【10年压轴题】2016-2025年天津选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年天津选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2025•天津）四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当t＝6s时，CN＝DM； ②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2； ③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024•天津）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6s； ②小球运动中的高度可以是30m； ③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论： ①2a+b＜0； ②当x＞1时，y随x的增大而增大； ③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2021•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论： ①abc＞0； ②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根； ③a+b+c＞7． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2020•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x．有下列结论： ①abc＞0； ②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根； ③a． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2019•天津）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝ax2+bx+c … t m ﹣2 ﹣2 n … 且当x时，与其对应的函数值y＞0．有下列结论： ①abc＞0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2018•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（0，3），其对称轴在y轴右侧．有下列结论： ①抛物线经过点（1，0）； ②方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根； ③﹣3＜a+b＜3 其中，正确结论的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2017•天津）已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（　　） A．y＝x2+2x+1 B．y＝x2+2x﹣1 C．y＝x2﹣2x+1 D．y＝x2﹣2x﹣1 10．（2016•天津）已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 二．填空题（共10小题） 11．（2025•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （Ⅰ）线段PA的长为 　 　 ； （Ⅱ）直线PA与△ABC的外接圆相切于点A，AB＝BC．点M在射线BC上，点N在线段BA的延长线上，满足CM＝2AN，且MN与射线BA垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　 ． 12．（2024•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，F，G均在格点上． （I）线段AG的长为 　 　 ； （II）点E在水平网格线上，过点A，E，F作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与AE，AF的延长线相交于点B，C，△ABC中，点M在边BC上，点N在边AB上，点P在边AC上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，P，使△MNP的周长最短，并简要说明点M，N，P的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　 ． 13．（2023•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上． （1）线段AB的长为 　 　 ； （2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　 ． 14．（2022•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及∠DPF的一边上的点E，F均在格点上． （Ⅰ）线段EF的长等于 　 　 ； （Ⅱ）若点M，N分别在射线PD，PF上，满足∠MBN＝90°且BM＝BN．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　 ． 15．（2021•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上． （Ⅰ）线段AC的长等于 　 　 ； （Ⅱ）以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　 ． 16．（2020•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上，且AB． （Ⅰ）线段AC的长等于　 　 ． （Ⅱ）以BC为直径的半圆与边AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点，当BP+PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）　 　 ． 17．（2019•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC＝50°，∠BAC＝30°，经过点A，B的圆的圆心在边AC上． （Ⅰ）线段AB的长等于　 　 ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）　 　 ． 18．（2018•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上， （Ⅰ）∠ACB的大小为　 　 （度）； （Ⅱ）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′，当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的（不要求证明）　 　 ． 19．（2017•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上． （1）AB的长等于 　 　 ； （2）在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA＝1：2：3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　 ． 20．（2016•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点． （Ⅰ）AE的长等于　 　 ； （Ⅱ）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP＝PQ＝QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0，b＞0）． （Ⅰ）当a＝﹣1，b＝2，c＝3时，求该抛物线顶点P的坐标； （Ⅱ）点A（﹣1，0）和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点． ①当a＝﹣2时，若点D在抛物线上，∠CAD＝90°，AC＝AD，求点D的坐标； ②若点B（m，0），∠CAB＝2∠ABC，以AC为边的▱ACEF的顶点F在抛物线的对称轴l上，当CE+CF取得最小值为时，求顶点E的坐标． 