【10年压轴题】2016-2025年上海市选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年上海市选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2025•上海）在锐角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边BC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（　　） A．2 B．5 C．8 D．10 2．（2024•上海）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（　　） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 3．（2023•上海）已知在梯形ABCD中，连接AC，BD，且AC⊥BD，设AB＝a，CD＝b．下列两个说法：①AC（a+b）；②AD，则下列说法正确的是（　　） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 4．（2022•上海）有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n的值可能为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 5．（2021•上海）如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是（　　） A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外 C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外 6．（2020•上海）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（　　） A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆 7．（2019•上海）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 8．（2018•上海）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（　　） A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7 9．（2017•上海）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（　　） A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB 10．（2016•上海）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（　　） A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8 二．填空题（共10小题） 11．（2025•上海）已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边，那么这个角的度数为 　 　 度． 12．（2024•上海）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 　 　 ． 13．（2023•上海）在△ABC中，AB＝7，BC＝3，∠C＝90°，点D在边AC上，点E在CA延长线上，且CD＝DE，如果⊙B过点A，⊙E过点D，若⊙B与⊙E有公共点，那么⊙E半径r的取值范围是 　 　 ． 14．（2022•上海）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 　 　 ． 15．（2021•上海）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P，OP＝2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为 　 　 ． 16．（2020•上海）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 　 　 ． 17．（2019•上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是 　 　 ． 18．（2018•上海）已知任一平面封闭图形，现在其外部存在一水平放置的矩形，使得矩形每条边都与该图形有至少一个交点，且构成该图形的所有点都在矩形内部或矩形边上，那么就称这个矩形为“该图形的矩形”，且这个矩形的水平长成为该图形的宽，铅直高称为该图形的高．如图，边长为1的菱形的一条边水平放置，已知“该菱形的矩形”的“高”是“宽”的，则该“菱形的矩形”的“宽”为　 　 ． 19．（2017•上海）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6＝　 　 ． 20．（2016•上海）如图，矩形ABCD中，BC＝2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•上海）如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点． （1）若E是BC中点； ①如图1，若AE＝EF，求证：∠BAE＝∠EFC； ②如图2，若CF＝DF，联结BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值； （2）如图3，若AB＝3，AD＝5，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，求AF的长． 22．