10.1 第1课时 平方根-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（华东师大版2024）

49 第10章　数的开方 10.1　平方根和立方根 第1课时 平 方 根 1. 平方根:如果一个数的平方等于a,那么这个 数叫做a的平方根,记作 . 2. 平 方 根 的 性 质:一 个 正 数 的 平 方 根 有 ,它们互为 ;0的平方根有 ;负数 平方根. 3. 算术平方根:正数a 的 平方根,叫 做a的算术平方根,记作 ;0的算术 平方根是 . 4. 开平方:求一个非负数的 的运算, 叫做开平方. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 求下列各数的平方根和算术平方根: (1) 12 100; (2) 196 225 ; (3) 279 ; (4) (-4)2; 把题中各数写成x2=a(a≥0)的形式,根 据平方根及算术平方根的概念求解. 解答: 解有所悟:(1) 求一个数a的平方根实质上就是找 出所有平方后等于a的数.(2) 求一个数的平方根, 如果这个数是带分数,那么要先将带分数化为假分 数或小数;如果这个数不是最简的,那么要先计算, 再求平方根.(3) 求一个非负数的算术平方根,取平 方根中非负的那一个即可,切记不要与平方根混淆. 典例2 求下列各式的值: (1) 49; (2) 16 25 ; (3) - 0.04; (4) (-10)2. 先计算算术平方根,再处理符号. 解答: 解有所悟:在求解这类含根号的式子的化简计算题 目时,必须要明确各式所表示的意义,然后根据相 关运算性质进行计算. 典例3 已知2a-1的平方根为±3,3a+b-1 的算术平方根为4,求a、b的值. 本题利用开方与乘方的互逆关系建立方 程求解. 解答: 解有所悟:解答时,要利用开方与乘方互为逆运算 的关系:a的平方根是b,则a=b2或b=± a. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 50 [基础过关] 1. 144的平方根是±12的数学表达式为 ( ) A. 144=12 B. 144=±12 C. ± 144=±12 D. ± 144=12 2. (内江中考)16的平方根是 ( ) A. 2 B. -4 C. 4 D. ±4 3. 一个数的算术平方根是0.01,则这个数是 ( ) A. 0.1 B. 0.01 C. 0.001 D. 0.000 1 4. (凉山中考)化简 (-2)2的结果为 ( ) A. ±2 B. -2 C. 4 D. 2 5. 有下列说法:① 0.25的平方根是0.5;② 只 有正数才有平方根;③ 2 5 2 的平方根是 ±25 ;④ -7是-49的一个平方根.其中,正 确的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知一个数的一个平方根是-10,则另一个 平方根是 . 7. 面积为2cm2的正方形的边长为 cm. 8. 计算: (1) 362= ; (2) 43= ; (3) ± 6.25= . 9. (1) 81的算术平方根为 ; (2) (-6)2的平方根为 . 10. (南充中考)若 8-x为整数,x 为正整数, 则x的值是 . 11. 已知y= x-1+ 1-x+5,求4x+y的 算术平方根. [综合提升] 12. 一个自然数的算术平方根为a,则和这个自 然数相邻的下一个自然数的算术平方根是 ( ) A. a+1 B. a2+1 C. a2+1 D. a+1 13. 若 a的平方根为±3,则a= . 答案讲解 14. 已知一个正数的两个平方根为 3a-7和a+3.求: (1) a的值及这个正数; (2) 关于x的方程ax2-4=0的解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级 17 ∴PM=AM=x2.∵N 为PB 的中点,∴PN=BN= x-6 2 .