【10年压轴题】2016-2025年陕西省选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年陕西省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 2．（2024•陕西）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 … y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 3．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（　　） A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值 4．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 5．（2021•陕西）如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x ⋯ ﹣2 0 1 3 ⋯ y ⋯ 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 ⋯ 下列各选项中，正确的是（　　） A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点 C．这个函数的最小值为 D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大 6．（2020•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2019•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（　　） A．m，n B．m＝5，n＝﹣6 C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣2 8．（2018•陕西）对于抛物线y＝ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（2017•陕西）已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（　　） A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20） 10．（2016•陕西）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（　　） A． B． C． D．2 二．填空题（共10小题） 11．（2025•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，使点P始终在▱ABCD的内部或边上．当△MNP的面积最大时，DN的长为 　 　 ． 12．（2024•陕西）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且 BF＝AE，连接CF．若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为 　 　 ． 13．（2023•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E在边AD上，且ED＝3，M、N分别是边AB、BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．若PM+PN＝4．则线段PC的长为 　 　 ． 14．（2022•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为 　 　 ． 15．（2021•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　 　 ． 16．（2020•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为　 　 ． 17．（2019•陕西）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为 　 　 ． 18．（2018•陕西）如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EFAB；G、H是BC边上的点，且GHBC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是　 　 ． 19．（2017•陕西）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC．若AC＝6，则四边形ABCD的面积为　 　 ． 20．（2016•陕西）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•陕西）问题探究 （1）如图①，在△ABC中，请画出一个▱BDEF，使得点D，E，F分别在边AB，AC，BC上； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P为矩形ABCD内一点，且满足S△BPC＝9，△BPC周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，△ABC区域为草地，线段BC为花海边沿，点A为游客服务中心，线段PQ为步道，点P和点Q为步道口，点O为观景台．按照设计要求，点P，Q分别在边AB，AC上，且满足BP：AQ＝2：3，O为PQ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使∠BOC最大．已知AB＝120m，AC＝BC＝180m，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口P与游客服务中心A之间的距离PA．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 22．（2024•陕西）问题提出 （1）如图①，在△ABC中，AB＝15，∠C＝30°，作△ABC的外接圆⊙O，则的长为 　 　 ；（结果保留π） 问题解决 （2）如图②所示，道路AB的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段AD，AC和BC为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口．已知点E在AC上，且AE＝EC，∠DAB＝60°，∠ABC＝120°，AB＝1200m，AD＝BC＝900m，现要在湿地上修建一个新观测点P，使∠DPC＝60°．再在线段AB上选一个新的步道出入口点F，并修道三条新步道PF，PD，PC，使新步道PF经过观测点E，并将五边形ABCPD的面积平分． 请问：是否存在满足要求的点P和点F？若存在，求此时PF的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 23．（2023•陕西）（1）如图①，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，AB＝24．若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值； （2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝10000m，BC＝DE＝6000m．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N．连接BN，点P在⊙O上，连接EP．其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长． 24．（2022•陕西）问题提出 （1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为 　 　 ． 问题探究 （2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积． 问题解决 （3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD； ②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E； ③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP． 请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论． 25．（2021•陕西）问题提出 （1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号） 问题解决 （2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由． 26．（2020•陕西）问题提出 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是　 　 ． 问题探究 （2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长． 问题解决 （3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）． ①求y与x之间的函数关系式； ②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积． 27．（2019•陕西）问题提出： （1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形； 问题探究： （2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离； 问题解决： （3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计） 28．（2018•陕西）问题提出 （1）如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为　 　 ． 问题探究 （2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值． 问题解决 （3）如图③所示，AB、AC、是某新区的三条规划路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，所对的圆心角为60°，新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计） 29．（2017•陕西）问题提出 （1）如图①，△ABC是等边三角形，AB＝12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为 　 　 ； 问题探究 （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝18，如果点P是AD边上一点，且AP＝3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由． 问题解决 （3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了． 如图③，已测出AB＝24m，MB＝10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E，又测得DE＝8m． 请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米） 30．（2016•陕西）问题提出 （1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形． 问题探究 （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由． 问题解决 （3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB＝3米，AD＝6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG＝90°，EF＝FG 米，∠EHG＝45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由． 【10年压轴题】2016-2025年陕西省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D D C D D C C D 一．选择题（共10小题） 1．（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 【解答】解：由题意可得， ∵方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号， ∴， 解得0＜a＜3， ∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意； ∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线， ∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当x＝1时，y＝﹣3， ∴最小值为﹣3，故C不符合题意； 当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3， ∵0＜a＜3， ∴此时y＜0，故D符合题意； 故选：D． 2．（2024•陕西）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 … y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 【解答】解：由题知， ， 解得， 所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x． 因为a＝﹣1＜0， 所以抛物线的开口向下． 故A选项不符合题意． 因为y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1， 所以当x＞1时，y随x的增大而减小． 故B选项不符合题意． 令y＝0得， ﹣x2+2x＝0， 解得x1＝0，x2＝2， 所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）． 又因为抛物线的顶点坐标为（1，1）， 所以抛物线经过第一、三、四象限． 故C选项不符合题意． 因为二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1． 故D选项符合题意． 故选：D． 3．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（　　） A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值 【解答】解：由题意可得：6＝m2﹣m， 解得：m1＝3，m2＝﹣2， ∵二次函数y＝x2+mx+m2﹣m，对称轴在y轴左侧， ∴m＞0， ∴m＝3， ∴y＝x2+3x+6， ∴二次函数有最小值为：． 故选：D． 4．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）， 当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0）， ∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3， 故选：D． 5．（2021•陕西）如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x ⋯ ﹣2 0 1 3 ⋯ y ⋯ 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 ⋯ 下列各选项中，正确的是（　　） A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点 C．这个函数的最小值为 D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大 【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c， 由题知， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）＝（x）2， A．函数图象开口向上，故A选项不符合题意； B．与x轴的交点为（4，0）和（﹣1，0），故B选项不符合题意； C．当x时，函数有最小值为，故C选项符合题意； D．函数对称轴为直线x，根据图象可知当x时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意． 故选：C． 6．