（2024•上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且． （1）如图1所示，点F在边CD上，且，联结EF，求证：EF∥BC； （2）已知AD＝AE＝1； ①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N．如果∠DMC＝∠CEM，BC＝4，且CD2＝DM•DN，求边CD的长． 23．（2023•上海）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在边AB上，点F是边OB中点，以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，连接EF交OD于点G． （1）如果OG＝DG，求证：四边形CEGD为平行四边形； （2）如图（2）所示，连接OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求边OB的长； （3）连接BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO＝OF，求的值． 24．（2022•上海）如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE． （1）如果AE＝CE． ⅰ．求证：▱ABCD为菱形； ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长； （2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CEAE，求的值． 25．（2021•上海）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E． （1）当点E在CD上， ①求证：△DAC∽△OBC； ②若BE⊥CD，求的值； （2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长． 26．（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小； （3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长． 27．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E． （1）求证：∠E∠C； （2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值； （3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值． 28．（2018•上海）已知⊙O的直径AB＝2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F． （1）如图1，如果AC＝BD，求弦AC的长； （2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值； （3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积． 29．（2017•上海）如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC． （1）求证：△OAD∽△ABD； （2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离； （3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长． 30．（2016•上海）如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AD＝15，AB＝16，BC＝12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE＝∠DAB． （1）求线段CD的长； （2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长； （3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【10年压轴题】2016-2025年上海市选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C C A C A C B 一．选择题（共10小题） 1．（2025•上海）在锐角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边BC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（　　） A．2 B．5 C．8 D．10 【解答】解：如图，连接AD并延长交⊙O于点E， ∵AB＝AC，D为BC中点， ∴BD＝DC＝4，OD⊥BC， 锐角三角形ABC中，AB＝AC， ∴外接圆心O在AD上， 连接OB，由勾股定理得：， 设以D为圆心的圆的半径为r，⊙D，⊙O相交应满足：|5﹣r|＜OD＜5+r， 即|5﹣r|＜3＜5+r， 解得：2＜r＜8，在此范围的半径只有选项B， 故选：B． 2．（2024•上海）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（　　） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 【解答】解：∵圆A半径为1，圆P半径为3，圆A与圆P内切， ∴圆A含在圆P内，即PA＝3﹣1＝2， ∴P在以A为圆心、2为半径的圆与△ABC边相交形成的弧上运动，如图所示： ∴当到P'位置时，圆P与圆B圆心距离PB最大，为， ∵， ∴圆P与圆B相交， 故选：B． 3．（2023•上海）已知在梯形ABCD中，连接AC，BD，且AC⊥BD，设AB＝a，CD＝b．