【10年压轴题】2016-2025年浙江省选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年浙江省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2025•浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　） A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上 2．（2024•浙江）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2 3．（2023•杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（2022•杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC＝θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（　　） A．cosθ（1+cosθ） B．cosθ（1+sinθ） C．sinθ（1+sinθ） D．sinθ（1+cosθ） 5．（2021•杭州）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（　　） A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 C．y1和y2＝﹣x﹣1 D．y1和y2＝﹣x+1 6．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　） A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0 C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0 7．（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（　　） A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1 8．（2018•杭州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连接BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2，（　　） A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2 B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2 C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2 D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2 9．（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（　　） A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝9 C．3x﹣y2＝15 D．4x﹣y2＝21 10．（2016•杭州）设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论： ①若a@b＝0，则a＝0或b＝0 ②a@（b+c）＝a@b+a@c ③不存在实数a，b，满足a@b＝a2+5b2 ④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a＝b时，a@b最大． 其中正确的是（　　） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 二．填空题（共10小题） 11．（2025•浙江）如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的直径为 　 　 ． 12．（2024•浙江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，．线段AB与A′B′关于过点O的直线l对称，点B的对应点B′在线段OC上，A′B′交CD于点E，则△B′CE与四边形OB′ED的面积比为 　 　 ． 13．（2023•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设k，若AD＝DF，则　 　 （结果用含k的代数式表示）． 14．（2022•杭州）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝　 　 度；的值等于 　 　 ． 15．（2021•杭州）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝AB，则∠DAF＝　 　 度． 16．（2020•杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝　 　 ，BE＝　 　 ． 17．（2019•杭州）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于　 　 ． 18．（2018•杭州）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝　 　 ． 19．（2017•杭州）某水果店销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价为6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉　 　 千克．（用含t的代数式表示．） 20．（2016•杭州）已知关于x的方程m的解满足（0＜n＜3），若y＞1，则m的取值范围是　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•浙江）在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8． （1）如图1，求sin∠BAC的值． （2）如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连接BP． ①当EF⊥AC时，求AE的长． ②求PA﹣PB的最小值． 22．（2024•浙江）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC． （1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数． （2）求证：①EF∥BC； ②EF＝BD． 23．