22．（2024•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的顶点为P，且2a+b＝0，对称轴与x轴相交于点D，点M（m，1）在抛物线上，m＞1，O为坐标原点． （Ⅰ）当a＝1，c＝﹣1时，求该抛物线顶点P的坐标； （Ⅱ）当时，求a的值； （Ⅲ）若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，∠MDN＝90°，DM＝DN，点E在线段MN上，点F在线段DN上，，当DE+MF取得最小值为时，求a的值． 23．（2023•天津）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，c＞1）的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且，过点M作MN⊥AC，垂足为N． （1）若b＝﹣2，c＝3． ①求点P和点A的坐标； ②当时，求点M的坐标； （2）若点A的坐标为（﹣c，0），且MP∥AC，当时，求点M的坐标． 24．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B． （Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3， ①求点P的坐标； ②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标； （Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标． 25．（2021•天津）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D． （Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2DC，求该抛物线的解析式； （Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标． 26．（2020•天津）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点． （Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2． ①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标； ②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？ 27．（2019•天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点． （Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）点D（b，yD）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值； （Ⅲ）点Q（b，yQ）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值． 28．（2018•天津）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P． （Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标； （Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP＝45°时，求抛物线的解析式； （Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP＝45°时，求抛物线的解析式． 29．（2017•天津）已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'． ①当点P'落在该抛物线上时，求m的值； ②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值． 30．（2016•天津）已知抛物线C：y＝x2﹣2x+1的顶点为P，与y轴的交点为Q，点F（1，）． （Ⅰ）求点P，Q的坐标； （Ⅱ）将抛物线C向上平移得到抛物线C′，点Q平移后的对应点为Q′，且FQ′＝OQ′． ①求抛物线C′的解析式； ②若点P关于直线Q′F的对称点为K，射线FK与抛物线C′相交于点A，求点A的坐标． 【10年压轴题】2016-2025年天津选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C D C C C A B 一．选择题（共10小题） 1．（2025•天津）四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当t＝6s时，CN＝DM； ②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2； ③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：根据题意得：点M在AB上的运动时间为点M在AD上的运动时间为，点N在CB上的运动时间为16s， ①当t＝6s时，点M在AD上， 此时AM＝2×6﹣8＝4cm，CN＝6cm， ∴DM＝AD﹣AM＝6cm， ∴CN＝DM，故①正确； ②当1≤t≤2时，点M在AB上， 此时BM＝2t cm，CN＝t cm， ∴BN＝（16﹣t）cm， ∴2t（16﹣t）＝﹣t2+16t＝﹣（t﹣8）2+64， ∵﹣1＜0， ∴当t＜8时，S△BMN随t的增大而增大， ∴当t＝2时，S△BMN取得最大值，最大值为﹣（2﹣8）2+64＝28， 即当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2，故②错误； ③当点M在AB上时， ∵△BMN的面积为39cm2， ∴， 解得：t1＝3，t2＝13（舍去）， ∴当t＝3时，△BMN的面积为39cm2； 当点M在AD上时， ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，即AB⊥AD， 此时． 解得：， ∴当时，△BMN的面积为39cm2； ∴t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2，故③正确． 故选：C． 2．（2024•天津）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6s； ②小球运动中的高度可以是30m； ③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：①令h＝0，则30t﹣5t2＝0， 解得t1＝0，t2＝6， ∴小球从抛出到落地需要6s， 故①正确； ②h＝30t﹣5t2＝﹣5（t2﹣6t）＝﹣5（t﹣3）2+45， ∵﹣5＜0， ∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45， ∴小球运动中的高度可以是30m， 故②正确； ③t＝2时，h＝30×2﹣5×4＝40（m）， t＝5时，h＝30×5﹣5×25＝25（m）， ∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度， 故③错误． 故选：C． 3．