第01讲 平方根和立方根 暑假班讲义 2026--2027学年华东师大版八年级数学上册

第01讲 平方根与立方根 ◆ 一、学习目标 通过本节课的学习，你应该能够： 1. 理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能准确表述其定义，区分平方根与算术平方根。 2. 掌握平方根、算术平方根、立方根的表示方法，会用根号正确表示。 3. 会求一个数的平方根、算术平方根和立方根。 4. 理解平方与开平方、立方与开立方的互逆关系。 5. 能运用平方根和立方根的知识解决简单的实际问题。 ◆ 二、知识精讲 ▸ （一）平方根与算术平方根 概念 定义 表示方法 性质 平方根 若 x² = ，则 x 叫做 的平方根（二次方根） ± 1 正数有两个互为相反数的平方根② 0 的平方根是 0 ③ 负数没有平方根 算术平方根 正数 的正的平方根叫做 的算术平方根；0 的算术平方根是 0 1 ≥ 0 ( ≥ 0) 2 ()² = ③ = || ● 关键点 ● 只有非负数（≥ 0）才有平方根和算术平方根。 ● 本身是一个非负数。 ● 平方与开平方是互逆运算。 ▸ （二）立方根 概念 定义 表示方法 性质 立方根 若 x³ = ，则 x 叫做 的立方根（三次方根） 1 正数的立方根是正数 2 负数的立方根是负数 ③ 0 的立方根是 0 ● 关键点 ● 任何实数都有且仅有一个立方根。 ● 立方根的符号与被开方数的符号相同。 ● 立方与开立方是互逆运算。 ● ()³ = ， = 。 ◆ 三、例题讲解 ▸ 知识点1：求一个数的平方根和算术平方根 ● 例1（基础） 求下列各数的平方根和算术平方根： (1) 25 (2) 0.04 (3) (4) 0 ● 例2（进阶） 下列说法正确的是（ ） A. -4 是 16 的平方根 B. 16 的平方根是 -4 C. -4 是 (-4)² 的算术平方根 D. 4 是 (-4)² 的负的平方根 ● 例3（易错点） 若 = 3，则 x = ______；若 = -x，则 x = ______。 ▸ 知识点2：利用平方根的性质求值 ● 例4（基础） 已知 2 - 1 的平方根是 ±3，3 + b - 1 的算术平方根是 4，求 + 2b 的值。 ● 例5（进阶） 若 | - 3| + = 0，求 的值。 ▸ 知识点3：求一个数的立方根 ● 例6（基础） 求下列各数的立方根： (1) -8 (2) 27 (3) 0.125 (4) -1/64 (5) 0 ● 例7（进阶） 下列说法正确的是（ ） A. = ±2 B. -9 的立方根是 -3 C. 负数没有立方根 D. = -2 ▸ 知识点4：利用立方根的性质求值 ● 例8（基础） 若 = -2，则 x = ______；若 = 2，则 x = ______。 ● 例9（进阶） 已知 + = 0（≠0），求 的值。 ● 例10（综合） 计算： (1) + (2) - ◆ 四、课堂练习 学生独立完成，教师巡视指导。 ▸ （一）平方根与算术平方根 1.（基础）判断下列说法是否正确，错误的请说明理由： (1) 0.09 是 0.3 的平方根。（ ） (2) 的平方根是 ±4。（ ） (3) 任何数的算术平方根都是正数。（ ） (4) (-5)² 的算术平方根是 -5。（ ） 2.（基础）填空： (1) 121 的平方根是 ______，= ______。 (2) 的算术平方根是 ______。 (3) 若 = 7，则 x = ______；若 x² = 49，则 x = ______。 (4) 若 = 3，则 = ______。 3.（进阶）若 |x-4| + = 0，求 的值。 4. （进阶）已知的小数部分为a，的小数部分为b，计算a＋b的值。 ▸ （二）立方根 5.（基础）填空： (1) = ______， = ______。 (2) 若 = -3，则 x = ______。 (3) = ______。 6.（进阶）若 = ，求 x 的值。 ◆ 五、课堂小结 1. 回顾主要内容： ① 平方根、算术平方根、立方根的定义、表示方法和性质。 ② 平方与开平方、立方与开立方的互逆关系。 ③ 重要公式：()² = ， = || ④ 利用非负数的性质解决问题。 2. 易混易错点提醒： ① 平方根与算术平方根的区别与联系。 ② 负数没有平方根但有立方根。 ③ = || 与 = 的区别。 ④ 被开方数的取值范围。 ◆ 六、课后作业（建议 20 分钟完成） ▸ （一）基础巩固 1.判断题 (1)是5的一个平方根； (2)的算术平方根是； (3)的平方根是； (4)0的平方根与算术平方根都是0． 2. 填空 （1）是_____的负平方根． （2）表示_____的算术平方根，_____． （3）的算术平方根为_____． （4）若，则_____，若，则_____． 3. 选择： ①下列说法正确的是（    ） A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B．一个数的立方根不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．