【10年压轴题】2016-2025年云南省选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年云南省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2025•云南）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5，则sinA＝（　　） A． B． C． D． 2．（2024•云南）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（　　） A．700π平方厘米 B．900π平方厘米 C．1200π平方厘米 D．1600π平方厘米 3．（2023•云南）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°，则∠A＝（　　） A．66° B．33° C．24° D．30° 4．（2022•云南）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2021•云南）2020年以来，我国部分地区出现了新冠疫情．一时间，疫情就是命令，防控就是责任，一方有难八方支援．某公司在疫情期间为疫区生产A、B、C、D四种型号的帐篷共20000顶，有关信息见如下统计图： 下列判断正确的是（　　） A．单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的3倍 B．单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的1.5倍 C．单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等 D．每天单独生产C型帐篷的数量最多 6．（2020•云南）若整数a使关于x的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于y的方程1的解为非正数，则a的值为（　　） A．﹣61或﹣58 B．﹣61或﹣59 C．﹣60或﹣59 D．﹣61或﹣60或﹣59 7．（2019•云南）若关于x的不等式组的解集是x＞a，则a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2 8．（2018•云南）已知x6，则x2（　　） A．38 B．36 C．34 D．32 9．（2017•云南）如图，B、C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F两点，与线段AC交于D点．若∠BFC＝20°，则∠DBC＝（　　） A．30° B．29° C．28° D．20° 10．（2016•云南）如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝8，AD＝4，∠DAC＝∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为（　　） A．15 B．10 C． D．5 二．填空题（共10小题） 11．（2025•云南）某中学为了解全校1000名学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校就“我最喜爱的电视节目”作了一次简单随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制的扇形统计图．根据图中的信息，该校1000名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有　 　 名． 12．（2024•云南）某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．学校数学兴趣小组为给学校提出合理的采购意见，随机抽取了该校学生100人，了解他们喜欢的体育项目，将收集的数据整理，绘制成如下统计图： 注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的体育项目． 若该校共有学生1000人，则该校喜欢跳绳的学生大约有 　 　 人． 13．（2023•云南）数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为 　 　 分米． 14．（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是 　 　 ． 15．（2021•云南）已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D．若△ABC的一条边长为6，则点D到直线AB的距离为 　 　 ． 16．（2020•云南）已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE的长是 　 　 ． 17．（2019•云南）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于　 　 ． 18．（2018•云南）在△ABC中，AB，AC＝5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为 　 　 ． 19．（2017•云南）已知点A（a，b）在双曲线y上，若a、b都是正整数，则图象经过B（a，0）、C（0，b）两点的一次函数的解析式（也称关系式）为 　 　 ． 20．（2016•云南）如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为6，16π的长方形，那么这个圆柱的体积等于　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•云南）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径．