（2023•杭州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF． （1）若BE＝1，求GE的长． （2）求证：BC2＝BG•BO． （3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论． 24．（2022•杭州）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE＝2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH． （1）如图1，若AB＝4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积． （2）如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K． ①求证：EK＝2EH； ②设∠AEK＝α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1，S2．求证：4sin2α﹣1． 25．（2021•杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG． （1）求证：△ABG∽△AFC． （2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）． （3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD． 26．（2020•杭州）如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF． （1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长． （2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P， ①求证：PE＝PF． ②若DF＝EF，求∠BAC的度数． 27．（2019•杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA． （1）若∠BAC＝60°， ①求证：ODOA． ②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值． （2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0． 28．（2018•杭州）如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设k． （1）求证：AE＝BF． （2）连接BE，DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β．求证：tanα＝ktanβ． （3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求的最大值． 29．（2017•杭州）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG+∠EBA＝γ， （1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： α 30° 40° 50° 60° β 120° 130° 140° 150° γ 150° 140° 130° 120° 猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明； （2）若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长． 30．（2016•杭州）在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P．如图，点点同学发现当射线AM，BN交于点C；且∠ACB＝60°时，有以下两个结论： ①∠APB＝120°；②AF+BE＝AB． 那么，当AM∥BN时： （1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出∠APB的度数，写出AF，BE，AB长度之间的等量关系，并给予证明； （2）设点Q为线段AE上一点，QB＝5，若AF+BE＝16，四边形ABEF的面积为32，求AQ的长． 【10年压轴题】2016-2025年浙江省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C D A B C D B C 一．选择题（共10小题） 1．（2025•浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　） A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上 【解答】解：如图，作PG⊥AB于G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知PH2＝225，当点Q运动到点G的时候，PQ2最小，即：PG2＝81，HG＝m﹣1＝12． 在Rt△PGH中，由勾股定理，得225＝81+（m﹣1）2， ∴m＝13． ∴A错误． ∴AG＝m＝13，HG＝m﹣1＝12． 当x＝n时，点Q运动到点B，则PB2＝225﹣PH2， ∴PB＝PH， ∵PG⊥AB， ∴BG＝HG＝12， ∴AB＝13+12＝25， ∴选项B错误． ∴当x＝0，即点Q在A点时， ∴AP2＝AG2+PG2＝132+81＝250． ∴点C的纵坐标为250． ∴选项C错误． 当x＝15时，点Q运动到点K， ∴AK＝15． ∴GK＝AK﹣AG＝2． ∴PK2＝KG2+PG2＝4+81＝85． ∴点（15，85）在该函数图象上． ∴选项D正确． 故选：D． 2．（2024•浙江）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2 【解答】解：过D作DH⊥BC，交BC延长线于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AD∥BC， ∵AE⊥BC，DH⊥BC， ∴AE＝DH， ∴Rt△DCH≌Rt△ABE（HL）， ∴CH＝BE＝x， ∵BC＝y， ∴EC＝BC﹣BE＝y﹣x，BH＝BC+CH＝y+x， ∵AE2＝AC2﹣EC2，DH2＝BD2﹣BH2， ∴22﹣（y﹣x）2（y+x）2， ∴xy＝2． 故选：C． 3．（2023•杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b， ∵tanα，tanβ，tanα＝tan2β， ∴， ∴（b﹣a）2＝ab， ∴a2+b2＝3ab， ∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH， ∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3， ∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n， ∴n＝3． 故选：C． 4．