【10年压轴题】2016-2025年四川成都市选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年四川成都市选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2025•成都）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（　　） A．小明家到体育馆的距离为2km B．小明在体育馆锻炼的时间为45min C．小明家到书店的距离为1km D．小明从书店到家步行的时间为40min 2．（2024•成都）在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O；③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F．若CD＝3，DE＝2，下列结论错误的是（　　） A．∠ABE＝∠CBE B．BC＝5 C．DE＝DF D． 3．（2023•成都）如图，二次函数y＝ax2+x﹣6的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴为直线x＝1 B．抛物线的顶点坐标为（，﹣6） C．A，B两点之间的距离为5 D．当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而增大 4．（2022•成都）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（　　） A．a＞0 B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大 C．点B的坐标为（4，0） D．4a+2b+c＞0 5．（2021•成都）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4π B．6π C．8π D．12π 6．（2020•成都）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴在y轴的右侧 B．图象与y轴的交点坐标为（0，8） C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0） D．y的最小值为﹣9 7．（2019•成都）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（　　） A．c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．图象的对称轴是直线x＝3 8．（2018•成都）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（　　） A．图象与y轴的交点坐标为（0，1） B．图象的对称轴在y轴的右侧 C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为﹣3 9．（2017•成都）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0 C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜0 10．（2016•成都）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．π 二．填空题（共10小题） 11．（2025•成都）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为　 　 ；一般地，对于任意奇数k（k＞2），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为　 　 ． 12．（2024•成都）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1　 　 y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 　 　 ． 13．（2023•成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 　 　 ；第23个智慧优数是 　 　 ． 14．（2022•成都）如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，则DQ﹣P'Q的最大值为 　 　 ． 15．（2021•成都）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图1，ar+cq+bp是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差小于4的概率是 　 　 ． 16．（2020•成都）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为 　 　 ，线段DH长度的最小值为 　 　 ． 17．（2019•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点A的坐标为（5，0），点B在x轴的上方，△OAB的面积为，则△OAB内部（不含边界）的整点的个数为 　 　 ． 18．（2018•成都）设双曲线y（k＞0）与直线y＝x交于A，B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径“，当双曲线y（k＞0）的眸径为6时，k的值为　 　 ． 19．（2017•成都）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG＝　 　 cm． 20．（2016•成都）如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB＝3，∠BAD＝45°，按下列步骤进行裁剪和拼图． 第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片； 第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处； 第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，△PQM和△DCF在DC同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处，（边PR与BC重合，△PRN和△BCG在BC同侧）． 则由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx﹣k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E．若抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，求h的取值范围； （3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（2024•成都）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°． 【初步感知】 （1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由． 23．（2023•成都）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F． 【初步感知】 （1）如图1，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BFAB，请写出证明过程． 