11.3 第2课时 两数和(差)的平方-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（华东师大版2024）

22 12.(1)(a+b)(2a+b)=(2a2+3ab+b2)平方米.(2)(a+ b-2b)(2a+b-3b)=(a-b)(2a-2b)=(2a2-4ab+ 2b2)平方米. 11.3 乘法公式 第1课时　两数和乘以这两数的差 知识梳理 平方差 a2-b2 典例演练 典例1 (1)原式=(m2)2-(5n)2=m4-25n2.(2)原 式=(2y)2-(0.2x)2=4y2-0.04x2.(3)原式=-(1- xy)(1+xy)=-12+(xy)2=-1+x2y2.(4)原式= (a2-1)(a2+1)=a4-1. 典例2 (1)原式=(200+6)×(200-6)=2002-62= 40000-36=39964.(2)原式= 40+23 40-23 = 402- 23 2 =1600-49=1599 5 9. 典例3 A 解析:题图中涂色部分的面积可以表示为 a2-b2,还可以表示为2× (a+b)(a-b) 2 = (a+b)(a- b).∴a2-b2=(a+b)(a-b). 预学训练 1.B 2.B 3.A 4.A 解析:原式=5002-(500-1)×(500+1)=5002- (5002-1)=5002-5002+1=1. 5.-6 6.(1)x2-4 (2)b2-a2 (3)36n2-25m2 (4)14x 4y4-9m2 7.±8 8.-125 9.原式=4x2-1+3x-4x2=3x-1.当x=13 时,原 式=3×13-1=0. 10.D 解析:设这两个奇数分别为2m+1和2n+1. (2m+1)2-(2n+1)2=(2m+1+2n+1)(2m+1-2n- 1)=(2m+2n+2)(2m-2n)=4(m+n+1)(m-n). ∵m-n和m+n+1中必有一个为偶数,∴(2m+1)2- (2n+1)2 是8的倍数,即任意两个奇数的平方差总能被 8整除. 11.232-1 解析:原式=(2-1)×(2+1)×(22+1)× (24+1)×(28+1)×(216+1)=(22-1)×(22+1)× (24+1)×(28+1)×(216+1)=(24-1)×(24+1)× (28+1)×(216+1)=(28-1)×(28+1)×(216+1)= (216-1)×(216+1)=232-1. 12.约翰吃亏了.原正方形土地的面积为a2m2,改变后的 土地面积为(a+8)(a-8)=(a2-64)m2.∵a2-(a2- 64)=64(m2),∴ 改 变 后 的 土 地 面 积 比 原 来 少 了 64m2.∴约翰吃亏了. 第2课时　两数和(差)的平方 知识梳理 平方和 2倍 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 典例演练 典例1 (1)原式=x2+2ax+a2.(2)原式=4x2- 12xy+9y2.(3)原式=(-x)2+2·(-x)·3y+ (3y)2=x2-6xy+9y2.(4)原式=(m+2n)2=m2+2· m·2n+(2n)2=m2+4mn+4n2.(5)原式=-(2x+ 3)2=-(4x2+12x+9)=-4x2-12x-9. 典例2 (1)原式=[(a-2b)+c]2=(a-2b)2+2(a- 2b)c+c2=a2-4ab+4b2+2ac-4bc+c2=a2+4b2+ c2-4ab+2ac-4bc.(2)原式=a2-2ab+a2+2ab+ b2=2a2+b2.(3)原式=[a-(b-c)][a+(b-c)]= a2-(b-c)2=a2-(b2-2bc+c2)=a2-b2-c2+ 2bc.(4)原式=(4m2-n2)2=16m4-8m2n2+n4. 典例3 (1)∵a+b=5,ab=3,∴a2+b2=(a+b)2- 2ab=52-2×3=19.(2)∵(a+b)2=17,ab=2,∴(a- b)2=(a+b)2-4ab=17-4×2=9. 预学训练 1.B 2.C 3.B 4.D 5.(1)x2-12x+36 (2)4x2+ 20xy+25y2 (3)x2y2-10xy+25 (4)x2+4y2+ z2+4xy-2xz-4yz (5)2a+1 6.29 7.±2 8.100 240 144 9.(1)原式=x2+4x+4-x2+1=4x+5.∵x=12 , ∴原式=4×12+5=7. (2)原式=a2+8ab+16b2-a2+ 8ab-16b2=16ab.∵ab=2,∴原式=16×2=32. 10.A 11.(1)±1 (2)5 解析:设x-2025=a.∵x 满足(x-2024)2+ (2026-x)2=12,∴ (a+1)2+(1-a)2=12.