（2022•杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC＝θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（　　） A．cosθ（1+cosθ） B．cosθ（1+sinθ） C．sinθ（1+sinθ） D．sinθ（1+cosθ） 【解答】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大， 如图所示， ∵A′D⊥BC， ∴BC＝2BD，∠BOD＝∠BA′C＝θ， 在Rt△BOD中， sinθ，cosθ ∴BD＝sinθ，OD＝cosθ， ∴BC＝2BD＝2sinθ， A′D＝A′O+OD＝1+cosθ， ∴A′D•BC2sinθ（1+cosθ）＝sinθ（1+cosθ）． 故选：D． 5．（2021•杭州）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（　　） A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 C．y1和y2＝﹣x﹣1 D．y1和y2＝﹣x+1 【解答】解：A．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x﹣1＝0，解得x或x，即函数y1和y2具有性质P，符合题意； B．令y1+y2＝0，则x2+2x﹣x+1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意； C．令y1+y2＝0，则x﹣1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意； D．令y1+y2＝0，则x+1＝0，整理得，x2﹣x+1＝0，方程无解，即函数y1和y2不具有性质P，不符合题意； 故选：A． 6．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　） A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0 C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0 【解答】解：A、错误．由M1＝2，M2＝2， 可得a2﹣4＞0，b2﹣8＞0，取a＝3，b2＝15，则c5，此时c2﹣16＞0．故A错误． B、正确． 理由：∵M1＝1，M2＝0， ∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0， ∵a，b，c是正实数， ∴a＝2， ∵b2＝ac， ∴cb2， 对于y3＝x2+cx+4， 则有Δ＝c2﹣16b4﹣16（b4﹣64）（b2+8）（b2﹣8）＜0， ∴M3＝0， ∴选项B正确， C、错误．由M1＝0，M2＝2， 可得a2﹣4＜0，b2﹣8＞0，取a＝1，b2＝18，则c18，此时c2﹣16＞0．故C错误． D、由M1＝0，M2＝0， 可得a2﹣4＜0，b2﹣8＜0，取a＝1，b2＝4，则c4，此时c2﹣16＝0．故D错误． 故选：B． 7．（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（　　） A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1 【解答】解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b， ∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点， ∴M＝2， ∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1， ∴当ab≠0时，Δ＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N； 当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1； 综上可知，M＝N或M＝N+1． 故选：C． 另一解法：∵a≠b， ∴抛物线y＝（x+a）（x+b）与x轴有两个交点， ∴M＝2， 又∵函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点， 而y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，它至多是一个二次函数，至多与x轴有两个交点， ∴N≤2， ∴N≤M， ∴不可能有M＝N﹣1， 故排除A、B、D， 故选：C． 8．（2018•杭州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连接BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2，（　　） A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2 B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2 C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2 D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2 【解答】解：∵如图，在△ABC中，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴（）2， ∴若2AD＞AB，即时，， 此时3S1＞S2+S△BDE，而S2+S△BDE＜2S2．但是不能确定3S1与2S2的大小， 故选项A不符合题意，选项B不符合题意． 若2AD＜AB，即时，， 此时3S1＜S2+S△BDE＜2S2， 故选项C不符合题意，选项D符合题意． 故选：D． 9．（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（　　） A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝9 C．3x﹣y2＝15 D．4x﹣y2＝21 【解答】解： 过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE， ∵BE的垂直平分线交BC于D，BD＝x， ∴BD＝DE＝x， ∵AB＝AC，BC＝12，tan∠ACB＝y， ∴y，BQ＝CQ＝6， ∴AQ＝6y， ∵AQ⊥BC，EM⊥BC， ∴AQ∥EM， ∵E为AC中点， ∴CM＝QMCQ＝3， ∴EM＝3y， ∴DM＝12﹣3﹣x＝9﹣x， 在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2＝（3y）2+（9﹣x）2， 即2x﹣y2＝9， 故选：B． 10．