【深入探究】 （2）①如图2，当n＝2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【拓展运用】 （3）如图3，连接EF，设EF的中点为M，若AB＝2，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）． 24．（2022•成都）如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），点E是AD边上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H． 【尝试初探】 （1）在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系，请说明理由． 【深入探究】 （2）若n＝2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求tan∠ABE的值． 【拓展延伸】 （3）连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tan∠ABE的值（用含n的代数式表示）． 25．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为（2，﹣1）．点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAP，且点C位于x轴上方，求点C的坐标； （3）若点B的横坐标为t，∠ABC＝90°，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当t＜0时，点C的横坐标的取值范围． 26．（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值； （3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（2019•成都）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标； （3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式． 28．（2018•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c与直线l：y＝kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标； （3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB＝90°，求k的值． 29．（2017•成都）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB＝4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′． （1）求抛物线C的函数表达式； （2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围． （3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由． 30．（2016•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧． （1）求a的值及点A，B的坐标； （2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式； （3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由． 【10年压轴题】2016-2025年四川成都市选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D D D D D B B 一．选择题（共10小题） 1．（2025•成都）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（　　） A．小明家到体育馆的距离为2km B．小明在体育馆锻炼的时间为45min C．小明家到书店的距离为1km D．小明从书店到家步行的时间为40min 【解答】解：由图象可知： A．小明家到体育馆的距离为2.5km，故本选项不符合题意； B．小明在体育馆锻炼的时间为：45﹣15＝30（min），故本选项不符合题意； C．小明家到书店的距离为1km，故本选项符合题意； D．小明从书店到家步行的时间为：100﹣80＝20（min），故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（2024•成都）在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O；③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F．若CD＝3，DE＝2，下列结论错误的是（　　） A．∠ABE＝∠CBE B．BC＝5 C．DE＝DF D． 【解答】解：由作法得BO平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE，所以A选项不符合题意； ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD＝3，BC＝AD，AB∥CD，AD∥BC， ∵AD∥BC， ∴∠CBE＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝3， ∴AD＝AE+DE＝3+2＝5， ∴BC＝5，所以B选项不符合题意； ∵AB∥CD， ∴∠F＝∠ABE， ∵∠AEB＝∠DEF， ∴∠DEF＝∠F， ∴DE＝DF＝2，所以C选项不符合题意； ∵DE∥BC， ∴，所以D选项符合题意． 故选：D． 3．（2023•成都）如图，二次函数y＝ax2+x﹣6的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴为直线x＝1 B．抛物线的顶点坐标为（，﹣6） C．A，B两点之间的距离为5 D．当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而增大 【解答】解：A、把A（﹣3，0）代入y＝ax2+x﹣6得， 0＝9a﹣3﹣6， 解得a＝1， ∴y＝x2+x﹣6， 对称轴直线为：x，故A错误； 令y＝0， 0＝x2+x﹣6， 解得x1＝﹣3，x2＝2， ∴AB＝2﹣（﹣3）＝5， ∴A，B两点之间的距离为5，故C正确； 当x时，y，故B错误； 由图象可知当x时，y的值随x值的增大而增大，故D错误． 故选：C． 4．（2022•成都）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（　　） A．a＞0 B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大 C．点B的坐标为（4，0） D．4a+2b+c＞0 【解答】解：A、由图可知：抛物线开口向下，a＜0，故选项A错误，不符合题意； B、∵抛物线对称轴是直线x＝1，开口向下， ∴当x＞1时y随x的增大而减小，x＜1时y随x的增大而增大，故选项B错误，不符合题意； C、由A（﹣1，0），抛物线对称轴是直线x＝1可知，B坐标为（3，0），故选项C错误，不符合题意； D、抛物线y＝ax2+bx+c过点（2，4a+2b+c），由B（3，0）可知：抛物线上横坐标为2的点在第一象限， ∴4a+2b+c＞0，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 5．（2021•成都）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4π B．6π C．8π D．12π 【解答】解：∵正六边形的外角和为360°， ∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°， ∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°， ∵正六边形的边长为6， ∴S阴影12π， 故选：D． 6．（2020•成都）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴在y轴的右侧 B．图象与y轴的交点坐标为（0，8） C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0） D．y的最小值为﹣9 【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+4）（x﹣2）， ∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，在y轴的左侧，故选项A错误； 当x＝0时，y＝﹣8，即该函数与y轴交于点（0，﹣8），故选项B错误； 当y＝0时，x＝2或x＝﹣4，即图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C错误； 当x＝﹣1时，该函数取得最小值y＝﹣9，故选项D正确； 故选：D． 7．（2019•成都）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（　　） A．c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．图象的对称轴是直线x＝3 【解答】解：A．由于二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，所以c＞0，故A错误； B．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴由2个交点，所以b2﹣4ac＞0，故B错误； C．当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，故C错误； D．因为A（1，0），B（5，0），所以对称轴为直线x3，故D正确． 故选：D． 8．（2018•成都）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（　　） A．图象与y轴的交点坐标为（0，1） B．图象的对称轴在y轴的右侧 C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为﹣3 【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3， ∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误， 该函数的对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误， 当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误， 当x＝﹣1时，y取得最小值，此时y＝﹣3，故选项D正确， 故选：D． 9．（2017•成都）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0 C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜0 【解答】解：根据二次函数的图象知： 抛物线开口向上，则a＞0； 抛物线的对称轴在y轴右侧，则x0，即b＜0； 抛物线交y轴于负半轴，则c＜0； ∴abc＞0， ∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， 故选：B． 10．（2016•成都）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．π 【解答】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC， ∴∠A＝50°， ∴∠BOC＝2∠A＝100°， ∵AB＝4， ∴BO＝2， ∴的长为：π． 故选：B． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•成都）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为　　 ；一般地，对于任意奇数k（k＞2），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为　　 ． 【解答】解：， 由题意， 当k＝3＝2×1+1时，， 当k＝5＝2×2+1时，， 当k＝7＝2×3+1时，， …， 当k＝2n+1时，， 又∵n， ∴对于任意奇数k（k＞2），， 故答案为：，． 12．（2024•成都）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1　＞　 y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 　m＜1　 ． 【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3， ∴二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象的对称轴为直线x＝2，开口向下， ∵0＜x1＜1，x2＞4， ∴2﹣x1＜x2﹣2，即（x1，y1）比（x2，y2）离对称轴直线的水平距离近， ∴y1＞y2； 由题可知存在y1＜y3＜y2，即并不是全段都是y1＜y3＜y2， 所以我们可以尝试找到不存在y1＜y3和y3＜y2的临界值， ①先讨论y1＜y3， 由图1可知，此时存在y1＜y3，由图2可知，当m和m+2关于对称轴对称时，此时不存在y1＜y3， 此时2， 解得m＝1， 要使存在y1＜y3，则x1和x3均向左移动即可， ∴m＜1； ②再讨论y3＜y2， 由图3可知，此时存在y3＜y2，由图4可知，当m+2和m+3关于对称轴对称时，此时不存在y3＜y2， 此时2， 解得m， 要使存在y3＜y2，则x2和x3均向右移动即可， ∴m； 综上，m＜1， 故答案为：＞，m＜1． 13．（2023•成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 　15　 ；第23个智慧优数是 　57　 ． 【解答】解：方法一：根据“智慧优数”的定义可知，当n＝1时，m最小＝3， ∴最小的“智慧优数”为8＝32﹣12； 根据题意可列表如下： 总结规律为：①若“智慧优数”为偶数，则一定是4的倍数； ②“智慧优数”不能是质数． 有表格可知，将“智慧优数”从小大到大排列为8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60......， ∴第3个“智慧优数”是15，第23个“智慧优数”是57． 故答案为：15，57． 方法二：注意到m﹣n＞1，知m﹣n≥2，∴m≥n+2． 当m＝n+2时，由 （n+2）2﹣n2＝4+4n产生的智慧优数为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，…… 当m＝n+3时，由 （n+3）2﹣n2＝9+6n产生的智慧优数为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，…… 当m＝n+4时，由（n+4）2﹣n2＝16+8n产产生的智慧优数为：24，32，40，48，56，64，72，80，…… 当m＝n+5时，由（n+5）2﹣n2＝25+10n产生的智慧优数为：35，45，55，65，75，85，…… 当m＝n+6时，由（n+6）2﹣n2＝36+12n产生的智慧优数为：48，60，72，84，…… 当m＝n+7时，由（n+7）2﹣n2＝49+14n．产生的智慧优数为：63，77，91，…… 当m＝n+8时，由（n+8）2﹣n2＝64+16n产生的智慧优数为：80，96，………… 综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，…… 故第3个智慧优数是15；第23个智慧优数是57． 故答案为：15，57． 14．（2022•成都）如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，则DQ﹣P'Q的最大值为 　　 ． 【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点K，延长DE交AB于点R，连接EP′并延长，延长线交AB于点J，作EJ关于AC的对称线段EJ′，则点P′的对应点P″在线段EJ′上． 当点P是定点时，DQ﹣QP′＝DQ﹣QP″， 当D，P″，Q共线时，QD﹣QP′的值最大，最大值是线段DP″的长， 当点P与B重合时，点P″与J′重合，此时DQ﹣QP′的值最大，最大值是线段DJ′的长，也就是线段BJ的长． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝OC， ∵AE＝14．EC＝18， ∴AC＝32，AO＝OC＝16， ∴OE＝AO﹣AE＝16﹣14＝2， ∵DE⊥CD， ∴∠DOE＝∠EDC＝90°， ∵∠DEO＝∠DEC， ∴△EDO∽△ECD， ∴DE2＝EO•EC＝36， ∴DE＝EB＝EJ＝6， ∴CD12， ∴OD4， ∴BD＝8， ∵S△DCBOC×BDBC•DK， ∴DK， ∵∠BER＝∠DCK， ∴sin∠BER＝sin∠DCK， ∴RB＝BE， ∵EJ＝EB，ER⊥BJ， ∴JR＝BR， ∴JB＝DJ′， ∴DQ﹣P'Q的最大值为． 解法二：DQ﹣P'Q＝BQ﹣P'Q≤BP'，显然P'的轨迹EJ，故最大值为BJ．勾股得CD，OD．△BDJ∽△BAD，BD2＝BJ*BA，可得BJ． 故答案为：． 15．（2021•成都）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图1，ar+cq+bp是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差小于4的概率是 　　 ． 【解答】解：该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为（4x+2k+3y）﹣（3x+2y+4k）＝x+y﹣2k， 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差小于4的结果数为9， 所以三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差小于4的概率． 故答案为． 16．（2020•成都）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为 　3　 ，线段DH长度的最小值为 　　 ． 【解答】解：连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N． ∵四边形ABCD是矩形，DF＝CF，AE＝EB， ∴四边形ADFE是矩形， ∴EF＝AD＝3， ∵FQ∥PE， ∴△MFQ∽△MEP， ∴， ∵PE＝2FQ， ∴EM＝2MF， ∴EM＝2，FM＝1， 当点P与A重合时，PQ的值最大，此时AE＝EM＝2，△AEM，△FMQ都是等腰直角三角形， ∴PM2，MQ， ∴PQ＝3， ∵MF∥ON∥BC，MO＝OB， ∴FN＝CN＝1，DN＝DF+FN＝3，ON2， ∴OD， ∵BH⊥PQ， ∴∠BHM＝90°， ∵OM＝OB， ∴OHBM， ∵DH≥OD﹣OH， ∴DH，由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当O，H，D共线时，此时DH最小， ∴DH的最小值为， 故答案为3，． 17．（2019•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点A的坐标为（5，0），点B在x轴的上方，△OAB的面积为，则△OAB内部（不含边界）的整点的个数为 　4或5或6　 ． 【解答】解：设B（m，n）， ∵B在x轴上方， ∴n＞0， ∵点A的坐标为（5，0）， ∴OA＝5， ∵△OAB的面积5•n， ∴n＝3， ∴B（m，3）， 由图形的对称性， 设m， ①当m＝5时，可得△OAB内部的整数点4个， ②当m且m≠5时， OB的直线解析式yx， AB的直线解析式yx 设直线y＝2与直线OB与直线AB分别交于点C，D， ∴C（，2），D（，2）， ∴CD， ∴△OAB内部（不含边界）直线y＝2上的整点的个数为1或2， 同理可得，△OAB内部（不含边界）直线y＝1上的整点的个数为3或4， 综上所述，△OAB内部（不含边界）的整点的个数为4或5或6． 方法2：由题可知，且C1D1∥OA， ∴△BC1D1∽△BOA， ∴， ， ∴C1D1； 同理C2D2； 故答案为4或5或6． 18．（2018•成都）设双曲线y（k＞0）与直线y＝x交于A，B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径“，当双曲线y（k＞0）的眸径为6时，k的值为　　 ． 【解答】解：以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，如图所示． 联立直线AB及双曲线解析式成方程组，， 解得：，， ∴点A的坐标为（，），点B的坐标为（，）． ∵PQ＝6， ∴OP＝3，点P的坐标为（，）． 根据图形的对称性可知：PP′＝AB＝QQ′， ∴点P′的坐标为（2，2）． 又∵点P′在双曲线y上， ∴（2）•（2）＝k， 解得：k． 故答案为：． 19．（2017•成都）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG＝　　 cm． 【解答】解：作GM⊥AC′于M，A′N⊥AD于N，AA′交EC′于K．易知MG＝AB＝AC′， ∵GF⊥AA′， ∴∠AFG+∠FAK＝90°，∠MGF+∠MFG＝90°， ∴∠MGF＝∠KAC′， ∴△AKC′≌△GFM， ∴GF＝AK， ∵AN＝4.5cm，A′N＝1.5cm，C′K∥A′N， ∴， ∴， ∴C′K＝1cm， 在Rt△AC′K中，AKcm， ∴FG＝AKcm， 故答案为． 20．（2016•成都）如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB＝3，∠BAD＝45°，按下列步骤进行裁剪和拼图． 第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片； 第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处； 第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，△PQM和△DCF在DC同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处，（边PR与BC重合，△PRN和△BCG在BC同侧）． 