专题02 方程（组）与不等式（组）（6大考点）（河北专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题02 方程（组）与不等式（组） 7考点概览 考点01一元一次方程与二元一次方程方程组的应用 考点02一元二次方程根的判别式组的应用 考点03一元二次方程根与系数关系 考点04分式方程的实际应用问题 考点05解一元一次不等式（组） 考点06一元一次不等式与其它知识的综合有理数概念的应用考点 一元一次方程与二元一次方程方程组的应用 考点01 1．（2026·河北唐山·一模）有三种不同重量的物体“”“”“”，若图1中左、右手中盘内物体的重量相同，则图2中左、右盘内物体的重量（   ） A．左盘内物体重 B．右盘内物体重 C．左右盘内物体重量相同 D．左盘内物体重量是右盘内物体重量的倍 2．（2026·河北保定·一模）如图，有甲、乙两根长度不同的木条，竖直插入到纸杯底部，甲木条露出纸杯的部分是其全长的，乙木条露出纸杯的部分是其全长的，已知甲木条的长为m，则乙木条的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北唐山·一模）如图，这是2026年1月的月历表，任意圈出一竖列上相邻的四个数，你可以运用方程的思想来研究，发现这四个数的和可能是（　　） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．71 B．68 C．59 D．50 4．（2026·河北石家庄·一模）《九章算术》中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多3钱，问合伙人数、羊的总价钱各是多少？下列做法错误的为（   ） A．若设合伙人数为人，据题意可得： B．若设羊的总价钱为钱，据题意可得： C．若设羊的总价钱为钱，据题意可得： D．设合伙人数为人，羊的总价钱为钱，据题意可得： 5．（2026·河北·一模）刺绣是中国民间传统手工艺之一，某刺绣工作室接到一个刺绣订单，林师傅单独完成这个订单需要天，比李师傅单独完成这个订单需要的天数少，如果两人合作___________天能完成这个订单． 6．（2026·河北秦皇岛·一模）（1）把方程写成用含的代数式表示的形式； （2）将（1）的结果代入，消去未知数，求出的值； （3）直接写出方程组的解． 7．（2026·河北·一模）下面是嘉琪解方程组的过程，老师判断后说其中有错误． 解： ，得，                         第一步 把代入①，得，          第二步 所以方程组的解为             第三步 (1)请指出在第几步开始出现错误，并写出正确的解答过程； (2)在（1）的基础上，化简：． 8．（2026·河北张家口·一模）淇淇自主创业，在网上经营一家水果店．为了增加销量，淇淇开展了促销活动：若顾客一次性购买水果的总价超过120元，顾客就少付超过部分的．每笔订单顾客网上支付成功后，淇淇会得到支付款的．设顾客一次购买水果的总价是x元，淇淇得到的金额是y元． (1)当时，y与x的函数关系式是________；当时，求y与x的函数关系式． (2)顾客甲和乙都购买水果，若二人分别购买，网上支付成功后，淇淇分别得到81元和117元． ①求顾客乙购买水果的总价； ②若甲、乙二人合买，直接写出二人合买比分别购买省多少钱． 一元二次方程根的判别式组的应用 考点02 9．（2026·河北邯郸·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D．且 10．（2026·河北张家口·一模）嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 一元二次方程根与系数关系 考点03 11．（2026·河北保定·二模）若一元二次方程的两根之和为m，两根之积为n，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·河北·一模）若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（2026·河北邯郸·一模）已知点在第四象限，若m，n分别为一元二次方程的两根之和与两根之积，则这个一元二次方程可以是（   ） A． B． C． D． 14．（2026·河北秦皇岛·一模）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 15．（2026·河北廊坊·一模）已知方程，下列说法正确的是（   ） ①该方程没有实数根；②是该方程的一个根；③该方程的两个实数根的积为 A．只有① B．只有② C．只有③ D．②③ 16．（2026·河北唐山·一模）关于x的一元二次方程的两个实数根为，，设，则M与方程根的判别式之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 17．（2026·河北保定·一模）已知，为关于x的一元二次方程的实数根，嘉嘉，淇淇两人作出了如下判断． 嘉嘉：当时，； 淇淇：当时，． 则关于两人的判断说法正确的是（） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉、淇淇都正确 D．嘉嘉、淇淇都错误 分式方程的实际应用问题 考点04 18．（25-26九年级上·天津西青·期末）在一个不透明盒中有若干枚黑棋和5枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则盒中黑棋的个数是（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 19．（2026·河北张家口·一模）某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 20．（23-24八年级下·河南南阳·期末）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰，某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植棵树，乙班共植棵树，设乙班每小时植棵树，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 21．