下列两个说法：①AC（a+b）；②AD，则下列说法正确的是（　　） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 【解答】解：过B作BE∥CA，交DC延长线于E，如图所示： 若AD＝BC，AB∥CD，则四边形ACEB是平行四边形， ∴CE＝AB，AC＝BE， ∴AB∥DC， ∴∠DAB＝∠CBA， ∵AB＝AB， ∴△DAB≌△CBA（SAS）， ∴AC＝BD，即BD＝BE， ∵AC⊥BD， ∴BE⊥BD， 在Rt△BDE 中，BD＝BE，AB＝a，CD＝b， ∴DE＝DC+CE＝b+a， ∴，此时①正确； 过B作BF⊥DE于F，如图所示： 在Rt△BFC中，BD＝BE，AB＝a，CD＝b，DE＝b+a， ∴，， ∴BC，此时②正确； 但已知中，梯形ABCD是否为等腰梯形，并未确定；梯形ABCD是AB∥CD还是AD∥BC，并未确定， ∴无法保证①②正确， 故选：D． 4．（2022•上海）有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n的值可能为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【解答】解：A．正六边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意； B．正九边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意； C．正十二边形旋转90°后能与自身重合，符合题意； D．正十五边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意； 故选：C． 5．（2021•上海）如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是（　　） A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外 C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外 【解答】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值， 设圆A的半径为R， 则：AB＝R﹣1， ∵AB＝4，圆B半径为1， ∴R＝5，即圆A的半径等于5， ∵AB＝4，BC＝AD＝3，由勾股定理可知AC＝5， ∴AC＝5＝R，AD＝3＜R， ∴点C在圆上，点D在圆内， 故选：C． 6．（2020•上海）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（　　） A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆 【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF． ∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFDC重合， ∴平行四边形ABCD是平移重合图形， 故选：A． 7．（2019•上海）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【解答】解：如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z． 由题意：， 解得， 故选：C． 8．（2018•上海）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（　　） A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7 【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD， ∴AD⊥OP， ∵∠O＝30°，AD＝2， ∴OA＝4， 当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1， ∵BC＝3， ∴OB＝OA+AB＝4+3﹣2＝5； 当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2， ∴OB＝OA+AB＝4+2+3＝9， ∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9， 故选：A． 9．（2017•上海）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（　　） A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB 【解答】解：A、∠BAC＝∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形； B、∠BAC＝∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形； C、∠BAC＝∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形； D、∠BAC＝∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形； 故选：C． 10．（2016•上海）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（　　） A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8 【解答】解：连接AD， ∵AC＝4，CD＝3，∠C＝90°， ∴AD＝5， ∵⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交， ∴r＞5﹣3＝2， ∵BC＝7， ∴BD＝4， ∵点B在⊙D外， ∴r＜4， ∴⊙D的半径长r的取值范围是2＜r＜4， 故选：B． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•上海）已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边，那么这个角的度数为 　108或36　 度． 