则由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为　　 ． 【解答】解：∵△ABE≌△CDF≌△PMQ， ∴AE＝DF＝PM，∠EAB＝∠FDC＝∠MPQ， ∵△ADE≌△BCG≌△PNR， ∴AE＝BG＝PN，∠DAE＝∠CBG＝∠RPN， ∴PM＝PN， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAB＝∠DCB＝45°， ∴∠MPN＝90°， ∴△MPN是等腰直角三角形， 当PM最小时，对角线MN最小，即AE取最小值， ∴当AE⊥BD时，AE取最小值， 过D作DF⊥AB于F， ∵平行四边形ABCD的面积为6，AB＝3， ∴DF＝2， ∵∠DAB＝45°， ∴AF＝DF＝2， ∴BF＝1， ∴BD， ∴AE， ∴MNAE， 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx﹣k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E．若抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，求h的取值范围； （3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1， ∴， 解得， 则该抛物线解析式为：y＝x2﹣2x； （2）当k＝1时，则y＝x﹣1， ∴当x＝0，y＝﹣1，当x＝2时，y＝1， ∴D（0，﹣1），E（2，1）， ∵y＝（x﹣h）2﹣1， ∴顶点坐标在直线y＝﹣1上移动， ∵y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点， ∴联立， 整理，得x2﹣（2h+1）x+h2＝0， ∴当Δ＝（2h+1）2﹣4h2＝0， 即时，满足题意， 将开始向右移动，直至抛物线与线段DE只有一个交点为E（2，1）时，y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE均有公共点， ∴当y＝（x﹣h）2﹣1过点E（2，1）时，（2﹣h）2﹣1＝1， 解得：， ∴当时，抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点； （3）存在， ∵y＝kx﹣k， ∴当y＝0时，x＝1， ∴C（1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴点C在抛物线的对称轴上， ∵PQ过点C，且与直线AB垂直， ∴直线PQ的解析式为：，即：， 联立，整理，得x2﹣（k+2）x+k＝0， ∴xA+xB＝k+2，， ∵M为AB的中点， ∴M， 联立， 同理可得：N， 作MH⊥CT，NF⊥CT， ∵TC 平分∠MTN， ∴∠NTF＝∠MTH， ∴tan∠NTF＝tan∠MTH， ∴， 设T（1，t），则， 解得：， ∴抛物线的对称轴上存在，使得TC 总是平分∠MTN． 22．（2024•成都）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°． 【初步感知】 （1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）∵AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ADE≌△ABC（SAS），AC＝AE5， ∴∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC 即∠CAE＝∠BAD， ∵1， ∴△ADB∽△AEC， ∴， ∵AB＝3，AC＝5， ∴； （2）连接CE，延长BM交CE于点Q，连接AQ交EF于P，延长EF交BC于N，如图： 同（1）得△ADB∽△AEC， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵BM是中线， ∴BM＝AM＝CMAC， ∴∠MBC＝∠MCB， ∵∠ABD+∠MBC＝90°， ∴∠ACE+∠MCB＝90°，即∠BCE＝90°， ∴AB∥CE， ∴∠BAM＝∠QCM，∠ABM＝∠CQM， 又AM＝CM， ∴△BAM≌△QCM（AAS）， ∴BM＝QM， ∴四边形ABCQ是平行四边形， ∵∠ABC＝90° ∴四边形ABCQ矩形， ∴AB＝CQ＝3，BC＝AQ＝4，∠AQC＝90°，PQ∥CN， ∴EQ3， ∴EQ＝CQ， ∴PQ是△CEN的中位线， ∴PQCN， 设PQ＝x，则CN＝2x，AP＝4﹣x， ∵∠EPQ＝∠APD，∠EQP＝90°＝∠ADP，EQ＝AD＝3， ∴△EQP≌△ADP（AAS）， ∴EP＝AP＝4﹣x， ∵EP2＝PQ2+EQ2， ∴（4﹣x）2＝x2+32， 解得：x， ∴AP＝4﹣x，CN＝2x， ∵PQ∥CN， ∴△APF∽△CNF， ∴， ∴， ∵AC＝5， ∴， ∴CF； 方法2： ∵BM是Rt△ABC斜边AC上的中线， ∴AM＝BM＝CMAC， ∴∠ABM＝∠BAM， ∵AB＝AD， ∴∠ABM＝∠ADB， ∴∠BAM＝∠ADB， ∵∠ABM＝∠DBA， ∴△ABM∽△DBA， ∴，即， ∴BD， ∴DM＝BD﹣BM， ∵∠EAD＝∠CAB＝∠ABD＝∠ADB， ∴DM∥AE， ∴△FDM∽△FEA， ∴，即， 解得FM， ∴CF＝CM﹣FM； （3）C，D，E三点能构成直角三角形，理由如下： ①当AD在AC上时，DE⊥AC，此时△CDE是直角三角形，如图， ∴S△CDECD•DE（5﹣3）×4＝4； ②当AD在CA的延长线上时，DE⊥AC，此时△CDE是直角三角形，如图， ∴S△CDECD•DE（5+3）×4＝16； ③当DE⊥EC时，△CDE是直角三角形，过点A作AQ⊥EC于点Q，如图， ∵AQ⊥EC，DE⊥EC，DE⊥AD， ∴四边形ADEQ是矩形， ∴AD＝EQ＝3，AQ＝DE＝4， ∵AE＝AC＝5， ∴EQ＝CQCE， ∴CE＝3， ∴CE＝6， ∴S△CDEAQ•CE4×6＝12； ④当DC⊥EC时，△CDE是直角三角形，过点A作AQ⊥EC于点Q，交DE于点N，如图， ∵DC⊥EC，AQ⊥EC， ∴AQ∥DC， ∵AC＝AE，AQ⊥EC， ∴EQ＝CQ， ∴NQ是△CDE的中位线， ∴ND＝NEDE＝2，CD＝2NQ， ∵∠AND＝∠ENQ，∠ADN＝∠EQN＝90°， ∴∠DAN＝∠QEN， ∴tan∠DAN＝tan∠QEN， ∴， ∴， ∴NQEQ， ∵NQ2+EQ2＝NE2， ∴（EQ）2+EQ2＝22， 解得EQ， ∴CE＝2EQ，NQEQ， ∴CD＝2NQ， ∴S△CDECD•CE． 综上所述，直角三角形CDE的面积为4或16或12或． 23．（2023•成都）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F． 【初步感知】 （1）如图1，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BFAB，请写出证明过程． 【深入探究】 （2）①如图2，当n＝2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【拓展运用】 （3）如图3，连接EF，设EF的中点为M，若AB＝2，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）． 