连接AC，BE，CE，∠AEC＝∠ACF． （1）若CE＝CB，且∠CBE＝60°，求∠BCE的度数； （2）求证：直线CF是⊙O的切线； （3）探究，发现与证明： 已知AC平分∠BAE，是否存在常数a，b，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立；若不存在，请说明理由． 22．（2024•云南）如图，AB是⊙O的直径，点D、F是⊙O上异于A、B的点．点C在⊙O外，CA＝CD，延长BF与CA的延长线交于点M，点N在BA的延长线上，∠AMN＝∠ABM，AM•BM＝AB•MN．点H在直径AB上，∠AHD＝90°，点E是线段DH的中点． （1）求∠AFB的度数； （2）求证：直线CM与⊙O相切； （3）看一看，想一想，证一证：以下与线段CE、线段EB、线段CB有关的三个结论：CE+EB＜CB，CE+EB＝CB，CE+EB＞CB，你认为哪个正确？请说明理由． 23．（2023•云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T． （1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点； （2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由． 24．（2022•云南）已知抛物线y＝﹣x2x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k是抛物线y＝﹣x2x+c与x轴交点的横坐标，M是抛物线y＝﹣x2x+c上的点，常数m＞0，S为△ABM的面积．已知使S＝m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和． （1）求c的值； （2）直接写出T的值； （3）求的值． 25．（2021•云南）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小．设r是抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m． （1）求b、c的值； （2）求证：r4﹣2r2+1＝60r2； （3）以下结论：m＜1，m＝1，m＞1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 26．（2020•云南）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E． （1）求b、c的值； （2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标； （3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（2019•云南）如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB•DA，延长AE至F，使得AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED． （1）求证：△DEB∽△DAE； （2）求DA，DE的长； （3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长． 28．（2018•云南）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AF＝AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为l． （1）若△ABE的面积为30，直接写出S的值； （2）求证：AE平分∠DAF； （3）若AE＝BE，AB＝4，AD＝5，求l的值． 29．（2017•云南）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）设OPAC，求∠CPO的正弦值； （3）设AC＝9，AB＝15，求d+f的取值范围． 30．（2016•云南）有一列按一定顺序和规律排列的数： 第一个数是； 第二个数是； 第三个数是； … 对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于． （1）经过探究，我们发现：，，， 设这列数的第5个数为a，那么，，，哪个正确？ 请你直接写出正确的结论； （2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于”； （3）设M表示，，，…，，这2016个数的和，即， 求证：． 【10年压轴题】2016-2025年云南省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B C B D C A D 一．选择题（共10小题） 1．（2025•云南）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5，则sinA＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝5， ∴sinA， 故选：D． 2．（2024•云南）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（　　） A．700π平方厘米 B．900π平方厘米 C．1200π平方厘米 D．1600π平方厘米 【解答】解：圆锥的侧面积2π×30×40＝1200π（平方厘米）． 故选：C． 3．（2023•云南）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°，则∠A＝（　　） A．66° B．33° C．24° D．