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：设AD边长为x m，则AB边长为m， 当AB＝6时，6， 解得x＝28， ∵AD的长不能超过26m， ∴x≤26， 故①不正确； ∵菜园ABCD面积为192m2， ∴x•192， 整理得：x2﹣40x+384＝0， 解得x＝24或x＝16， ∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2， 故②正确； 设矩形菜园的面积为y m2， 根据题意得：y＝x•（x2﹣40x）（x﹣20）2+200， ∵0，20＜26， ∴当x＝20时，y有最大值，最大值为200． 故③正确． ∴正确的有2个， 故选：C． 4．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论： ①2a+b＜0； ②当x＞1时，y随x的增大而增大； ③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）， ∴a+b+c＝0， ∵a＜c， ∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小题结论正确； ②∵a+b+c＝0，0＜a＜c， ∴b＜0， ∴对称轴x1， ∴当1＜x时，y随x的增大而减小，本小题结论错误； ③∵a+b+c＝0， ∴b+c＝﹣a， 对于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0， ∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根，本小题结论正确； 故选：C． 5．（2021•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论： ①abc＞0； ②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根； ③a+b+c＞7． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1）， ∴c＝1，a﹣b+c＝﹣1， ∴a＝b﹣2， ∵当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1． ∴4a﹣2b+1＞1， ∴4（b﹣2）﹣2b+1＞1，解得：b＞4， ∴a＝b﹣2＞0， ∴abc＞0，故①正确； ②∵a＝b﹣2，c＝1， ∴（b﹣2）x2+bx+1﹣3＝0，即（b﹣2）x2+bx﹣2＝0， ∴Δ＝b2﹣4×（﹣2）×（b﹣2）＝b2+8b﹣16＝b（b+8）﹣16， ∵b＞4， ∴Δ＞0， ∴关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根，故②正确； ③∵a＝b﹣2，c＝1， ∴a+b+c＝b﹣2+b+1＝2b﹣1， ∵b＞4， ∴2b﹣1＞7， ∴a+b+c＞7． 故③正确； 故选：D． 6．（2020•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x．有下列结论： ①abc＞0； ②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根； ③a． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x， ∴点（2，0）关于直线x的对称点的坐标为（﹣1，0）， ∵c＞1， ∴抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线对称轴为直线x， ∴ab＜0， ∴abc＜0，故①错误； ∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点， ∴顶点在x轴的上方， ∵a＜0， ∴抛物线与直线y＝a有两个交点， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；故②正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0）， ∴4a+2b+c＝0， ∵b＝﹣a， ∴4a﹣2a+c＝0，即2a+c＝0， ∴﹣2a＝c， ∵c＞1， ∴﹣2a＞1， ∴a，故③正确， 故选：C． 7．（2019•天津）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝ax2+bx+c … t m ﹣2 ﹣2 n … 且当x时，与其对应的函数值y＞0．有下列结论： ①abc＞0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：当x＝0时，c＝﹣2， 当x＝1时，a+b﹣2＝﹣2， ∴a+b＝0， ∴y＝ax2﹣ax﹣2， ∴abc＞0， ①正确； x是对称轴， x＝﹣2时y＝t，则x＝3时，y＝t， ∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根； ②正确； m＝a+a﹣2，n＝4a﹣2a﹣2， ∴m＝n＝2a﹣2， ∴m+n＝4a﹣4， ∵当x时，y＞0， ∴a， ∴m+n， ③错误； 故选：C． 8．（2018•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（0，3），其对称轴在y轴右侧．有下列结论： ①抛物线经过点（1，0）； ②方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根； ③﹣3＜a+b＜3 其中，正确结论的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：①∵抛物线过点（﹣1，0），对称轴在y轴右侧， ∴当x＝1时y＞0，结论①错误； ②过点（0，2）作x轴的平行线，如图所示． ∵该直线与抛物线有两个交点， ∴方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根，结论②正确； ③∵当x＝1时y＝a+b+c＞0， ∴a+b＞﹣c． ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（0，3）， ∴c＝3， ∴a+b＞﹣3． ∵当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c， ∴a+b＝2a+c． ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴a+b＜c＝3， ∴﹣3＜a+b＜3，结论③正确． 故选：C． 9．（2017•天津）已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（　　） A．y＝x2+2x+1 B．y＝x2+2x﹣1 C．y＝x2﹣2x+1 D．y＝x2﹣2x﹣1 【解答】解：当y＝0，则0＝x2﹣4x+3， （x﹣1）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴A（1，0），B（3，0）， y＝x2﹣4x+3 ＝（x﹣2）2﹣1， ∴M点坐标为：（2，﹣1）， ∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上， ∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可， ∴平移后的解析式为：y＝（x+1）2＝x2+2x+1． 故选：A． 10．（2016•天津）已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小， ∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5， 可得：（1﹣h）2+1＝5， 解得：h＝﹣1或h＝3（舍）； ②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5， 可得：（3﹣h）2+1＝5， 解得：h＝5或h＝1（舍）； ③若1≤h≤3时，当x＝h时，y取得最小值为1，不是5， ∴此种情况不符合题意，舍去． 综上，h的值为﹣1或5， 故选：B． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （Ⅰ）线段PA的长为 　　 ； （Ⅱ）直线PA与△ABC的外接圆相切于点A，AB＝BC．