11.2 第3课时 多项式与多项式相乘-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（华东师大版2024）

68 第3课时 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的 分别乘以另一 个多项式的 ,再把所得的积 . 典例1 计算: (1) (2x-3)(1-2x); (2) (a+2b)(a2-2ab+4b2); (3) (-3x)2-(3x+1)(3x-2); (4) 3y(y-4)(2y+1)-(2y-3)(4y2+ 6y-9). 利用多项式与多项式相乘的法则计算,其 中(3)(4)去括号时,注意正负号的变化. 解答: 解有所悟:在多项式与多项式相乘中,注意按顺序 相乘,防止漏乘,另外结果有同类项的要合并同类 项,将结果化为最简. 典例2 如图,在一块长为(4a-1)米、宽为 (3b+2)米的长方形铁片上,剪去一块长为 (3a-2)米、宽为2b米的小长方形铁片. (1) 求剩余部分(涂色部分)的面积; (2) 当a=4,b=3时,求涂色部分的面积. 典例2图 (1) 根据两块长方形铁片的面积差列代 数式,并化简;(2) 直接代入求值即可. 解答: 解有所悟:利用整式乘法解决实际问题时,要根据 图形特征列代数式,再运用法则进行计算. 典例3 在计算(2x+a)(x+b)时,甲错把b看 成了6,得到结果是2x2+8x-24;乙错把+a 看成了-a,得到结果是2x2+14x+20. (1) 求a、b的值; (2) 在(1)的条件下,计算:(2x+a)(x+b). (1) 先计算(2x+a)(x+6)和(2x-a)· (x+b),然后根据得到的结果“对应”列方程求 出a、b的值;(2) 把a、b的值代入,再计算. 解答: 解有所悟:利用“将错就错”的方法求解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 计算(2x-1)(x+2)的结果是 ( ) A. 2x2+x-2 B. 2x2-2 C. 2x2-3x-2 D. 2x2+3x-2 2. 已知(x+3)(x-5)=x2-mx-15,则m 的 值为 ( ) A. -8 B. 2 C. -2 D. -5 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级 拍 照 批 改 69 3. 三个连续奇数,若中间一个数为n,则这三个 连续奇数的积是 ( ) A. 6n3-6n B. 4n3-n C. n3-4n D. n3-n 4. 若(2x+m)(x-3)的展开式中不含x项,则 实数m 的值为 ( ) A. -6 B. 0 C. 3 D. 6 5. ★计算: (1) (2m+5)(3m-1)= ; (2) (-2x-5y)(-3x+y)= ; (3) (x+y)(x2-2x-3)= . 6. 若a-b=3,ab=-4,则(a+2)(b-2)的值 为 . 7. 商店经营一种产品,当定价为每件12元时, 每天能售出8件.若每件产品每降价x 元, 则每天可多售出(x+2)件,则每件产品降价 x元后,每天的销售总收入是 元(结 果需化简). 8. 计算: (1) 2(x+2)(2x+3)-3(1-x)(x+6); (2) (3a-b)(a+b)+(2a+3b)(2a-7b). 9. 先化简,再求值:(x-y)(x+3y)-x(x+ 2y),其中x= 1 3 ,y=-2. 10. 解方程:(3x-1)(2x-3)=(6x-5)(x- 2)+5. [综合提升] 11. 若(x2+ax-b)(2x2-3x+1)的结果中, x3项的系数为5,x2项的系数为1,则a+b 的值为 . 答案讲解 12. 某车站前有一块长为(2a+b)米、 宽为(a+b)米的长方形广场(如 图).计划在中间建两个完全一样 的长方形喷泉(涂色部分),两个喷泉之间 及周边修宽度为b米的人行通道. (1) 请用含a、b的代数式表示广场的面积, 并化简; (2) 请用含a、b的代数式表示两个长方形 喷泉(涂色部分)的面积之和,并化简. 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 21 第2课时　单项式与多项式相乘 知识梳理 每一项 相加 ma+mb+mc 典例演练 典例1 (1)原式=ab+3a.(2)原式=(-2xy)·3x2+ (-2xy)·(-4y2)=-6x3y+8xy3.(3)原 式= 3m5n2+2m4n2-6m3n.(4)原式=9x4y2·(-4xy2- 5y3-6x)=-36x5y4-45x4y5-54x5y2. 典例2 (1)原式=-6a2+15a-2a+6a2=13a.(2)原 式=-8x3· 2x3-12x-1 -(4x4+8x3)=-16x6+ 4x4+8x3-4x4-8x3=-16x6. 