广东省东莞市2024-2025学年高二下学期期末质量检查数学试题

2024-2025学年度第二学期教学质量检查 高二数学 一、单项选择愿：本大愿共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合愿目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑。 1,函数y=s咖x在x=处的导数等于 6 人月 BR月 c-5 1 D V5 2 2.已知随机变量X~N(4,c2),且P(X22)=P(X≤8)，则P(X25)= A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 3。树人中学高二年级举办古诗词比赛，所有同学均可自愿报名参加。某学习小组有6名同学， 其中甲、乙两位同学决定要么都去，要么都不去，则该学习小组不同的报名情况总数是 A.64 B.32 C.31 D.16 4.记试验的样本空间0=化，2345，事件4=124，B=135列，则P(4回= 2 3 0 1 C. n 5.如图，直线y=:+m与曲线y=f()相切于点P,则函数g)=f)-女在(-1，)上的极值 点的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 6.如图，一质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次向左或向右移动一个单位长度，向 左移动的概率为子，向右移动的瓶率为}，共移动4次，则该质点位于原点右侧的版率为 54321012345 13 27 C. 189 D. 256 256 7.1+2x+x)0-x)°的展开式中x的系数为 A.495 B.375 C.135 D.15 8.已知函数f(x)=e-血(x+m),若f(x)>0恒成立，则整数m的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.请把正确选项在答 题卡中的相应位置涂黑。 高二数学第1页（共4页） 9.(:-的展开式中，下列说法正确的是 A.展开式共有7项 B.常数项为20 C.第二项与第四项的二项式系数相等 D.各项系数之和为0 10.根据分类变量x与y的成对样本数据，提出零假设H。,并计算得到x2=2.974,则下列说 法正确的是 n(ad-bc) a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 附：X2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.零假设为H。:分类变量x与y独立 B.根据小概率值α=0.1的x独立性检验，可以认为x与y不独立，这个结论犯错误的概率不 超过0.1 C.根据小概率值a=0.01的x独立性检验，可以认为x与y不独立，这个结论犯错误的概率 不超过0.01 D.若所有样本数据都扩大为原来的10倍，根据小概率值a=0.01的y独立性检验，可以认为 x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 11.已知f(x)为R上的偶函数，f)=0,f(x)为f(x)的导函数，且当x<0时， 3fx)+对()<0，则 A.当x<-1时，f(x)<0 B.f0>0 c.f2)>8f(4) D.f月<f安 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分请把答案填在答题卡的相应位置上 12.已知C=,那么n= 13.已知函数f问)=-x+二，若f)在(0，+切∞)上单调递增，则实数a的取值范围为 14.有6张卡片，正面分别写有数字1,2,3,4,5,6，背面均写有数字7.先把这些卡片正 面朝上排成一排，且第1个位置上的卡片恰好写有数字(=1,2,3,4,5,6)，然后掷一枚质地均匀的 般子，若向上点数为：，则将第m个位置上的卡片粗面并置于原处。进行上述实验3次，发现卡 片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，计算骰子恰有一次点数为3的概率为一 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内， 超出指定区域的答案无效 15.(本小题满分13分) ■ 已知函数fx)=x3-2m2+a2x+4. (1)当a=1时，求曲线y=f()在么，∫)处的切线方程： (2)若2是f)的极小值点，求a及函数f八)的极值 高二数学第2页（共4页） 16.(本小题满分15分) 在科技日新月异的今天，无人驾驶网约车正逐渐成为出行领域的新瓷，根据统计数据显示，某区 域过去5天的订单数如下： 日期x(天) 2 订单数y(件) 13 2145 55 66 为了进一步了解订单数的变化情况，甲乙两个数学学习小组分别进行了研究， (1)甲小组决定用线性回归模型进行拟合，求此时y关于x的经验回归方程少=x+a: (2)乙小组采用非线性回归模型进行拟合，求得y关于x的经验回归方程为少=7.42+34山x， 并计算出决定系数R2=0.9276, ①根据回归模型的决定系数，说明哪个小组的模型拟合效果更好： ②用①中选择的模型预测该区域第10天的订单数（结果保留整数）， g-0-习-两 20,- 附：6= à=-旅：决定系数R2=1- 24- 20- 参考数据： h10≈2.30 17.(本小题满分15分) 近年来，轻食作为餐饮的一种创新形态，广受消费者青睐某公司为了获得轻食消费者行为数据， 对一地区消费者进行抽样调查.统计其中300名消费者（表中3个年襟段的人数各100人）食用轻 食的频数与年龄得到如下的频数分布表 年龄 25岁以下 25岁到50岁 50岁及以上 食用频数 (K2 [25,50) e50) 轻食低频消费者（每周s1次） 5 35 0 轻食中频消费者（每周2-3次） 55 45 40 轻食高频消费者（每周46次及以上） 30 20 10 (1)已知该地区25岁以下、25岁到50岁、50岁及以上三个年龄段的人数比例为3：6：1，用频 率估计概率，求从该地区随机抽取一人，其为高频消费者的概率， (2)从以上样本的轻食高频消费者（每周46次及以上）中，采用按比例分配的分层随机抽样抽 取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中年静在25岁以下与25岁到50岁的人数分别为X, Y,记5=X-,求5的分布列与期望 高二数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已脚番数子限间 (1)讨论f(x)的单调性： (2)若方程f(x)=1有两根，求a的取值范围； (3)证明：当a21时，fx)2aer-ehx. 19.(本小题满分17分) 现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品合格的概率均为P在某次抽样中，经统计 抽取的100件产品中，恰有98件合格品。 (1)以频率估计概率，若从该批产品中再抽取10件，记合格品的数量为X,求X的期望E(): (2)在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取 值.设X为与未知参数m有关的离散型随机变量，其中m的取值范围为S,若对已知结果X=k, 存在m∈S,且对任意m∈S,有PX=m=m)≥PX=m=m)成立，则称m,为m 的一个极大似然估计值. ①请根据此次抽样，求P的极大似然估计值乃， ②在实际操作中往往采用多次独立抽样来求参数的极大似然估计值，现对该批产品进行m次独立 抽样，每次从中抽取：个产品，记录合格品数分别对应为人，片，，k。,请根据这m次独立抽 样结果，求P的极大似然估计值A, 高二数学第4页（共4页）2024一2025学年度第二学期教学质量检查 高二数学参考答案 单项选绎题 题号 1 2 5 6 7 8 答案 D C B A B A D B 二、多项选择题（全部选对的得6分，选对但不全的部分得分，有选错的得0分） 腮号 9 10 11 答案 AD ABD ACD 三、填空题 12.4 1.( 1-3 14. 四、解答题 15.解：(1)当a=1时，fx)=x3-2x2+x+4,则f0)=4,.1分 又f(x)=3x2-4x+1,则f)=0,.3分 即曲线y=f(x)在Q,f1)处的切线斜率k=0, .4分 故y=f(x)在L,f)》处的切线方程为y=4,5分 (2)法一：f(x)=3x2-4+a2=(x-am)3x-ad, 6分 令f)=0,得x=或a,… 7分 显然a>0,则号<a,… 8分 当x<号或r>a时f)>0,当号x<a时，f<0, a .10分 则x=a时f(x)取极小值，即a=2, .11分 此时f(x)=x3-4x2+4x+4, 则)的极大值为/学=孕=9 27 …12分 极小值为f(@）=f(2)=413分 法二：f(x）=3x2-4m+a2,6分 :2是f()的极小值点，则∫(2)=12-8a+a2=0,得a=2或6，…7分 若a=6时，f(x)=x3-12x2+36x+4,f(x)=3x2-24x+36=3(x-2)(x-6).8分 则当x<2或x>6时，f()>0,当2<x<6时，f(x)<0, 此时2是f(x)的极大值点，不符合愿意，舍去.9分 若a=2时，f(x)=x3-4x2+4x+4,f(x)=3x2-8x+4=(3x-2)x-2）,……10分 则当<或>2时，了>0，当号<2时，了<0,1分 故2是(x)的极小值点，符合题意， 此时极小值为®=4，极大值为得-” 27 12分 综上所述，a=2,且fx)的极小值为f2)=4, 极大值为= -27 …13分 15.解(1)由题可知： x=1+2+3+4+5 -3 …1分 5 =13+21+45+55+66 40 2分 6现列 5 140 10 14, .5分 ∑(x-) à=y-bx=40-14×3=-2, 6分 ∴.y关于x的回归方程为9=14x-2 .7分 (2)①由(1)知y=14x-2,从而有 …8分 12345 1226405468 20-》=03-12+01-20+5-407+65-50+6-6网=1+25+25+1+456 .10分 =Q3-40+21-40P+(45-40+65-40+6-40206 y-) R2=1-曰 =1 56 ≈1-0.0278=0.9722 .12分 20,-列 2016 0.9722>0.9276,从R2来看甲小组的线性回归模型拟合效果更好13分 ②当x=10时，少=14×10-2=13814分 .顶测第10天的订单数为138件.………15分 17.(1)记从该地区中任抽一人，其年龄在25岁以下、25岁到50岁、50岁及以上分别为事件 4山4，其为高频消资者为事件B.测P(4)-品P4)-子P(4)0 2分 由表中数据估计概率P(到A)高P(4)子P(@A)。…4分 所以到=4)P国4+)P4)+4)P国4)-品号品-06分 即从该地区中任抽一人，其为高频消费者的概率为号 7分 (2)由表知，利用分层抽样的方法抽取的6人中，年龄在25岁以下与25岁到50岁的人数分别 为3和2，依题意，5的所有可能取值分别为01、23 9分 所以P5=0)=PX=l,r=)=CC=3 C10 10分 P(5-D-P(X-2.Y-1)+P(X-1.Y-2)-CCCC_9 十 C 20 .11分 P5=2)=Px=2,Y=0)+PX=0,Y=2)= C 5 12分 P(5=3)=P(X=3,Y=0)= 1 20 13分 所以专的分布列为：… 14分 5 1 2 3 9 1 10 20 20 9 所以5的数学期望为E(5)=0× +1× -+2×二+3× 10 20 5 20 =1.15分 18解：(1)f=ae,r-e_ar-1e x2 x2 1分 当as0时，f'(x)≤0，f(x)在(0，+0)单调递减： .2分 当a>0时，令f)>0,得x>,f)单调递增： 3分 令f田<0，得0<x<,f)单调递减 4分 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，+o)单调递减： 当a>0时，f)）在(0分单调递减，在合+o)单调递增5分 (2)由(1)知，当a≤0时，方程f(x)=1最多一根，故a>06分 因为当a>0时，fx)在(0，之)单调递减，在（二+）单调递增， 7分 x→0，f(x→+o0,且x→+0，f()→+0，… 8分 放要使方程f（()=1有两根，则f（白<1,9分 即ae<1,得a< 4……10分 故a的取值范围为 0 …11分 (3)法一要证之ae-elnx,即e之ehe-elnx=ene 12分 令1=e,则只需证t≥elnt,13分 当0<1≤1时，hl≤0，上式显然成立；14分 现证当t>1时上式成立： 由(1)知，e≥f凸)=ae.取a=1,即得e≥ex=elhe2.16分 取t=e>1,即可得1≥ent,即得证 17分 法二：要证e之aer-enx,即e之elhe“-elnr=en 12分 令t=e二，则只需证12elnt, .13分 r 令80=t-elnt,g'(0=1-g …14分 当t∈(0，e)时，g(t)<0,g()单调递减： 当1∈(e,+w)时，g(0>0,g(0单调递增： 15分 由()知，之白=e,则1≥e2e 16分 故g()之g(e)=0,即t≥ent,得证 …17分 9849 49 19.解：(1)估计合格率p= ， 则X~Bn, 1分 10050 50 E0=m=10.49-49 050=5 .3分 (2)①从这批产品中抽取100件产品，记合格品的数量为X,则X一B(100,P）,…4分 所以P(X=98)=C%p%1-p)2,设f(p)=C%pQ-p). 5分 f'(p）=C[98p71-p)-2p0-p=C%p70-p(98-100p）6分 因为0≤p31,当P<时了p)>0,/p)在(0，铝上位单调递增函数 7分 当行5p≤1时∫(p)<0,p)在(D上位单调莲减函数，3 50 所以当P-铝时，心有最大值。即P的服大以装估计整为肌， 49 9分 50 ②X~Bn,p),则P(X=k)=CpQ-p)-,i=1,2,3,m …10分 设： g(p)=P(=k)P(=k).P(=k)=C ph(1-p)C p-p)"cp1-p) .11分 两边同时取自然对数并整理得： ng)-nc+knp+a-kh-p]-2血c)r空hp+m-2ha-p刊 .12分 (p)-mg(p)-(inc:)+kup+m-mQ-p) G(p)= 13分 1-p p1-p) 6 G(p)=02p= ，p∈0， 时，G'(p)>0,此时G(p)单调递增， 12 112 k pe 1时，G(p)<0,此时G(p)单调递减， 1 15分 所以 p=- k时，G(p)=hgp)最大，此时g)取得最大值.16分 n 因此，P的极大似然估计值为 17分 1102