（2016•杭州）设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论： ①若a@b＝0，则a＝0或b＝0 ②a@（b+c）＝a@b+a@c ③不存在实数a，b，满足a@b＝a2+5b2 ④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a＝b时，a@b最大． 其中正确的是（　　） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【解答】解：①根据题意得：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝0， 整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）＝0，即4ab＝0， 解得：a＝0或b＝0，正确； ②∵a@（b+c）＝（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2＝4ab+4ac a@b+a@c＝（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2＝4ab+4ac， ∴a@（b+c）＝a@b+a@c正确； ③a@b＝a2+5b2，a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2， 令a2+5b2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2， 解得，a＝0，b＝0，故错误； ④∵a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， （a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab， ∴a2+b2+2ab≥4ab， ∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab＝4ab， 解得，a＝b， ∴a@b最大时，a＝b，故④正确， 故选：C． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•浙江）如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的直径为 　2　 ． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是矩形，且矩形ABCD内接于⊙O， ∴∠D＝∠BAD＝90°， ∴AC是⊙O的直径， ∵AF＝1，EG＝FG＝3， ∴∠BEC＝∠GFE＝∠AFB， ∵∠BEC＝∠BAC， ∴∠AFB＝∠BAC， ∴∠ALB＝∠GAC+∠AFB＝∠GAC+∠BAC＝∠BAD＝90°， ∴∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC， ∵∠ABE＝∠ACG， ∴∠GAC＝∠ACG， ∴CG＝AG＝AF+FG＝1+3＝4， ∵∠CDG＝∠AEG＝90°，∠CGD＝∠AGE， ∴△CDG∽△AEG， ∴1， ∴DG＝EG＝3， ∴AD＝AG+DG＝4+3＝7，CD， ∴AC2， ∴⊙O的直径为2， 故答案为：2． 12．（2024•浙江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，．线段AB与A′B′关于过点O的直线l对称，点B的对应点B′在线段OC上，A′B′交CD于点E，则△B′CE与四边形OB′ED的面积比为 　　 ． 【解答】解：如图连接OE、A'D， ∵AB关于过O的直线对称， ∴A'在BD延长线上， ∵， ∴设AC＝10k，BD＝6k， 在菱形ABCD中，OA＝OC＝5k，OB＝OD＝3k， ∵AB与A'B'关于过O的直线对称， ∴OA＝OA'＝5k，OB＝OB'＝3k，∠A'＝∠DAC＝∠DCA， ∴A'D＝B'C＝2k， ∵∠A'ED＝∠B'CE， ∴△A'ED≌△CEB'（AAS）， ∴DE＝B'E， ∵OE＝OE，OD＝OB'， ∴△DOE≌△B'OE（SSS）， ∴S△DOE＝S△B′OE， ∵， ∴． 故答案为：． 13．（2023•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设k，若AD＝DF，则　　 （结果用含k的代数式表示）． 【解答】解：方法一：∵点B和点F关于直线DE对称， ∴DB＝DF， ∵AD＝DF， ∴AD＝DB， ∵AD＝DF， ∴∠A＝∠DFA， ∵点B和点F关于直线DE对称， ∴∠BDE＝∠FDE， ∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA， ∴∠FDE＝∠DFA， ∴DE∥AC， ∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC， ∵点B和点F关于直线DE对称， ∴∠DEB＝∠DEF， ∴∠C＝∠EFC， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∵∠ACB＝∠EFC， ∴△ABC∽△ECF， ∴， ∵DE∥AC， ∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C， ∴△BDE∽△BAC， ∴， ∴ECBC， ∵k， ∴BC＝k•AB， ∴ECk•AB， ∴， ∴CFk2•AB， ∴． 方法二：如图，连接BF， ∵点B和点F关于直线DE对称， ∴DB＝DF， ∵AD＝DF， ∴AD＝DB＝DF， ∴BF⊥AC， 设AB＝AC＝1， 则BC＝k， 设CF＝x， 则AF＝1﹣x， 由勾股定理得，AB2﹣AF2＝BC2﹣CF2， ∴12﹣（1﹣x）2＝k2﹣x2， ∴x， ∴AF＝1﹣x， ∴． 故答案为：． 14．（2022•杭州）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝　36　 度；的值等于 　　 ． 【解答】解：∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA， ∵∠DEA＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE， ∴∠BEC＝∠BCE， ∵将该圆形纸片沿直线CO对折， ∴∠ECO＝∠BCO， 又∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B， 设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x， ∴∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x， ∴∠CEB＝2x， ∵∠BEC+∠BCE+∠B＝180°， ∴x+2x+2x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠B＝36°； ∵∠ECO＝∠B，∠CEO＝∠CEB， ∴△CEO∽△BEC， ∴， ∴CE2＝EO•BE， 设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a， ∴a2＝x（x+a）， 解得，xa（负值舍去）， ∴OEa， ∴AE＝OA﹣OE＝aaa， ∵∠AED＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE， ∴△BCE∽△DAE， ∴， ∴． 