【解答】解：如图： ∵∠MPN是正五边形的一个内角， ∴∠MPN108°； 如图： ∵∠OAB和∠OBA是正五边形的两个外角， ∴∠OAB＝∠OBA72°， ∴∠AOB＝180°﹣72°﹣72°＝36°， ∴这个角的度数为108°或36°． 故答案为：108或36． 12．（2024•上海）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 　4　 ． 【解答】解：∵抛物线（x）2， ∴x′（x′）20， 解得x′2， ∴抛物线“开口大小”为2|x′|＝2×|﹣2|＝4， 故答案为：4． 13．（2023•上海）在△ABC中，AB＝7，BC＝3，∠C＝90°，点D在边AC上，点E在CA延长线上，且CD＝DE，如果⊙B过点A，⊙E过点D，若⊙B与⊙E有公共点，那么⊙E半径r的取值范围是 　r≤2　 ． 【解答】解：如图： 在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝7，BC＝3， ∴AC2， ∵⊙B过点A，⊙E过点D，CD＝DE， ∴当点D在边AC上，点E在CA延长线上时，⊙B与⊙E有公共点， 当点E与A重合时，r， 当点D与A重合时，r＝2， ∴⊙E半径r的取值范围是r≤2． 故答案为：r≤2 14．（2022•上海）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 　2　 ． 【解答】解：如图，∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等， ∴圆心O就是三角形的内心， ∴当⊙O过点C时，且在等腰直角三角形ABC的三边上截得的弦相等，即CG＝CF＝DE，此时⊙O最大， 过点O分别作弦CG、CF、DE的垂线，垂足分别为P、N、M，连接OC、OA、OB， ∵CG＝CF＝DE， ∴OP＝OM＝ON， ∵∠C＝90°，AB＝2，AC＝BC， ∴AC＝BC2， 由S△AOC+S△BOC+S△AOB＝S△ABC， ∴AC•OPBC•ONAB•OM＝S△ABCAC•BC， 设OM＝x，则OP＝ON＝x， ∴xx+2x， 解得x1， 即OP＝ON1， 在Rt△CON中，OCON＝2， 故答案为：2． 15．（2021•上海）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P，OP＝2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为 　2d≤1　 ． 【解答】解：如图：设AB的中点是E，OP过点E时，点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时d＝PE最大，OP过顶点A时，点O与边AB上所有点的连线中，OA最大，此时d＝PA最小， 如图①：∵正方形ABCD边长为2，O为正方形中心， ∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB， ∴OE＝1， ∵OP＝2， ∴d＝PE＝1； 如图②：∵正方形ABCD边长为2，O为正方形中心， ∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB， ∴OA， ∵OP＝2， ∴d＝PA＝2； ∴d的取值范围为2d≤1． 故答案为：2d≤1． 16．（2020•上海）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 　AO　 ． 【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC＝10， 如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE， 则OE⊥AD， ∴OE∥CD， ∴△AOE∽△ACD， ∴， ∴， ∴AO， 如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF， 则OF⊥BC， ∴OF∥AB， ∴△COF∽△CAB， ∴， ∴， ∴OC， ∴AO， ∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是AO， 故答案为：AO． 17．（2019•上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是 　　 ． 【解答】解：∵△ACD≌△C1A1D1，可以将△C1A1D1与△ACD重合，如图， ∵∠ACB＝∠A1C1B1＝90°， ∴BC∥B1C1， ∴， ∵AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∴， 解得AD， ∴AD的长为， 故答案为． 18．（2018•上海）已知任一平面封闭图形，现在其外部存在一水平放置的矩形，使得矩形每条边都与该图形有至少一个交点，且构成该图形的所有点都在矩形内部或矩形边上，那么就称这个矩形为“该图形的矩形”，且这个矩形的水平长成为该图形的宽，铅直高称为该图形的高．如图，边长为1的菱形的一条边水平放置，已知“该菱形的矩形”的“高”是“宽”的，则该“菱形的矩形”的“宽”为　　 ． 【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC， 设AF＝x，则CFx， 在Rt△CBF中，CB＝1，BF＝x﹣1， 由勾股定理得：BC2＝BF2+CF2， ， 解得：x或0（舍）， 则该“菱形的矩形”的“宽”是， 故答案为：． 19．（2017•上海）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6＝　　 ． 【解答】解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC． 易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线， ∵△OBC是等边三角形， ∴∠OBC＝∠OCB＝∠BOC＝60°， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵∠BOC＝∠OEC+∠OCE， ∴∠OEC＝∠OCE＝30°， ∴∠BCE＝90°， ∴△BEC是直角三角形， ∴cos30°， ∴λ6， 故答案为． 