点M在射线BC上，点N在线段BA的延长线上，满足CM＝2AN，且MN与射线BA垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） 　直线PA与射线BC的交点为M；取圆与网格线的交点D和E，连接DE；取格点F，连接AF，与DE相交于点O；连接BO并延长，与AC相交于点G，与直线PA相交于点H；连接CH并延长，与网格线相交于点I，连接AI，与网格线相交于点I；连接GJ，与线段BA的延长线相交于点N，则点M，N即为所求　 ． 【解答】解：（1）由勾股定理得， 故答案为：； （2）如图所示，点M，N即为所求， 作法：直线PA与射线BC的交点为M；取圆与网格线的交点D和E，连接DE；取格点F，连接AF，与DE相交于点O；连接BO并延长，与AC相交于点G，与直线PA相交于点H；连接CH并延长，与网格线相交于点I，连接AI，与网格线相交于点I；连接GJ，与线段BA的延长线相交于点N，则点M，N即为所求． 理由：∵∠DAE＝90°， ∴DE为圆的直径， ∵AF为正方形的对角线， ∴∠DAF＝∠EAF＝45°， ∴AF垂直平分线段DE， ∴点O为圆的圆心， ∴OA＝OC， 又∵AB＝BC，OB＝OB， ∴△AOB≌△COB（SSS）， ∴∠ABO＝∠CBO， ∴BG 平分∠ABC， ∴点G为线段AC的中点， 由网格可知点J为线段AI的中点， ∴GJ为△ACI的中位线， ∴GJ∥CI， ∴点N为线段AQ的中点， ∴AQ＝2AN， ∵AB＝BC，BH＝BH，∠ABH＝∠CBH， ∴△ABH≌△CBH（SAS）， ∴AH＝CH，∠BAH＝∠BCH， ∴∠QAH＝∠MCH， 又∵∠AHQ＝∠CHM， ∴△AHQ≌△CHM（ASA）， ∴AQ＝CM，即CM＝2AN， 延长BH交QM于点T， ∵AB＝BC，AQ＝CM， ∴BQ＝BM， ∵∠QBH＝∠MBH， ∴BT⊥QM， ∵AM为圆的切线， ∴∠OAH＝90°， ∴∠OAB+∠QAM＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB， 即∠QAM+∠OBA＝90°， ∵∠OBA+∠AQM＝90°， ∴∠QAM＝∠AQM， ∴△AMQ为等腰三角形， ∴MN⊥AQ， ∴点M，N即为所求． 12．（2024•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，F，G均在格点上． （I）线段AG的长为 　　 ； （II）点E在水平网格线上，过点A，E，F作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与AE，AF的延长线相交于点B，C，△ABC中，点M在边BC上，点N在边AB上，点P在边AC上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，P，使△MNP的周长最短，并简要说明点M，N，P的位置是如何找到的（不要求证明） 　如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点M1；取圆与网格线的交点D和格点H，连接DH并延长，与网格线相交于点M2；连接M1M2，分别与AB，AC相交于点N，P，则点M，N，P即为所求　 ． 【解答】解：（I）AG； （II）如图，点M，N，P即为所求． 方法：如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点M1；取圆与网格线的交点D和格点H，连接DH并延长，与网格线相交于点M2；连接M1M2，分别与AB，AC相交于点N，P，则点M，N，P即为所求． 故答案为：如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点M1；取圆与网格线的交点D和格点H，连接DH并延长，与网格线相交于点M2；连接M1M2，分别与AB，AC相交于点N，P，则点M，N，P即为所求． 13．（2023•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上． （1）线段AB的长为 　　 ； （2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） 　取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与 GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．　 ． 【解答】解：（1）AB． 故答案为：； （2）如图，点Q即为所求； 方法：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求； 理由：可以证明∠PCA＝∠QCB，∠CBQ＝∠CAP＝60°， ∵AC＝CB， ∴△ACP≌△BAQ（ASA）， ∴∠ACP＝∠BCQ，CP＝CQ， ∴∠PCQ＝∠ACB＝60°， ∴△PCQ是等边三角形． 故答案为：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求． 14．（2022•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及∠DPF的一边上的点E，F均在格点上． （Ⅰ）线段EF的长等于 　　 ； （Ⅱ）若点M，N分别在射线PD，PF上，满足∠MBN＝90°且BM＝BN．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） 　连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM交⊙O于点G，连接GO，延长GO交⊙O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，N即为所求　 ． 【解答】解：（Ⅰ）EF． 故答案为：； （Ⅱ）如图，点M，N即为所求． 步骤：连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM交⊙O于点G，连接GO，延长GO交⊙O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，N即为所求． 故答案为：连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM交⊙O于点G，连接GO，延长GO交⊙O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，N即为所求 15．（2021•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上． （Ⅰ）线段AC的长等于 　　 ； （Ⅱ）以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 　取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求　 ． 【解答】解：（Ⅰ）AC． 故答案为：． （Ⅱ）如图，点P即为所求． 故答案为：如图，取BC与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接OD并延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，则OE为△BFA的中位线，则AB＝AF，连接FG延长FG交AB于点P，则BG＝FG，∠AFG＝∠ABG，即△FAP≌△BAC，则点P即为所求． 16．（2020•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上，且AB． （Ⅰ）线段AC的长等于　　 ． （Ⅱ）以BC为直径的半圆与边AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点，当BP+PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）　取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B′，连接B′C，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B′P并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求　 ． 