故答案为：36，． 15．（2021•杭州）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝AB，则∠DAF＝　18　 度． 【解答】解：连接DM，如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°． ∵M是AC的中点， ∴DM＝AM＝CM， ∴∠FAD＝∠MDA，∠MDC＝∠MCD． ∵DC，DF关于DE对称， ∴DF＝DC， ∴∠DFC＝∠DCF． ∵MF＝AB，AB＝CD，DF＝DC， ∴MF＝FD． ∴∠FMD＝∠FDM． ∵∠DFC＝∠FMD+∠FDM， ∴∠DFC＝2∠FMD． ∵∠DMC＝∠FAD+∠ADM， ∴∠DMC＝2∠FAD． 设∠FAD＝x°，则∠DFC＝4x°， ∴∠MCD＝∠MDC＝4x°． ∵∠DMC+∠MCD+∠MDC＝180°， ∴2x+4x+4x＝180． ∴x＝18． 故答案为：18． 16．（2020•杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝　2　 ，BE＝　1　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°， ∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处， ∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE， ∴CF＝AD，∠CFD＝90°， ∴∠ADE+∠CDF＝∠CDF+∠DCF＝90°， ∴∠ADF＝∠DCF， ∴△ADE≌△FCD（ASA）， ∴DF＝AE＝2； ∵∠AFE＝∠CFD＝90°， ∴∠AFE＝∠DAE＝90°， ∵∠AEF＝∠DEA， ∴△AEF∽△DEA， ∴， ∴， ∴EF1（负值舍去）， ∴BE＝EF1， 方法二：∵AB∥CD， ∴S△ACD＝S△DCE， ∴S△ACD﹣S△DCF＝S△DCE﹣S△DCF， ∴S△ADF＝S△ECF， 由题意知，BC＝CF，S△ACD＝S△ABC，S△ECF＝S△BCE， ∴S△ACD﹣S△ADF＝S△ABC﹣S△CEF＝S△ABC﹣S△BCE， ∴S△DCF＝S△ACE， ∴DF•CFAE•BC， ∵CF＝BC， ∴DF＝AE＝2， 设BE＝x， ∵AE∥CD， ∴△AEF∽△CDF， ∴， ∴， 解得：x1（负值舍去 ）， ∴BE1． 故答案为：2，1． 17．（2019•杭州）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于　10+6　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x， 由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x， ∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1， 又∵△A′EP∽△D′PH， ∴A′P：D′H＝2，∵PA′＝x， ∴Dx， ∵•x•x＝1， ∴x＝2（负根已经舍弃）， ∴AB＝CD＝2，PE2，PH， ∴AD＝4+21＝5+3， ∴矩形ABCD的面积＝2（5+3）＝10+6． 故答案为10+6 18．（2018•杭州）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝　3+2　 ． 【解答】解：设AD＝x，则AB＝x+2， ∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处， ∴DF＝AD，EA＝EF，∠DFE＝∠A＝90°， ∴四边形AEFD为正方形， ∴AE＝AD＝x， ∵把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上， ∴DH＝DC＝x+2， ∵HE＝1， 当AH＝AE﹣HE＝x﹣1， 在Rt△ADH中，∵AD2+AH2＝DH2， ∴x2+（x﹣1）2＝（x+2）2， 整理得x2﹣6x﹣3＝0，解得x1＝3+2，x2＝3﹣2（舍去）， 即AD的长为3+2． 故答案为：3+2． 19．（2017•杭州）某水果店销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价为6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉　（30）　 千克．（用含t的代数式表示．） 【解答】解：设第三天销售香蕉x千克，则第一天销售香蕉（50﹣t﹣x）千克， 根据题意，得：9（50﹣t﹣x）+6t+3x＝270， 则x30， 故答案为：（30）． 20．（2016•杭州）已知关于x的方程m的解满足（0＜n＜3），若y＞1，则m的取值范围是　m　 ． 【解答】解：解方程组，得 ， ∵y＞1， ∴2n﹣1＞1，即n＞1， 又∵0＜n＜3， ∴1＜n＜3， ∵n＝x﹣2， ∴1＜x﹣2＜3，即3＜x＜5， ∴， ∴， 又∵m， ∴m， 故答案为：m． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•浙江）在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8． （1）如图1，求sin∠BAC的值． （2）如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连接BP． ①当EF⊥AC时，求AE的长． ②求PA﹣PB的最小值． 【解答】解：（1）如图，设AC，BD交于点O， ∵在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8， ∴AC⊥BC，， ∴， ∴； （2）①如图，设AC，BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BC，，BD＝2OB，AD＝AB＝5， ∴， ∴BD＝6； ∵EF⊥AC，AC⊥BC， ∴EF∥BD， ∴∠DBE＝∠FEB， 由轴对称的性质可得∠AEB＝∠FEB， ∴∠DEB＝∠DBE， ∴DE＝DB＝6， ∴AE＝AD+DE＝11； ②在 Rt△BOP中，由勾股定理得， ∵PA＝OA+OP＝4+OP， ∴PA﹣PB＝4+OP ， ∵， ∴要使 PA﹣PB的值最小，则要最大， ∴要有最小值， 又∵的值随着OP的值增大而增大， ∴的值随着OP的值增大而增大， ∴当OP有最小值时，有最小值，即此时有最大值， ∴当OP有最小值时，PA﹣PB有最小值； 如图所示，过点B作BH⊥AD于H，BT⊥FE于T， ∵， ∴， ∴由轴对称的性质可得， 在Rt△POB中，由勾股定理得， ∴当PB有最小值时，OP有最小值， 由垂线段最短可知， ∴当点P与点T重合时，BP有最小值，最小值为， ∴， ∴． 