20．（2016•上海）如图，矩形ABCD中，BC＝2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为　　 ． 【解答】解：设AB＝x，则CD＝x，A′C＝x+2， ∵AD∥BC， ∴，即， 解得，x11，x21（舍去）， ∵AB∥CD， ∴∠ABA′＝∠BA′C， tan∠BA′C， ∴tan∠ABA′， 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•上海）如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点． （1）若E是BC中点； ①如图1，若AE＝EF，求证：∠BAE＝∠EFC； ②如图2，若CF＝DF，联结BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值； （2）如图3，若AB＝3，AD＝5，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，求AF的长． 【解答】（1）①证明：如图所示，延长FE，AB交于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EBH＝∠ECF，∠EHB＝∠EFC， ∵E是边BC中点， ∴BE＝CE， ∴△BEH≌△CEF（AAS）， ∴EH＝EF，∠H＝∠CFE， ∵AE＝EF， ∴AE＝EH， ∴∠H＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠CFE； 方法2：过点E作EI∥AB交AF于点I， ∵EI∥BA，AB∥CD， ∴BAE＝∠AEI，∠EFC＝∠IEF， ∵E为BC的中点， ∴I为AF的中点， ∵AE＝AF， ∴∠AEI＝∠IEF， ∴∠BAE＝∠EFC； ②解：如图所示，延长BF，AD交于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF， ∴，， ∴BF＝MF，BC＝DM， ∵E是边BC中点， ∴BC＝2CE＝2BE， 设CE＝BE＝m，则BC＝DM＝2m， ∴AM＝AD+DM＝4m， ∴，1， ∴， ∴，， 设S△ABG＝4n，则S△BGE＝n，S△AFG＝6n， ∴， ∴； （2）解：如图所示，延长AD，EF交于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，CD＝AB＝3， ∴∠AEB＝∠EAD， ∵∠AEB＝∠AFE＝∠EFC， ∴∠EFA＝∠EAD， 又∵∠AEF＝∠MEA， ∴△AEF∽△MEA， ∵∠AEB+∠AEF+∠FEC＝∠EFC+∠FCE+∠FEC＝180°，∠AEB＝∠EFC， ∴∠AEF＝∠FCE， ∴△AEF∽△ECF， ∵AD∥BC， ∴△ECF∽△MDF， ∴， ∵CF＝1， ∴DF＝CD﹣CF＝2， 设CE＝s，FE＝t， ∵△AEF∽△ECF， ∴，即， ∴AE＝st，AF＝t2， ∵，即， ∴DM＝2s，FM＝2t， ∴AM＝AD+DM＝5+2s， ∵△AEF∽△MEA， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 22．（2024•上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且． （1）如图1所示，点F在边CD上，且，联结EF，求证：EF∥BC； （2）已知AD＝AE＝1； ①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N．如果∠DMC＝∠CEM，BC＝4，且CD2＝DM•DN，求边CD的长． 【解答】（1）证明：延长DE和CB交于点G， ∵AD∥BC， ∴， ∵AEAB，DF ∴，， ∴， ∴EF∥BC． （2）①记点O为△ADE外接圆圆心，过点O作OF⊥AE于点F，连接OA，OD，OE． ∵点O为△ADE外接圆的圆心， ∴OA＝OE＝OD， ∴AF＝EFAE， ∵AEAB， ∴AB＝3AE＝3， ∵AE＝AD，OE＝OD，OA＝OA， ∴△AOE≌△AOD（SSS）， ∴∠EAO＝∠DAO， ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO， ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∴2∠EAO+2∠ABO＝180°，即∠EAO+∠ABO＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∵OF⊥AE， ∴∠AFO＝∠AOB＝90°， ∵∠FAO＝∠OAB， ∴△FAO∽△OAB， ∴，即AO2＝AF•AB， ∴AO， ∴△ADE外接圆半径为． ②方法一：延长BA，CD交于点P，过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q． ∵AD∥BC， ∴△PAD∽△PBC， ∴， 由①知AB＝3， ∴， ∴PA＝1， ∵CD2＝DM•DN， ∴， ∵∠CDN＝∠MDC， ∴△DCN∽△DMC， ∴∠DCN＝∠CMD， ∵∠DMC＝∠CEM， ∴∠CEM＝∠DCN， ∴EM∥CD， ∴， 由AB＝3，AE＝1得，BE＝2， ∴， ∴BM＝MC＝2， ∴△BEM∽△BPC， ∴， 设ME＝2a，则PC＝4a， ∵AD∥BC， ∴， ∴PD＝a，DC＝3a， ∵EM∥CD， ∴△ENM∽△CND， ∴， 设EN＝2b，则CN＝3b， ∵∠DMC＝∠CEM，∠ECM＝∠MCN， ∴△CNM∽△CME， ∴，即CM2＝CN•CE， ∴4＝3b•5b，解得b， ∴CE， 在Rt△BQE中，由勾股定理可得： BE2﹣BQ2＝CE2﹣CQ2， ∴4﹣BQ2＝（）2﹣（4﹣BQ）2， 解得BQ， ∴EQ2＝BE2﹣BQ2， ∵QM＝BM﹣BQ＝2， ∴在Rt△EQM中，由勾股定理可得，EM， ∵， ∴DC． 