30° 【解答】解：∵∠A∠BOC，∠BOC＝66°， ∴∠A＝33°． 故选：B． 4．（2022•云南）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：B． 5．（2021•云南）2020年以来，我国部分地区出现了新冠疫情．一时间，疫情就是命令，防控就是责任，一方有难八方支援．某公司在疫情期间为疫区生产A、B、C、D四种型号的帐篷共20000顶，有关信息见如下统计图： 下列判断正确的是（　　） A．单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的3倍 B．单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的1.5倍 C．单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等 D．每天单独生产C型帐篷的数量最多 【解答】解：A、单独生产B帐篷所需天数为4（天），单独生产C帐篷所需天数为1（天）， ∴单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的4倍，此选项错误； B、单独生产A帐篷所需天数为2（天）， ∴单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的2倍，此选项错误； C、单独生产D帐篷所需天数为2（天）， ∴单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等，此选项正确； D、单由条形统计图可得每天单独生产A型帐篷的数量最多，此选项错误； 故选：C． 6．（2020•云南）若整数a使关于x的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于y的方程1的解为非正数，则a的值为（　　） A．﹣61或﹣58 B．﹣61或﹣59 C．﹣60或﹣59 D．﹣61或﹣60或﹣59 【解答】解：解不等式组，得 x≤25， ∵不等式组有且只有45个整数解， ∴﹣2019， 解得﹣61≤a＜﹣58， 因为关于y的方程1的解为： y＝﹣a﹣61，y≤0， ∴﹣a﹣61≤0， 解得a≥﹣61， ∵y+1≠0，∴y≠﹣1， ∴a≠﹣60 则a的值为：﹣61或﹣59． 故选：B． 7．（2019•云南）若关于x的不等式组的解集是x＞a，则a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2 【解答】解：解关于x的不等式组， 得， ∵解关于x的不等式组的解集是x＞a， ∴a≥2， 故选：D． 8．（2018•云南）已知x6，则x2（　　） A．38 B．36 C．34 D．32 【解答】解：把x6两边平方得：（x）2＝x22＝36， 则x234， 故选：C． 9．（2017•云南）如图，B、C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F两点，与线段AC交于D点．若∠BFC＝20°，则∠DBC＝（　　） A．30° B．29° C．28° D．20° 【解答】解：∵∠BFC＝20°， ∴∠BAC＝2∠BFC＝40°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB70°． 又EF是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝40°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°． 故选：A． 10．（2016•云南）如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝8，AD＝4，∠DAC＝∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为（　　） A．15 B．10 C． D．5 【解答】解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C， ∴△ACD∽△BCA， ∵AB＝8，AD＝4， ∴△ACD的面积：△ABC的面积＝（）2＝1：4， ∴△ACD的面积：△ABD的面积＝1：3， ∵△ABD的面积为15， ∴△ACD的面积＝5． 故选：D． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•云南）某中学为了解全校1000名学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校就“我最喜爱的电视节目”作了一次简单随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制的扇形统计图．根据图中的信息，该校1000名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有　200　 名． 【解答】解：该校1000名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有1000×20%＝200（名）． 故答案为：200． 12．（2024•云南）某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．学校数学兴趣小组为给学校提出合理的采购意见，随机抽取了该校学生100人，了解他们喜欢的体育项目，将收集的数据整理，绘制成如下统计图： 注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的体育项目． 若该校共有学生1000人，则该校喜欢跳绳的学生大约有 　120　 人． 【解答】解：根据题意得： 1000×12%＝120（人）， 答：该校喜欢跳绳的学生大约有120人． 