【解答】解：（Ⅰ）线段AC的长等于； （Ⅱ）如图，∵点A，C是2×3网格的格点， ∴取2×3网格的格点M，N，M′，N′，连接MN，M′N′， 即将AC平移至MN和M′N′，′ ∴MN∥AC∥M′N′， 连接BD并延长，与MN相交于点B′， 连接B′C，与半圆相交于点E，连接BE， 与AC相交于点P，连接B′P并延长，与BC相交于点Q， 则点P，Q即为所求． ∵BC是直径， ∴∠BDC＝90°， ∵MN∥AC∥M′N， ∴BD⊥MN，BD⊥M′N′， ∴BD＝B′D， ∴点B、点B′关于AC对称， ∴BP＝B′P， ∴BP+PQ＝B′P+PQ＝B′Q最短． 17．（2019•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC＝50°，∠BAC＝30°，经过点A，B的圆的圆心在边AC上． （Ⅰ）线段AB的长等于　　 ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）　取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB　 ． 【解答】解：（Ⅰ）AB， 故答案为：； （Ⅱ）如图，取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB， 故答案为：取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB． 18．（2018•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上， （Ⅰ）∠ACB的大小为　90　 （度）； （Ⅱ）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′，当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的（不要求证明）　如图，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求　 ． 【解答】解：（1）由网格图可知， AC， BC， AB， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴由勾股定理逆定理，△ABC为直角三角形． ∴∠ACB＝90°， 故答案为：90°． （Ⅱ）作图过程如下： 取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求． 证明：连CF． ∵AC，CF为正方形网格对角线， ∴A、C、F共线， ∴AF＝5AB， 由图形可知：GC，CF＝2， ∵AC，BC， ∴△ACB∽△GCF， ∴∠GFC＝∠B， ∵AF＝5AB， ∴当BC边绕点A逆时针旋转∠CAB时，点B与点F重合，点C在射线FG上． 由作图可知T为AB中点， ∴∠TCA＝∠TAC， ∴∠F+∠P′CF＝∠B+∠TCA＝∠B+∠TAC＝90°， ∴CP′⊥GF， 此时，CP′最短， 故答案为：如图，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求． 19．（2017•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上． （1）AB的长等于 　　 ； （2）在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA＝1：2：3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 　如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格相交，得到M，N．连接DN，EM，DN与EM相交于点P，点P即为所求．　 ． 【解答】解：（1）AB． 故答案为． （2）如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格相交，得到M，N，G．连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，点P即为所求． 理由：平行四边形ABME的面积：平行四边形CDNB的面积：平行四边形DEMG的面积＝1：2：3， △PAB的面积平行四边形ABME的面积，△PBC的面积平行四边形CDNB的面积，△PAC的面积＝△PNG的面积△DGN的面积平行四边形DEMG的面积， ∴S△PAB：S△PBC：S△PCA＝1：2：3． 补充方法：如图点P即为所求（可以证明△PAB的面积：△PBC的面积：△PAC的面积＝1：2：3） 20．（2016•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点． （Ⅰ）AE的长等于　　 ； （Ⅱ）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP＝PQ＝QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）　AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交于Q，连接PQ，则线段PQ即为所求　 ． 【解答】解：（Ⅰ）AE； 故答案为：； （Ⅱ）如图，AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交于Q，连接PQ，则线段PQ即为所求． 故答案为：AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交于Q，连接PQ，则线段PQ即为所求． 证明：以A为原点建立平面直角坐标系， 则A（0，0），B（6，1.5），E（1，2），F（5，）， ∴直线AE的解析式yAE＝2x，直线BF的解析式为yBF＝﹣2x， 设p（m，2m），Q（n，﹣2n）（0＜m＜n＜6）， ∴AP2＝m2+（2m）2＝5m2，PQ2＝（m﹣n）2+（2m+2n）2 BQ2＝（n﹣6）2+（﹣2n+12）2＝5（n﹣6）2， ∵AP＝PQ＝BQ， ∴5m2＝5（n﹣6）2＝5n2﹣54m﹣54n，由5m2＝5（n﹣6）2得m＝6﹣n，m＝n﹣6（舍去），把m＝6﹣n代入得n＝4.5，n（舍去）， ∴P（1.5，3），Q（4.5，4.5）． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0，b＞0）． （Ⅰ）当a＝﹣1，b＝2，c＝3时，求该抛物线顶点P的坐标； （Ⅱ）点A（﹣1，0）和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点． ①当a＝﹣2时，若点D在抛物线上，∠CAD＝90°，AC＝AD，求点D的坐标； ②若点B（m，0），∠CAB＝2∠ABC，以AC为边的▱ACEF的顶点F在抛物线的对称轴l上，当CE+CF取得最小值为时，求顶点E的坐标． 【解答】解：（I）∵a＝﹣1，b＝2，c＝3， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴该抛物线顶点P的坐标为（1，4）； （II）①∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝ax2+bx+c上， ∴0＝a﹣b+c，即c＝b﹣a， 又∵a＝﹣2，点C（0，c）， ∴OC＝c＝b+2，AO＝1， ∴抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx+b+2， 如图，点D在第四象限，过点D作DH⊥x轴于点H， ∴∠AHD＝90°， ∴∠HAD+∠ADH＝90°， ∵∠CAD＝90°， ∴∠CAO+∠HAD＝90°， ∴∠ADH＝∠CAO， 又∵AD＝AC，∠AHD＝∠AOC＝90°， ∴△ADH≌△CAO（AAS）， ∴DH＝AO＝1，AH＝OC＝b+2， ∵OH＝AH﹣AO， ∴OH＝b+2﹣1＝b+1， ∴点D的坐标为（b+1，﹣1）， ∵点D在抛物线y＝﹣2x2+bx+b+2上， ∴﹣1＝﹣2（b+1）2+b（b+1）+b+2， 整理得，b2+2b﹣1＝0， 解得， ∵b＞0， ∴不合，舍去， ∴， ∴点D的坐标为； ②∵c＝b﹣a，a＜0，b＞0， ∴c＞0，m＞1， 在x轴上点A的左侧取点G，使GA＝AC，连接GC． ∴∠ACG＝∠CGA，得∠CAB＝2∠CGA． ∵∠CAB＝2∠ABC， ∴∠ABC＝∠CGA． ∴CG＝CB，则GO＝OB． 