∴MN=PM-PN= x 2- x-6 2 =3. 综上所述,线 段MN 的长度不发生变化. (3)8、10、14.5、15.5. 解析:由(2),得AB=6,BC= 15.∴AC=AB+BC=21.设点P 从点B 开始运动t秒 后,P、Q 两点之间的距离为2,则BP=t,AQ=3t.∵ 点 P 以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动,点Q 以每 秒3个单位长度的速度在点A、C 之间往返运动,∴ 点P 从点A 运动到点B 的时间为6÷1=6(秒),点P 从点B 运动至点C 的时间为15÷1=15(秒),点Q 从点A 运动 至点C 的时间为21÷3=7(秒).∴可将P、Q 两点之间距 离为2的情况进行分类讨论.① 如图①,当点P、Q 向右 运动,且点P 在点Q 右侧时,AP=AB+BP=t+6, AP=AQ+PQ,∴t+6=3t+2,解得t=2.∴2+6= 8(秒).∴点P 开始运动后的第8秒,P、Q 两点之间的距 离为2.②如图②,当点P、Q 向右运动,且点P 在点Q 左 侧时,∵AP=AB+BP=t+6,AQ=AP+PQ,∴3t= t+6+2,解得t=4.∴4+6=10(秒).∴ 点P 开始运动 后的第10秒,P、Q 两点之间的距离为2.③如图③,当点 P 向右运动,点Q 向左运动,且点P 在点Q 左侧时, ∵AC+CQ=3t,∴CQ=3t-21.∵AP=AB+BP=t+ 6,AC=AP+PQ+CQ,∴21=t+6+2+3t-21,解得 t=8.5.∴8.5+6=14.5(秒).∴ 点P 开始运动后的第 14.5秒,P、Q 两点之间的距离为2.④ 如图④,当点P 向 右运动,点Q 向左运动,且点P 在点Q 右侧时,∵AC+ CQ=3t,∴CQ=3t-21.∵AP=AB+BP=t+6,AC= AP+CQ-PQ,∴21=t+6+3t-21-2,解得t= 9.5.∴9.5+6=15.5(秒).∴ 点P 开始运动后的第 15.5秒,P、Q 两点之间的距离为2.综上所述,点P 开始 运动后的第8、10、14.5、15.5秒,P、Q 两点之间的距离 为2. ① ② ③ ④ 第20题 21.(1)75°.(2)分情况讨论:如图①,∵PC∥BD, ∠DBP=90°,∴ ∠CPN=∠DBP=90°.∵ ∠A=90°, ∠C=30°,∴ ∠CPA =60°.∴ ∠APN = ∠CPN - ∠CPA=30°.∵ 速度为每秒10°,∴旋转时间为3s.②如 图②,∵PC∥BD,∠DBP=90°,∴ ∠CPB=∠DBP= 90°.∵∠A=90°,∠C=30°,∴∠CPA=60°.∴∠APM= ∠CPB-∠CPA=30°.∴ 三角尺PAC 绕点P 按逆时针 方向旋转的度数为180°+30°=210°.∴ 旋转时间为 21s.综上所述,当旋转时间为3s或21s时,PC∥BD 成 立.(3)设旋转时间为ts.由题意,得∠APN=(3t)°, ∠BPM=(2t)°.∴ ∠BPN=180°-∠BPM=(180- 2t)°.∴ ∠CPD=360°-∠BPD-∠BPN-∠APN- ∠APC=360°-45°-(180-2t)°-(3t)°-60°=(75- t)°.当∠CPD=∠BPM 时,(75-t)°=(2t)°,解得t= 25.∴当∠CPD=∠BPM 时,旋转时间是25s. 第21题 3 预学储备 第10章　数的开方 10.1 平方根和立方根 第1课时　平 方 根 知识梳理 1.± a 2.两个 相反数 一个 没有 3.正的 a 0 4.平方根 典例演练 典例1 (1)∵ (±110)2=12100,∴12100的平方根 是±110,算术平方根是110.(2)∵ ±1415 2 =196225 , ∴196225 的平方根是±1415 ,算术平方根是14 15. (3)279= 25 9.∵ ±53 2 =259 ,∴279 的平方根是±53 ,算术平方 根是5 3. (4)(-4)2=16.