方法二： ∵AD＝AE＝1， ∴AB＝3AE＝3， ∵AD∥BC，BC＝4， ∴，即， ∴AP＝1＝AD＝AE， ∵BE＝AP﹣AE＝2，PE＝AE+AP＝2， ∴E为BP中点， ∵CD2＝DM•DN， ∴△DCN∽△DMC， ∴∠DCN＝∠DMC＝∠CEM， ∴EM∥CD， ∴M也为BC中点， ∴CM＝BM＝2， ∵BP＝BC＝4， ∴∠P＝∠DCM， ∵∠ECP＝∠DMC， ∴△ECP∽△DMC， ∴， 设DP＝a，则CD＝3a，CP＝4a， ∴，解得a， ∴CD． 方法三：由CD2＝DM•DN易得△DCN∽△DMC， ∴∠DCN＝∠CMD， ∵∠DMC＝∠CEM， ∴∠CEM＝∠DCN， ∴EM∥CD， 延长DA、ME交于点F， 则四边形CDFM是平行四边形， ∴△EAF∽△EBM， ∴， 设AF＝n，则BM＝2n，DF＝CM＝n+1， ∴BC＝BM+CM＝2n+n+1＝4， 解得n＝1， ∴AF＝1，BM＝2， 连接DE， 由AD＝AF＝AE可得∠DEF＝90°， 设EF＝m，则EM＝2m，CD＝3m，设EN＝2t，则CN＝3t， 由△CMN∽△CEM可得， ，即CM2＝CE•CN， ∴4＝3t•5t， 解得t2， 由DE2＝DF2﹣EF2＝CE2﹣CD2得， 22﹣m2＝25t2﹣9m2， 解得m， ∴CD＝3m． 23．（2023•上海）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在边AB上，点F是边OB中点，以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，连接EF交OD于点G． （1）如果OG＝DG，求证：四边形CEGD为平行四边形； （2）如图（2）所示，连接OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求边OB的长； （3）连接BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO＝OF，求的值． 【解答】（1）证明：如图： ∵AC＝AB， ∴∠ABC＝∠C， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABC， ∴∠C＝∠ODB， ∴OD∥AC， ∵F是OB的中点，OG＝DG， ∴FG是△OBD的中位线， ∴FG∥BC，即GE∥CD， ∴四边形CEGD是平行四边形； （2）解：如图： 由∠OFE＝∠DOE，AO＝4，点F边OB中点，设∠OFE＝∠DOE＝α，OF＝FB＝a，则OE＝OB＝2a， 由（1）可得OD∥AC， ∴∠AEO＝∠DOE＝α， ∴∠OFE＝∠AEO＝α， ∵∠A＝∠A， ∴△AEO∽△AFE， ∴，即 AE2＝AO•AF， 在Rt△AEO 中，AE2＝EO2﹣AO2， ∴EO2﹣AO2＝AO×AF， ∴（2a）2﹣42＝4×（4+a）， 解得： 或 （舍去）， ∴OB＝2a＝1； （3）解：①当OG＝OB时，点G与点D重合，不符合题意，舍去； ②当BG＝OB 时，延长BG交AC于点P，如图所示， ∵点F是OB的中点，AO＝OF， ∴AO＝OF＝FB， 设AO＝OF＝FB＝a， ∵OG∥AC， ∴△BGO∽△BPA， ∴， 设OG＝2k，AP＝3k， ∵OG∥AE， ∴△FOG∽△FAE， ∴， ∴AE＝2OG＝4k， ∴PE＝AE﹣AP＝k， 设OE交PG于点Q， ∵OG∥PE， ∴△QPE∽△QGO， ∴， ∴PQa，QGa，， 在△PQE 与△BQO 中， ，， ∴， 又∠PQE＝∠BQO， ∴△PQE∽△OQB， ∴， ∴， ∴a＝2k， ∵OD＝OB＝2a，OG＝2k， ∴， ∴的值为． 24．（2022•上海）如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE． （1）如果AE＝CE． ⅰ．求证：▱ABCD为菱形； ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长； （2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CEAE，求的值． 【解答】（1）i．证明：如图，连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵AE＝CE，OE＝OE， ∴△AOE≌△COE（SSS）， ∴∠AOE＝∠COE， ∵∠AOE+∠COE＝180°， ∴∠COE＝90°， ∴AC⊥BD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴▱ABCD为菱形； ii．解：∵OA＝OC， ∴OB是△ABC的中线， ∵P为BC的中点， ∴AP是△ABC的中线， ∴点E是△ABC的重心， ∴BE＝2OE， 设OE＝x，则BE＝2x， 在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA2＝AE2﹣OE2＝32﹣x2＝9﹣x2， 在Rt△AOB中，由勾股定理得，OA2＝AB2﹣OB2＝52﹣（3x）2＝25﹣9x2， ∴9﹣x2＝25﹣9x2， 解得x（负值舍去）， ∴OB＝3x＝3， ∴BD＝2OB＝6； （2）解：方法一：如图， ∵⊙A与⊙B相交于E，F， ∴AB⊥EF， 由（1）②知点E是△ABC的重心， 又∵F在直线CE上， ∴CG是△ABC的中线， ∴AG＝BGAB，EGCE， ∵CEAE， ∴GEAE，CG＝CE+EGAE， ∴AG2＝AE2﹣EG2＝AE2， ∴AGAE， ∴AB＝2AGAE， ∴BC2＝BG2+CG2AE25AE2， ∴BCAE， ∴． 方法二：设EP＝x，则AE＝2x，CE＝2x， ∵AE＝AF，BE＝BF， ∴AB垂直平分EF，∠AGF＝90°， ∴∠DCE＝90°， 延长AP交DC的延长线于点Q，则CQ＝CD， ∴EQ＝ED＝4x，由勾股定理得CD＝2x，∠DEC＝∠CEQ＝45°， 由DE＝4x可得BE＝2x， ∴BPx， ∴AB：BC＝2x：2x． 25．（2021•上海）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E． （1）当点E在CD上， ①求证：△DAC∽△OBC； ②若BE⊥CD，求的值； （2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长． 【解答】（1）①证明：如图1， ∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠DCA． ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB． ∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC， ∴△DAC∽△OBC； ②解：如图2，若BE⊥CD， 在Rt△BCE中，∠OCE＝∠OCB＝∠EBC， ∴∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°． 过点D作DH⊥BC于点H， 设AD＝CD＝2m，则BH＝AD＝2m， 在Rt△DCH中，DC＝2m， ∴CH＝m， ∴BC＝BH+CH＝3m， ∴； （2）①如图3，当点E在AD上时， ∵AD∥BC， ∴∠EAO＝∠BCO，∠AEO＝∠CBO， ∵O是AC的中点， ∴OA＝OC， ∴△AOE≌△COB（AAS）， ∴OB＝OE， ∴四边形ABCE是平行四边形， 又∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCE是矩形． 设AD＝CD＝x， ∵DE＝2， ∴AE＝x﹣2， ∵OE＝3， ∴AC＝6， 在Rt△ACE和Rt△DCE中，CE2＝AC2﹣AE2，CE2＝CD2﹣DE2， ∴62﹣（x﹣2）2＝x2﹣22， 解得x＝1，或x＝1（舍去）． ∴CD＝1． ②如图4，当点E在CD上时，设AD＝CD＝x，则CE＝x﹣2， 设OB＝OC＝m， ∵OE＝3， ∴EB＝m+3， ∵△DAC∽△OBC， ∴， ∴， ∴． 又∵∠EBC＝∠OCE，∠BEC＝∠OEC， ∴△EOC∽△ECB， ∴， ∴， ∴， ∴m， 将m代入， 整理得，x2﹣6x﹣10＝0， 解得x＝3，或x＝3（舍去）． ∴CD＝3． 综合以上可得CD的长为1或3． 26．（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小； （3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长． 【解答】（1）证明：连接OA． ∵AB＝AC， ∴， ∴OA⊥BC， ∴∠BAO＝∠CAO， ∵OA＝OB， ∴∠ABD＝∠BAO， ∴∠BAC＝2∠ABD． （2）解：如图2中，延长AO交BC于H． ①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠DBC＝2∠ABD， ∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°， ∴8∠ABD＝180°， ∴∠C＝3∠ABD＝67.5°． ②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD， ∴∠C＝4∠ABD， ∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°， ∴10∠ABD＝180°， ∴∠BCD＝4∠ABD＝72°． ③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在． 综上所述，∠C的值为67.5°或72°． （3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E． 则， ∴，设OB＝OA＝4a，OH＝3a， ∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2， ∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2， ∴a2， ∴BH2＝7a2， ∴BH ∴BC＝2BH． 27．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E． （1）求证：∠E∠C； （2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值； （3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵AE⊥AD， ∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC，同理∠ABD∠ABC， ∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C， ∴∠ADE（∠ABC+∠BAC）＝90°∠C， ∴∠E＝90°﹣（90°∠C）∠C． （2）解：延长AD交BC于点F． ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠E， BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴∠E＝∠CBE， ∴AE∥BC， ∴∠AFB＝∠EAD＝90°，， ∵BD：DE＝2：3， ∴cos∠ABC． （3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°， ∴∠ABC中必有一个内角为90° ∵∠ABC是锐角， ∴∠ABC≠90°． ①当∠BAC＝∠DAE＝90°时， ∵∠E∠C， ∴∠ABC＝∠E∠C， ∵∠ABC+∠C＝90°， ∴∠ABC＝30°，此时2． ②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠∠C＝45°， ∴∠EDA＝45°， ∵△ABC与△ADE相似， ∴∠ABC＝45°，此时2． 综上所述，∠ABC＝30°，2．∠ABC＝45°，2． 28．