22．（2024•浙江）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC． （1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数． （2）求证：①EF∥BC； ②EF＝BD． 【解答】（1）解：∵CD为直径， ∴∠CAD＝90°， ∵∠AFE＝∠ADC＝60°， ∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ABD＝∠ACD＝30°； （2）证明：①如图，延长AB， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠CBM＝∠ADC， 又∵∠AFE＝∠ADC， ∴∠AFE＝∠CBM， ∴EF∥BC； ②过点D作DG∥BC交⊙O于点G，连接AG，CG， ∵DG∥BC， ∴， ∴BD＝CG， ∵四边形ACGD是圆内接四边形， ∴∠GDE＝∠ACG， ∵EF∥DG， ∴∠DEF＝∠GDE， ∴∠DEF＝∠ACG， ∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC， ∴∠AFE＝∠AGC， ∵AE＝AC， ∴△AEF≌△ACG（AAS）， ∴EF＝CG， ∴EF＝BD． 23．（2023•杭州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF． （1）若BE＝1，求GE的长． （2）求证：BC2＝BG•BO． （3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论． 【解答】（1）解：直径AB垂直弦CD， ∴∠AED＝90°， ∴∠DAE+∠D＝90°， ∵CF⊥AD， ∴∠FCD+∠D＝90°， ∴∠DAE＝∠FCD， 由圆周角定理得∠DAE＝∠BCD， ∴∠BCD＝∠FCD， 在△BCE和△GCE中， ， ∴△BCE≌△GCE（ASA）， ∴GE＝BE＝1； （2）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠CEB＝90°， ∵∠ABC＝∠CBE， ∴△ACB∽△CEB， ∴， ∴BC2＝BA•BE， 由（1）知GE＝BE， ∴BEBG， ∵AB＝2BO， ∴BC2＝BA•BE＝2BO•BG＝BG•BO； （3）解：∠CAD＝45°，证明如下： 解法一：如图，连接OC， ∵FO＝FG， ∴∠FOG＝∠FGO， ∵直径AB垂直弦CD， ∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°， ∵AE＝AE， ∴△ACE≌△ADE（SAS）， ∴∠DAE＝∠CAE， 设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β， 则∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝α， ∵∠ACB＝90°， ∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α， ∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°， ∴β+α＝90°， ∴α＝90°﹣β， ∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α， ∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β， ∴∠COF＝∠AOF， 在△COF和△AOF中， ， ∴△COF≌△AOF（SAS）， ∴∠OCF＝∠OAF， 即90°﹣3α＝α， ∴α＝22.5°， ∴∠CAD＝2a＝45°． 解法二： 如图，延长FO交AC于点H，连接OC， ∵FO＝FG， ∴∠FOG＝∠FGO， ∴∠FOG＝∠FGO＝∠CGB＝∠B， ∴BC∥FH， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠AHO＝90°， ∵OA＝OC， ∴AH＝CH， ∴AF＝CF， ∵CF⊥AD， ∴△AFC是等腰直角三角形， ∴∠CAD＝45°． 24．（2022•杭州）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE＝2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH． （1）如图1，若AB＝4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积． （2）如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K． ①求证：EK＝2EH； ②设∠AEK＝α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1，S2．求证：4sin2α﹣1． 【解答】（1）解：如图1， ∵点M是边AB的中点，若AB＝4，当点E与点M重合， ∴AE＝BE＝2， ∵AE＝2BF， ∴BF＝1， 在Rt△EBF中，EF2＝EB2+BF2＝22+12＝5， ∴正方形EFGH的面积＝EF2＝5； （2）如图2， ①证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴∠K+∠AEK＝90°， ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠KEF＝90°，EH＝EF， ∴∠AEK+∠BEF＝90°， ∴∠AKE＝∠BEF， ∴△AKE∽△BEF， ∴， ∵AE＝2BF， ∴， ∴EK＝2EF， ∴EK＝2EH； ②证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠KIH＝∠GJF， ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠IHK＝∠EHG＝∠HGF＝∠FGJ＝90°，EH＝FG， ∵KE＝2EH， ∴EH＝KH， ∴KH＝FG， 在△KHI和△FGJ中， ， ∴△KHI≌△FGJ（AAS）， ∴S△KHI＝S△FGJ＝S1， ∵∠K＝∠K，∠A＝∠IHK＝90°， ∴△KAE∽△KHI， ∴， ∵sinα， ∴sin2α， ∴4sin2α， ∴4sin2α﹣1． 25．（2021•杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG． （1）求证：△ABG∽△AFC． （2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）． （3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD． 