【解答】（1）证明：连接CD， ∵∠C＝90°，AC＝BC，AD＝DB， ∴ABAC，∠A＝∠B＝∠ACD＝45°，AD＝CD＝BD，CD⊥AB， ∵ED⊥FD， ∴∠EDF＝∠CDB＝90°， ∴∠CDE＝∠BDF， ∴△CDE≌△BDF（ASA）， ∴CE＝BF， ∴AE+BF＝AE+CE＝ACAB； （2）①AEBFAB，理由如下： 过点D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H， ∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝45°， ∵DN⊥AC，DH⊥BC， ∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形， ∴AN＝DN，DH＝BH，ADAN，BDBH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH， ∴△ADN∽△BDH， ∴， 设AN＝DN＝x，BH＝DH＝2x， ∴ADx，BD＝2x， ∴AB＝3x， ∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°， ∴四边形DHCN是矩形， ∴∠NDH＝90°＝∠EDF， ∴∠EDN＝∠FDH， 又∵∠END＝∠FHD， ∴△EDN∽△FDH， ∴， ∴FH＝2NE， ∴AEBF＝x+NE（2x﹣FH）＝2xAB； ②如图4，当点F在射线BC上时，过点D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H， ∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝45°， ∵DN⊥AC，DH⊥BC， ∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形， ∴AN＝DN，DH＝BH，ADAN，BDBH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH， ∴△ADN∽△BDH， ∴， 设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx， ∴ADx，BDnx， ∴AB（n+1）x， ∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°， ∴四边形DHCN是矩形， ∴∠NDH＝90°＝∠EDF， ∴∠EDN＝∠FDH， 又∵∠END＝∠FHD， ∴△EDN∽△FDH， ∴， ∴FH＝nNE， ∴AEBF＝x﹣NE（nx+FH）＝2xAB； 当点F在CB的延长线上时，如图5， ∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝45°， ∵DN⊥AC，DH⊥BC， ∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形， ∴AN＝DN，DH＝BH，ADAN，BDBH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH， ∴△ADN∽△BDH， ∴， 设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx， ∴ADx，BDnx， ∴AB（n+1）x， ∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°， ∴四边形DHCN是矩形， ∴∠NDH＝90°＝∠EDF， ∴∠EDN＝∠FDH， 又∵∠END＝∠FHD， ∴△EDN∽△FDH， ∴， ∴FH＝nNE， ∴AEBF＝x+NE（FH﹣nx）＝2xAB； 综上所述：当点F在射线BC上时，，当点F在CB延长线上时，； （3）如图，连接CD，CM，DM， ∵EF的中点为M，∠ACB＝∠EDF＝90°， ∴CM＝DMEF， ∴点M在线段CD的垂直平分线上运动， 如图，当点E'与点A重合时，点F'在BC的延长线上， 当点E''与点C重合时，点F″在CB的延长线上， 过点M'作M'R⊥F'C于R， ∴M'R∥AC， ∴， ∴M'R＝1，F'R＝CR， 由图2，设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx， ∴ADx，BDnx， ∴AB（n+1）x＝2， ∴x， ∵F'D＝BDnx， ∴F'B＝2nx， ∴CF'＝2nx﹣2， ∴CR＝nx﹣11， 由（2）可得：CDx•，DF″＝nDE″＝nx•， ∴CF″＝（1+n2）x， ∴CM″， ∴RM″＝n， ∴M″M'， ∴点M运动的路径长为． 24．（2022•成都）如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），点E是AD边上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H． 【尝试初探】 （1）在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系，请说明理由． 【深入探究】 （2）若n＝2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求tan∠ABE的值． 【拓展延伸】 （3）连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tan∠ABE的值（用含n的代数式表示）． 【解答】解：（1）∵四边形EBFG和四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠BEG＝∠D＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEH＝90°， ∴∠DEH＝∠ABE， ∴△ABE∽△DEH， ∴在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系； （2）如图1，∵H是线段CD中点， ∴DH＝CH， 设DH＝x，AE＝a，则AB＝2x，AD＝4x，DE＝4x﹣a， 由（1）知：△ABE∽△DEH， ∴，即， ∴2x2＝4ax﹣a2， ∴2x2﹣4ax+a2＝0， ∴x， ∵tan∠ABE， 当x时，tan∠ABE， 当x时，tan∠ABE； 综上，tan∠ABE的值是． （3）分两种情况： ①如图2，BH＝FH， 设AB＝x，AE＝a， ∵四边形BEGF是矩形， ∴∠BEG＝∠G＝90°，BE＝FG， ∴Rt△BEH≌Rt△FGH（HL）， ∴EH＝GH， ∵矩形EBFG∽矩形ABCD， ∴n， ∴n， ∴， 由（1）知：△ABE∽△DEH， ∴， ∴， ∴nx＝2a， ∴， ∴tan∠ABE； ②如图3，BF＝FH， ∵矩形EBFG∽矩形ABCD， ∴∠ABC＝∠EBF＝90°，， ∴∠ABE＝∠CBF， ∴△ABE∽△CBF， ∴∠BCF＝∠A＝90°， ∴D，C，F共线， ∵BF＝FH， ∴∠FBH＝∠FHB， ∵EG∥BF， ∴∠FBH＝∠EHB， ∴∠EHB＝∠CHB， ∵BE⊥EH，BC⊥CH， ∴BE＝BC， 由①可知：AB＝x，AE＝a，BE＝BC＝nx， 由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2， ∴x2+a2＝（nx）2， ∴x（负值舍）， ∴tan∠ABE， 综上，tan∠ABE的值是或． 25．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为（2，﹣1）．