故答案为：120． 13．（2023•云南）数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为 　　 分米． 【解答】解：由勾股定理得：圆锥的高为：（分米）， 故答案为：． 14．（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是 　40°或100°　 ． 【解答】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°； 当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°； 综上，△ABC的顶角度数是40°或100°． 故答案为：40°或100°． 15．（2021•云南）已知△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D．若△ABC的一条边长为6，则点D到直线AB的距离为 　或3或66或6﹣3　 ． 【解答】解：①当B为直角顶点时，过D作DH⊥AB于H，如图： ∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABD＝∠ADH＝45°，AD＝CDAC， ∴△AHD和△BHD是等腰直角三角形， ∴AH＝DH＝BH， ∴DHBC， 若AC＝6，则BC＝AC•cos45°＝3，此时DH，即点D到直线AB的距离为； 若AB＝BC＝6，则DHBC＝3，即点D到直线AB的距离为3； ②当B不是直角顶点时，过D作DH⊥BC于H，如图： ∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D， ∴△CDH是等腰直角三角形，AD＝DH＝CH， 在△ABD和△HBD中， ， ∴△ABD≌△HBD（AAS）， ∴AB＝BH， 若AB＝AC＝6时，BH＝6，BC6， ∴CH＝BC﹣BH＝66， ∴AD＝66，即此时点D到直线AB的距离为66； 若BC＝6，则AB＝BC•cos45°＝3， ∴BH＝3， ∴CH＝6﹣3， ∴AD＝6﹣3，即此时点D到直线AB的距离为6﹣3； 综上所述，点D到直线AB的距离为或3或66或6﹣3． 故答案为：或3或66或6﹣3． 16．（2020•云南）已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE的长是 　或　 ． 【解答】解：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴BC2， ∴AD＝2， 当点E在CD上时， ∵AE2＝DE2+AD2＝EC2， ∴（6﹣DE）2＝DE2+4， ∴DE； 当点E'在AB上时， ∵CE'2＝BE'2+BC2＝E'A2， ∴AE'2＝（6﹣AE'）2+4， ∴AE'， ∴DE'， 综上所述：DE或， 故答案为：或． 17．（2019•云南）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于　16或8　 ． 【解答】解：过D作DE⊥AB于E， 在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，AD＝4， ∴DEAD＝2，AEAD＝6， 在Rt△BDE中，∵BD＝4， ∴BE2， 如图1，∴AB＝8， ∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝8×216， 如图2，AB＝4， ∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝4×28， 如图3，过B作BE⊥AD于E， 在Rt△ABE中，设AE＝x，则DE＝4x， ∵∠A＝30°，BEx， 在Rt△BDE中，∵BD＝4， ∴42＝（x）2+（4x）2， ∴x＝2，x＝4（不合题意舍去）， ∴BE＝2， ∴平行四边形ABCD的面积＝AD•BE＝2×48， 如图4，当AD⊥BD时，平行四边形ABCD的面积＝AD•BD＝16， 解法二：解：过点D作DE⊥AB于E，如图1，当点B在E的右边时， ∵∠A＝30°，AD＝4， ∴DEAD＝2， ∴AEDE＝6， ∴BE2， ∴AB＝AE+BE＝8， ∴S四边形ABCD＝8×216， 如图2，点B在E的左边时， 同理AE＝6，BE＝2，DE＝2， ∴S四边形ABCD＝4×28， 故答案为：16或8． 18．（2018•云南）在△ABC中，AB，AC＝5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为 　9或1　 ． 【解答】解：有两种情况： ①如图1，∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 由勾股定理得：BD5， CD4， ∴BC＝BD+CD＝5+4＝9； ②如图2，同理得：CD＝4，BD＝5， ∴BC＝BD﹣CD＝5﹣4＝1， 综上所述，BC的长为9或1； 故答案为：9或1． 19．（2017•云南）已知点A（a，b）在双曲线y上，若a、b都是正整数，则图象经过B（a，0）、C（0，b）两点的一次函数的解析式（也称关系式）为 　y＝﹣5x+5或yx+1　 ． 【解答】解：∵点A（a，b）在双曲线y上， ∴ab＝5， ∵a、b都是正整数， ∴a＝1，b＝5或a＝5，b＝1． 设经过B（a，0）、C（0，b）两点的一次函数的解析式为y＝mx+n． ①当a＝1，b＝5时， 由题意，得，解得， ∴y＝﹣5x+5； ②当a＝5，b＝1时， 由题意，得，解得， ∴yx+1． 则所求解析式为y＝﹣5x+5或yx+1． 故答案为y＝﹣5x+5或yx+1． 20．（2016•云南）如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为6，16π的长方形，那么这个圆柱的体积等于　144或384π　 ． 