一个不为0的数的立方根和这个数同号 ②若，则实数a在数轴上的对应点一定在（） A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点或原点左侧 D．原点或原点右侧 4. 计算： (1)； (2)． ▸ （二）能力提升 5. 已知实数a、b、c、d、m，若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求的平方根． 6．若实数满足． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 7．已知，，为实数，且，求的值 8．已知一个正数x的两个平方根分别是和，求这个正数的立方根． 9．已知与互为相反数，求的值. ▸ （三）拓展探究（选做） 10．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)请根据以上规律写出第个等式（为正整数），并证明； (2)请应用以上的运算规律计算：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 平方根与立方根 ◆ 一、学习目标 通过本节课的学习，你应该能够： 1. 理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能准确表述其定义，区分平方根与算术平方根。 2. 掌握平方根、算术平方根、立方根的表示方法，会用根号正确表示。 3. 会求一个数的平方根、算术平方根和立方根。 4. 理解平方与开平方、立方与开立方的互逆关系。 5. 能运用平方根和立方根的知识解决简单的实际问题。 ◆ 二、知识精讲 ▸ （一）平方根与算术平方根 概念 定义 表示方法 性质 平方根 若 x² = ，则 x 叫做 的平方根（二次方根） ± 1 正数有两个互为相反数的平方根② 0 的平方根是 0 ③ 负数没有平方根 算术平方根 正数 的正的平方根叫做 的算术平方根；0 的算术平方根是 0 1 ≥ 0 ( ≥ 0) 2 ()² = ③ = || ● 关键点 ● 只有非负数（≥ 0）才有平方根和算术平方根。 ● 本身是一个非负数。 ● 平方与开平方是互逆运算。 ▸ （二）立方根 概念 定义 表示方法 性质 立方根 若 x³ = ，则 x 叫做 的立方根（三次方根） 1 正数的立方根是正数 2 负数的立方根是负数 ③ 0 的立方根是 0 ● 关键点 ● 任何实数都有且仅有一个立方根。 ● 立方根的符号与被开方数的符号相同。 ● 立方与开立方是互逆运算。 ● ()³ = ， = 。 ◆ 三、例题讲解 ▸ 知识点1：求一个数的平方根和算术平方根 ● 例1（基础） 求下列各数的平方根和算术平方根： (1) 25 (2) 0.04 (3) (4) 0 【解】 (1) ∵ (±5)² = 25 ∴ 25 的平方根是 ±5，算术平方根是 5 即 ± = ±5， = 5 (2) ∵ (±0.2)² = 0.04 ∴ 0.04 的平方根是 ±0.2，算术平方根是 0.2 (3) ∵ (± )² = ∴ 9/16 的平方根是 ±3/4，算术平方根是 3/4 (4) 0 的平方根是 0，算术平方根也是 0 ● 例2（进阶） 下列说法正确的是（ ） A. -4 是 16 的平方根 B. 16 的平方根是 -4 C. -4 是 (-4)² 的算术平方根 D. 4 是 (-4)² 的负的平方根 【解】 A. ∵ (-4)² = 16，∴ -4 是 16 的平方根，正确。 B. 16 的平方根是 ±4，错误。 C. (-4)² = 16，16 的算术平方根是 4，不是 -4，错误。 D. (-4)² = 16，16 的负的平方根是 -4，不是 4，错误。 故选 A。 ● 例3（易错点） 若 = 3，则 x = ______；若 = -x，则 x = ______。 【解】 第一空：两边平方得 x - 2 = 9，∴ x = 11。 第二空：∵ ≥ 0，且 = -x，∴ -x ≥ 0 即 x ≤ 0。 又∵ 被开方数 x ≥ 0，∴ x = 0。 ▸ 知识点2：利用平方根的性质求值 ● 例4（基础） 已知 2 - 1 的平方根是 ±3，3 + b - 1 的算术平方根是 4，求 + 2b 的值。 【解】 ∵ 2 - 1 的平方根是 ±3 ∴ 2 - 1 = (±3)² = 9 解得 2 = 10， = 5 ∵ 3 + b - 1 的算术平方根是 4 ∴ 3 + b - 1 = 4² = 16 把 = 5 代入得：3×5 + b - 1 = 16，解得 b = 2 ∴ + 2b = 5 + 2×2 = 9 ● 例5（进阶） 若 | - 3| + = 0，求 的值。 