典例3 原式=-4a3b3+6a2b2-8ab=-4×(ab)3+ 6(ab)2-8ab.∵ab=3,∴ 原式=-4×33+6×32-8× 3=-78. 预学训练 1.D 2.A 3.B 4.D 5.(1)-6x3+15x2+3x (2)-12x3+4x2 6.2 7.2a(a+b)=2a2+2ab 8.(1)原式=x3-x2-x3-x2+x=-2x2+x.(2)原 式=-6a3+12a2+5a3-10a2+35a=-a3+2a2+35a. 9.原式=6a3-12a2+9a-6a3-8a2=-20a2+9a. ∵a=-2,∴原式=-20×(-2)2+9×(-2)=-98. 10.B 解析:原式=-x5-ax4-x3+2x4=-x5+(2- a)x4-x3.∵-x3(x2+ax+1)+2x4 中不含有x 的四 次项,∴2-a=0,解得a=2. 11.-12x4+12x3-3x2 解析:由题意,得这个多项式为 (x2-4x+1)-(-3x2)=4x2-4x+1.∴正确的计算结 果为(4x2-4x+1)·(-3x2)=-12x4+12x3-3x2. 12.(1)12 [a+(a+2b)]×12a= 1 4a (2a+2b)= 12a2+ 1 2ab 平方米,∴ 防洪堤坝的横断面面积为 12a2+ 1 2ab 平方 米.(2) 12a2+12ab ×100= (50a2 + 50ab)立方米,∴ 这条防洪堤坝的体积是(50a2+50ab)立 方米. 第3课时　多项式与多项式相乘 知识梳理 每一项 每一项 相加 典例演练 典例1 (1)原式=2x-4x2-3+6x=8x-4x2-3. (2)原式=a3-2a2b+4ab2+2a2b-4ab2+8b3=a3+ 8b3.(3)原式=9x2-9x2+6x-3x+2=3x+2.(4)原 式=3y(2y2+y-8y-4)-(8y3+12y2-18y-12y2- 18y+27)=6y3+3y2-24y2-12y-8y3-12y2+18y+ 12y2+18y-27=-2y3-21y2+24y-27. 典例2 (1)由题意,得S涂色=(4a-1)(3b+2)-2b· (3a-2)=12ab+8a-3b-2-6ab+4b=(6ab+8a+b- 2)平方米.(2)∵a=4,b=3,∴S涂色=6×4×3+8×4+ 3-2=72+32+3-2=105(平方米). 典例3 (1)∵甲错把b看成了6,∴(2x+a)(x+6)= 2x2+12x+ax+6a=2x2+(12+a)x+6a=2x2+8x- 24.∴12+a=8,解得a=-4.∵乙错把+a看成了-a, ∴(2x-a)(x+b)=2x2+2bx-ax-ab=2x2+(-a+ 2b)x-ab=2x2+14x+20.∴2b-a=14.把a=-4代 入,得b=5.(2)∵a=-4,b=5,∴ (2x+a)(x+b)= (2x-4)(x+5)=2x2+10x-4x-20=2x2+6x-20. 预学训练 1.D 2.B 3.C 4.D 解析:(2x+m)(x-3)=2x2-6x+mx-3m= 2x2+(m-6)x-3m.∵ (2x+m)(x-3)的展开式中不 含x项,∴m-6=0,解得m=6. 5.(1)6m2+13m-5 (2)6x2+13xy-5y2 (3)x3- 2x2-3x+x2y-2xy-3y 多项式的乘法运算中的易错点 (1)在多项式的乘法运算中,容易漏乘项;(2)计 算结果中还有同类项没有合并;(3)计算过程中容易出 现符号错误. 6.-14 7.(-x2+2x+120) 解析:∵若每件产品每降价x元, 则每天可多售出(x+2)件,∴每件产品降价x元后,售价 为每件(12-x)元,每天能售出(8+x+2)=(x+ 10)件.∴ 每天的销售总收入是(12-x)(x+10)= (-x2+2x+120)元. 8.(1)原式=2(2x2+7x+6)-3(-x2-5x+6)=4x2+ 14x+12+3x2+15x-18=7x2+29x-6.(2)原式= 3a2+3ab-ab-b2+4a2-14ab+6ab-21b2=7a2- 6ab-22b2. 9.原式=x2+3xy-xy-3y2-x2-2xy=-3y2. ∵y=-2,∴原式=-3×(-2)2=-3×4=-12. 10.原方程可化为6x2-2x-9x+3=6x2-5x-12x+ 10+5.整理,得6x=12,解得x=2. 11.-2 解析:原式=2x4-3x3+x2+2ax3-3ax2+ ax-2bx2+3bx-b=2x4+(2a-3)x3+(1-3a- 2b)x2+(a+3b)x-b.∵x3 项的系数为5,x2 项的系数 为1,∴2a-3=5,1-3a-2b=1,解得a=4,b=-6. ∴a+b=4-6=-2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 12.(1)(a+b)(2a+b)=(2a2+3ab+b2)平方米.(2)(a+ b-2b)(2a+b-3b)=(a-b)(2a-2b)=(2a2-4ab+ 2b2)平方米. 11.3 乘法公式 第1课时　两数和乘以这两数的差 知识梳理 平方差 a2-b2 典例演练 典例1 (1)原式=(m2)2-(5n)2=m4-25n2.(2)原 式=(2y)2-(0.2x)2=4y2-0.04x2.(3)原式=-(1- xy)(1+xy)=-12+(xy)2=-1+x2y2.(4)原式= (a2-1)(a2+1)=a4-1. 典例2 (1)原式=(200+6)×(200-6)=2002-62= 40000-36=39964.(2)原式= 40+23 40-23 = 402- 23 2 =1600-49=1599 5 9. 典例3 A 解析:题图中涂色部分的面积可以表示为 a2-b2,还可以表示为2× (a+b)(a-b) 2 = (a+b)(a- b).∴a2-b2=(a+b)(a-b). 预学训练 1.B 2.B 3.A 4.A 解析:原式=5002-(500-1)×(500+1)=5002- (5002-1)=5002-5002+1=1. 5.-6 6.(1)x2-4 (2)b2-a2 (3)36n2-25m2 (4)14x 4y4-9m2 7.±8 8.-125 9.原式=4x2-1+3x-4x2=3x-1.当x=13 时,原 式=3×13-1=0. 10.D 解析:设这两个奇数分别为2m+1和2n+1. (2m+1)2-(2n+1)2=(2m+1+2n+1)(2m+1-2n- 1)=(2m+2n+2)(2m-2n)=4(m+n+1)(m-n). ∵m-n和m+n+1中必有一个为偶数,∴(2m+1)2- (2n+1)2 是8的倍数,即任意两个奇数的平方差总能被 8整除. 11.232-1 解析:原式=(2-1)×(2+1)×(22+1)× (24+1)×(28+1)×(216+1)=(22-1)×(22+1)× (24+1)×(28+1)×(216+1)=(24-1)×(24+1)× (28+1)×(216+1)=(28-1)×(28+1)×(216+1)= (216-1)×(216+1)=232-1. 12.约翰吃亏了.原正方形土地的面积为a2m2,改变后的 土地面积为(a+8)(a-8)=(a2-64)m2.∵a2-(a2- 64)=64(m2),∴ 改 变 后 的 土 地 面 积 比 原 来 少 了 64m2.∴约翰吃亏了. 第2课时　两数和(差)的平方 知识梳理 平方和 2倍 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 典例演练 典例1 (1)原式=x2+2ax+a2.(2)原式=4x2- 12xy+9y2.(3)原式=(-x)2+2·(-x)·3y+ (3y)2=x2-6xy+9y2.(4)原式=(m+2n)2=m2+2· m·2n+(2n)2=m2+4mn+4n2.(5)原式=-(2x+ 3)2=-(4x2+12x+9)=-4x2-12x-9. 典例2 (1)原式=[(a-2b)+c]2=(a-2b)2+2(a- 2b)c+c2=a2-4ab+4b2+2ac-4bc+c2=a2+4b2+ c2-4ab+2ac-4bc.(2)原式=a2-2ab+a2+2ab+ b2=2a2+b2.(3)原式=[a-(b-c)][a+(b-c)]= a2-(b-c)2=a2-(b2-2bc+c2)=a2-b2-c2+ 2bc.(4)原式=(4m2-n2)2=16m4-8m2n2+n4. 典例3 (1)∵a+b=5,ab=3,∴a2+b2=(a+b)2- 2ab=52-2×3=19.(2)∵(a+b)2=17,ab=2,∴(a- b)2=(a+b)2-4ab=17-4×2=9. 预学训练 1.B 2.C 3.B 4.D 5.(1)x2-12x+36 (2)4x2+ 20xy+25y2 (3)x2y2-10xy+25 (4)x2+4y2+ z2+4xy-2xz-4yz (5)2a+1 6.29 7.±2 8.100 240 144 9.(1)原式=x2+4x+4-x2+1=4x+5.∵x=12 , ∴原式=4×12+5=7. (2)原式=a2+8ab+16b2-a2+ 8ab-16b2=16ab.∵ab=2,∴原式=16×2=32. 10.A 11.(1)±1 (2)5 解析:设x-2025=a.∵x 满足(x-2024)2+ (2026-x)2=12,∴ (a+1)2+(1-a)2=12.整理,得 a2=5.∴(x-2025)2 的值为5. 12.原式=1-2x+x2-9+x2-x2+x+3x-3=x2+ 2x-11.∵x2+2x=1,∴原式=1-11=-10. 11.4 整式的除法 第1课时　单项式除以单项式 知识梳理 分别相除 指数 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