点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAP，且点C位于x轴上方，求点C的坐标； （3）若点B的横坐标为t，∠ABC＝90°，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当t＜0时，点C的横坐标的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k，顶点P的坐标为（2，﹣1）， ∴h＝2，k＝﹣1，即抛物线y＝a（x﹣h）2+k为y＝a（x﹣2）2﹣1， ∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过O，即y＝a（x﹣2）2﹣1的图象过（0，0）， ∴0＝a（0﹣2）2﹣1，解得a， ∴抛物线的函数表达为y（x﹣2）2﹣1x2﹣x； （2）在yx2﹣x中，令y＝x得xx2﹣x， 解得x＝0或x＝8， ∴B（0，0）或B（8，8）， ①当B（0，0）时，过B作BC∥AP交抛物线于C，此时∠ABC＝∠OAP，如图： 在yx2﹣x中，令y＝0，得x2﹣x＝0， 解得x＝0或x＝4， ∴A（4，0）， 设直线AP解析式为y＝kx+b，将A（4，0）、P（2，﹣1）代入得： ，解得， ∴直线AP解析式为yx﹣2， ∵BC∥AP， ∴设直线BC解析式为yx+b'，将B（0，0）代入得b'＝0， ∴直线BC解析式为yx， 由得（此时为点O，舍去）或， ∴C（6，3）； ②当B（8，8）时，过P作PQ⊥x轴于Q，过B作BH⊥x轴于H，作H关于AB的对称点M，作直线BM交抛物线于C，连接AM，如图： ∵P（2，﹣1），A（4，0）， ∴PQ＝1，AQ＝2， Rt△APQ中，tan∠OAP， ∵B（8，8），A（4，0）， ∴AH＝4，BH＝8， Rt△ABH中，tan∠ABH， ∴∠OAP＝∠ABH， ∵H关于AB的对称点M， ∴∠ABH＝∠ABM， ∴∠ABM＝∠OAP，即C是满足条件的点， 设M（x，y）， ∵H关于AB的对称点M， ∴AM＝AH＝4，BM＝BH＝8， ∴， 两式相减变形可得x＝8﹣2y，代入即可解得（此时为H，舍去）或， ∴M（，）， 设直线BM解析式为y＝cx+d，将M（，），B（8，8）代入得； ，解得， ∴直线BM解析式为yx+2， 解得或（此时为B，舍去）， ∴C（﹣1，）， 综上所述，C坐标为（6，3）或（﹣1，）； （3）设BC交y轴于M，过B作BH⊥x轴于H，过M作MN⊥BH于N，如图： ∵点B的横坐标为t， ∴B（t，t2﹣t），又A（4，0）， ∴AH＝|t﹣4|，BH＝|t2﹣t|，OH＝|t|＝MN， ∵∠ABC＝90°， ∴∠MBN＝90°﹣∠ABH＝∠BAH， 且∠N＝∠AHB＝90°， ∴△ABH∽△BMN， ∴，即 ∴BN4， ∴NHt2﹣t+4， ∴M（0，t2﹣t+4）， 设直线BM解析式为y＝ext2﹣t+4， 将B（t，t2﹣t）代入得t2﹣t＝ett2﹣t+4， ∴e， ∴直线BC解析式为yxt2﹣t+4， 由得， 解得x1＝t（B的横坐标），x2t4， ∴点C的横坐标为﹣t4； 当t＜0时， xC＝﹣t4 ＝（）2+（）2+4 ＝（）2+12， ∴时，xC最小值是12，此时t＝﹣4， ∴当t＜0时，点C的横坐标的取值范围是xC≥12． 26．（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值； （3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）． ∵将C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a， ∴抛物线的解析式为y（x+1）（x﹣4），即yx2x﹣2． （2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K， ∴AK∥DG， ∴△AKE∽△DFE， ∴， ∴， 设直线BC的解析式为y＝kx+b1， ∴，解得， ∴直线BC的解析式为yx﹣2， ∵A（﹣1，0）， ∴y2， ∴AK， 设D（m，m﹣2），则F（m，m﹣2）， ∴DFm+22m． ∴m． ∴当m＝2时，有最大值，最大值是． （3）存在．符合条件的点P的坐标为（）或（）． ∵l∥BC， ∴直线l的解析式为yx， 设P（a1，）， ①当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥直线PN于点M， ∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），B（4，0）， ∴AC，AB＝5，BC＝2， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵△PQB∽△CAB， ∴， ∵∠QMP＝∠BNP＝90°， ∴∠MQP+∠MPQ＝90°，∠MPQ+∠BPN＝90°， ∴∠MQP＝∠BPN， ∴△QPM∽△PBN， ∴， ∴QM，PM（a1﹣4）a1﹣2， ∴MN＝a1﹣2，BN﹣QM＝a1﹣4a1﹣4， ∴Q（a1，a1﹣2）， 将点Q的坐标代入抛物线的解析式得2＝a1﹣2， 解得a1＝0（舍去）或a1． ∴P（）． ②当点P在直线BQ左侧时， 由①的方法同理可得点Q的坐标为（a1，2）． 此时点P的坐标为（）． 27．（2019•成都）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标； （3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式． 【解答】解：（1）由题意得： 解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3． （2）∵抛物线与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0）， ∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1， 如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2， 由翻折得C′B＝CB＝4， 在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H2， ∴点C′的坐标为（1，2），tan∠C′BH， ∴∠C′BH＝60°， 由翻折得∠DBH∠C′BH＝30°， 在Rt△BHD中，DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°， ∴点D的坐标为（1，）． （3）解：取（2）中的点C′，D，连接CC′， ∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°， ∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下： ①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P． ∵△PCQ，△C′CB为等边三角形， ∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°， ∴∠BCQ＝∠C′CP， ∴△BCQ≌△C′CP（SAS）， ∴BQ＝C′P． ∵点Q在抛物线的对称轴上， ∴BQ＝CQ， ∴C′P＝CQ＝CP， 又∵BC′＝BC， ∴BP垂直平分CC′， 由翻折可知BD垂直平分CC′， ∴点D在直线BP上， 设直线BP的函数表达式为y＝kx+b1， 则，解得， ∴直线BP的函数表达式为y． ②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方． ∵△PCQ，△C′CB为等边三角形， ∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°． ∴∠BCP＝∠C′CQ， ∴△BCP≌△C′CQ（SAS）， ∴∠CBP＝∠CC′Q， ∵BC′＝CC′，C′H⊥BC， ∴∠CC′Q∠CC′B＝30°． ∴∠CBP＝30°， 设BP与y轴相交于点E， 在Rt△BOE中，OE＝OB•tan∠CBP＝OB•tan30°＝1， ∴点E的坐标为（0，）． 