（2026·河北廊坊·一模）爱好摄影的小冀正在学习调节老式胶片相机的光圈，在镜头焦距一定的条件下，光圈孔径直径D（单位：）与光圈系数F的关系式为，小冀分别使用了甲、乙两种不同的光圈设置进行拍摄，已知乙设置下的光圈系数是甲设置下的2倍，且甲设置下的光圈孔径直径比乙设置下的大，则甲设置下的光圈系数为_______． 22．（2023·重庆开州·模拟预测）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．菜苗可以在市场上或菜苗基地购买．据了解，市场上甲种菜苗的价格是菜苗基地甲种菜苗的价格的倍． (1)学校在市场上买了40捆甲种菜苗和在菜苗基地买了50捆甲种菜苗共用了1600元，求菜苗基地甲种菜苗的价格； (2)据了解，菜苗基地有甲、乙两种菜苗出售，菜苗基地为了支持学校的农耕种植活动，决定对甲种菜苗降价出售给学校，乙种菜苗是甲种菜苗降价后的倍，用900元购买的降价后的甲种菜苗比购买乙种菜苗的多25捆．求菜苗基地乙种菜苗的价格． 23．（2026·河北邯郸·二模）将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）． 现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片． 方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积平方厘米； 方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积平方厘米． 已知方案二比方案一的面积多出平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程： 解： …………第一步 ……………第二步 ……………………………第三步 (1)该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程； (2)若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值． 解一元一次不等式（组） 考点05 24．（2026·河北石家庄·一模）下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（   ） 不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向 不等式的解集为 A． B． C． D． 25．（2026·河北衡水·模拟预测）如图是x在数轴上表示的取值范围，满足条件的任意x的值都能使一个二次根式有意义，则这个二次根式是（ ） A． B． C． D． 26．（2026·河北廊坊·一模）如图，在数轴上有，，三点，点、所表示的数分别为和． (1)若点、关于点对称，求、、三点所表示的数的和； (2)若点表示的数为，且点在点的左侧，求的取值范围 27．（2026·河北张家口·一模）一个一元一次不等式的解集如图所示． (1)写出一个符合条件的一元一次不等式________（未知数为x，写出一个即可）； (2)设m、n是该不等式的两个解，m，n的平均数是1， ①求m的取值范围； ②若，直接写出整数n的值． 28．（2026·河北邢台·一模）某同学解一个关于的一元一次不等式组，已知不等式①的解集如图1所示． (1)求m的值； (2)解此不等式组，并在图2所示的数轴上表示出解集． 29．（2026·河北石家庄·一模）根据如图所示的运算程序，回答下列问题． (1)若输入，计算输出的值； (2)若输出的，求输入的最大整数的值． 30．（2026·河北石家庄·一模）计算：．芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．（■代表被污染的数字） (1)如果被污染的数字是，请计算：； (2)如果计算结果大于6，求被污染的数字的最小整数值． 31．（2026·河北邯郸·一模）解不等式（组） (1)解不等式，并在给出的数轴上表示其解集； (2)解不等式，并在给出的数轴上表示其解集； (3)求不等式组的解集． 32．（2026·河北保定·一模）如图，数轴上四个点表示的数可以使不等式组成立的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 一元一次不等式与其它知识的综合应用 考点06 33．（2026·河北张家口·一模）保定高新区某新能源材料公司生产锂电池电解液，需将甲、乙两种原料液按一定比例混合配制．已知每毫升甲、乙两种原料液的生产成本之比为．若使用20毫升甲原料液和30毫升乙原料液进行配制，总成本为360元． (1)设每毫升甲原料液的成本为a元，用含a的代数式表示：①每毫升乙原料液的成本为________；②取用x毫升甲原料液、y毫升乙原料液时的总生产成本为________． (2)求甲、乙两种原料液每毫升的成本各是多少元． (3)按照生产标准配制电解液150毫升时，要求甲原料液用量不少于40毫升，且乙原料液用量y满足．设甲原料液用量为x毫升，总成本为w元． ①求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②当甲、乙两种原料液各取用多少毫升时，总成本最低？最低总成本是多少元？ 34．（2026·河北石家庄·一模）【问题背景】2026央视马年春晚播出后．晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人的需求，某玩具店决定购进，两种机器人玩具． 素材一：已知一个种机器人玩具比一个种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 (1)若设购买一个种机器人玩具价格为元，直接写出用1500元购进种机器人玩具数量（用含的代数式表示），并求购进，两种机器人玩具的单价； (2)因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共60个进行销售，且总金额不超过3200元，求至少购进A种机器人玩具的数量． 35．