【解】 ∵ | - 3| ≥ 0， ≥ 0， | - 3| + = 0 ∴ - 3 = 0 且 b - 2 = 0 解得 = 3，b = 2 ∴ = = 9 ▸ 知识点3：求一个数的立方根 ● 例6（基础） 求下列各数的立方根： (1) -8 (2) 27 (3) 0.125 (4) -1/64 (5) 0 【解】 (1) ∵ (-2)³ = -8，∴ = -2 (2) ∵ 3³ = 27，∴ = 3 (3) ∵ 0.5³ = 0.125，∴ = 0.5 (4) ∵ ()³ = ，∴ = (5) = 0 ● 例7（进阶） 下列说法正确的是（ ） A. = ±2 B. -9 的立方根是 -3 C. 负数没有立方根 D. = -2 【解】 A. = 2（算术平方根），错误。 B. (-3)³ = -27 ≠ -9，错误。 C. 负数有立方根，错误。 D. = -2，正确。故选 D。 ▸ 知识点4：利用立方根的性质求值 ● 例8（基础） 若 = -2，则 x = ______；若 = 2，则 x = ______。 【解】 第一空：两边立方得 x = (-2)³ = -8。 第二空：两边立方得 x - 1 = 2³ = 8，∴ x = 9。 ● 例9（进阶） 已知 + = 0（≠0），求 的值。 【解】 ∵ = - = ∴ 2 - 1 = 3b - 1 即 2 = 3b ∴ = ▸ 综合应用 ● 例10（综合） 计算： (1) + (2) - 【解】 (1) 原式 = + (-4) = 3 - 4 = -1 (2) 原式 = - (-) = + = ◆ 四、课堂练习 学生独立完成，教师巡视指导。 ▸ （一）平方根与算术平方根 1.（基础）判断下列说法是否正确，错误的请说明理由： (1) 0.09 是 0.3 的平方根。（ ） (2) 的平方根是 ±4。（ ） (3) 任何数的算术平方根都是正数。（ ） (4) (-5)² 的算术平方根是 -5。（ ） 【答案】(1)错误 (2)错误 (3)错误 (4)错误 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根等知识点，掌握平方根和算术平方根的区别和联系是解题的关键． （1）0.09的平方根是，据此即可判断； （2）=4，4的平方根是，，据此即可判断； （3）根据零的算术平方根是零，零的平方根也是零，据此即可判断 （4）=25.25的算术平方根是5.据此即可判断． 2.（基础）填空： (1) 121 的平方根是 ______，= ______。 (2) 的算术平方根是 ______。 (3) 若 = 7，则 x = ______；若 x² = 49，则 x = ______。 (4) 若 = 3，则 = ______。 【答案】 【分析】根据算术平方根、平方根的定义进行解答即可； 3.（进阶）若 |x-4| + = 0，求 的值。 【答案】 【分析】根据非负数的性质即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得． ∴， 4. （进阶）已知的小数部分为a，的小数部分为b，计算a＋b的值。 【详解】∵，∴． ∴的整数部分为4，小数部分为． ∵，∴． ∴的整数部分为2，小数部分． ∴． ▸ （二）立方根 5.（基础）填空： (1) = ______， = ______。 (2) 若 = -3，则 x = ______。 (3) = ______。 【答案】 - 【分析】根据立方根的定义进行解答即可； 6.（进阶）若 = ，求 x 的值。 【答案】. 【分析】根据题意得到＋＝0求得x数量关系,然后将其代入所求的代数式进行求值即可. 【详解】由题意，得＋＝0，x＝ 【点睛】本题考查了立方根.解题的关键是掌握：如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数． ◆ 五、课堂小结 1. 回顾主要内容： ① 平方根、算术平方根、立方根的定义、表示方法和性质。 ② 平方与开平方、立方与开立方的互逆关系。 ③ 重要公式：()² = ， = || ④ 利用非负数的性质解决问题。 2. 易混易错点提醒： ① 平方根与算术平方根的区别与联系。 ② 负数没有平方根但有立方根。 ③ = || 与 = 的区别。 ④ 被开方数的取值范围。 ◆ 六、课后作业（建议 20 分钟完成） ▸ （一）基础巩固 1.判断题 (1)是5的一个平方根； (2)的算术平方根是； (3)的平方根是； (4)0的平方根与算术平方根都是0． 【答案】(1)正确 (2)错误 (3)错误 (4)正确 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根等知识点，掌握平方根和算术平方根的区别和联系是解题的关键． （1）5的平方根是，据此即可判断； （2）根据算术平方根是正的平方根，据此即可判断； （3）根据平方根的定义即可判断； （4）根据零的算术平方根是零，零的平方根也是零，据此即可判断． 【详解】（1）解：∵5的平方根是， ∴是5的一个平方根是正确的． （2）解：的算术平方根是3，故原说法错误． （3）解：的平方根是，故原说法错误． （4）解：由零的算术平方根是零，零的平方根也是零，故原说法正确． 2. 填空 （1）是_____的负平方根． （2）表示_____的算术平方根，_____． （3）的算术平方根为_____． （4）若，则_____，若，则_____． 