【解答】解：①底面周长为6，高为16π， π×（）2×16π ＝π16π ＝144； ②底面周长为16π，高为6， π×（）2×6 ＝π×64×6 ＝384π． 答：这个圆柱的体积是144或384π． 故答案为：144或384π． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•云南）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径．连接AC，BE，CE，∠AEC＝∠ACF． （1）若CE＝CB，且∠CBE＝60°，求∠BCE的度数； （2）求证：直线CF是⊙O的切线； （3）探究，发现与证明： 已知AC平分∠BAE，是否存在常数a，b，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵CE＝CB，且∠CBE＝60°， ∴△CBE是等边三角形， ∴∠BCE＝60°； （2）证明：延长CO交⊙O于点M，连接EM，如图， ∵CM是⊙O的直径， ∴∠CEM＝90°， ∴∠AEC+∠AEM＝90°， ∵∠AEM＝∠ACM，∠AEC＝∠ACF， ∴∠ACF+∠ACM＝90°， ∴∠MCF＝90°， ∴OC⊥CF， ∵OC是⊙O的半径， ∴直线CF是⊙O的切线； （3）解：存在常数a＝1，b＝1，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立；理由如下： 如图，设AC与BE交于点N， ∵AC平分∠BAE， ∴∠EAC＝∠BAC， ∵∠EAC＝∠EBC，∠BEC＝∠BAC， ∴∠EAC＝∠EBC＝∠BAC＝∠BEC， ∴CE＝CB， ∵∠BCN＝∠ACB，∠CBE＝∠BAC， ∴△BCN∽△ACB， ∴， ∴BC2＝AC•CN①， ∵∠AEN＝∠BEA，∠EAC＝∠BAC， ∴△AEN∽△ACB， ∴， ∴AE•AB＝AC•AN②， ①+②得：BC2+AE•AB＝AC•CN+AC•AN＝AC（CN+AN）＝AC2， ∵CE＝CB， ∴AC2＝BC•CE+AB•AE， ∴此时a＝1，b＝1． ∴存在常数a＝1，b＝1，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立． 22．（2024•云南）如图，AB是⊙O的直径，点D、F是⊙O上异于A、B的点．点C在⊙O外，CA＝CD，延长BF与CA的延长线交于点M，点N在BA的延长线上，∠AMN＝∠ABM，AM•BM＝AB•MN．点H在直径AB上，∠AHD＝90°，点E是线段DH的中点． （1）求∠AFB的度数； （2）求证：直线CM与⊙O相切； （3）看一看，想一想，证一证：以下与线段CE、线段EB、线段CB有关的三个结论：CE+EB＜CB，CE+EB＝CB，CE+EB＞CB，你认为哪个正确？请说明理由． 【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°； （2）证明：∵AM•BM＝AB•MN， ∴， ∵∠AMN＝∠ABM， ∴△AMN∽△ABM， ∴∠NAM＝∠MAB． ∵∠NAM+∠MAB＝180°， ∴∠NAM＝∠MAB＝90°， ∴OA⊥CM． ∵OA为⊙O的半径， ∴直线CM与⊙O相切； （3）解：正确的结论为：CE+EB＝CB，理由： 连接OC，OD，过点B作⊙O的切线，交CD的延长线于点K，设BC与DH交于点G，如图， 在△OAC和△ODC中， ， ∴△OAC≌△ODC（SSS）， ∴∠OAC＝∠ODC． 由（2）知：OA⊥CM， ∴∠OAC＝∠ODC＝90°， ∴OD⊥CD． ∵OD为⊙O的半径， ∴CK为⊙O的切线． ∵BK为⊙O的切线， ∴DK＝BK，BK⊥AB． ∵DH⊥AB，CA⊥AB， ∴AC∥DH∥BK， ∴△BHG∽△BAC，△CDG∽△CKB，． ∴，， ∴，， ∴． ∵CA＝CD， ∴GH＝GD， ∴点G是线段DH的中点， ∵点E是线段DH的中点， ∴点G与点E重合． ∴线段BC经过点E， ∴CE+EB＝CB． 解法二：设BC与DH交于点G，连接AD，连接BD并延长交AC的延长线于点K，如图， ∵DH⊥AB，CA⊥AB， ∴AC∥DH， ∴△BHG∽△BAC，△BHD∽△BAK， ∴，， ∴， ∴． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADK＝90°， ∴∠CAD+∠K＝90°，∠CDA+∠CDK＝90°， ∴∠CAD+∠K＝∠CDA+∠CDK， ∵CD＝CA， ∴∠CAD＝CDA， ∴∠K＝∠CDK， ∴CK＝CD， ∴CK＝CA， ∴AK＝2AC， ∴． ∴HD＝2HG， 即G为HD的中点， ∴点E与点G重合， ∴线段BC经过点E， ∴CE+EB＝CB． 23．（2023•云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T． （1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点； （2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：当a时，函数表达式为y＝12x+6， 令y＝0得x， ∴此时函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象与x轴有交点； 当a时，y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4为二次函数， ∵Δ＝（9﹣6a）2﹣4（4a+2）（﹣4a+4）＝100a2﹣140a+49＝（10a﹣7）2≥0， ∴函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象与x轴有交点； 综上所述，无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点； （2）解：存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点，理由如下： 当a时，不符合题意； 当a时， 在y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4中，令y＝0得：0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4， 解得x或x， ∵x2，a是整数， ∴当2a+1是6的因数时，是整数， ∴2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6， 解得a或a＝﹣2或a或a＝﹣1或a＝0或a或a＝1或a， ∵a是整数， ∴a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1． 24．（2022•云南）已知抛物线y＝﹣x2x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k是抛物线y＝﹣x2x+c与x轴交点的横坐标，M是抛物线y＝﹣x2x+c上的点，常数m＞0，S为△ABM的面积．已知使S＝m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和． （1）求c的值； （2）直接写出T的值； （3）求的值． 【解答】解：（1）把点（0，2）代入抛物线y＝﹣x2x+c中得：c＝2； （2）由（1）知：y＝﹣x2x+2＝﹣（x）2， ∴顶点的坐标为（，）， ∵使S＝m成立的点M恰好有三个，常数m＞0，S为△ABM的面积， ∴其中一个点M就是抛物线的顶点， ∴T2； （3）解法一：当y＝0时，﹣x2x+2＝0， x2x﹣2＝0， ∴x0， x， ∴（x）2＝3， ∴x27， ∴k27， ∴（k2）2＝49， ∴k441， ∴ ． 解法二：当y＝0时，﹣x2x+2＝0， x2x﹣2＝0， ∵k是抛物线y＝﹣x2x+c与x轴交点的横坐标，即x＝k是x2x﹣2＝0的解， ∴k2k﹣2＝0， ∴k2＝2k， ∴k4＝（2k）2＝4﹣4k+3k2＝4﹣4k+3（2k）＝10﹣7k， ∵k8+k6+2k4+4k2+16 ＝（10﹣7k）2+（2k）（10﹣7k）+2（10﹣7k）+4（2k）+16 ＝100﹣140k+147k2+20﹣24k+21k2+20﹣14k+8﹣4k+16 ＝164﹣182k+168（2k） ＝500﹣350k， ∴ ． 25．（2021•云南）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小．设r是抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m． （1）求b、c的值； （2）求证：r4﹣2r2+1＝60r2； （3）以下结论：m＜1，m＝1，m＞1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 【解答】（1）解：∵y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小，即对称轴为直线x＝﹣4， ∴，解得； （2）证明：由题意，抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣16x﹣2， ∵r是抛物线y＝﹣2x2﹣16x﹣2与x轴的交点的横坐标， ∴2r2+16r+2＝0， ∴r2+8r+1＝0， ∴r2+1＝﹣8r ∴（r2+1）2＝（﹣8r）2， ∴r4+2r2+1＝64r2， ∴r4﹣2r2+1＝60r2； （3）m＞1正确，理由如下： 由（2）知：r4﹣2r2+1＝60r2； ∴r4﹣62r2+1＝0， ∴r7﹣62r5+r3＝0， 而m﹣11 ， 由（2）知：r2+8r+1＝0， ∴8r＝﹣r2﹣1， ∵﹣r2﹣1＜0， ∴8r＜0，即r＜0， ∴r9+60r5﹣1＜0， ∴0， 即m﹣1＞0， ∴m＞1． 26．（2020•云南）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E． （1）求b、c的值； （2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标； （3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把A、C点的坐标代入抛物线的解析式得， ， 解得，； （2）直线BC与抛物线的对称轴交于点F，连接AF，如图1， 此时，AF+CF＝BF+CF＝BC的值最小， ∵AC为定值， ∴此时△AFC的周长最小， 由（1）知，b＝﹣2，c＝﹣3， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3， ∴对称轴为直线x＝1， 令y＝0，得y＝x2﹣2x﹣3＝0， 解得，x＝﹣1，或x＝3， ∴B（3，0）， ∵C（0，﹣3）， 设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），得 ， 解得，， ∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3， 当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2， ∴F（1，﹣2）； （3）设P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞3），过P作PH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，如图2， 则PH＝5DG，E（m，m﹣3）， ∴PE＝m2﹣3m，DE＝m﹣3， ∵∠PHE＝∠DGE＝90°，∠PEH＝∠DEG， ∴△PEH∽△DEG， ∴， ∴， ∵m＝3（舍），或m＝5， ∴点P的坐标为P（5，12）． 