整理,得 a2=5.∴(x-2025)2 的值为5. 12.原式=1-2x+x2-9+x2-x2+x+3x-3=x2+ 2x-11.∵x2+2x=1,∴原式=1-11=-10. 11.4 整式的除法 第1课时　单项式除以单项式 知识梳理 分别相除 指数 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72 第2课时 两数和(差)的平方 两数和(差)的平方公式:两数和(差)的平方,等于这两数的 加上(减去)它们的积的 .用字母表示:(a+b)2= ,(a-b)2= . 典例1 计算: (1) (x+a)2; (2) (2x-3y)2; (3) (-x+3y)2; (4) (-m-2n)2; (5) (2x+3)(-2x-3). 直接利用两数和(差)的平方公式进行计 算,其中(5)要先变形为-(2x+3)2,再计算. 解答: 解有所悟:用两数和(差)的平方公式进行计算的口 诀:首平方、尾平方,首尾积的2倍加(减)中央. 典例2 计算: (1) (a-2b+c)2; (2) (无锡中考)a(a-2b)+(a+b)2; (3) (a-b+c)(a+b-c); (4) [(2m+n)(2m-n)]2. 根据整式的特征选择合适的乘法公式 计算. 解答: 解有所悟:在整式的计算中,应先观察整式的特征, 选择合适的乘法公式计算;另外,当括号前面是减 号时,去括号要注意变号. 典例3 我们不仅要掌握两数和(差)的平方公 式,还要了解两数和(差)的平方公式的两个变 式,即a2+b2=(a+b)2-2ab 与(a+b)2- (a-b)2=4ab.请你利用这两个变式解答下面 的问题: (1) 已知a+b=5,ab=3,求a2+b2的值; (2) 已知(a+b)2=17,ab=2,求(a-b)2的值. 利用两数和(差)的平方公式的变式整体 代入求解. 解答: 解有所悟:已知“a+b”“a-b”“ab”“a2+b2”四个式 子中任意两个式子的值,利用两数和(差)的平方公 式可求出另外两个式子的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 计算(3x-1)2的结果是 ( ) A. 6x2-6x+1 B. 9x2-6x+1 C. 9x2-6x-1 D. 9x2+6x-1 2. 将9.52变形正确的是 ( ) A. 9.52=92+0.52 B. 9.52=(10+0.5)×(10-0.5) C. 9.52=102-2×10×0.5+0.52 D. 9.52=92+9×0.5+0.52 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级 拍 照 批 改 73 3. 若x-y=-1,则x2-2xy+y2的值为 ( ) A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 4. 下列计算正确的是 ( ) A. (3a+b)2=9a2+b2 B. (5x-2y)2=25x2-10xy+4y2 C. 1 2x-y 2 =12x 2-xy+y2 D. 1 2x+ 1 3 2 =14x 2+13x+ 1 9 5. (教材P44习题11.3第2题变式)计算: (1) (x-6)2= ; (2) (-2x-5y)2= ; (3) (-xy+5)2= ; (4) (x+2y-z)2= ; (5) (江西中考)(a+1)2-a2= . 6. (乐山中考)已知a-b=3,ab=10,则a2+ b2= . 7. (凉山中考)已知y2-my+1可以化为两数和 (差)的平方的形式,则m 的值是 . 8. 有三种规格的地砖,A型:m×m,B型:m× n,C型:n×n.小明家要在边长为10m+ 12n的正方形地面上铺地砖,应选A型地砖 块,B型地砖 块,C型地砖 块. 9. (1) 先化简,再求值:(x+2)2-(x+1)(x- 1),其中x=12 ; (2) 已知ab=2,求(a+4b)2-(a-4b)2 的值. [综合提升] 10. 若|x+y-5|+(xy-6)2=0,则x2+y2 的值为 ( ) A. 13 B. 26 C. 28 D. 37 答案讲解 11. (1) 已知实数a、b满足a+b=2, ab=34 ,则a-b的值为 ; (2) 已知x 满足(x-2 024)2+(2 026- x)2=12,则(x-2 025)2的值为 . 12. 先化简,再求值:(1-x)2-(x+3)(3-x)- (x-3)(x-1),其中x满足x2+2x=1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备