∵ (±4)2=16,∴ (-4)2 的平 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 方根是±4,算术平方根是4. 典例2 (1) 49=7.(2) 1625= 4 5. (3)- 0.04= -0.2.(4) (-10)2=10. 典例3 ∵2a-1的平方根为±3,∴2a-1=9,解得a= 5.∵3a+b-1的算术平方根为4,∴3a+b-1=16. ∴ b=2. 预学训练 1.C 2.D 3.D 4.D 5.A 6.10 7.2 8.(1)36 (2)8 (3)±2.5 9.(1)3 (2)± 6 10.4或7 11.由题意,得 x-1≥0, 1-x≥0, 解得x=1.∴y=5.当x=1, y=5时,4x+y=4×1+5=9.∴4x+y 的算术平方根 为3. 12.C 13.81 解析:∵9的平方根为±3,∴ a=9.∴a=81. 14.(1)∵ 一个正数的两个平方根为3a-7和a+3, ∴3a-7+a+3=0,解得a=1.∴a+3=4.∴这个正数 为42=16.(2)将a=1代入方程ax2-4=0,得x2-4= 0,∴x2=4.∴x=±2. 第2课时　立 方 根 知识梳理 1.3a 2.正数 负数 0 3.立方根 典例演练 典例1 (1)∵0.63=0.216,∴0.216的立方根是0.6. (2) 729=27.∵33=27,∴ 729的立方根是3. (3)-21027=- 64 27.∵ - 4 3 3 =-6427 ,∴ -21027 的立方 根是-43. 典例2 (1)3-125=-5.(2)- 3(-4)3=4. (3)(33)3=3. 典例3 设正方体容器的棱长为xcm.根据题意,得x3= 9×8×3,即x3=216,解得x=6.∴正方体容器的棱长为 6cm. 预学训练 1.A 2.B 3.D 4.D 5.A 6.(1)7 (2)-32 7.2 8.4 9.±1 10.-2 解析:∵|a+3|+(b+5)2=0,|a+3|≥0,(b+ 5)2≥0,∴a+3=0,b+5=0,解得a=-3,b=-5. ∴a+b=-8.∴a+b的立方根是 3-8=-2. 11.∵4a-3的平方根为±3,∴4a-3=9.∴a=3. ∵a+3b-2的算术平方根为4,∴a+3b-2=16.∴3+ 3b-2=16.∴b=5.∴a+b=3+5=8.∴a+b的立方 根是2. 12.D 13.设 较 小 卫 星 的 直 径 为 d km.由 题 意,得 4 3π× d 2 3 4 3π× 27 2 3= 125 729 ,解得d=15.∴ 较小卫星的直径为 15km. 10.2 实 数 知识梳理 1.不循环 2.无理数 3.一一对应 4.(1)-a (2)1a 5. (1)大 (2)近似值 典例演练 典例1 (1)+3、-9、-4.2、0、27 、- 4、-312 、120%、 0.26 (2)2、π-4、-0.21201200120001… (3)+3、 2、27 、120%、0.26 (4)-9、π-4、-4.2、- 4、 -312 、-0.21201200120001… 典例2 B 解析:- 2是负数,在原点的左侧,不符合题 意;4<6< 9,即2< 6<3,符合题意; 14> 9,即 14>3,在墨迹覆盖处的右边,且位置靠近4,不符合题 意;17> 16,即 17>4,在墨迹覆盖处的右边,不符 合题意.综上所述,被墨迹覆盖的数是6. 典例3 (1)原式=1+(-2)+43=1-2+ 4 3= 1 3. (2)原式=63-32- 2+23=83-42.(3)原 式=3-1+4-3=3. 典例4 (1)-2.(2)实数.(3)如图,点D 即为所求作. 典例4图 预学训练 1.D 2.C 有关“无理数”概念的错误认识 无理数是指无限不循环小数,不能错误地认为无 限小数就是无理数,不能从书写形式上认为含有根号 的数就是无理数,如 364是有理数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