(m+5)(m-3).(5)原式=(4x-3y+5y)(4x- 3y-5y)=(4x+2y)(4x-8y)=8(2x+y)(x-2y). (6)原式=(x2)2-(9y2)2=(x2+9y2)(x2-9y2)= (x2+9y2)(x+3y)(x-3y). 典例3 (1)原式=x(x2-1)=x(x+1)(x-1).(2)原 式=a(a2-2ab+b2)=a(a-b)2.(3)原式=3ab(a2- 4)=3ab(a+2)(a-2).(4)原式=-4a(4a2-4ab+ b2)=-4a(2a-b)2.(5)原式=(x2-2)2-6(x2-2)+ 9=(x2-2-3)2=(x2-5)2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 24 典例4 等腰 解析:(a-c)2+(a-c)b=(a-c)(a- c+b)=0.∵ 三角形的三边长分别为a、b、c,∴a-c+ b>0.∴a-c=0,即a=c.∴ 这个三角形一定是等腰三 角形. 预学训练 1.C 2.A 3.A 4.D 5.A 因式分解不彻底致错 对于某些复杂形式的多项式,因式分解时可能用 到不止一次公式进行因式分解才能分解彻底. 6.C 7.D 8.(1)xy(x+2) (2) x+12 · x-12 (3)(x-2y)2 (4)2m(x+2y)(x-2y) (5)a(b+1)2 9.110 10.(1)原式=-a(a-2b+c).(2)原式=(x+3y)(x- 3y).(3)原式= 1+14x 2 .(4)原式=(x2+4+4x)· (x2+4-4x)=(x+2)2(x-2)2.(5)原式=n2(m-2)+ n(m-2)=n(m-2)(n+1).(6)原式=(x+y)2-4(x+ y)+4=(x+y-2)2. 11.(1)原式=39×37-13×3×33=39×37-39×27= 39×(37-27)=390.(2)原式=(30.25-20.25)2+ 1012+9 1 2 × 1012-912 =102+20×1=100+ 20=120. 12.A 13.(1)a2-4a-b2+4=(a2-4a+4)-b2=(a-2)2- b2=(a-2+b)(a-2-b).(2)∵a2-ab-ac+bc=0, ∴(a2-ab)+(-ac+bc)=0,即a(a-b)-c(a-b)= 0,即(a-b)(a-c)=0.∴a-b=0或a-c=0或a-b= 0且a-c=0,即a=b或a=c或a=b=c.∴△ABC 是 等腰三角形或等边三角形. 第10、11章预学检测 一、 1.D 2.D 3.D 4.C 5.C 6.D 7.A 8.D 二、 9.答案不唯一,如- 2 10.2 11.-4m4n3 12.32 13.2或4 解析:根据题意,得x2-1≥0,1-x2≥0, ∴x=±1.∴y=3.∴x+y=2或4. 14.50 解析:设原长方形地块的长为x 米,则宽为(x- 20)米,变化后的长为(x+10)米,宽为(x-25)米.由题意 得,x(x-20)=(x+10)(x-25).整理,得x2-20x= x2-15x-250,即5x-250=0,解得x=50.∴原长方形 地块的长为50米. 三、 15.(1)原式=1+3-(1- 3)=1+3-1+ 3=3+ 3.(2)原式=4x3+2x-4x2(x+1)=4x3+2x-4x3- 4x2=2x-4x2. 16.(1)原式=2b(a2-4)=2b(a+2)(a-2).(2)原式= x2+2x+4x+8+1=x2+6x+9=(x+3)2. 17.原式=2a+b.当a=2,b=-1时,原式=3. 18.(1)由条件可知,a+1=9,∴a=8.∵2a+2b-1的 立方根是3,∴2a+2b-1=27.将a=8代入,解得b= 6.(2)∵a=8,b=6,∴a2+b2=82+62=100.∵100的 算术平方根是10,∴a2+b2的算术平方根是10. 19.(1)∵(a+b)2=25,∴a2+2ab+b2=25.∵ab=10, ∴a2+b2=25-2×10=5.(2)∵ (a+b)2=17,(a- b)2=13,∴ (a+b)2-(a-b)2=4.∴a2+2ab+b2- a2+2ab-b2=4,即4ab=4,解得ab=1. 20.(1)(3a+b)(2a+b)-(a+b)2=6a2+5ab+b2- (a2+2ab+b2)=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2=(5a2+ 3ab)平方米.∴ 绿化的面积是(5a2+3ab)平方米. (2)∵(2x+3)(x+1)=2x2+5x+3=2x2+ax+b, ∴a=5,b=3.∴5a2+3ab=5×52+3×5×3=125+ 45=170.∴绿化的面积是170平方米. 21.(1)x2+(m+n)x+mn.(2)①a2-a-110.②y2- 13y+40. 22.(1)-a2+6a-10=-(a2-6a+9)-1=-(a- 3)2-1.∵(a-3)2≥0,∴-(a-3)2≤0.∴-(a-3)2- 1≤-1.∴ 代数式-a2+6a-10的值一定是负数. (2)S1>S2.理由:∵S1=a2,S2=4(a-3),∴S1-S2= a2-4(a-3)=a2-4a+12=a2-4a+4+8=(a-2)2+ 8.∵(a-2)2≥0,∴ (a-2)2+8≥8.∴S1-S2>0,即 S1>S2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 78 11.5　因式分解 1. 因式分解:把一个多项式化为几个 的形式,叫做多项式的因式分解. 2. 公因式:多项式中的每一项都含有一个 ,我们称之为公因式. 3. 提公因式法:如果一个多项式各项有公因 式,可以把这个公因式提出来,将多项式分 解成两个因式乘积的形式,这种因式分解的 方法,叫做提公因式法. 4. 公式法:利用乘法公式对多项式进行因式分 解的方法,叫做公式法. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 用提公因式法分解因式: (1) 3x2-6x; (2) 5x2y3-25x3y2; (3) -4m3+16m2-26m; (4) 6x(x+y)-4y(x+y); (5) m(m-n)+n(n-m); (6) 18b(a-b)2-12(a-b)3. 先确定多项式中各项的公因式,再提取公 因式,注意公因式也可以是一个多项式. 解答: 解有所悟:(1) 确定公因式的方法:系数(整数)取最 大公因数,相同字母取最低次幂,只在一项中出现 的字母不能作为公因式的一个因式.(2) 若首项出 现负号,负号也要提出来.(3) 提出公因式后,另一 个因式为多项式与公因式的商;当某一项被完全提 出时,余下的是1,而不是什么也没有. 典例2 用公式法分解因式: (1) 1-4x2; (2) 4a2+4a+1; (3) x2-14x+49; (4) (m+1)2-16; (5) (4x-3y)2-25y2; (6) x4-81y4. 先确定平方差公式及两数和(差)的平方 公式中的“a”“b”,再利用平方差公式及两数和 (差)的平方公式分解因式,其中(5)(6)注意分 解要彻底. 解答: 解有所悟:(1) 能运用平方差公式分解因式的多项 式必须是二项式,两项都能写成平方的形式,且符 号相反.(2) 能运用两数和(差)的平方公式分解因 式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个 数(或式)的平方和的形式,剩下的一项是这两个数 (或式)的积的2倍(或积的2倍的相反数). 典例3 把下列多项式分解因式: (1) x3-x; (2) a3-2a2b+ab2; (3) 3a3b-12ab; (4) -16a3+16a2b-4ab2; (5) (x2-2)2+6(2-x2)+9. 先观察多项式是否有公因式,有公因式要 先提出来,再考虑用平方差公式或两数和(差) 的平方公式分解因式,最后看是否还能继续分 解因式,分解一定要彻底. 解答: 解有所悟:分解因式的步骤:一提、二套、三检查,分 解不彻底是常出现的错误. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级 拍 照 批 改 79 典例4 若三角形的三边长分别为a、b、c,且满 足(a-c)2+(a-c)b=0,则这个三角形一定是 三角形. 本题考查了因式分解的应用,先把题目中 的等式左边分解因式,再根据三角形的三边关 系判断其形状. 解答: 解有所悟:因式分解的一个重要应用是判断三角形 的形状,将式子整理成乘积结果为0的形式,再结 合三角形的三边关系进行判断. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (济宁中考)下列各式从左到右的变形中,属 于因式分解的是 ( ) A. x2-x-1=x(x-1)-1 B. x2-1=(x-1)2 C. x2-x-6=(x-3)(x+2) D. x(x-1)=x2-x 2. 多项式8a3b2-4a3bc的公因式为 ( ) A. 4a3b B. 4a2b2 C. 4a3bc D. 4ab2 3. 把多项式-7ab-14abx+49aby 分解因式, 提公因式-7ab后,另一个因式为 ( ) A. 1+2x-7y B. 1-2x-7y C. -1+2x+2y D. -1-2x+7y 4. (河池中考)将多项式x2-4x+4进行因式 分解的结果是 ( ) A. x(x-4)+4 B. (x+2)(x-2) C. (x+2)2 D. (x-2)2 5. ★(云南中考)分解因式a3-9a的结果是 ( ) A. a(a-3)(a+3) B. a(a2+9) C. (a-3)(a+3) D. a2(a-9) 6. (济宁中考)下列各式从左到右的变形中,因 式分解正确的是 ( ) A. (a+3)2=a2+6a+9 B. a2-4a+4=a(a-4)+4 C. 5ax2-5ay2=5a(x+y)(x-y) D. a2-2a-8=(a-2)(a+4) 7. (广西中考)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+ 2a2b2+ab3的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 8. 分解因式: (1) (山东中考)x2y+2xy= ; (2) (临夏中考)x2-14= ; (3) (常州中考)x2-4xy+4y2= ; (4) (绥化中考)2mx2-8my2= ; (5) (兴安盟中考)a+2ab+ab2= . 9. 如果在一个边长为12.75cm的正方形内挖 去一个边长为7.25cm的小正方形,那么剩 余部分的面积为 cm2. 10. 把下列多项式分解因式: (1) -a2+2ab-ac; (2) x2-9y2; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 80 (3) 1+12x+ 1 16x 2; (4) (x2+4)2-16x2; (5) n2(m-2)-n(2-m); (6) (x+y)2-4(x+y-1). 11. 用简便方法计算下面各题: (1) 39×37-13×34; (2) 30.252-2×30.25×20.25+20.252+ 1012 2 -912 2 . [综合提升] 答案讲解 12. 若a2+ab=16+m,b2+ab=9- m,则a+b的值为 ( ) A. ±5 B. 5 C. ±4 D. 4 答案讲解 13. 阅读下面分解因式的过程: x2-4y2-2x+4y =(x2-4y2)+(-2x+4y) =(x+2y)(x-2y)-2(x-2y) =(x-2y)(x+2y-2). 这种分解因式的方法叫做分组分解法,利 用这种方法解答下面的问题: (1) 分解因式:a2-4a-b2+4; (2) 若△ABC的三边长a、b、c满足a2-ab- ac+bc=0,试判断△ABC 的形状. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级