11.4 第1课时 单项式除以单项式-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（华东师大版2024）

22 12.(1)(a+b)(2a+b)=(2a2+3ab+b2)平方米.(2)(a+ b-2b)(2a+b-3b)=(a-b)(2a-2b)=(2a2-4ab+ 2b2)平方米. 11.3 乘法公式 第1课时　两数和乘以这两数的差 知识梳理 平方差 a2-b2 典例演练 典例1 (1)原式=(m2)2-(5n)2=m4-25n2.(2)原 式=(2y)2-(0.2x)2=4y2-0.04x2.(3)原式=-(1- xy)(1+xy)=-12+(xy)2=-1+x2y2.(4)原式= (a2-1)(a2+1)=a4-1. 典例2 (1)原式=(200+6)×(200-6)=2002-62= 40000-36=39964.(2)原式= 40+23 40-23 = 402- 23 2 =1600-49=1599 5 9. 典例3 A 解析:题图中涂色部分的面积可以表示为 a2-b2,还可以表示为2× (a+b)(a-b) 2 = (a+b)(a- b).∴a2-b2=(a+b)(a-b). 预学训练 1.B 2.B 3.A 4.A 解析:原式=5002-(500-1)×(500+1)=5002- (5002-1)=5002-5002+1=1. 5.-6 6.(1)x2-4 (2)b2-a2 (3)36n2-25m2 (4)14x 4y4-9m2 7.±8 8.-125 9.原式=4x2-1+3x-4x2=3x-1.当x=13 时,原 式=3×13-1=0. 10.D 解析:设这两个奇数分别为2m+1和2n+1. (2m+1)2-(2n+1)2=(2m+1+2n+1)(2m+1-2n- 1)=(2m+2n+2)(2m-2n)=4(m+n+1)(m-n). ∵m-n和m+n+1中必有一个为偶数,∴(2m+1)2- (2n+1)2 是8的倍数,即任意两个奇数的平方差总能被 8整除. 11.232-1 解析:原式=(2-1)×(2+1)×(22+1)× (24+1)×(28+1)×(216+1)=(22-1)×(22+1)× (24+1)×(28+1)×(216+1)=(24-1)×(24+1)× (28+1)×(216+1)=(28-1)×(28+1)×(216+1)= (216-1)×(216+1)=232-1. 12.约翰吃亏了.原正方形土地的面积为a2m2,改变后的 土地面积为(a+8)(a-8)=(a2-64)m2.∵a2-(a2- 64)=64(m2),∴ 改 变 后 的 土 地 面 积 比 原 来 少 了 64m2.∴约翰吃亏了. 第2课时　两数和(差)的平方 知识梳理 平方和 2倍 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 典例演练 典例1 (1)原式=x2+2ax+a2.(2)原式=4x2- 12xy+9y2.(3)原式=(-x)2+2·(-x)·3y+ (3y)2=x2-6xy+9y2.(4)原式=(m+2n)2=m2+2· m·2n+(2n)2=m2+4mn+4n2.(5)原式=-(2x+ 3)2=-(4x2+12x+9)=-4x2-12x-9. 典例2 (1)原式=[(a-2b)+c]2=(a-2b)2+2(a- 2b)c+c2=a2-4ab+4b2+2ac-4bc+c2=a2+4b2+ c2-4ab+2ac-4bc.(2)原式=a2-2ab+a2+2ab+ b2=2a2+b2.(3)原式=[a-(b-c)][a+(b-c)]= a2-(b-c)2=a2-(b2-2bc+c2)=a2-b2-c2+ 2bc.(4)原式=(4m2-n2)2=16m4-8m2n2+n4. 典例3 (1)∵a+b=5,ab=3,∴a2+b2=(a+b)2- 2ab=52-2×3=19.(2)∵(a+b)2=17,ab=2,∴(a- b)2=(a+b)2-4ab=17-4×2=9. 预学训练 1.B 2.C 3.B 4.D 5.(1)x2-12x+36 (2)4x2+ 20xy+25y2 (3)x2y2-10xy+25 (4)x2+4y2+ z2+4xy-2xz-4yz (5)2a+1 6.29 7.±2 8.100 240 144 9.(1)原式=x2+4x+4-x2+1=4x+5.∵x=12 , ∴原式=4×12+5=7. (2)原式=a2+8ab+16b2-a2+ 8ab-16b2=16ab.∵ab=2,∴原式=16×2=32. 10.A 11.(1)±1 (2)5 解析:设x-2025=a.