【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC， ∴∠BAG＝∠FAC， 又∵∠G＝∠C， ∴△ABG∽△AFC； （2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC， ∴， ∵AC＝AF＝b， ∴AB＝AG＝a， ∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b； （3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG， ∴∠BAG＝∠CBG， ∵∠ABD＝∠CBE， ∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG， 又∵∠DGB＝∠BGE， ∴△DGB∽△BGE， ∴， ∴BG2＝GE•GD． 26．（2020•杭州）如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF． （1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长． （2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P， ①求证：PE＝PF． ②若DF＝EF，求∠BAC的度数． 【解答】（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1， ∴∠AOE＝60°，OEOA，AE＝EBOE， ∵AC是直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠C＝60°， ∵OC＝OB， ∴△OCB是等边三角形， ∵OF＝FC， ∴BF⊥AC， ∴∠AFB＝90°， ∵AE＝EB， ∴EFAB． （2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH． ∵∠FGA＝∠ABC＝90°， ∴FG∥BC， ∴△OFH∽△OCB， ∴，同理， ∴FH＝OE， ∵OE⊥AB．FH⊥AB， ∴OE∥FH， ∴四边形OEHF是平行四边形， ∴PE＝PF． 解法二：可以作OB中点G，连接FG，EG，证明OEFG是平行四边形即可，得对角线互相平分． ②∵OE∥FG∥BC， ∴1， ∴EG＝GB， ∴EF＝FB， ∵DF＝EF， ∴DF＝BF， ∵DO＝OB， ∴FO⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°． 解法二：可以过E点作EG∥OB交AC于点G，连接DG． ∵EG∥OB，AE＝EB， ∴AG＝OG ∵OF＝FC， ∴OG＝OF， ∴OD＝FG， ∵AE⊥OE，AG＝OG， ∴EGAO＝OG， ∵∠DOG＝∠FGE， ∴DOG≌△FGE（SAS）， ∴DG＝EF， ∵DF＝EF， ∴DG＝DF， ∴DO⊥FG， ∴EG⊥AO， ∴EA＝EO， ∴∠BAC＝45° 27．（2019•杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA． （1）若∠BAC＝60°， ①求证：ODOA． ②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值． （2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0． 【解答】解：（1）①连接OB、OC， 则∠BOD∠BOC＝∠BAC＝60°， ∴∠OBC＝30°， ∴ODOBOA； ②∵BC长度为定值， ∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大， 当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD， △ABC面积的最大值BC×AD2OBsin60°； （2）如图2，连接OC， 设：∠OED＝x， 则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx， 则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx∠BOC＝∠DOC， ∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx， ∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx， ∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x， 即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x， 化简得：m﹣n+2＝0． 备注：此题还可采用以下解法： 连接OB，延长DO交AB于点K， 设∠OED＝α，则∠AOK＝2α， ∴∠BKD＝90°﹣mα， 则∠BOA＝180°﹣2∠BAO＝180°﹣2（∠BKD﹣∠AOK）＝180°﹣2（90°﹣mα﹣2α）＝2mα+4α＝2∠C＝2nα， ∴m﹣n+2＝0． 28．（2018•杭州）如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设k． （1）求证：AE＝BF． （2）连接BE，DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β．求证：tanα＝ktanβ． （3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求的最大值． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝90°， ∴∠BAG+∠DAG＝90°， ∵DE⊥AG，BF⊥AG， ∴∠AED＝∠BFA＝90°， ∴∠ADE+∠DAG＝90°， ∴∠BAG＝∠ADE， ∴△ADE≌△BAF（AAS）， ∴AE＝BF， （2）由（1）知，∠BAG＝∠EDA， ∵∠ABG＝∠DEA， ∴△ABG∽△DEA， ∴， ∴k 在Rt△DEF中，EF＝DE•tanα， 在Rt△BEF中，EF＝BF•tanβ， ∴DE•tanα＝BF•tanβ， ∴tanα•tanβ•tanβ＝ktanβ； （3）方法1、如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC∥AD，AD＝BC， ∵k， ∴k， ∵AD∥BC， ∴△ADH∽△GBH， ∴（）2， ∴S1•S△BHG， 设△BHG的边BG上的高为h，△ADH的边AD上的高为h'， ∴△ADH∽△GBH ∴k， ∴h＝kh'， ∴k， ∴S△BCDS△BHG， ∴S2＝S△BCD﹣S△BHGS△BHG， k2+k+1＝﹣（k）2＝﹣（k）2， ∴k时，的最大值为， 方法2、如图1， 设正方形的边长为1， 连接BD交AG于H，过H作MN⊥BC交AD于M，BC于N， 设HN＝h，HM＝h'， ∴h+h'＝1， ∵k， ∴BG＝k，k， S2BC×CDk×hkh， S1AD×h'h'， ∴ ＝﹣（k）2， ∴k时，的最大值为． 