设直线BP的函数表达式为y＝mx+n， 则，解得， ∴直线BP的函数表达式为y． 综上所述，直线BP的函数表达式为y或y． 28．（2018•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c与直线l：y＝kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标； （3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB＝90°，求k的值． 【解答】解：（1）由题意可得， 解得a＝1，b＝﹣5，c＝5； ∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣5x+5， （2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，设对称轴交x轴于Q． 则， ∵MQ， ∴NQ＝2，B（，）； ∴， 解得， ∴，D（0，）， 同理可求，， ∵S△BCD＝S△BCG， ∴①DG∥BC（G在BC下方），， ∴x2﹣5x+5， 解得，，x2＝3， ∵x， ∴x＝3， ∴G（3，﹣1）． ②G在BC上方时，直线G2G3与DG1关于BC对称， ∴， ∴x2﹣5x+5， 解得，， ∵x， ∴x， ∴G（，）， 综上所述点G的坐标为G（3，﹣1），G（，）． （3）由题意可知：k+m＝1， ∴m＝1﹣k， ∴y1＝kx+1﹣k， ∴kx+1﹣k＝x2﹣5x+5， 解得x1＝1，x2＝k+4， ∴B（k+4，k2+3k+1）， 如图，设AB中点为O′， ∵P点有且只有一个， ∴以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点， ∴O′P⊥x轴， ∴P为MN的中点， ∴P（，0）， ∵△AMP∽△PNB， ∴， ∴AM•BN＝PN•PM， ∴1×（k2+3k+1）＝（k+4）（）， ∵k＞0， ∴k1． 29．（2017•成都）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB＝4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′． （1）求抛物线C的函数表达式； （2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围． （3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣2，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+4， 把A（﹣2，0）代入可得a， ∴抛物线C的函数表达式为yx2+4． （2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y（x﹣2m）2﹣4， 由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0， 由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点， 则有，解得2＜m＜2， ∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜2． （3）结论：四边形PMP′N能成为正方形． 理由：情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H． 由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形， ∴PF＝FM，∠PFM＝90°， 易证△PFE≌△FMH，可得PE＝FH＝2，EF＝HM＝2﹣m， ∴M（m+2，m﹣2）， ∵点M在yx2+4上， ∴m﹣2（m+2）2+4，解得m3或3（舍弃）， ∴m3时，四边形PMP′N是正方形． 情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m）， 把M（m﹣2，2﹣m）代入yx2+4中，2﹣m（m﹣2）2+4，解得m＝6或0（舍弃）， ∴m＝6时，四边形PMP′N是正方形． 综上，四边形PMP′N能成为正方形，m3或6． 30．（2016•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧． （1）求a的值及点A，B的坐标； （2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式； （3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，）． ∴a﹣3，解得：a， ∴y（x+1）2﹣3 当y＝0时，有（x+1）2﹣3＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣4， ∴A（﹣4，0），B（2，0）． （2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，），D（﹣1，﹣3） ∴S四边形ABCD＝S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC3×3（3）×1210． 从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况： ①当直线l边AD相交于点M1时，则10＝3， ∴3×（）＝3 ∴2，点M1（﹣2，﹣2），过点H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直线l的解析式为y＝2x+2． ②当直线l边BC相交于点M2时，同理可得点M2（，﹣2），过点H（﹣1，0）和M2（，﹣2）的直线l的解析式为yx． 综上所述：直线l的函数表达式为y＝2x+2或yx． （3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y＝kx+b， ∴﹣k+b＝0， ∴b＝k， ∴y＝kx+k． 由， ∴（k）xk＝0， ∴x1+x2＝﹣2+3k，y1+y2＝kx1+k+kx2+k＝3k2， ∵点M是线段PQ的中点， 根据中点坐标公式得M（，）， ∴点M（k﹣1，k2）． 假设存在这样的N点如图，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y＝kx+k﹣3 由，解得：x1＝﹣1，x2＝3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3） ∵四边形DMPN是菱形， ∴DN＝DM， ∴（3k）2+（3k2）2＝（）2+（）2， 整理得：3k4﹣k2﹣4＝0， ∵k2+1＞0， ∴3k2﹣4＝0， 解得k＝±， ∵k＜0， ∴k， ∴P（﹣31，6），M（1，2），N（﹣21，1） ∴PM＝DN＝2， ∵PM∥DN， ∴四边形DMPN是平行四边形， ∵DM＝DN， ∴四边形DMPN为菱形， ∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣21，1）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$