（2018•上海）已知⊙O的直径AB＝2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F． （1）如图1，如果AC＝BD，求弦AC的长； （2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值； （3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积． 【解答】解：（1）∵OD⊥AC， ∴，∠AFO＝90°， 又∵AC＝BD， ∴，即， ∴， ∴， ∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°， ∵AB＝2， ∴AO＝BO＝1， ∴AF＝AOsin∠AOF＝1， 则AC＝2AF； （2）如图1，连接BC， ∵AB为直径，OD⊥AC， ∴∠AFO＝∠C＝90°， ∴OD∥BC， ∴∠D＝∠EBC， ∵DE＝BE、∠DEF＝∠BEC， ∴△DEF≌△BEC（ASA）， ∴BC＝DF、EC＝EF， 又∵AO＝OB， ∴OF是△ABC的中位线， 设OF＝t，则BC＝DF＝2t， ∵DF＝DO﹣OF＝1﹣t， ∴1﹣t＝2t， 解得：t， 则DF＝BC、AC， ∴EFFCAC， ∵OB＝OD， ∴∠ABD＝∠D， 则cot∠ABD＝cot∠D； （3）如图2， ∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边， ∴∠BOC、∠AOD＝∠COD， 则2180， 解得：n＝4或﹣2，﹣2舍去． ∴∠BOC＝90°、∠AOD＝∠COD＝45°， ∴BC＝AC， ∵∠AFO＝90°， ∴OF＝AOcos∠AOF， 则DF＝OD﹣OF＝1， ∴S△ACDAC•DF（1）． 29．（2017•上海）如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC． （1）求证：△OAD∽△ABD； （2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离； （3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长． 【解答】（1）证明：如图1中， 在△AOB和△AOC中， ， ∴△AOB≌△AOC， ∴∠C＝∠B， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠C＝∠B， ∵∠ADO＝∠ADB， ∴△OAD∽△ABD． （2）如图2中，①当∠ODC＝90°时， ∵BD⊥AC，OA＝OC， ∴AD＝DC， ∴BA＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形， 在Rt△OAD中，∵OA＝1，∠OAD＝30°， ∴ODOA， ∴AD， ∴BC＝AC＝2AD． ②∠COD＝90°，∠BOC＝90°，BC， ③∠OCD显然≠90°，不需要讨论． 综上所述，BC或． （3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD＝x． ∵△DAO∽△DBA， ∴， ∴， ∴AD，AB， ∵S2是S1和S3的比例中项， ∴S1•S3， ∵S2AD•OH，S1＝S△OAC•AC•OH，S3•CD•OH， ∴（AD•OH）2•AC•OH••CD•OH， ∴AD2＝AC•CD， ∵AC＝AB．CD＝AC﹣AD， ∴（）2•（）， 整理得x2+x﹣1＝0， 解得x或， 经检验：x是原方程的根，且符合题意， ∴OD． （也可以利用角平分线的性质定理：，黄金分割点的性质解决这个问题） 方法2、设OD＝x，设△AOB的边上的高为h，则△AOD的边OD边上的高也为h， ∴， 设S△AOB＝a， ∴S△AOD＝ax， ∵△AOB≌△AOC， ∴S△AOC＝S△AOB＝a ∴S△AOC＝S△AOD+S△COD， ∴S△COD＝a﹣ax＝a（1﹣x）， ∵S2是S1和S3的比例中项， ∴S1•S3， ∴（ax）2＝a×a（1﹣x）， ∴x， ∵OD＞0， ∴OD． 30．（2016•上海）如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AD＝15，AB＝16，BC＝12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE＝∠DAB． （1）求线段CD的长； （2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长； （3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【解答】解：（1）作DH⊥AB于H，如图1， 易得四边形BCDH为矩形， ∴DH＝BC＝12，CD＝BH， 在Rt△ADH中，AH9， ∴BH＝AB﹣AH＝16﹣9＝7， ∴CD＝7； （2）①EA＝EG时，则∠AGE＝∠GAE， ∵∠AGE＝∠DAB， ∴∠GAE＝∠DAB， ∴G点与D点重合，即ED＝EA， 作EM⊥AD于M，如图1，则AMAD， ∵∠MAE＝∠HAD， ∴Rt△AME∽Rt△AHD， ∴AE：AD＝AM：AH，即AE：15：9，解得AE； ②GA＝GE时，则∠GAE＝∠AEG， ∵∠AGE＝∠DAB， 而∠AGE＝∠ADG+∠DAG，∠DAB＝∠GAE+∠DAG， ∴∠GAE＝∠ADG， ∴∠AEG＝∠ADG， ∴AE＝AD＝15． 综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15； （3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH＝9，HE＝|x﹣9|， 在Rt△HDE中，DE， ∵∠AGE＝∠DAB，∠AEG＝∠DEA， ∴△EAG∽△EDA， ∴EG：AE＝AE：ED，即EG：x＝x：， ∴EG， ∴DG＝DE﹣EG， ∵DF∥AE， ∴△DGF∽△EGA， ∴DF：AE＝DG：EG，即y：x＝（）：， ∴y（9＜x）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$