（2026·河北·一模）七年级新学期．两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在讲桌上，小英对其高度进行了测量，请根据下图中所给出的数据信息．回答下列问题： (1)每本课本的厚度为_________； (2)若有一摞上述规格的课本本．请用含有的代数式表示出这一摞课本的顶部距离地面的高度； (3)现桌面上有若干本此规格的课本，整齐地叠放成一摞，若这摞课本距离地面的高度不超过，求这摞课本最多有多少本． 36．（2026·河北秦皇岛·一模）某水果种植基地计划租若干辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）送往外地，要求每辆货车只能装运一种水果，且必须装满．设装运苹果的货车有辆，总利润为元． 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 (1)若装运苹果的货车有3辆，则装运橘子的货车有_____辆； (2)求与之间的函数关系式（不写的取值范围）； (3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，要想获得最大利润，求安排装运苹果的货车的辆数，并将最大利润的结果用科学记数法表示． 37．（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图． 【主题】如何接到最佳温度的温水． 【素材】水杯容积：． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度. 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温． 【操作】先从饮水机接温水秒再接开水，直至接满的水杯为止． （备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况．） 【问题】 (1)接到温水的体积是_______，接到开水的体积是_______；（用含的代数式表示） (2)若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？ (3)若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值； (4)记水杯接满水后水杯中温度为℃，则关于的关系式是_______；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出的取值范围是_______． 试卷第30页，共33页 11/11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程（组）与不等式（组） 7考点概览 考点01一元一次方程与二元一次方程方程组的应用 考点02一元二次方程根的判别式组的应用 考点03一元二次方程根与系数关系 考点04分式方程的实际应用问题 考点05解一元一次不等式（组） 考点06一元一次不等式与其它知识的综合有理数概念的应用考点 一元一次方程与二元一次方程方程组的应用 考点01 1．（2026·河北唐山·一模）有三种不同重量的物体“”“”“”，若图1中左、右手中盘内物体的重量相同，则图2中左、右盘内物体的重量（   ） A．左盘内物体重 B．右盘内物体重 C．左右盘内物体重量相同 D．左盘内物体重量是右盘内物体重量的倍 【答案】B 【分析】 设物体“”“”“”的重量为x，y，z，根据题意得：图1中左盘内物体重量为，右盘内物体重量为，图2中左盘内物体重量为，右盘内物体重量为，再由图1中左、右手中盘内物体的重量相同，可得，再作差，即可． 【详解】 解：设物体“”“”“”的重量为x，y，z， 根据题意得：图1中左盘内物体重量为，右盘内物体重量为，图2中左盘内物体重量为，右盘内物体重量为， ∵图1中左、右手中盘内物体的重量相同， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即图2中右盘内物体重． 2．（2026·河北保定·一模）如图，有甲、乙两根长度不同的木条，竖直插入到纸杯底部，甲木条露出纸杯的部分是其全长的，乙木条露出纸杯的部分是其全长的，已知甲木条的长为m，则乙木条的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设乙木条的长为n，列出与的关系式，并求得n的表达式即可得解． 【详解】设乙木条的长为n， 根据题意，得， 解得． 3．（2026·河北唐山·一模）如图，这是2026年1月的月历表，任意圈出一竖列上相邻的四个数，你可以运用方程的思想来研究，发现这四个数的和可能是（　　） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．71 B．68 C．59 D．50 【答案】D 【分析】根据月历规律，一竖列上相邻两个数相差7，设最小数为x，用x表示四个数的和，结合x为正整数且所有数都在月历范围内，判断哪个选项符合要求． 【详解】解：设一竖列相邻四个数中最小的数为， 月历中同一竖列相邻两个数相差. 其余三个数分别为，，， 四个数的和为：， 四个数都存在于1月月历中，最大数不超过， ， 解得：， 又是正整数，因此必是的倍数， 对选项逐一判断： 若，则，不是的倍数，不符合题意； 若，则，不是的倍数，不符合题意； 若，则，不是的倍数，不符合题意； 若，则，即，解得，满足， 则四个数为2，9，16，23，都存在于月历中，符合题意． 4．（2026·河北石家庄·一模）《九章算术》中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多3钱，问合伙人数、羊的总价钱各是多少？下列做法错误的为（   ） A．若设合伙人数为人，据题意可得： B．若设羊的总价钱为钱，据题意可得： C．若设羊的总价钱为钱，据题意可得： D．设合伙人数为人，羊的总价钱为钱，据题意可得： 【答案】B 【分析】找准不变量（羊价不变/人数不变），根据题意推导每个选项的方程，即可找出错误选项． 