【答案】 16 9 【分析】根据算术平方根、平方根的定义进行解答即可； 【详解】． （1）是__16___的负平方根． （2）表示_____的算术平方根，____． （3）的算术平方根为_____． （4）若，则___9__，若，则___±3__ 故答案为：（1）16；（2） （3） （4） 9；±3 3. 选择： ①下列说法正确的是（    ） A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B．一个数的立方根不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．一个不为0的数的立方根和这个数同号 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．根据立方根的定义及性质即可解答． 【详解】解：A、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或，故错误； B、一个数的立方根不是正数就是负数，错误；还有0； C、负数有立方根，故错误； D、一个不为0的数的立方根和这个数同号，正确； 故选：D． ②若，则实数a在数轴上的对应点一定在（） A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点或原点左侧 D．原点或原点右侧 【答案】C 【分析】本题考查平方根和绝对值的性质，数轴上表示点，掌握知识点是解题的关键． 根据平方根和绝对值的性质，将方程转化为绝对值方程，再根据非正数的绝对值是它的相反数，得出的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴实数在数轴上的对应点在原点或原点左侧． 故选：C． 4. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）先计算绝对值、立方根、乘方，再算加减法即可； （2）分别计算各项的值，再进行减法运算即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▸ （二）能力提升 5. 已知实数a、b、c、d、m，若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求的平方根． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的混合运算． 直接利用互为相反数以及倒数和绝对值的性质得出代数式的值，再利用平方根的意义进而得出答案． 【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根为． 6．若实数满足． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据非负数的性质即可求解； （）根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴， ∴． 7．已知，，为实数，且，求的值 【答案】 【分析】根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求解、、，再代入求值即可． 【详解】解： ， ，，， ，，， ． 8．已知一个正数x的两个平方根分别是和，求这个正数的立方根． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与立方根，解题的关键是熟练掌握求一个数的立方根及平方根；因此此题可先根据平方根求出a的值，然后再进行求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， ∴这个正数的立方根为． 9．已知与互为相反数，求的值. 【答案】3. 【分析】根据题意得到(1－2x)＋(3y－2)＝0求得x、y的数量关系,然后将其代入所求的代数式进行求值即可. 【详解】由题意，得(1－2x)＋(3y－2)＝0，整理得1＋2x＝3y.所以＝3. 【点睛】本题考查了立方根.解题的关键是掌握：如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数． ▸ （三）拓展探究（选做） 10．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)请根据以上规律写出第个等式（为正整数），并证明； (2)请应用以上的运算规律计算：． 【答案】(1)，证明见解析 (2)或 【分析】本题考查了数字的变化-规律型，观察数字的变化，找出变化规律是解题的关键． （1）观察式子，可得第个等式为，然后利用二次根式的性质进行化简证明即可； （2）根据题中运算规律直接计算即可． 【详解】（1）解：第个等式：，证明如下： 法一：左边 右边； 法二：左边 右边． （2）解：原式 或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $