【10年压轴题】2016-2025年重庆市选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年重庆市选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2025•重庆）已知整式M：a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，其中a0为自然数，n，a1，a2，⋯，an为正整数，且a0+a1+⋯+an＝4．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当n＝3时，满足条件的所有整式M的和为4x3+4x2+4x+1； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024•重庆）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+⋯+a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+⋯+a1+a0＝5．下列说法： ①满足条件的整式M中有5个整式是单项式； ②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且仅有3个； ③满足条件的整式M共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2023•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号（x，y，z，m，n均不为零），加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…． 下列说法： ①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，AO⊥AD，AO＝AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE＝4CE．反比例函数y（x＞0）的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若S△EOF，则k的值为（　　） A． B． C．7 D． 6．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 7．（2019•重庆）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连接AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（　　） A． B． C． D． 8．（2018•重庆）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2 9．（2017•重庆）若数a使关于x的分式方程4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 10．（2016•重庆）从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C． D． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•重庆）我们规定：一个四位数M，若满足a+b＝c+d＝10，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为1+9＝2+8＝10，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是　 　 ；一个“十全数”M，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数M'，记F（M），G（M）.若与均是整数，则满足条件的M的值是　 　 ． 12．（2024•重庆）我们规定：若一个正整数A能写成m2﹣n，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成m2﹣n的过程，称为“方减分解”．例如：因为602＝252﹣23，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成602＝252﹣23的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 　 　 ．把一个“方减数”A进行“方减分解”，即A＝m2﹣n，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且2m+n＝k2（k为整数），则满足条件的正整数A为 　 　 ． 13．（2023•重庆）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41﹣12＝29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53﹣32＝21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为 　 　 ；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是 　 　 ． 14．（2022•重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5：6：7，需香樟数量之比为4：3：9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2：3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 　 　 ． 15．（2021•重庆）某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售额占六月份销售总额的，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为　 　 ． 16．（2020•重庆）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是　 　 ． 17．（2019•重庆）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收入．经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4：3：5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3：4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是　 　 ． 18．（2018•重庆）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A，B，C三种粗粮的成本价之和．已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%．若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是　 　 ．（商品的利润率100%） 19．（2017•重庆）如图，正方形ABCD中，AD＝4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EMN的周长是　 　 ． 20．（2016•重庆）正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE．则四边形ABFE′的面积是　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•重庆）在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与端点重合），连接AD．将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接DE． （1）如图1，α＝∠BAC＝60°，∠CAE＝20°，求∠ADB的度数； （2）如图2，α＝∠BAC＝90°，BD＜CD，过点D作DG⊥BC，DG交CA的延长线于G，连接BG．点F是DE的中点，点H是BG的中点，连接FH，CF．用等式表示线段FH与CF的数量关系并证明； （3）如图3，∠BAC＝120°，α＝60°，AB＝8，连接BE，CE．点D从点B移动到点C过程中，将BE绕点B逆时针旋转60°得线段BM，连接EM，作MN⊥CA交CA的延长线于点N．当CE取最小值时，在直线AB上取一点P，连接PE，将△APE沿PE所在直线翻折到△ABC所在的平面内，得△QPE，连接BQ，MQ，NQ，当BQ取最大值时，请直接写出△MNQ的面积． 22．（2024•重庆）在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（点D不与端点重合）．点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE．在直线AD上取一点F，使∠EFD＝∠BAC，直线EF与直线AC交于点G． （1）如图1，若∠BAC＝60°，BD＜CD，∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）； （2）如图1，若∠BAC＝60°，BD＜CD，用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明； （3）如图2，若∠BAC＝90°，点D从点B移动到点C的过程中，连接AE，当△AEG为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 23．（2023•重庆）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD． （1）如图1，若AC＝9，BD，求线段AD的长； （2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF+BE； （3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM．连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时的值． 24．（2022•重庆）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F． （1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数； （2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）若AB＝AC，且BD＝AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出的值． 25．（2021•重庆）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°． （1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长； （2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出的值． 26．（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF． （1）求证：CFAD； （2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长． 27．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． （1）连接BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FPPC的最小值； （2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FPPC取得最小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连接AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（2018•重庆）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）． （1）求线段AB的长； （2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HFFO的最小值； （3）在（2）中，PH+HFFO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由． 29．（2017•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上． （1）求直线AE的解析式； （2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值； （3）点G是线段CE的中点，将抛物线yx2x沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（2016•重庆）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长； （3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由． 【10年压轴题】2016-2025年重庆市选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D A B B C A B 一．选择题（共10小题） 1．（2025•重庆）已知整式M：a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，其中a0为自然数，n，a1，a2，⋯，an为正整数，且a0+a1+⋯+an＝4．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当n＝3时，满足条件的所有整式M的和为4x3+4x2+4x+1； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：当n＝1时，a0+a1＝4， 当a0＝0，a1＝4时，整式M为4x， 当a0＞0时，整式M不可能为单项式， 当n＞1时， ∵a1，a2，…，an为正整数， ∴整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当n＝3时，a0+a1+a2+a3＝4， 当a0＝0时，a1+a2+a3＝4， 则a1，a2，a3中有一个可能为2，故会有三种情况，对应的整式M为x+x2+2x3，x+2x2+x3，2x+x2+x3， 当a0＝1时，a1+a2+a3＝3， 则a1＝a2＝a3＝1，故会有一种情况，对应的整式M为1+x+x2+x3， 当a0＞1时，a1+a2+a3＜3，与a1，a2，…，an为正整数矛盾，故不存在， ∴满足条件的所有整式M的和为5x3+5x2+5x+1，故②错误； ∵多项式为二次三项式， ∴n＝2， ∴a0+a1+a2＝4， 因为多项式为三项式，故a0≠0， 当a0＝1时，a1+a2＝3， 则有1+x+2x2，1+2x+x2两种， ∵1+x+2x2＝2（x，1+2x+x2＝（x+1）2＞0， ∴1+x+2x2，1+2x+x2两种都满足条件， 当a0＝2时，a1+a2＝2， 则有2+x+x2﹣一种， ∵， ∴2+x+x2满足条件， 当a0＞2时，a1+a2＜2与a1，a2，…，an为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是2个， 故选：C． 2．（2024•重庆）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+⋯+a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+⋯+a1+a0＝5．下列说法： ①满足条件的整式M中有5个整式是单项式； ②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且仅有3个； ③满足条件的整式M共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：∵n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+⋯+a1+a0＝5， ∴0≤n≤4， 当n＝4时，则4+a4+a3+a2+a1+a0＝5， ∴a4＝1，a3＝a2＝a1＝a0＝0， 满足条件的整式有x4， 当n＝3时，则3+a3+a2+a1+a0＝5， ∴（a3，a2，a1，a0）＝（2，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1）， 满足条件的整式有：2x3，x3+x2，x3+x，x3+1， 当n＝2时，则2+a2+a1+a0＝5， ∴（a2，a1，a0）＝（3，0，0），（2，1，0），（2，0，1），（1，2，0），（1，0，2），（1，1，1）， 满足条件的整式有：3x2，2x2+x，2x2+1，x2+2x，x2+2，x2+x+1； 当n＝1时，则1+a1+a0＝5， ∴（a1，a0）＝（4，0），（3，1），（1，3），（2，2）， 满足条件的整式有：4x，3x+1，x+3，2x+2； 当n＝0时，0+a0＝5， 满足条件的整式有：5； ∴满足条件的单项式有：x4，2x3，3x2，4x，5，故①符合题意； 不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个，故②符合题意； 满足条件的整式M共有1+4+6+4+1＝16个，故③符合题意； 故选：D． 3．（2023•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故说法①正确． 要使其运算结果与原多项式之和为0，则运算结果应为﹣x+y+z+m+n， 由x＞y＞z＞m＞n可知，无论怎样添加绝对值符号，结果都不可能出现﹣x+y+z+m+n，故说法②正确． 当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n；x﹣|y﹣z|﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；x﹣y﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是|x﹣y|﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n；x﹣|y﹣z|﹣|m﹣n|＝x﹣y+z﹣m+n．共有7种情况； 有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意． 故选：C． 4．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号（x，y，z，m，n均不为零），加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…． 下列说法： ①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，与原式相等， 故①正确； ②∵在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，无法改变x，y的符号， 故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； 故②正确； ③在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，加括号后只有加减两种运算， ∴2×2×2＝8种， 所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果． 故选：D． 5．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，AO⊥AD，AO＝AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE＝4CE．反比例函数y（x＞0）的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若S△EOF，则k的值为（　　） A． B． C．7 D． 【解答】解：延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，如图， ∵AB∥x轴，AE⊥CD，AB∥CD， ∴AG⊥x轴． ∵AO⊥AD， ∴∠DAE+∠OAG＝90°． ∵AE⊥CD， ∴∠DAE+∠D＝90°． ∴∠D＝∠OAG． 在△DAE和△AOG中， ． ∴△DAE≌△AOG（AAS）． ∴DE＝AG，AE＝OG． ∵四边形ABCD是菱形，DE＝4CE， ∴AD＝CDDE． 设DE＝4a，则AD＝OA＝5a． ∴OG＝AE． ∴EG＝AE+AG＝7a． ∴E（3a，7a）． ∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点E， ∴k＝21a2． ∵AG⊥GH，FH⊥GH，AF⊥AG， ∴四边形AGHF为矩形． ∴HF＝AG＝4a． ∵点F在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴x． ∴F（）． ∴OHa，FH＝4a． ∴GH＝OH﹣OG． ∵S△OEF＝S△OEG+S梯形EGHF﹣S△OFH，S△EOF， ∴． ． 解得：a2． ∴k＝21a2＝21． 故选：A． 6．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 【解答】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M． ∵AN∥FM，AF＝FE， ∴MN＝ME， ∴FMAN， ∵A，F在反比例函数的图象上， ∴S△AON＝S△FOM， ∴•ON•AN•OM•FM， ∴ONOM， ∴ON＝MN＝EM， ∴MEOE， ∴S△FMES△FOE， ∵AD平分∠OAE， ∴∠OAD＝∠EAD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE， ∴AE∥BD， ∴S△ABE＝S△AOE， ∴S△AOE＝18， ∵AF＝EF， ∴S△EOFS△AOE＝9， ∴S△FMES△EOF＝3， ∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6， ∴k＝12． 故选：B． 7．（2019•重庆）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连接AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H， ∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点， ∴DC＝AD＝2， 由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'， ∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M， ∴AD＝AC′＝DC'＝2， ∴△ADC'为等边三角形， ∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°， ∵DC＝DC'， ∴∠DCC'＝∠DC'C60°＝30°， 在Rt△C'DM中， ∠DC'C＝30°，DC'＝2， ∴DM＝1，C'MDM， ∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2， 在Rt△BMC'中， BC'， ∵S△BDC'BC'•DHBD•CM， ∴DH＝3， ∴DH， 故选：B． 8．（2018•重庆）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2 【解答】解：， 不等式组整理得：， 由不等式组有且只有四个整数解，得到01， 解得：﹣2＜a≤2，即整数a＝﹣1，0，1，2， 2， 分式方程去分母得：y+a﹣2a＝2（y﹣1）， 解得：y＝2﹣a， 由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为﹣1，0，2，之和为1． 故选：C． 9．（2017•重庆）若数a使关于x的分式方程4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【解答】解：分式方程4的解为x且x≠1， ∵关于x的分式方程4的解为正数， ∴0且1， ∴a＜6且a≠2． ， 解不等式①得：y＜﹣2； 解不等式②得：y≤a． ∵关于y的不等式组的解集为y＜﹣2， ∴a≥﹣2． ∴﹣2≤a＜6且a≠2． ∵a为整数， ∴a＝﹣2、﹣1、0、1、3、4、5， （﹣2）+（﹣1）+0+1+3+4+5＝10． 故选：A． 10．（2016•重庆）从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C． D． 【解答】解：解得， ∵不等式组无解， ∴a≤1， 解方程1得x， ∵x为整数，a≤1， ∴a＝﹣3或1或﹣1， ∵a＝﹣1时，原分式方程无解，故将a＝﹣1舍去， ∴所有满足条件的a的值之和是﹣2， 故选：B． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•重庆）我们规定：一个四位数M，若满足a+b＝c+d＝10，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为1+9＝2+8＝10，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是　1919　 ；一个“十全数”M，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数M'，记F（M），G（M）.若与均是整数，则满足条件的M的值是　3782　 ． 【解答】解：设四位数M， 要求最小的“十全数”， ∴a＝1，c＝1， ∴b＝10﹣1＝9，d＝10﹣1＝9， ∴最小的“十全数”是1919； ∵一个“十全数”M， ∴a+b＝c+d＝10， ∴b＝10﹣a，d＝10﹣c， ∴M1000a+100（10﹣a）+10c+10﹣c＝900a+9c+1010， ∴M'1000（10﹣c）+100c+10（10﹣a）+a＝﹣9a﹣900c+10100， ∴F（M）a+c﹣10 ∴G（M）81a﹣81c+10104 ∴ ， ∴， ∵与均是整数， ∴与均是整数， ∴7a+c﹣3能被13整除，8a+8c﹣3能被17整除， ∵1≤a≤9，1≤c≤9， ∴7≤7a≤63，﹣2≤c﹣3≤6， ∴5≤7a+c﹣3≤69， ∴7a+c﹣3的值可以为13，26，39，52，65， ∴依次代入可得，当a＝3，c＝8时，2，均是整数，符合题意， ∴b＝10﹣a＝7，d＝10﹣c＝2， ∴满足条件的M的值是3782． 故答案为：1919，3782． 12．（2024•重庆）我们规定：若一个正整数A能写成m2﹣n，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成m2﹣n的过程，称为“方减分解”．例如：因为602＝252﹣23，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成602＝252﹣23的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 　82　 ．把一个“方减数”A进行“方减分解”，即A＝m2﹣n，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且2m+n＝k2（k为整数），则满足条件的正整数A为 　4564　 ． 【解答】解：①设m＝10a+b，则n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8）， 由题意得：m2﹣n＝（10a+b）2﹣（10a+8﹣b）， ∵1≤a≤9， ∴要使“方减数”最小，需a＝1， ∴m＝10+b，n＝18﹣b， ∴m2﹣n＝（10+b）2﹣（18﹣b）＝100+20b+b2﹣18+b＝82+b2+21b， 当b＝0时，m2﹣n 最小为82； ②设m＝10a+b，则n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8）， ∴B＝1000a+100b+10a+8﹣b＝1010a+99b+8， ∵B除以19余数为1， ∴1010a+99b+7能被19整除， ∴53a+5b 为整数， 又 2m+n＝k2 （k为整数）， ∴2（10a+b）+10a+8﹣b＝30a+b+8是完全平方数， ∵1≤a≤9，0≤b≤8， ∴38≤30a+b+8≤286， ∴7≤k≤16， 设3a+4b+7＝19t，t为正整数，则1≤t≤3， （Ⅰ） 当t＝1时，3a+4b＝12，则b＝3a，30a+b+8＝30a+3a+8是完全平方数， 又1≤a≤9，0≤b≤8，此时无整数解， （Ⅱ）当t＝2时，3a+4b＝31，则b，30a+b+8＝30a8是完全平方数， 又1≤a≤9，0≤b≤8，此时无整数解， （Ⅲ）当t＝3时，3a+4b＝50，则， 是完全平方数， 若a＝6，b＝8，则3a+4b+7＝57＝19×3，30×6+8+8＝196＝142， ∴t＝3，k＝14， 此时m＝10a+8＝68，n＝10a+8﹣b＝60， ∴A＝682﹣60＝4564， 故答案为：82，4564． 13．（2023•重庆）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41﹣12＝29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53﹣32＝21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为 　4312　 ；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是 　8165　 ． 【解答】解：由题意可得10a+3﹣31＝12， 解得a＝4， ∴这个数为4312， 由题意可得，10a+b﹣（10b+c）＝10c+d， 整理，可得10a﹣9b﹣11c＝d， 一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和为： 100a+10b+c+100b+10c+d ＝100a+10b+c+100b+10c+10a﹣9b﹣11c ＝110a+101b ＝99（a+b）+11a+2b， 又∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除， ∴是整数，且a≠b≠c≠d，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，0≤d≤9， a＝9时，原四位数可得最大值，此时b只能取0，不符合题意，舍去， 当a＝8时，b＝1，此时71﹣11c＝d， c取9或8或7时，均不符合题意， 当c取6时，d＝5， ∴满足条件的数的最大值是8165， 故答案为：4312；8165． 14．（2022•重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5：6：7，需香樟数量之比为4：3：9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2：3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 　　 ． 【解答】解：根据题意，如表格所设： 香樟数量 红枫数量 总量 甲 4x 5y﹣4x 5y 乙 3x 6y﹣3x 6y 丙 9x 7y﹣9x 7y ∵甲、乙两山需红枫数量之比为2：3， ∴， ∴y＝2x， 故数量可如下表： 香樟数量 红枫数量 总量 甲 4x 6x 10x 乙 3x 9x 12x 丙 9x 5x 14x 所以香樟的总量是16x，红枫的总量是20x， 设香樟的预算单价为a，红枫的预算单价为b， 由题意得， [16x•（1﹣6.25%）]•[a•（1﹣20%）]+20x•[b•（1+25%）]＝16x•a+20x•b， ∴12a+25b＝16a+20b， ∴4a＝5b， 设a＝5k，b＝4k， ∴， 故答案为：． 15．（2021•重庆）某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售额占六月份销售总额的，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为　9：10　 ． 【解答】解：由题意可设五月份A、B、C三种饮料的销售的数量为3a、2a、4a，单价为b、2b、b；六月份A的销售量为x． ∴A饮料的六月销售额为b（1+20%）x＝1.2bx，B饮料的六月销售额为1.2bx÷2×3＝1.8bx． ∴A、B饮料增加的销售额为分别1.2bx﹣3ab，1.8bx﹣4ab． 又∵B、C饮料增加的销售额之比为2：1， ∴C饮料增加的销售额为（1.8bx﹣4ab）÷2＝0.9bx﹣2ab， ∴C饮料六月的销售额为0.9bx﹣2ab+4ab＝0.9bx+2ab． ∵A饮料增加的销售额占六月份销售总额的， ∴（1.2bx﹣3ab）1.2bx+1.8bx+0.9bx+2ab， ∴18bx﹣45ab＝3.9bx+2ab， ∵b≠0， ∴18x﹣45a＝3.9x+2a， ∴14.1x＝47a， ∴3a， ∴． 即A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为9：10． 故答案为9：10． 16．（2020•重庆）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是　1：8　 ． 【解答】解：设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a，5a，2a，设7月份总的增加营业额为5x，摆摊增加的营业额为2x，7月份总营业额20b，摆摊7月份的营业额为7b，堂食7月份的营业额为8b，外卖7月份的营业额为5b， 由题意可得：， 解得：， ∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比＝（5b﹣5a）：20b＝1：8， 故答案为：1：8． 17．（2019•重庆）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收入．经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4：3：5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3：4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是　3：20　 ． 【解答】解：设该村已种药材面积x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为（x+y），川香已种植面积x、贝母已种植面积x，黄连已种植面积 依题意可得， 由①得 x③， 将③代入②，zy， ∴贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比， 故答案为3：20． 18．（2018•重庆）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A，B，C三种粗粮的成本价之和．已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%．若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是　　 ．（商品的利润率100%） 【解答】解：∵甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮， 而A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元， ∴1千克B粗粮成本价+1千克C粗粮成本价＝58.5÷（1+30%）﹣6×3＝27（元）， ∵乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮， ∴乙种粗粮每袋售价为（6+2×27）×（1+20%）＝72（元）． 甲种粗粮每袋成本价为58.5÷（1+30%）＝45（元），乙种粗粮每袋成本价为6+2×27＝60（元）． 设该电商销售甲种袋装粗粮x袋，乙种袋装粗粮y袋， 由题意，得45×30%x+60×20%y＝24%（45x+60y）， 45×0.06x＝60×0.04y， ． 故答案为：． 19．（2017•重庆）如图，正方形ABCD中，AD＝4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EMN的周长是　　 ． 【解答】解：解法一：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE， ∵DC∥AB， ∴PQ⊥AB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝45°， ∴△PEC是等腰直角三角形， ∴PE＝PC， 设PC＝x，则PE＝x，PD＝4﹣x，EQ＝4﹣x， ∴PD＝EQ， ∵∠DPE＝∠EQF＝90°，∠PED＝∠EFQ， ∴△DPE≌△EQF， ∴DE＝EF， ∵DE⊥EF， ∴△DEF是等腰直角三角形， 易证明△DEC≌△BEC， ∴DE＝BE， ∴EF＝BE， ∵EQ⊥FB， ∴FQ＝BQBF， ∵AB＝4，F是AB的中点， ∴BF＝2， ∴FQ＝BQ＝PE＝1， ∴CE，PD＝4﹣1＝3， Rt△DAF中，DF2， DE＝EF， 如图2，∵DC∥AB， ∴△DGC∽△FGA， ∴2， ∴CG＝2AG，DG＝2FG， ∴FG， ∵AC4， ∴CG， ∴EG， 连接GM、GN，交EF于H， ∵∠GFE＝45°， ∴△GHF是等腰直角三角形， ∴GH＝FH， ∴EH＝EF﹣FH， 由折叠得：GM⊥EF，MH＝GH， ∴∠EHM＝∠DEF＝90°， ∴DE∥HM， ∴△DEN∽△MNH， ∴， ∴3， ∴EN＝3NH， ∵EN+NH＝EH， ∴EN， ∴NH＝EH﹣EN， Rt△GNH中，GN， 由折叠得：MN＝GN，EM＝EG， ∴△EMN的周长＝EN+MN+EM； 解法二：如图3，过G作GK⊥AD于K，作GR⊥AB于R， ∵AC平分∠DAB， ∴GK＝GR， ∴2， ∵2， ∴， 同理，3， 其它解法同解法一， 可得：∴△EMN的周长＝EN+MN+EM； 解法三：如图4，过E作EP⊥AP，EQ⊥AD， ∵AC是对角线， ∴EP＝EQ， 易证△DQE和△FPE全等， ∴DE＝EF，DQ＝FP，且AP＝EP， 设EP＝x，则DQ＝4﹣x＝FP＝x﹣2， 解得x＝3，所以PF＝1， ∴AE3， ∵DC∥AB， ∴△DGC∽△FGA， ∴同解法一得：CG， ∴EG， AGAC， 过G作GH⊥AB，过M作MK⊥AB，过M作ML⊥AD， 则易证△GHF≌△FKM全等， ∴GH＝FK，HF＝MK， ∵ML＝AK＝AF+FK＝2，DL＝AD﹣MK＝4， 即DL＝LM， ∴∠LDM＝45° ∴DM在正方形对角线DB上， 过N作NI⊥AB，则NI＝IB， 设NI＝y， ∵NI∥EP ∴ ∴， 解得y＝1.5， 所以FI＝2﹣y＝0.5， ∴I为FP的中点， ∴N是EF的中点， ∴EN＝0.5EF， ∵△BIN是等腰直角三角形，且BI＝NI＝1.5， ∴BN，BK＝AB﹣AK＝4，BM，MN＝BN﹣BM， ∴△EMN的周长＝EN+MN+EM； 故答案为：． 20．（2016•重庆）正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE．则四边形ABFE′的面积是　　 ． 【解答】解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝OB＝OD＝OC， ∠DAC＝∠CAB＝∠DAE′＝45°， 根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE， ∴DE＝DE′，AE＝AE′， ∴AD垂直平分EE′， ∴EN＝NE′， ∵∠NAE＝∠NEA＝∠MAE＝∠MEA＝45°，AE， ∴AM＝EM＝EN＝AN＝1， ∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB， ∴EN＝EO＝1，AO1， ∴ABAO＝2， ∴S△AEB＝S△AED＝S△ADE′1×（2）＝1，S△BDE＝S△ADB﹣2S△AEB＝1， ∵DF＝EF， ∴S△EFB， ∴S△DEE′＝2S△ADE﹣S△AEE′1，S△DFE′S△DEE′， ∴S四边形AEFE′＝2S△ADE﹣S△DFE′， ∴S四边形ABFE′＝S四边形AEFE′+S△AEB+S△EFB． 故答案为． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•重庆）在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与端点重合），连接AD．将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接DE． （1）如图1，α＝∠BAC＝60°，∠CAE＝20°，求∠ADB的度数； （2）如图2，α＝∠BAC＝90°，BD＜CD，过点D作DG⊥BC，DG交CA的延长线于G，连接BG．点F是DE的中点，点H是BG的中点，连接FH，CF．用等式表示线段FH与CF的数量关系并证明； （3）如图3，∠BAC＝120°，α＝60°，AB＝8，连接BE，CE．点D从点B移动到点C过程中，将BE绕点B逆时针旋转60°得线段BM，连接EM，作MN⊥CA交CA的延长线于点N．当CE取最小值时，在直线AB上取一点P，连接PE，将△APE沿PE所在直线翻折到△ABC所在的平面内，得△QPE，连接BQ，MQ，NQ，当BQ取最大值时，请直接写出△MNQ的面积． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， 由旋转得∠DAE＝60°， ∴∠DAC＝∠DAE＝∠CAE＝60°﹣20°＝40°， ∴∠ADB＝∠DAC+∠ACB＝100°； （2），证明如下： 如图，连接CE，DH， ∵α＝∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABD＝∠ACB＝45°， 由旋转知AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴∠BAC＝∠DAE＝90°， 即∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°， ∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°， ∵DG⊥BC， ∴∠CDG＝∠BDG＝∠DCE＝90°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠CGD＝∠ACB＝45°， ∴DG＝DC， ∴△BDG≌△ECD（SAS）， ∴∠BGD＝∠EDC，BG＝DE， ∵点H是BG的中点，∠BDG＝90°， ∴， ∴∠HDG＝∠HGD， ∴∠HDG＝∠EDC， ∴∠HDG+∠GDE＝∠EDC+∠GDE， 即∠HDF＝∠GDC＝90°， ∵点F是DE的中点，∠DCE＝90°， ∴， ∴DH＝DF， ∴△HDF是等腰直角三角形， ∴， 即； （3）如图，取BC中点U，AC中点V，连接AU，EV，UV， ∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°， ∴∠ACU＝30°，，AU⊥BC， ∴， ∵V是AC中点， ∴， ∴AU＝AV， 由旋转知AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形，∠DAE＝∠CAU＝60°， ∴∠DAU＝∠EAV， ∴△ADU≌△AEV（SAS）， ∴∠AVE＝∠AUD＝90°， 由点V为固定点，∠AVE＝90°，得点E在过点V且垂直于AC的直线上运动， 由点到直线的最短距离可得，当CE取最小值时，即CE垂直于点E运动轨迹的直线， 即点E和点V重合时，CE最小， 此时如图， 由翻折可知AE＝QE， ∴点Q的轨迹为以点E为圆心，AE＝4为半径的圆， 由点到圆上一点的最大距离可知当B、E、Q依次共线时，BQ取最大值， 此时如图，连接MA，过点B作BS⊥CN于点S，过点Q作QR⊥CN于点R， 由旋转知BM＝BE，∠MBE＝60°， ∴△BEM是等边三角形， ∴∠BEM＝60°，BE＝EM， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠AED＝60°，AE＝DE， ∴∠BEM＝∠AED＝60°， ∴∠AEM＝∠DEB， ∴△MAE≌△BDE（SAS）， ∴MA＝BD，∠MAE＝∠BDE， ∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠DAE＝∠BAD＝60°， ∴AD⊥BC， ∴ADAB＝4，， ∴， ∵E为AC中点， ∴DE＝CE， ∴∠EDC＝∠ACB＝30°， ∴∠MAE＝∠BDE＝180°﹣∠EDC＝150°， ∴∠MAN＝180°﹣∠MAE＝30°， ∴，ANMN＝6， ∵∠BAS＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴∠ABS＝30°， ∴ASAB＝4，， ∴SE＝AS+AE＝4+4＝8， ∴， ∵BS⊥CN，QR⊥CN． ∴∠BSE＝∠QRE＝90°， 又∵∠BES＝∠QER， ∴△BES∽△QER， ∴， 即， 解得， ∴， ∵MN⊥CA，QR⊥CN， ∴． 22．（2024•重庆）在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（点D不与端点重合）．点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE．在直线AD上取一点F，使∠EFD＝∠BAC，直线EF与直线AC交于点G． （1）如图1，若∠BAC＝60°，BD＜CD，∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）； （2）如图1，若∠BAC＝60°，BD＜CD，用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明； （3）如图2，若∠BAC＝90°，点D从点B移动到点C的过程中，连接AE，当△AEG为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 【解答】解：（1）如图1.1， ∵∠EFD＝∠BAC，∠BAC＝60°， ∴∠EFD＝60°， ∵∠EFD＝∠1+∠BAD＝∠1+α， ∴∠1＝60°﹣α， ∵∠AGE+∠1+∠BAC＝180°， ∴∠AGE＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1， ∴∠AGE＝120°﹣（60°﹣α）＝60°+α； （2）CG；理由如下： 在CG上截取CM＝BD，连接BM，BE，AE，BM交AD于点H， ∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△BCA为等边三角形， ∴∠ABC＝∠C＝60°，BC＝AB， ∴△ABD≌△BCM（SAS）， ∴∠3＝∠4， ∵∠AHM＝∠3+∠5， ∴∠AHM＝∠4+∠5＝60°， ∵∠EFD＝∠BAC＝60°， ∴∠AHM＝∠EFD， ∴EG∥BM， ∵点D关于直线AB的对称点为点E， ∴AE＝AD，BE＝BD，∠ABE＝∠ABC＝60°， ∴∠EBC＝120°， ∴∠EBC+∠C＝180°， ∴EB∥AC， ∴四边形EBMG是平行四边形， ∴BE＝GM， ∴BE＝GM＝BD＝CM， ∴CG＝2BD，记AB与DE的交点为点N，则由轴对称可知：DE⊥AB，NE＝ND， 在Rt△DNB中，DN＝BD•sin∠ABCBD， ∴DE＝2DNBD， ∴， ∴CG； （3）连接BE，记AB与DE的交点为点N，如图2， ∵AB＝AC，∠EFD＝∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°， 由轴对称知∠EAB＝∠DAB＝α，∠EBA＝∠DBA＝45°，DE⊥AB，NE＝ND， 当点G在边AC上时，由于∠EAG＞90°， ∴当△AEG为等腰三角形时，只能是AE＝AG， ∵∠BAC＝∠AFG＝90°， ∴∠AGE＝α， ∴∠AEG＝α， ∵∠EAD＝2α， ∵AE＝AG，EG⊥AD， ∴∠FAG＝∠EAD＝2α， 在△AEG中，α+2α+2α+α＝180°， 解得α＝30°， ∴∠EAD＝60°， ∵AE＝AD， ∴△AED为等边三角形， ∴AE＝ED， 设AF＝x， ∵∠EAD＝60°， ∴AG＝AE＝ED2x， ∴DN＝x， 在Rt△DAN中，ANDN， ∵DE⊥AB，∠ABC＝45°， ∴BNDN＝x， ∴AC＝ABx+x， ∴CG＝AC﹣AGx+x﹣2x， ∴； 当点G在CA延长线上时，只能是GE＝GA，如图3： 设∠BAD＝∠BAE＝β， ∴∠DAC＝∠GAF＝90﹣β， ∴∠EAF＝180°﹣2β， ∴∠GAE＝∠EAF﹣∠GAF＝90°﹣β， ∵GE＝GA， ∴∠GAE＝∠GEA＝90°﹣β， ∵∠EFD＝∠BAC＝90°， 在Rt△AFE中，90°﹣β+180°﹣2β＝90°， 解得β＝60°， ∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°＝∠GAF， 设GF＝x，则AG＝GE＝2x，AF， 在Rt△EFA中，EF＝2x+x＝3x， 由勾股定理得AE， 在Rt△EAN中，AN＝AE•cos60°，EN＝DN＝BN＝AE•sin60°＝3x， ∴AB＝AC＝3x， ∴CG＝AG+AC， ∴， 综上所述，或． 23．（2023•重庆）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD． （1）如图1，若AC＝9，BD，求线段AD的长； （2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF+BE； （3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM．连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时的值． 【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∵∠B＝60°，AC＝9， ∴BC3，AB＝2BC＝6 ∵BD， ∴AD＝AB﹣BD＝5； （2）证明：取AB的中点O，连接OC，如图： 在Rt△ABC 中，点O为斜边AB的中点， ∴OC＝OB， ∵∠ABC＝60°， ∴△BOC为等边三角形， ∴CO＝CB，∠OCB＝∠BOC＝60°， ∴∠DOC＝120°， ∵△CDE为等边三角形， ∴CD＝CE，∠DCE＝60°， ∴∠DCE＝∠OCB＝60°，即∠OCD+∠OCE＝∠OCE+∠BCE， ∴∠OCD＝∠BCE， 在△OCD和△BCE 中， ， ∴△OCD≌△BCE（SAS）， ∴∠EBC＝∠DOC＝120°， ∴∠OCB+∠EBC＝180°， ∴OC∥BE， 在GF上截取HF＝BF，连接DH， ∵点F是DE的中点， ∴FE＝FD． 在△BEF和△HDF中， ， ∴△BEF≌△HDF（SAS）， ∴BE＝HD，∠BEF＝∠HDF， ∴DH∥BE， ∴DH∥OC， ∴∠HDG＝∠OCD， 又∠G＝∠BCE， ∴∠G＝∠HDG， ∴HG＝HD， ∴HG＝BE， ∴GF＝HG+FH＝BE+BF； （3）解：取AB的中点S，连接PS，如图： 在CD取得最小值时，CD⊥AB， 设AB＝4a，则BC＝2a，AC＝2a， ∵2S△ABC＝AC•BC＝AB•CD， ∴CDa，BDBC＝a， ∵△CDE是等边三角形， ∴∠DCE＝60°，CD＝CE， ∴∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB＝60°﹣30°＝30°＝∠DCB， ∵BC＝BC， ∴△BCD≌△BCE（SAS）， ∴BD＝BE＝a， ∵将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM， ∴BE＝BN＝a， ∴N的运动轨迹是以B为圆心，a为半径的圆， ∵点P为AN的中点，S为AB的中点， ∴PSBNa， ∴P的运动轨迹是以S为圆心，a为半径的圆， 当CP最大时，C，P，S三点共线，过P作PT⊥AC于T，过N作NR⊥AC于R，如图： ∵S是AB中点， ∴BS＝AS＝CSAB＝2a， ∵∠ABC＝60°， ∴△BSC是等边三角形， ∴∠PCB＝60°，BC＝CS＝2a， ∴∠PCA＝30°， ∵CP＝CS+PS＝2aaa， ∴PTCPa，CTPTa， ∴AT＝AC﹣CTa， 连接PQ交NR于W，如图： ∵将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ， ∴PQ⊥BC， ∵AC⊥BC， ∴PQ∥AC，即PW∥AR， ∵P为AN中点， ∴PW是△ANR的中位线， ∴NW＝RWNR， 同理可得PT是△ANR的中位线， ∴PTNR， ∴PT＝NW＝RWa，PWAR＝ATa， ∵将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ， ∴∠QCB＝∠PCB＝60°，CP＝CQ， ∴∠QCP＝120°， ∴PQCPa， ∴WQ＝PQ﹣PWaaa， ∴NQa， ∴． 24．（2022•重庆）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F． （1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数； （2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）若AB＝AC，且BD＝AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出的值． 【解答】解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE， 在△BCE和△CBK中， ， ∴△BCE≌△CBK（SAS）， ∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD， ∵CE＝BD， ∴BD＝BK， ∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB， ∵∠BEC+∠AEF＝180°， ∴∠ADF+∠AEF＝180°， ∴∠A+∠EFD＝180°， ∵∠A＝60°， ∴∠EFD＝120°， ∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°； （2）结论：BF+CF＝2CN． 理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°， ∵AE＝BD， ∴△ABE≌△BCD（SAS）， ∴∠BCF＝∠ABE， ∴∠FBC+∠BCF＝60°， ∴∠BFC＝120°， 如图2﹣1中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ， ∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ， ∴△CNM≌△QNF（SAS）， ∴FQ＝CM＝BC， 延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形， ∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°， ∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC， ∵PB＝PF， ∴△PFQ≌△PBC（SAS）， ∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°， ∴△PCQ是等边三角形， ∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN． 证法二：延长MC到P，使得CP＝CM，连接PB，PF，延长FC到Q，使得CQ＝BF． ∵FN＝MN，CP＝CM， ∴PF＝2CN， ∵CB＝CM＝CP，∠BCP＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴△BCP是等边三角形， ∴∠BPC+∠BFC＝180°， ∴∠PBF+∠PCF＝180°， ∵∠PCQ+∠PCF＝180°， ∴∠PBF＝∠PCQ， ∴PB＝PC，BF＝CQ， ∴△PBF≌△PCQ（SAS）， ∴PF＝PQ，∠BPF＝∠QPC， ∴∠QPF＝∠BPC＝60°， ∴△PQF是等边三角形， ∴FQ＝CF+CQ＝CF+BF＝2CN； （3）由（2）可知∠BFC＝120°， ∴点F的运动轨迹为红色圆弧（如图3﹣1中）， ∴P，F，O三点共线时，PF的值最小， 此时tan∠APK， ∴∠HPK＞45°， ∵QK⊥PF， ∴∠PKH＝∠QKH＝45°， 如图3﹣2中，过点H作HL⊥PK于点L，设PQ交KH题意点J，设HL＝LK＝2，PL，PH，KH＝2， ∵S△PHK•PK•HL•KH•PJ， ∴PQ＝2PJ＝22 ∴． 25．（2021•重庆）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°． （1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长； （2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出的值． 【解答】解：（1）连接CE，过点F作FQ⊥BC于Q， ∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°， ∴FA＝FQ， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴FQCF， ∵∠BAC+∠DAE＝180°， ∴∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 由旋转知，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°， ∴∠BCE＝90°， ∴∠CBF+∠BEC＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∴∠ABF+∠BEC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABF+∠AFB＝90°， ∴∠AFB＝∠BEC， ∵∠AFB＝∠CFE， ∴∠BEC＝∠CFE， ∴CF＝CE＝2， ∴AF＝FQCF； （2）AGCD， 理由：延长BA至点M，使AM＝AB，连接EM， ∵G是BE的中点， ∴AGME， ∵∠BAC+∠DAE＝∠BAC+∠CAM＝180°， ∴∠DAE＝∠CAM， ∴∠DAC＝∠EAM， ∵AB＝AM，AB＝AC， ∴AC＝AM， ∵AD＝AE， ∴△ADC≌△AEM（SAS）， ∴CD＝EM， ∴AGCD； （3）如图3，连接DE，AD与BE的交点记作点N， ∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°， ∴∠DAE＝60°， ∵AD＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°， ∵∠AEC＝150°， ∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝90°， 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ACB＝∠ABC＝30°， ∵∠AEC＝150°， ∴∠ABC+∠AEC＝180°， ∴点A，B，C，E四点共圆， ∴∠BEC＝∠BAC＝120°， ∴∠BED＝∠BEC﹣∠DEC＝30°， ∴∠DNE＝180°﹣∠BED﹣∠ADE＝90°， ∵AE＝DE， ∴AN＝DN， ∴BE是AD的垂直平分线， ∴AG＝DG，BA＝BD＝AC， ∴∠ABE＝∠DBE∠ABC＝15°， ∴∠ACE＝∠ABE＝15°， ∴∠DCE＝45°， ∵∠DEC＝90°， ∴∠EDC＝45°＝∠DCE， ∴DE＝CE， ∴AD＝DE， 设AG＝a，则DG＝a， 由（2）知，AGCD， ∴CD＝2AG＝2a， ∴CE＝DECDa， ∴ADa， ∴DNADa， 过点D作DH⊥AC于H， 在Rt△DHC中，∠ACB＝30°，CD＝2a， ∴DH＝a， 根据勾股定理得，CHa， 在Rt△AHD中，根据勾股定理得，AHa， ∴AC＝AH+CH＝aa， ∴BD＝aa， ∴． 26．（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF． （1）求证：CFAD； （2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAE，DEAD， 又∵AB＝AC， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE＝45°， ∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°， ∵点F是DE的中点， ∴CFDEAD； （2）AGBC， 理由如下：如图2，过点G作GH⊥BC于H， ∵BD＝2CD， ∴设CD＝a，则BD＝2a，BC＝3a， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴AB＝ACa， 由（1）可知：△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE＝2a， ∵CF＝DF， ∴∠FDC＝∠FCD， ∴tan∠FDC＝tan∠FCD， ∴2， ∴GH＝2CH， ∵GH⊥BC，∠ABC＝45°， ∴∠ABC＝∠BGH＝45°， ∴BH＝GH， ∴BGBH ∵BH+CH＝BC＝3a， ∴CH＝a，BH＝GH＝2a， ∴BG＝2a， ∴AG＝BG﹣ABaCDBC； （3）如图3﹣1，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN， ∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°， ∴△BPN是等边三角形， ∴BP＝PN， ∴PA+PB+PC＝AP+PN+MN， ∴当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小， 此时，如图3﹣2，连接MC， ∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM， ∴BP＝BN，BC＝BM，∠PBN＝60°＝∠CBM， ∴△BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形， ∴∠BPN＝∠BNP＝60°，BM＝CM， ∵BM＝CM，AB＝AC， ∴AM垂直平分BC， ∵AD⊥BC，∠BPD＝60°， ∴BDPD， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴AD＝BD， ∴PD＝PD+AP， ∴PDm， ∴BDPDm， 由（1）可知：CE＝BDm． 27．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． （1）连接BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FPPC的最小值； （2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FPPC取得最小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连接AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1 ∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C ∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3） ∵点D为抛物线的顶点，且1，4 ∴点D的坐标为D（1，﹣4） ∴直线BD的解析式为：y＝2x﹣6， 由题意，可设点N（m，m2﹣2m﹣3），则点F（m，2m﹣6） ∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3 ∴当m2时，NF 取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF＝2， 此时，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0） 在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P， ∴sin∠OCK，直线KC的解析式为：y，且点F（2，﹣2）， ∴PJPC，直线FJ的解析式为：y ∴点J（，） ∴FPPC的最小值即为FJ的长，且|FJ| ∴|HF+FPPC|min； （2）由（1）知，点P（0，）， ∵把点P向上平移个单位得到点Q ∴点Q（0，﹣2） ∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ，取AQ的中点G，连接OG，则OG＝GQAQ，此时，∠AQO＝∠GOQ 把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G ①如图2 G点落在y轴的负半轴，则G（0，），过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I，且∠GOQ'＝∠Q' 则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ， ∵sin∠OAQ ∴sin∠IOQ'，解得：|IO′| ∴在Rt△OIQ'中根据勾股定理可得|OI| ∴点Q'的坐标为Q'（，）； ②如图3， 当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q'（，） ③如图4 当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q'（，） ④如图5 当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q'（，）． 综上所述，所有满足条件的点Q′的坐标为：（，），（，），（，），（，）． 28．（2018•重庆）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）． （1）求线段AB的长； （2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HFFO的最小值； （3）在（2）中，PH+HFFO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意A（1，3），B（3，3）， ∴AB＝2． （2）如图1中，设P（m，﹣m2+4m），作PN∥y轴交BE于N． ∵直线BE的解析式为y＝x， ∴N（m，m）， ∴S△PEB2×（﹣m2+3m）＝﹣m2+3m， ∴当m时，△PEB的面积最大，此时P（，），H（，3）， ∴PH3， 作直线OG交AB于G，使得∠COG＝30°，作HK⊥OG于K交OC于F， ∵FKOF， ∴PH+HFFO＝PH+FH+FK＝PH+HK，此时PH+HFOF的值最小， ∵•HG•OC•OG•HK， ∴HK， ∴PH+HFOF的最小值为． （3）如图2中，由题意CH，CF，QF′，CQ＝1， ∴Q（﹣1，3），D（2，4），DQ， ①当DQ为菱形的边时，S1（﹣1，3），S2（﹣1，3），S4（5，3） ②当DQ为对角线时，可得S3（﹣1，8）， 综上所述，满足条件的点S坐标为（﹣1，3）或（﹣1，3）或（﹣1，8）或（5，3）． 29．（2017•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上． （1）求直线AE的解析式； （2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值； （3）点G是线段CE的中点，将抛物线yx2x沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵yx2x， ∴y（x+1）（x﹣3）． ∴A（﹣1，0），B（3，0）． 当x＝4时，y． ∴E（4，）． 设直线AE的解析式为y＝kx+b，将点A和点E的坐标代入得：， 解得：k，b． ∴直线AE的解析式为yx． （2）设直线CE的解析式为y＝mx，将点E的坐标代入得：4m，解得：m． ∴直线CE的解析式为yx． 过点P作PF∥y轴，交CE与点F． 设点P的坐标为（x，x2x），则点F（x，x）， 则FP＝（x）﹣（x2x）x2x． ∴△EPC的面积（x2x）×4x2x． ∴当x＝2时，△EPC的面积最大． ∴P（2，）． 如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M． ∵K是CB的中点， ∴k（，）． ∴tan∠KCP． ∵OD＝1，OC， ∴tan∠OCD． ∴∠OCD＝∠KCP＝30°． ∴∠KCD＝30°． ∵k是BC的中点，∠OCB＝60°， ∴OC＝CK． ∴点O与点K关于CD对称． ∴点G与点O重合． ∴点G（0，0）． ∵点H与点K关于CP对称， ∴点H的坐标为（，）． ∴KM+MN+NK＝MH+MN+GN． 当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值＝GH． ∴GH3． ∴KM+MN+NK的最小值为3． （3）如图3所示： ∵y′经过点D，y′的顶点为点F， ∴点F（3，）． ∵点G为CE的中点， ∴G（2，）． ∴FG． ∴当FG＝FQ时，点Q（3，），Q′（3，）． 当GF＝GQ时，点F与点Q″关于y对称， ∴点Q″（3，2）． 当QG＝QF时，设点Q1的坐标为（3，a）． 由两点间的距离公式可知：a，解得：a． ∴点Q1的坐标为（3，）． 综上所述，点Q的坐标为（3，）或′（3，）或（3，2）或（3，）． 30．（2016•重庆）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长； （3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）△ABC为直角三角形， 当y＝0时，即x2x+3＝0， ∴x1，x2＝3 ∴A（，0），B（3，0）， ∴OA，OB＝3， 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， ∴OC＝3， 根据勾股定理得，AC2＝OB2+OC2＝12，BC2＝OB2+OC2＝36， ∴AC2+BC2＝48， ∵AB2＝[3（）]2＝48， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， （2）如图1， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴直线BC解析式为yx+3， 过点P作PG∥y轴， 设P（a，a2a+3）， ∴G（a，a+3）， ∴PGa2a， 设点D的横坐标为xD，G点的横坐标为xG， S△PCD（xG﹣xD）×PG（a）2， ∵0＜a＜3， ∴当a时，S△PCD最大，此时点P（，）， 如图，∵抛物线的对称轴为x， ∴MN， ∴将点P向左平移MN（个单位）至P′，连接AP'，交y轴于点N，过点N作MN⊥抛物线对称轴于点M， 连接PM，点Q沿P→M→N→A运动，M所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长， ∵P（，）， ∴P'（，），点A（，0）， ∴直线AP'的解析式为yx， 当x＝0时，y， ∴N（0，）， ∴AN，M（，）， ∵P（，）， ∴PM， ∴点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN， （3）在Rt△AOC中， ∵tan∠OAC， ∴∠OAC＝60°， ∵OA＝OA1， ∴△OAA1为等边三角形， ∴∠AOA1＝60°， ∴∠BOC1＝30°， ∵OC1＝OC＝3， ∴C1（，）， ∵点A（，0），E（，4）， ∴AE＝2， ∴A′E′＝AE＝2， ∵直线AE的解析式为yx+2， 设点E′（a，a+2）， ∴点E移动（a）单位到点E'， ∴点A也移动（a）单位到点A'， ∴A′（a﹣2，2） ∴C1E′2＝（a）2+（2）2a2a+7， C1A′2＝（a﹣2）2+（2）2a2a+49， ①若C1A′＝C1E′，则C1A′2＝C1E′2 即：a2a+7a2a+49， ∴a， ∴E′（，5）， ②若A′C1＝A′E′， ∴A′C12＝A′E′2 即：a2a+49＝28， ∴a1，a2， ∴E′（，7），或（，7）， ③若E′A′＝E′C1， ∴E′A′2＝E′C12 即：a2a+7＝28， ∴a1，a2（由于点E'在射线AE上，所以舍）， ∴E′（，3）， 即，符合条件的点E′（，5），（，7），或（，7），（，3）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$