【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意： 每人出钱，还差钱， 羊价； 每人出钱，多钱， 羊价； 对选项A，由羊价相等可得，A正确； 对选项D，可得方程组，D正确； 若设羊价为钱，人数不变， 对变形得， 对变形得， 由人数相等得， 因此C正确，B错误． 5．（2026·河北·一模）刺绣是中国民间传统手工艺之一，某刺绣工作室接到一个刺绣订单，林师傅单独完成这个订单需要天，比李师傅单独完成这个订单需要的天数少，如果两人合作___________天能完成这个订单． 【答案】 【分析】先将李师傅单独完成订单的天数看作单位，根据林师傅的工作时间求出李师傅单独完成需要的天数，再将工作总量看作单位，列出方程，即可求解． 【详解】李师傅单独完成订单需要：（天） 设两人合作天能完成这个订单，则 ， 解得． 即如果两人合作天能完成这个订单． 6．（2026·河北秦皇岛·一模）（1）把方程写成用含的代数式表示的形式； （2）将（1）的结果代入，消去未知数，求出的值； （3）直接写出方程组的解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先移项、再进行系数化为1即可求解； （2）将代入到进行计算可得结果； （3）将代入（1）中的即可得到方程组的解． 【详解】解：（1）由题意得， ； （2）由题意，将代入得， 解得； （3）将代入，得：， ∴方程组的解为：． 7．（2026·河北·一模）下面是嘉琪解方程组的过程，老师判断后说其中有错误． 解： ，得，                         第一步 把代入①，得，          第二步 所以方程组的解为             第三步 (1)请指出在第几步开始出现错误，并写出正确的解答过程； (2)在（1）的基础上，化简：． 【答案】(1)第一步开始出现错误，正确的解答过程见解析 (2) 【分析】（1）原解题过程第一步做减法时左边运算错误，重新计算即可得到正确结果． （2）把（1）得到的和的值代入原式，利用零指数幂的性质和完全平方公式化简即可得到结果． 【详解】（1）解：从第一步开始出现错误， 正确解答过程如下 ： ， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解：将代入得 原式 ． 8．（2026·河北张家口·一模）淇淇自主创业，在网上经营一家水果店．为了增加销量，淇淇开展了促销活动：若顾客一次性购买水果的总价超过120元，顾客就少付超过部分的．每笔订单顾客网上支付成功后，淇淇会得到支付款的．设顾客一次购买水果的总价是x元，淇淇得到的金额是y元． (1)当时，y与x的函数关系式是________；当时，求y与x的函数关系式． (2)顾客甲和乙都购买水果，若二人分别购买，网上支付成功后，淇淇分别得到81元和117元． ①求顾客乙购买水果的总价； ②若甲、乙二人合买，直接写出二人合买比分别购买省多少钱． 【答案】(1)当时，；当时， (2)①顾客乙购买水果的总价为元；②二人合买比分别购买省元 【分析】（1）根据所给的收费方案列式求解即可； （2）①根据题意可求出顾客乙购买水果的总价超过120元，再把代入中求出x的值即可得到答案；②根据题意可求出顾客甲购买水果的总价不超过120元，据此求出顾客甲购买水果的总价，再分别求出二人单独购买的费用和合买的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，当时，； 当时， （2）解：①∵， ∴顾客乙购买水果的总价超过120元， 在中，当时，， 解得， 答：顾客乙购买水果的总价为135元； ②∵， ∴顾客甲购买水果的总价不超过120元， 在中，当时，，解得， ∴顾客甲购买水果的总价为90元， ∴顾客甲和顾客乙一起购买水果的总价为元， 元， 元， 元 答：二人合买比分别购买省元． 一元二次方程根的判别式组的应用 考点02 9．（2026·河北邯郸·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义以及判别式与根的关系，列不等式求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， 整理，得， 解得， ∴，且． 10．（2026·河北张家口·一模）嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质． 【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为， ∵该方程一个根为， ∴将代入得， 解得， 甲：∵原方程为， ∴将代入原方程得， 解得， ∴是原方程的根，甲说法正确； 乙：由题意得，， 代入得， ， 当时，，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确． ∴甲、乙都对． 一元二次方程根与系数关系 考点03 11．（2026·河北保定·二模）若一元二次方程的两根之和为m，两根之积为n，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原方程整理为一般形式，根据两根之和为m，两根之积为n，得，，计算出的值进行判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程，即的两根之和为m，两根之积为n， ∴，， ∴，． 12．（2026·河北·一模）若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的两个正根推导出，，即可确定点所在的象限． 【详解】解：设一元二次方程的两个正实数根为，，且，， 可得， ∵，， ∴，， ∴，，即， ∵点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点位于第四象限． 13．（2026·河北邯郸·一模）已知点在第四象限，若m，n分别为一元二次方程的两根之和与两根之积，则这个一元二次方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∵m，n分别为一元二次方程的两根之和与两根之积， ∴A、，，不符合题意； B、，，不符合题意； C、，，不符合题意； D、，，符合题意； 14．