在Rt△AOC中，根据勾股定理，AC2＝AO2+OC2， ∴， ∴， ∴． 又∵点B（m，0），得OB＝m． ∴，即c2＝m2﹣2m， 根据题意，点A和点B关于直线l对称，点F在直线l上，得AF＝BF． 又∵▱ACEF中，AF＝CE．得CE＝BF． ∴CE+CF＝BF+CF≥BC． ∴当点F在线段BC上时，CE+CF取得最小值，即， 在Rt△OBC中，OB2+OC2＝BC2， ∴m2+c2＝24． 将c2＝m2﹣2m代入，得m2+（m2﹣2m）＝24． 解得m1＝4，m2＝﹣3（舍）， ∴， ∴点B（4，0），， ∴直线BC的解析式为． 设点F的横坐标为x0，则4﹣x0＝x0﹣（﹣1）， 得， ∴点F的坐标为． ∵线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的， ∴点E可以看作是点F向右平移一个单位，向上平移个单位得到的， ∴点E的坐标为． 22．（2024•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的顶点为P，且2a+b＝0，对称轴与x轴相交于点D，点M（m，1）在抛物线上，m＞1，O为坐标原点． （Ⅰ）当a＝1，c＝﹣1时，求该抛物线顶点P的坐标； （Ⅱ）当时，求a的值； （Ⅲ）若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，∠MDN＝90°，DM＝DN，点E在线段MN上，点F在线段DN上，，当DE+MF取得最小值为时，求a的值． 【解答】解：（I）∵2a+b＝0，a＝1， ∴b＝﹣2a＝﹣2， 又∵c＝﹣1， ∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1， ∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2， ∴该抛物线顶点P的坐标为（1，﹣2）． （II）如图，过点M（m，1）作MH⊥x轴，垂足为H，m＞1， 则∠MHO＝90°，HM＝1，OH＝m， 在Rt△MOH中，由， ∴， 解得（舍）， ∴点M的坐标为， ∵2a+b＝0，即， ∴抛物线y＝ax2﹣2ax+c的对称轴为直线x＝1． ∵对称轴与x轴相交于点D， ∴OD＝1，∠ODP＝90°． 在Rt△OPD中，由， ∴， 解得（负值舍去）， 由a＞0，得该抛物线顶点P的坐标为， ∴该抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上， ∴， ∴a＝10． （III）过点M（m，1）作MH⊥x轴，垂足为H，m＞1， 则∠MHO＝90°，HM＝1，OH＝m， ∴DH＝OH﹣OD＝m﹣1， 在Rt△DMH中，DM2＝DH2+HM2＝（m﹣1）2+1， 如图，过点N作NK⊥x轴，垂足为K，则∠DKN＝90°， ∵∠MDN＝90°，DM＝DN， 又∵∠DNK＝90°﹣∠NDK＝∠MDH， 在Rt△NDK和△DMH中， ， ∴△NDK≌△DMH（AAS）， ∴点N的坐标为（2，1﹣m）， 在Rt△DMN中，∠DMN＝∠DNM＝45°， ∴MN2＝DM2+DN2＝2DM2，即． ∵， ∴ME＝NF， 在△DMN的外部，作∠DNG＝45°，且NG＝DM，连接GF， 得∠MNG＝∠DNM+∠DNG＝90°， ∴△GNF≌△DME（SAS）， ∴GF＝DE， ∴DE+MF＝GF+MF≥GM， 当满足条件的点F落在线段GM上时，DE+MF取得最小值，即， 在Rt△GMN中，GM2＝NG2+MN2＝3DM2， ∴， ∴DM2＝5， ∴（m﹣1）2+1＝5， 解得m1＝3，m2＝﹣1（舍）， ∴点M的坐标为（3，1），点N的坐标为（2，﹣2）， ∵点M（3，1），N（2，﹣2）都在抛物线y＝ax2﹣2ax+c上， ∴1＝9a﹣6a+c，﹣2＝4a﹣4a+c， ∴a＝1． 23．（2023•天津）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，c＞1）的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且，过点M作MN⊥AC，垂足为N． （1）若b＝﹣2，c＝3． ①求点P和点A的坐标； ②当时，求点M的坐标； （2）若点A的坐标为（﹣c，0），且MP∥AC，当时，求点M的坐标． 【解答】解：（1）①∵b＝﹣2，c＝3， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴P（﹣1，4）， 当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1， ∵点A在点B的左侧， ∴A（﹣3，0）． 答：P点的坐标为（﹣1，4），A点的坐标为（﹣3，0）． ②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，于直线AC交于点F， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴OA＝OC， ∴在Rt△AOC中，∠OAC＝45°， ∴在Rt△AEF中，EF＝AE， ∵抛物线上的点M的横坐标为m，其中﹣3＜m＜﹣1， ∴M（m，﹣m2﹣2m+3），E（m，0）， ∴EF＝AE＝m﹣（﹣3）＝m+3， ∴F（m，m+3）， ∴FM＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m， ∴在Rt△FMN中，∠MFN＝45°， ∴， ∴﹣m2﹣3m＝2， 解得m1＝﹣2，m2＝﹣1（舍去）， ∴M（﹣2，3）． 答：点M的坐标为（﹣2，3）． （2）∵点A（﹣c，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，其中c＞1， ∴﹣c2﹣bc+c＝0， 得b＝1﹣c， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+（1﹣c）x+c， ∴M（m，﹣m2+（1﹣c）m+c），其中． ∴顶点P的坐标为（），对称轴为直线l：x． 如图，过点M作MQ⊥l于点Q，连接MP， 则∠MQP＝90°，Q， ∵MP∥AC， ∴∠QPM＝45°， ∴MQ＝QP， ∴， 即（c+2m）2＝1， 解得c1＝﹣2m﹣1，c2＝﹣2m+1（舍去）， 同②，过点M作ME⊥x轴于点E，与直线AC交于点F， 则点E（m，0），点F（m，﹣m﹣1），点M（m，m2﹣1）， ∴， ∴， 即2m2+m﹣10＝0， 解得（舍去）， ∴点M的坐标为（）． 答：点M的坐标为（）． 24．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B． （Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3， ①求点P的坐标； ②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标； （Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标． 