方法3、如图，连接CH， ∵BD是正方形的对角线， ∴S1＝S△ADH＝S△CHD， ∴S2＝S四边形CDHG＝S△CHD+S△CHG＝S1+S△CHG， ∵， ∴S△CHGS△BHG， ∴S2＝S1S△BHG ∵△ADH∽△BHG， ∴ ∴S△BHG＝k2S△AHD＝k2S1， ∴S2＝S1﹣k（k﹣1）S1＝﹣（k2﹣k﹣1）S1， ∴（k2﹣k﹣1）＝﹣（k）2， ∴k时，的最大值为． 29．（2017•杭州）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG+∠EBA＝γ， （1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： α 30° 40° 50° 60° β 120° 130° 140° 150° γ 150° 140° 130° 120° 猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明； （2）若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长． 【解答】解：（1）猜想：β＝α+90°，γ＝﹣α+180° 连接OB， ∴由圆周角定理可知：2∠BCA＝360°﹣∠BOA， ∵OB＝OA， ∴∠OBA＝∠OAB＝α， ∴∠BOA＝180°﹣2α， ∴2β＝360°﹣（180°﹣2α）， ∴β＝α+90°， ∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴OE是线段BC的垂直平分线， ∴BE＝CE，∠BED＝∠CED，∠EDC＝90° ∵∠BCA＝∠EDC+∠CED， ∴β＝90°+∠CED， ∴∠CED＝α， ∴∠CED＝∠OBA＝α， ∴O、A、E、B四点共圆， ∴∠EBO+∠EAG＝180°， ∴∠EBA+∠OBA+∠EAG＝180°， ∴γ+α＝180°； 另解： ∵EO平分BC， ∴∠EBC＝∠ECB， ∵∠ECG＝∠ACG＝90°， ∴∠ECB+∠BCG＝90°， ∠CGA+∠EAG＝90°， ∵∠CBA＝∠CGA，∠BCG＝∠BAG＝α， ∴∠ECB+α＝90°，∠CBA+∠EAG＝90°， ∴∠ECB+α+∠CBA+∠EAG＝180°， ∴∠EBC+∠CBA+∠EAG+α＝180°， ∴∠EBA+∠EAG+α＝180°， 即γ+α＝180°， （2）当γ＝135°时，此时图形如图所示， ∴α＝45°，β＝135°， ∴∠BOA＝90°，∠BCE＝45°， 由（1）可知：O、A、E、B四点共圆， ∴∠BEC＝90°， ∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍， ∴， ∴， 设CE＝3x，AC＝x， 由（1）可知：BC＝2CD＝6， ∵∠BCE＝45°， ∴CE＝BE＝3x， ∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2＝62， x， ∴BE＝CE＝3，AC， ∴AE＝AC+CE＝4， 在Rt△ABE中， 由勾股定理可知：AB2＝（3）2+（4）2， ∴AB＝5， ∵∠BAO＝45°， ∴∠AOB＝90°， 在Rt△AOB中，设半径为r， 由勾股定理可知：AB2＝2r2， ∴r＝5， ∴⊙O半径的长为5． 30．（2016•杭州）在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P．如图，点点同学发现当射线AM，BN交于点C；且∠ACB＝60°时，有以下两个结论： ①∠APB＝120°；②AF+BE＝AB． 那么，当AM∥BN时： （1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出∠APB的度数，写出AF，BE，AB长度之间的等量关系，并给予证明； （2）设点Q为线段AE上一点，QB＝5，若AF+BE＝16，四边形ABEF的面积为32，求AQ的长． 【解答】解：点点的结论：①∵∠ACB＝60°， ∴∠BAC+∠ABC＝120°， ∵∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F， ∴∠PAB+∠PBA（∠PAB+∠PBA）＝60°， ∴∠APB＝120°， ②如图，在AB上取一点G，使AG＝AF， ∵AE是∠BAM的角平分线， ∴∠PAG＝∠PAF， 在△PAG和△PAF中，， ∴△PAG≌△PAF（SAS）， ∴∠AFP＝∠AGP， ∵∠EPF＝∠APB＝120°，∠ACB＝60°， ∴∠EPF+∠ACB＝180°， ∴∠PFC+∠PEC＝180°， ∵∠PFC+∠AFP＝180°， ∴∠PEC＝∠AFP， ∴∠PEC＝∠AGP， ∵∠AGP+∠BGP＝180°， ∴∠PEC+∠BGP＝180°， ∵∠PEC+∠PEB＝180°， ∴∠BGP＝∠BEP， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠PBG＝∠PBE， 在△BPG和△BPE中，， ∴△BPG≌△BPE（AAS）， ∴BG＝BE， ∴AF+BE＝AB． （1）原命题不成立，新结论为：∠APB＝90°，AF+BE＝2AB（或AF＝BE＝AB）， 理由：∵AM∥BN， ∴∠MAB+∠NBA＝180°， ∵AE，BF分别平分∠MAB，∠NBA， ∴∠EAB∠MAB，∠FBA∠NBA， ∴∠EAB+∠FBA（∠MAB+∠NBA）＝90°， ∴∠APB＝90°， ∵AE平分∠MAB， ∴∠MAE＝∠BAE， ∵AM∥BN， ∴∠MAE＝∠BEA， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE， 同理：AF＝AB， ∴AF+BE＝2AB（或AF＝BE＝AB）； （2）如图2， 过点F作FG⊥AB于G， ∵AF＝BE，AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AF+BE＝16， ∴AB＝AF＝BE＝8， ∵328×FG， ∴FG＝4， 在Rt△FAG中，AF＝8， ∴∠FAG＝60°， 当点G在线段AB上时，∠FAB＝60°， 当点G在线段BA延长线时，∠FAB＝120°， ①如图2， 当∠FAB＝60°时，∠PAB＝30°， ∴PB＝4，PA＝4， ∵BQ＝5，∠BPA＝90°， ∴PQ＝3， ∴AQ＝43或AQ＝43． ②如图3， 当∠FAB＝120°时，∠PAB＝60°，∠FBG＝30°， ∴PB＝4， ∵PB＝45， ∴线段AE上不存在符合条件的点Q， ∴当∠FAB＝60°时，AQ＝43或43． 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