∵x 满足(x-2024)2+ (2026-x)2=12,∴ (a+1)2+(1-a)2=12.整理,得 a2=5.∴(x-2025)2 的值为5. 12.原式=1-2x+x2-9+x2-x2+x+3x-3=x2+ 2x-11.∵x2+2x=1,∴原式=1-11=-10. 11.4 整式的除法 第1课时　单项式除以单项式 知识梳理 分别相除 指数 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 典例演练 典例1 (1)原式=3m2n.(2)原式=-9xy3.(3)原 式= -24a4b.(4)原 式 = - 34 × - 8 5 x2m4 = 6 5x 2m4. 典例2 (1)原式=16a8c4÷4a2c4=4a6.(2)原式= 6x2-x2=5x2.(3)原 式 = -8a9x3 ÷ 13ax · (-4a2x3)=-24a8x2·(-4a2x3)=96a10x5.(4)原 式=0.16x6y2m÷4x4y2n=0.04x2y2m-2n. 典例3 (1)3a3b5÷ ab·32ab 2 =2ab2(cm).(2)2· ab·32ab2+ab·2ab2+32ab2·2ab2 =(7a2b3+ 6a2b4)cm2. 预学训练 1.D 2.D 3.A 4.C 5.(1)-3a (2)3yz (3)2xy 6.-18 2 7.(1)原式=[12÷(-3)]a2b2=-4a2b2.(2)原式= -32a n+3÷13a n-1=-92a 4.(3)原式=-127 ·x3y12÷ 1 36x 2y8·y3=- 4 3xy 4·y3=- 4 3xy 7. 8.318 9.P=(6a2b2)2=36a4b4,Q=9a6b4÷ -12a 3b = -18a3b3.∴P÷Q=36a4b4÷(-18a3b3)=-2ab. ∵ab=-2,∴P÷Q=4. 第2课时　多项式除以单项式 知识梳理 每一项 相加 典例演练 典例1 (1)原式=6b+5.(2)原式=3y2-2x.(3)原 式=-2xy4+x2y2-3.(4)原式=(16x4y+4x3y- 8x3)÷8x3=2xy+ 1 2y-1. (5)原式=(2a5b4-4a4b2- 2a2b)÷2a2b=a3b3-2a2b-1. 典例2 (1) 原式=a2-2ab-b2-(ab-2a2-2b2+ 4ab)=3a2-7ab+b2.当a=1,b=-1时,原式=3×12- 7×1×(-1)+(-1)2=11.(2)原式=(x2-4y2-4x2+ 4xy-y2-x2+5y2)÷(-2x)=(-4x2+4xy)÷(-2x)= 2x-2y.∵23x÷23y=8,∴23x-3y=23.∴3x-3y= 3(x-y)=3.∴x-y=1.∴原式=2(x-y)=2×1=2. 预学训练 1.C 2.B 3.B 4.B 5.(1)9a2-5b (2)6x- 2y+1 6.4x4-x2y2 7.-6m2-2a2m+ 2 3a 8.(1)原式=6a2x3÷(-3ax3)-a6x5÷(-3ax3)= -2a+13a 5x2.(2)原式=(3a5-2a4)÷ -18a 3 = -24a2+16a.(3)原式=a2+2a-b2-(a2-b2)=a2+ 2a-b2-a2+b2=2a.(4)原式=[3(a-b)3-2(a- b)2-(a-b)]÷(a-b)=3(a-b)2-2(a-b)-1= 3a2-6ab+3b2-2a+2b-1. 9.5 解析:原式=[(x2+y2)-(x2-2xy+y2)+ (2xy-2y2)]÷4y=(4xy-2y2)÷4y=x- 1 2y.∵2 · x-12y =2x-y=10,∴x-12y=5.∴原式=5. 10.由 题 意,得 [21x5y7 -14x7y4 + (2x3y2)2]÷ (-7x5y4)=(21x5y7-14x7y4+4x6y4)÷(-7x5y4)= -3y3+2x2- 4 7x ,即这个多项式为-3y3+2x2- 4 7x. 11.原式= 14x2-2xy+4y2-14x2+y2+x2y2- 5y2 ÷xy=(-2xy+x2y2)÷xy=-2+xy.∵|x- 1|+(y+2)2=0,|x-1|≥0,(y+2)2≥0,∴x-1=0, y+2=0.∴x=1,y=-2.∴ 原式=-2+1×(-2)= -2-2=-4. 11.5 因式分解 知识梳理 1.整式的积 2.相同的因式 典例演练 典例1 (1)原式=3x(x-2).(2)原式=5x2y2(y- 5x).(3)原式=-2m(2m2-8m+13).(4)原式=2(x+ y)(3x-2y).(5)原式=m(m-n)-n(m-n)=(m- n)(m-n)=(m-n)2.