故存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍，其P点坐标为（5，12）． 27．（2019•云南）如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB•DA，延长AE至F，使得AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED． （1）求证：△DEB∽△DAE； （2）求DA，DE的长； （3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长． 【解答】解：（1）∵∠D＝∠D，DE2＝DB•DA， ∴△DEB∽△DAE； （2）∵△DEB∽△DAE， ∴∠DEB＝∠DAE＝α，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，又AE＝EF， ∴AB＝BF＝10，∴∠BFE＝∠BAE＝α，则BF⊥ED交于点H， ∵cos∠BED，则BE＝6，AE＝8 ∴，即：， 解得：BD，DE， 则AD＝AB+BD， ED； （3）点F在B、E、M三点确定的圆上，则BF是该圆的直径，连接MF， ∵BF⊥ED，∠BMF＝90°，∴∠MFB＝∠D＝β， 设：即HB交ED于点H， ∵∠BEH＝∠EFH＝α，∠EBH+∠EFH＝90°， ∴∠BEH+∠EBH＝90°，即HB⊥ED， 在△BED中，设HD＝x，则EHx， 则36﹣（x）2＝（）2﹣x2， 解得：x， 则cosβ，则sinβ， MB＝BFsinβ＝10， DM＝BD﹣MB． 28．（2018•云南）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AF＝AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为l． （1）若△ABE的面积为30，直接写出S的值； （2）求证：AE平分∠DAF； （3）若AE＝BE，AB＝4，AD＝5，求l的值． 【解答】解：（1）如图，作EG⊥AB于点G， 则S△ABEAB×EG＝30，则AB•EG＝60， ∴平行四边形ABCD的面积为60； （2）延长AE交BC延长线于点H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠HCE，∠DAE＝∠CHE， ∵E为CD的中点， ∴CE＝ED， ∴△ADE≌△HCE， ∴AD＝HC、AE＝HE， ∴AD+FC＝HC+FC， 由AF＝AD+FC和FH＝HC+FC得AF＝FH， ∴∠FAE＝∠CHE， 又∵∠DAE＝∠CHE， ∴∠DAE＝∠FAE， ∴AE平分∠DAF； （3）连接EF， ∵AE＝BE、AE＝HE， ∴AE＝BE＝HE， ∴∠BAE＝∠ABE，∠HBE＝∠BHE， ∵∠DAE＝∠CHE， ∴∠BAE+∠DAE＝∠ABE+∠HBE，即∠DAB＝∠CBA， 由四边形ABCD是平行四边形得∠DAB+∠CBA＝180°， ∴∠CBA＝90°， ∴AF2＝AB2+BF2＝16+（5﹣FC）2＝（FC+CH）2＝（FC+5）2， 解得：FC， ∴AF＝FC+CH， ∵AE＝HE、AF＝FH， ∴FE⊥AH， ∴AF是△AEF的外接圆直径， ∴△AEF的外接圆的周长lπ． 29．（2017•云南）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）设OPAC，求∠CPO的正弦值； （3）设AC＝9，AB＝15，求d+f的取值范围． 【解答】解：（1）连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA， ∵AC∥OP， ∴∠A＝∠BOP，∠ACO＝∠COP， ∴∠COP＝∠BOP， ∵PB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴∠OBP＝90°， 在△POC与△POB中，， ∴△COP≌△BOP， ∴∠OCP＝∠OBP＝90°， ∴PC是⊙O的切线； （2）过O作OD⊥AC于D， ∴∠ODC＝∠OCP＝90°，CDAC， ∵∠DCO＝∠COP， ∴△ODC∽△PCO， ∴， ∴CD•OP＝OC2， ∵OPAC， ∴ACOP， ∴CDOP， ∴OP•OP＝OC2 ∴， ∴sin∠CPO； （3）连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴AC⊥BC， ∵AC＝9，AB＝15， ∴BC12， 当CM⊥AB时， d＝AM，f＝BM， ∴d+f＝AM+BM＝15， 当M与B重合时， d＝9，f＝0， ∴d+f＝9， ∴d+f的取值范围是：9≤d+f≤15． 30．（2016•云南）有一列按一定顺序和规律排列的数： 第一个数是； 第二个数是； 第三个数是； … 对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于． （1）经过探究，我们发现：，，， 设这列数的第5个数为a，那么，，，哪个正确？ 请你直接写出正确的结论； （2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于”； （3）设M表示，，，…，，这2016个数的和，即， 求证：． 【解答】解：（1）由题意知第5个数a； （2）∵第n个数为，第（n+1）个数为， ∴（） ， 即第n个数与第（n+1）个数的和等于； （3）∵11， 1， ， … ， ， ∴12， 即， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$