【解答】解：（Ⅰ）①若b＝﹣2，c＝﹣3， 则抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2x﹣3， ∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）， ∴a+2﹣3＝0，解得a＝1， ∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点P的坐标为（1，﹣4）； ②当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）， 设直线BP的解析式为y＝kx+n， ∴，解得， ∴直线BP的解析式为y＝2x﹣6， ∵直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G， 设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6）， ∴MG＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1， ∴当m＝2时，MG取得最大值1， 此时，点M（2，﹣3），则G（2，﹣2）； （Ⅱ）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， 又3b＝2c， b＝﹣2a，c＝﹣3a（a＞0）， ∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a． ∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a， ∴顶点P的坐标为（1，﹣4a）， ∵直线x＝2与抛物线相交于点N， ∴点N的坐标为（2，﹣3a）， 作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'， 得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a）， 当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5． 延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H． 在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a． ∴P'N′2＝P'H2+HN′2＝9+49a2＝25． 解得a1，a2（舍）． ∴点P'的坐标为（﹣1，），点N′的坐标为（2，）． ∴直线P'N′的解析式为yx． ∴点E（，0），点F（0，）． 25．（2021•天津）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D． （Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2DC，求该抛物线的解析式； （Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标． 【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），则c＝﹣1， （Ⅰ）当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2， 故抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）； （Ⅱ）∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1， 故点D（1，﹣a﹣1）， 由DE＝2DC得：DE2＝8CD2， 即（1﹣0）2+（a+1+a+1）2＝8[（1﹣0）2+（﹣a﹣1+1）2]， 解得a或， 故抛物线的表达式为yx2﹣x﹣1或yx2﹣3x﹣1； （Ⅲ）将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D′（﹣2，﹣a）， 作点F关于x轴的对称点F′，则点F′的坐标为（0，a﹣1）， 当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM+ND最小，理由： ∵FM+ND＝F′M+D′M＝F′D′为最小，即F′D′＝2， 则F′D′2＝F′H2+D′H2＝（1﹣2a）2+4＝（2）2， 解得a（舍去）或， 则点D′、F′的坐标分别为（﹣2，）、（0，）， 由点D′、F′的坐标得，直线D′F′的表达式为y＝﹣3x， 当y＝0时，y＝﹣3x0，解得xm， 则m+3， 即点M的坐标为（，0）、点N的坐标为（，﹣1）． 26．（2020•天津）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点． （Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2． ①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标； ②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？ 【解答】解：（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3． ∵抛物线经过点A（1，0）， ∴0＝1+b﹣3， 解得b＝2， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3． ∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）． （Ⅱ）①∵抛物线y＝ax2+bx+m经过点A（1，0）和M（m，0），m＜0， ∴0＝a+b+m，0＝am2+bm+m，即am+b+1＝0． ∴a＝1，b＝﹣m﹣1． ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m． 根据题意得，点C（0，m），点E（m+1，m）， 过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）． 在Rt△EAH中，EH＝1﹣（m+1）＝﹣m，HA＝0﹣m＝﹣m， ∴AEm， ∵AE＝EF＝2， ∴m＝2， 解得m＝﹣2． 此时，点E（﹣1，﹣2），点C（0，﹣2），有EC＝1． ∵点F在y轴上， ∴在Rt△EFC中，CF． ∴点F的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣2）． ②由N是EF的中点，连接CN，CM，得CNEF． 根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上， 由点M（m，0），点C（0，m），得MO＝﹣m，CO＝﹣m， ∴在Rt△MCO中，MCm． 当MC，即m≤﹣1时，满足条件的点N在线段MC上． MN的最小值为MC﹣NCm，解得m； 当MC，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC﹣MC（m）， 解得m． ∴当m的值为或时，MN的最小值是． 27．（2019•天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点． （Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）点D（b，yD）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值； （Ⅲ）点Q（b，yQ）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0）， ∴1+b+c＝0， 即c＝﹣b﹣1， 当b＝2时， y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1， ∵点D（b，yD）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上， ∴yD＝b2﹣b•b﹣b﹣1＝﹣b﹣1， 由b＞0，得b0，﹣b﹣1＜0， ∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x的右侧， 如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0）， ∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE， ∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°， ∴ADAE， 由已知AM＝AD，m＝5， ∴5﹣（﹣1）（b+1）， ∴b＝31； （Ⅲ）∵点Q（b，yQ）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上， ∴yQ＝（b）2﹣b（b）﹣b﹣1， 可知点Q（b，）在第四象限，且在直线x＝b的右侧， ∵AM+2QM＝2（AM+QM）， ∴可取点N（0，1）， 如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M， 由∠GAM＝45°，得AM＝GM， 则此时点M满足题意， 过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b，0）， 在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°， ∴QH＝MH，QMMH， ∵点M（m，0）， ∴0﹣（）＝（b）﹣m， 解得，m， ∵AM+2QM， ∴[（）﹣（﹣1）]+2[（b）﹣（）]， ∴b＝4． 