(6)原式=6(a-b)2·[3b- 2(a-b)]=6(a-b)2(5b-2a). 典例2 (1)原式=(1+2x)(1-2x).(2)原式=(2a+ 1)2.(3)原式=(x-7)2.(4)原式=(m+1+4)(m+1- 4)=(m+5)(m-3).(5)原式=(4x-3y+5y)(4x- 3y-5y)=(4x+2y)(4x-8y)=8(2x+y)(x-2y). (6)原式=(x2)2-(9y2)2=(x2+9y2)(x2-9y2)= (x2+9y2)(x+3y)(x-3y). 典例3 (1)原式=x(x2-1)=x(x+1)(x-1).(2)原 式=a(a2-2ab+b2)=a(a-b)2.(3)原式=3ab(a2- 4)=3ab(a+2)(a-2).(4)原式=-4a(4a2-4ab+ b2)=-4a(2a-b)2.(5)原式=(x2-2)2-6(x2-2)+ 9=(x2-2-3)2=(x2-5)2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 74 11.4　整式的除法 第1课时 单项式除以单项式 单项式除以单项式的法则:单项式相除,把系数、同底数幂 作为商的因式,对于只在被 除式中出现的字母,则连同它的 一起作为商的一个因式. 典例1 计算: (1) 6m4n2÷2m2n; (2) 63x3y8÷(-7x2y5); (3) -12a6b3÷12a 2b2; (4) -34x 3y2m4÷ -58xy 2 . 利用单项式除以单项式的法则进行计算. 解答: 解有所悟:单项式除以单项式时,注意正确利用同 底数幂的除法法则和符号的处理等. 典例2 计算: (1) 16a8c4÷(-2ac2)2; (2) 3x·2x-x3y÷xy; (3) (-2a3x)3÷ 13ax ·(-4a2x3); (4) (0.4x3ym)2÷(2x2yn)2. 先算乘方,再算乘除,最后合并同类项. 解答: 解有所悟:在单项式的混合运算中,一要注意单项 式的系数及其符号;二要注意运算顺序. 答案讲解 典例3 已知一个长方体的体积为 3a3b5cm3,它 的 长 为 abcm,宽 为 3 2ab 2cm.求: (1) 这个长方体的高; (2) 这个长方体的表面积. (1) 利用“高=体积÷(长×宽)”列式,再 计算;(2) 根据“长方体的表面积=2(长×宽+ 长×高+宽×高)”列式,再计算. 解答: 解有所悟:解决这类问题,根据题意或相关公式正 确列式为关键. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 计算6a6÷13a 2的结果是 ( ) A. 2a3 B. 2a4 C. 18a3 D. 18a4 2. 若( )÷12ab 2=8a,则( )中应填的单 项式为 ( ) A. 16ab2 B. 4ab2 C. 16a2b2D. 4a2b2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级 拍 照 批 改 75 3. 下列计算27a2÷13a 3÷9a2 的步骤中,不正 确的是 ( ) A. 27a2÷ 13a 3÷9a2 B. 27a2÷13a 3 ÷9a2 C. 27÷13÷9 a2-3-2 D. (27a2÷9a2)÷13a 3 4. (新疆中考)计算4a·3a2b÷2ab的结果是 ( ) A. 6a B. 6ab C. 6a2 D. 6a2b2 5. (教材P45例1变式)计算: (1) 6a2b÷(-2ab)= ; (2) -21x3y4z÷(-7x3y3)= ; (3) (青岛中考)8x3y÷(2x)2= . 6. 若(6x2y3)2÷mx2y4=-2x2yn,则 m= ,n= . 7. 计算: (1) 12a4b3c2÷(-3a2bc2); (2) 3 2a n+3÷ -13a n-1 ; (3) -13xy 4 3÷ 16xy4 2 ·y3. [综合提升] 8. 地球的质量约为5.98×1024kg,木星的质量 约为1.9×1027kg,则木星的质量约是地球 的 倍(结果保留整数). 答案讲解 9. 若P= 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 (-2a4b5)÷ -13a2b3 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 2 , Q=(-3a3b2)2÷ -12a3b ,且 ab=-2,求P÷Q 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备