（2026·河北秦皇岛·一模）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式建立关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， 又∵， ∴， 解得． 15．（2026·河北廊坊·一模）已知方程，下列说法正确的是（   ） ①该方程没有实数根；②是该方程的一个根；③该方程的两个实数根的积为 A．只有① B．只有② C．只有③ D．②③ 【答案】D 【详解】解：原方程为 ，其中 ． 判断①：∵ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根，①说法错误． 判断②：将 代入方程左边，得 方程右边， ∴ 是该方程的一个根，②说法正确． 判断③：将原方程因式分解得 ，解得方程两个根为 ，两根的积为 ， ∴ ③说法正确． 综上，②③正确． 16．（2026·河北唐山·一模）关于x的一元二次方程的两个实数根为，，设，则M与方程根的判别式之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再分别计算和判别式，对比即可得到二者的数量关系． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，，常数项为， ∵由一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 方程的根的判别式， 又， ． 17．（2026·河北保定·一模）已知，为关于x的一元二次方程的实数根，嘉嘉，淇淇两人作出了如下判断． 嘉嘉：当时，； 淇淇：当时，． 则关于两人的判断说法正确的是（） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉、淇淇都正确 D．嘉嘉、淇淇都错误 【答案】A 【分析】1．分析嘉嘉的判断：利用根的判别式，将代入判别式，根据判别式与0的大小关系判断结论． 2．分析淇淇的判断：根据一元二次方程根与系数的关系、，联立求出、或直接求出的值，再判断是否成立． 【详解】解：根据题意得， 当时，，∴，故嘉嘉说法正确； 根据题意得，， ∵，∴，，∴，解得，故淇淇说法错误． 分式方程的实际应用问题 考点04 18．（25-26九年级上·天津西青·期末）在一个不透明盒中有若干枚黑棋和5枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则盒中黑棋的个数是（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单的概率计算．设盒子中有x枚黑棋，根据概率计算公式可得，据此求出． 【详解】解：设盒子中有x枚黑棋，则总棋子数为枚， 由题意得， 解得， 经检验：是方程的解，且符合题意， ∴盒子中有3枚黑棋， 故选：B． 19．（2026·河北张家口·一模）某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 【答案】D 【分析】根据总价，单价，数量的关系，逐一验证各选项即可得出结果． 【详解】解：∵方程中，是第二次购买的总价，是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同， 故第二次购买的单价为，第三次购买的单价为， ∵第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元， ∴表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意； ， ， ， ， 解得， ∴ 第一次购买节能灯的单价是元，故B选项说法正确，不符合题意； 故第二次购买单价为元， ∴第一次购买数量为个，第二次购买数量为个，个， ∴ 第二次购买数量比第一次多个，故C选项说法正确，不符合题意； 若设第二次购买数量为个， ∵ 第二次和第三次购买数量相同， ∴ 第三次购买数量也为个， 故第二次单价为，第一次单价为，第三次单价为， ∵第三次单价比第一次单价多元， 故， 整理得，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意． 20．（23-24八年级下·河南南阳·期末）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰，某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植棵树，乙班共植棵树，设乙班每小时植棵树，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是正确找出等量关系．设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，由甲班植棵树所用的时间与乙班植棵树所用的时间相等，列方程即可求解． 【详解】解：设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树， 根据题意可得：， 故选：D． 21．（2026·河北廊坊·一模）爱好摄影的小冀正在学习调节老式胶片相机的光圈，在镜头焦距一定的条件下，光圈孔径直径D（单位：）与光圈系数F的关系式为，小冀分别使用了甲、乙两种不同的光圈设置进行拍摄，已知乙设置下的光圈系数是甲设置下的2倍，且甲设置下的光圈孔径直径比乙设置下的大，则甲设置下的光圈系数为_______． 【答案】 【分析】设甲设置下的光圈系数为，则乙设置下的光圈系数为，根据关系式变形得到，再根据等量关系，列分式方程求解检验即可． 【详解】解：设甲设置下的光圈系数为，则乙设置下的光圈系数为， 根据题意列方程得，， 解得，， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 则甲设置下的光圈系数为． 22．（2023·重庆开州·模拟预测）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．菜苗可以在市场上或菜苗基地购买．据了解，市场上甲种菜苗的价格是菜苗基地甲种菜苗的价格的倍． (1)学校在市场上买了40捆甲种菜苗和在菜苗基地买了50捆甲种菜苗共用了1600元，求菜苗基地甲种菜苗的价格； (2)据了解，菜苗基地有甲、乙两种菜苗出售，菜苗基地为了支持学校的农耕种植活动，决定对甲种菜苗降价出售给学校，乙种菜苗是甲种菜苗降价后的倍，用900元购买的降价后的甲种菜苗比购买乙种菜苗的多25捆．求菜苗基地乙种菜苗的价格． 【答案】(1)菜苗基地每捆甲种菜苗的价格是16元 (2)菜苗基地每捆乙种菜苗的价格是18元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设菜苗基地甲种菜苗的价格为元，则市场上甲种菜苗的价格为元，根据学校在市场上买了40捆甲种菜苗和在菜苗基地买了50捆甲种共用了1600元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设菜苗基地甲种菜苗降价后的价格为元，则菜苗基地乙种菜苗的价格为元，根据用900元购买的降价后的甲种菜苗比购买乙种菜苗的多25捆．列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设菜苗基地甲种菜苗的价格为元，则市场上甲种菜苗的价格为元， 由题意得：， 解得：， 答：菜苗基地甲种菜苗的价格为16元； （2）解：设菜苗基地甲种菜苗降价后的价格为元，则菜苗基地乙种菜苗的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：菜苗基地乙种菜苗的价格为18元． 23．（2026·河北邯郸·二模）将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）． 现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片． 方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积平方厘米； 方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积平方厘米． 已知方案二比方案一的面积多出平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程： 解： …………第一步 ……………第二步 ……………………………第三步 (1)该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程； (2)若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值． 【答案】(1)原解答不正确，从第二步开始出错，正确过程见解析 (2)原正方形边长为12厘米 【分析】（1）先按去括号法则检查原式，发现原解答第二步去括号时符号错误，正确去括号后合并同类项，即可解答． （2）明确两个矩形的长宽：根据“长宽比相等”列方程，求解，验证边长为正数，得结果． 【详解】（1）解：原解答不正确，从第二步开始出错． 正确过程： ． （2）解：方案一得到的矩形长、宽为和；方案二得到的矩形长、宽为和． 根据“长宽比相等”，列方程： 解得 验证：时，，符合实际意义． 答：原正方形边长为12厘米． 解一元一次不等式（组） 考点05 24．（2026·河北石家庄·一模）下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（   ） 不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向 不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质可得在系数化为的过程中，前面的系数为负数，且不等号为大于等于号，由此即可得到答案． 【详解】解：∵不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向， ∴在系数化为的过程中，不等式改变了方向， ∵不等式的解集为， ∴在系数化为的过程中，前面的系数为负数，且不等号为大于等于号， ∴四个选项中，只有选项符合题意． 25．（2026·河北衡水·模拟预测）如图是x在数轴上表示的取值范围，满足条件的任意x的值都能使一个二次根式有意义，则这个二次根式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式有意义的条件：被开方数是非负的． 【详解】解：由数轴可知，． A、二次根式有意义的条件是，则当时，其无意义； B、二次根式有意义的条件是，即，正确； C、二次根式有意义的条件是，即，则当时，其无意义； D、二次根式有意义的条件是，即，则当时，其无意义． 26．（2026·河北廊坊·一模）如图，在数轴上有，，三点，点、所表示的数分别为和． (1)若点、关于点对称，求、、三点所表示的数的和； (2)若点表示的数为，且点在点的左侧，求的取值范围 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：点、所表示的数分别为和，点、关于点对称， ∴表示的数为， 三点表示的数的和为，； （2）解：由题意得：， 解得：， 的取值范围是． 27．（2026·河北张家口·一模）一个一元一次不等式的解集如图所示． (1)写出一个符合条件的一元一次不等式________（未知数为x，写出一个即可）； (2)设m、n是该不等式的两个解，m，n的平均数是1， ①求m的取值范围； ②若，直接写出整数n的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①；②和． 【分析】（1）根据数轴得出解集，再写出符合条件的一元一次不等式即可； （2）①根据题意可得，，且，即可得解；②根据已知不等式，得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：由题意可知，数轴表示的解集为， 则符合条件的一元一次不等式为； （2）解：①m、n是该不等式的两个解，m，n的平均数是1， ，，且， ， ， ， m的取值范围为； ②由①可知，，， ， ， ， ， ∵，即， ∴ ， 整数n的值为和． 28．（2026·河北邢台·一模）某同学解一个关于的一元一次不等式组，已知不等式①的解集如图1所示． (1)求m的值； (2)解此不等式组，并在图2所示的数轴上表示出解集． 【答案】(1) (2)不等式组的解集为：，数轴表示见解析 【分析】（1）先求出不等式①的解集，再根据数轴上的不等式①的解集可得； （2）把代入不等式组，求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：先解不等式①：， 移项得， 从图1得不等式①的解集为：， ∴， 解得：； （2）解：将代入原不等式组得：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， 所以，不等式组的解集为：， 将不等式组的解集在数轴上表示为： 29．（2026·河北石家庄·一模）根据如图所示的运算程序，回答下列问题． (1)若输入，计算输出的值； (2)若输出的，求输入的最大整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入程序框图求解； （2）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∴输出的值为； （2）解：根据题意得， 解得 ∴输入的最大整数的值为． 30．（2026·河北石家庄·一模）计算：．芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．（■代表被污染的数字） (1)如果被污染的数字是，请计算：； (2)如果计算结果大于6，求被污染的数字的最小整数值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）代入计算即可；（2）设被污染的数字为x，列不等式求解即可； 【详解】（1） ； （2）设被污染的数字为x， 则， ， ， ， ， ∴被污染的数字的最小整数值是3． 31．（2026·河北邯郸·一模）解不等式（组） (1)解不等式，并在给出的数轴上表示其解集； (2)解不等式，并在给出的数轴上表示其解集； (3)求不等式组的解集． 【答案】(1)，画图见解析 (2)，画图见解析 (3)，画图见解析 【分析】（1）先去括号，移项，合并，把未知数的系数化为1，可求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再画图，最后求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （3）解：， 由①得：， 解不等式②得：， 在数轴上表示解集如下： ∴原不等式组的解集为． 32．（2026·河北保定·一模）如图，数轴上四个点表示的数可以使不等式组成立的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】先求出不等式组的解集，再结合数轴判断点的情况即可得出结果． 【详解】， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， ∴点B表示的数可以使不等式组成立． 一元一次不等式与其它知识的综合应用 考点06 33．（2026·河北张家口·一模）保定高新区某新能源材料公司生产锂电池电解液，需将甲、乙两种原料液按一定比例混合配制．已知每毫升甲、乙两种原料液的生产成本之比为．若使用20毫升甲原料液和30毫升乙原料液进行配制，总成本为360元． (1)设每毫升甲原料液的成本为a元，用含a的代数式表示：①每毫升乙原料液的成本为________；②取用x毫升甲原料液、y毫升乙原料液时的总生产成本为________． (2)求甲、乙两种原料液每毫升的成本各是多少元． (3)按照生产标准配制电解液150毫升时，要求甲原料液用量不少于40毫升，且乙原料液用量y满足．设甲原料液用量为x毫升，总成本为w元． ①求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②当甲、乙两种原料液各取用多少毫升时，总成本最低？最低总成本是多少元？ 【答案】(1)①元；②元 (2)甲原料液成本：元毫升；乙原料液成本：8元毫升 (3)①；②甲取75毫升，乙取毫升时，总成本最低，为元 【分析】（1）根据甲乙每毫升成本比为，甲成本为元毫升，由比例得乙成本为元毫升；取毫升甲、毫升乙，即可得到总成本； （2）根据20毫升甲、30毫升乙总成本360元，列方程，进行求解即可； （3）①根据题意得，甲用量毫升，乙用量毫升，则可得到总成本为，结合、，求出范围即可；②先判断出随增大而减小，再进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵甲、乙每毫升成本比为，甲为元毫升， ∴乙的成本为元毫升； ②∵取用毫升甲、毫升乙， ∴总成本为； （2）解：由题意得， 解得， ∴甲原料液成本：元毫升；乙原料液成本：元毫升； （3）解：①∵甲用量为毫升， ∴乙用量毫升， ∴总成本 ， ∵甲用量不少于40毫升，即；，即， ∴ 解得， 解得， ∴的取值范围：，函数关系式为； ②∵在函数中，， ∴随的增大而减小， ∵要使总成本最低， ∴取的最大值， 此时，甲用量：75毫升；乙用量：毫升， 最低总成本：元． 【点睛】本题核心是比例转化、一次函数最值与不等式约束，先通过比例表示乙成本，列方程求单价，再结合用量约束求函数定义域，利用一次函数单调性求最低成本． 34．（2026·河北石家庄·一模）【问题背景】2026央视马年春晚播出后．晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人的需求，某玩具店决定购进，两种机器人玩具． 素材一：已知一个种机器人玩具比一个种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 (1)若设购买一个种机器人玩具价格为元，直接写出用1500元购进种机器人玩具数量（用含的代数式表示），并求购进，两种机器人玩具的单价； (2)因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共60个进行销售，且总金额不超过3200元，求至少购进A种机器人玩具的数量． 【答案】(1)用1500元购进种机器人玩具数量为个，购进A，B两种机器人玩具的单价分别是50元/个，60元/个 (2)至少购进A种机器人玩具40个 【分析】（1）根据题意可知用1500元购进种机器人玩具数量为个，列出分式方程并求出x的值，再检验是否符合题意，即可求解； （2）设购进种机器人玩具个，则购进种机器人玩具个，由题意列出一元一次不等式，求出a的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，可知用1500元购进种机器人玩具数量为个，列方程，得 ， 解得， 经检验是原方程的解， ， 答：购进A，B两种机器人玩具的单价分别是50元/个，60元/个． （2）解：设购进种机器人玩具个，则购进种机器人玩具个，由题意，得， 解得， 答：至少购进A种机器人玩具40个． 35．（2026·河北·一模）七年级新学期．两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在讲桌上，小英对其高度进行了测量，请根据下图中所给出的数据信息．回答下列问题： (1)每本课本的厚度为_________； (2)若有一摞上述规格的课本本．请用含有的代数式表示出这一摞课本的顶部距离地面的高度； (3)现桌面上有若干本此规格的课本，整齐地叠放成一摞，若这摞课本距离地面的高度不超过，求这摞课本最多有多少本． 【答案】(1)0.6 (2) (3) 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）先求出讲台的高度，再用讲台的高度加上n本课本的高度即为所求的代数式； （3）根据题意列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：每本课本的厚度为：． （2）解：讲台高度为：， ∴这一摞课本的顶部距离地面的高度为； （3）解：由题意得，， 解得， ∵是正整数， ∴的最大值为． 36．（2026·河北秦皇岛·一模）某水果种植基地计划租若干辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）送往外地，要求每辆货车只能装运一种水果，且必须装满．设装运苹果的货车有辆，总利润为元． 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 (1)若装运苹果的货车有3辆，则装运橘子的货车有_____辆； (2)求与之间的函数关系式（不写的取值范围）； (3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，要想获得最大利润，求安排装运苹果的货车的辆数，并将最大利润的结果用科学记数法表示． 【答案】(1)8 (2) (3)安排装运苹果的货车6辆，最大利润为元 【分析】根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意先算出橘子的总吨数，再结合每辆车橘子装载量，进行计算，即可解题； （2）分别表示出苹果的利润和橘子的利润，再求和，即可解题； （3）根据“装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数”建立不等式求出的取值范围，再结合一次函数性质求解，即可解题． 【详解】（1）解：（辆）， （2）解：由题知，； （3）解：装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数， ，且为正整数， ∴， ， 随的增大而减小， 当时，利润最大， 即安排装运苹果的货车的辆数为时，利润最大为（元）． 37．（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图． 【主题】如何接到最佳温度的温水． 【素材】水杯容积：． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度. 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温． 【操作】先从饮水机接温水秒再接开水，直至接满的水杯为止． （备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况．） 【问题】 (1)接到温水的体积是_______，接到开水的体积是_______；（用含的代数式表示） (2)若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？ (3)若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值； (4)记水杯接满水后水杯中温度为℃，则关于的关系式是_______；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出的取值范围是_______． 【答案】(1)， (2)20秒 (3) (4)， 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及一次函数的应用； （1）利用接到温水的体积温水的水流速度接温水的时间，可用含的代数式表示出接到温水的体积；利用接到开水的体积整杯水的体积接到温水的体积，即可用含的代数式表示出接到开水的体积； （2）根据所接的温水的体积不少于开水体积的倍，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； （3）利用开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）利用开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，可找出关于的函数关系式，再结合饮水最佳温度是(包括与， 即可求出的取值范围. 【详解】（1）解：∵温水水流速度为，接温水用时秒， ∴接到温水的体积是， 又∵共接水， ∴接到开水的体积是， 故答案为： ， ； （2）解：根据题意得： 解得：， ∴的最小值为， 答：至少应接温水秒； （3）解：根据题意得： 解得：， 答： 的值为； （4）根据题意得：， ， ∵饮水最佳温度是(包括 与 ， 解得：， ∴的取值范围是， 故答案为：，． 试卷第30页，共33页 2/30 学科网（北京）股份有限公司 $