28．（2018•天津）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P． （Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标； （Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP＝45°时，求抛物线的解析式； （Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP＝45°时，求抛物线的解析式． 【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2+mx﹣2m经过点A（1，0）， ∴0＝1+m﹣2m， 解得：m＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣2， ∵y＝x2+x﹣2＝（x）2， ∴顶点P的坐标为（，）； （Ⅱ）抛物线y＝x2+mx﹣2m的顶点P的坐标为（，）， 由点A（1，0）在x轴的正半轴上，点P在x轴的下方，∠AOP＝45°知点P在第四象限， 如图1，过点P作PQ⊥x轴于点Q， 则∠POQ＝∠OPQ＝45°， 可知PQ＝OQ，即， 解得：m1＝0，m2＝﹣10， 当m＝0时，点P不在第四象限，舍去； ∴m＝﹣10， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣10x+20； （Ⅲ）由y＝x2+mx﹣2m＝x2+m（x﹣2）可知当x＝2时，无论m取何值时y都等于4， ∴点H的坐标为（2，4）， 过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D、H作x轴的垂线，垂足分别为E、G， 则∠DEA＝∠AGH＝90°， ∵∠DAH＝90°，∠AHD＝45°， ∴∠ADH＝45°， ∴AH＝AD， ∵∠DAE+∠HAG＝∠AHG+∠HAG＝90°， ∴∠DAE＝∠AHG， ∴△ADE≌△HAG， ∴DE＝AG＝1、AE＝HG＝4， 则点D的坐标为（﹣3，1）或（5，﹣1）； ①当点D的坐标为（﹣3，1）时，可得直线DH的解析式为yx， ∵点P（，）在直线yx上， ∴（）， 解得：m1＝﹣4、m2， 当m＝﹣4时，点P与点H重合，不符合题意， ∴m； ②当点D的坐标为（5，﹣1）时，可得直线DH的解析式为yx， ∵点P（，）在直线yx上， ∴（）， 解得：m1＝﹣4（舍），m2， 综上，m或m， 则抛物线的解析式为y＝x2x或y＝x2x． 29．（2017•天津）已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'． ①当点P'落在该抛物线上时，求m的值； ②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值． 【解答】解： （1）∵抛物线y＝x2+bx﹣3经过点A（﹣1，0）， ∴0＝1﹣b﹣3，解得b＝﹣2， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）； （2）①由P（m，t）在抛物线上可得t＝m2﹣2m﹣3， ∵点P′与P关于原点对称， ∴P′（﹣m，﹣t）， ∵点P′落在抛物线上， ∴﹣t＝（﹣m）2﹣2（﹣m）﹣3，即t＝﹣m2﹣2m+3， ∴m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，解得m或m； ②由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限， ∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0， ∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， ∴﹣4≤t＜0， ∵P在抛物线上， ∴t＝m2﹣2m﹣3， ∴m2﹣2m＝t+3， ∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t）， ∴P′A2＝（﹣m+1）2+（﹣t）2＝m2﹣2m+1+t2＝t2+t+4＝（t）2； ∴当t时，P′A2有最小值， ∴m2﹣2m﹣3，解得m或m， ∵m＞0， ∴m不合题意，舍去， ∴m的值为． 30．（2016•天津）已知抛物线C：y＝x2﹣2x+1的顶点为P，与y轴的交点为Q，点F（1，）． （Ⅰ）求点P，Q的坐标； （Ⅱ）将抛物线C向上平移得到抛物线C′，点Q平移后的对应点为Q′，且FQ′＝OQ′． ①求抛物线C′的解析式； ②若点P关于直线Q′F的对称点为K，射线FK与抛物线C′相交于点A，求点A的坐标． 【解答】解：（Ⅰ）∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 ∴顶点P（1，0）， ∵当x＝0时，y＝1， ∴Q（0，1）， （Ⅱ）①设抛物线C′的解析式为y＝x2﹣2x+m， ∴Q′（0，m）其中m＞1， ∴OQ′＝m， ∵F（1，）， 过F作FH⊥OQ′，如图： ∴FH＝1，Q′H＝m， 在Rt△FQ′H中，FQ′2＝（m）2+1＝m2﹣m， ∵FQ′＝OQ′， ∴m2﹣mm2， ∴m， ∴抛物线C′的解析式为y＝x2﹣2x， ②方法一：设点A（x0，y0），则y0＝x02﹣2x0①， 过点A作x轴的垂线，与直线Q′F相交于点N，则可设N（x0，n）， ∴AN＝y0﹣n，其中y0＞n， 连接FP， ∵F（1，），P（1，0）， ∴FP⊥x轴， ∴FP∥AN， ∴∠ANF＝∠PFN， 连接PK，则直线Q′F是线段PK的垂直平分线， ∴FP＝FK，有∠PFN＝∠AFN， ∴∠ANF＝∠AFN，则AF＝AN， ∵A（x0，y0），F（1，）， ∴AF2＝（x0﹣1）2+（y0）2＝x02﹣2x0+1+y02﹣y0x02﹣2x0y02﹣y0＝（x02﹣2x0）+y02﹣y0② ∵y0＝x02﹣2x0①， 将①右边整体代换②得，AF2＝（x02﹣2x0）+y02﹣y0＝y0+y02﹣y0＝y02 ∵y0＞0 ∴AF＝y0， ∴y0＝y0﹣n， ∴n＝0， ∴N（x0，0）， 设直线Q′F的解析式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴yx， 由点N在直线Q′F上，得，0x0， ∴x0， 将x0代入y0＝x2x0， ∴y0， ∴A（，）， 方法二：由①有，Q'（0，），F（1，），P（1，0）， ∴直线FQ'的解析式为yx①， ∵FQ'⊥PK，P（1，0）， ∴直线PK的解析式为yx② 联立①②得出，直线FQ'与PK的交点M坐标为（，）， ∵点P，K关于直线FQ'对称， ∴K（，）， ∵F（1，）， ∴直线FK的解析式为yx③， ∵射线FK与抛物线C′：y＝x2﹣2x④相交于点A， ∴联立③④得，或（舍）， ∴A（，）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$