（2020•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：∵y＝x2﹣（m﹣1）x+m＝（x）2+m， ∴该抛物线顶点坐标是（，m）， ∴将其沿y轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（，m3）， ∵m＞1， ∴m﹣1＞0， ∴0， ∵m31＜0， ∴点（，m3）在第四象限； 故选：D． 7．（2019•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（　　） A．m，n B．m＝5，n＝﹣6 C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣2 【解答】解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称， ∴，解之得， ∴则符合条件的m，n的值为m＝1，n＝﹣2， 故选：D． 8．（2018•陕西）对于抛物线y＝ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：把x＝1，y＞0代入解析式可得：a+2a﹣1+a﹣3＞0， 解得：a＞1， 所以可得：，， 所以这条抛物线的顶点一定在第三象限， 故选：C． 9．（2017•陕西）已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（　　） A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20） 【解答】解：y＝x2﹣2mx﹣4＝x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4＝（x﹣m）2﹣m2﹣4． ∴点M（m，﹣m2﹣4）． ∴点M′（﹣m，m2+4）． ∴m2+2m2﹣4＝m2+4． 解得m＝±2． ∵m＞0， ∴m＝2． ∴M（2，﹣8）． 故选：C． 10．（2016•陕西）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（　　） A． B． C． D．2 【解答】解：令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或1，不妨设A（﹣3，0），B（1，0）， ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴顶点C（﹣1，4）， 如图所示，作CD⊥AB于D． 在RT△ACD中，tan∠CAD2， 故选：D． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，使点P始终在▱ABCD的内部或边上．当△MNP的面积最大时，DN的长为 　5　 ． 【解答】解：如图，连接AP，交BC于H， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°， ∴∠BAD＝120°， ∵△MNP是等边三角形， ∴MP＝PN，∠PMN＝∠PNM＝60°，△MNP的面积MP2， ∵AM＝AN，AP＝AP， ∴△AMP≌△ANP（SSS）， ∴∠BAP＝∠DAP＝60°，∠APM＝∠APN＝30°， ∴∠AMP＝90°， ∴MPAM，AP＝2AM， ∴MPAP， ∴△MNP的面积AP2， ∴当AP最大时，△MNP的面积的面积最大， ∵∠B＝∠BAH＝60°， ∴△ABH是等边三角形， ∴AB＝AH＝6， ∵AM＝AN，MP＝NP， ∴点P在AH上运动， ∵点P始终在▱ABCD的内部或边上． ∴AP的最大值为AH的长， 即AP＝6， ∴AM＝AN＝3， ∴DN＝5， 故答案为：5． 12．（2024•陕西）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且 BF＝AE，连接CF．若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为 　60　 ． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BF∥AC， ∴∠ACB＝∠CBF， ∴∠ABC＝∠CBF， ∴BC平分∠ABF， 过点C作CM⊥AB，CN⊥BF， 则：CM＝CN， ∵，，且BF＝AE， ∴S△CBF＝S△ACE， ∴四边形EBFC的面积＝S△CBF+S△CBE＝S△ACE+S△CBE＝S△CBA， ∵AC＝13， ∴AB＝13， 设AM＝x，则BM＝13﹣x， 由勾股定理，得：CM2＝AC2﹣AM2＝BC2﹣BM2， ∴132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2， 解得：， ∴， ∴， ∴四边形EBFC的面积为60， 故答案为：60． 解法二：过点A作AH⊥BC，可得AH＝12，得出． 13．（2023•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E在边AD上，且ED＝3，M、N分别是边AB、BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．若PM+PN＝4．则线段PC的长为 　2　 ． 【解答】解：如图，过点P分别作PF⊥DC，PG⊥BC，PH⊥AB， ∵DE＝CD＝3，∠D＝90°， ∴∠ECD＝45°， ∴∠ECB＝45°， ∴PG＝PF， ∵PM≥PH，PN≥PG， ∴PM+PN≥PH+PG＝4， ∵PM+PN＝4， ∴PM与PH重合，PN与PG重合， ∴四边形PHBG为正方形， ∴PH＝PG＝2， ∴PC＝2． 故答案为：2． 14．（2022•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为 　　 ． 【解答】解：连接AC交BD于O， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC， 由勾股定理得：OA， ∵ME⊥BD，AO⊥BD， ∴ME∥AO， ∴△DEM∽△DOA， ∴，即， 解得：ME， 同理可得：NF， ∴ME+NF， 故答案为：． 15．（2021•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　31　 ． 【解答】解：当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图， 过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F， ∴OE＝OF＝1， ∴OC平分∠BCD， ∵四边形ABCD为正方形， ∴点O在AC上， ∵ACBC＝4，OCOE， ∴AQ＝OA+OQ＝41＝31， 即点A到⊙O上的点的距离的最大值为31， 故答案为31． 16．（2020•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为　2　 ． 【解答】解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H， 得矩形AGHE， ∴GH＝AE＝2， ∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°， ∴BG＝3，AG＝3EH， ∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1， ∵EF平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点， ∴FC＝AE＝2， ∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1， 在Rt△EFH中，根据勾股定理，得 EF2． 故答案为：2． 17．（2019•陕西）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为 　2　 ． 【解答】解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接MN′并延长交BD于P，连NP， 根据轴对称性质可知，PN＝PN'， ∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'， 当P，M，N'三点共线时，取“＝”， ∵正方形边长为8， ∴ACAB， ∵O为AC中点， ∴AO＝OC， ∵N为OA中点， ∴ON， ∴ON'＝CN'， ∴AN'， ∵BM＝6， ∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2， ∴， ∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°， ∵∠N'CM＝45°， ∴△N'CM为等腰直角三角形， ∴CM＝MN'＝2， 即PM﹣PN的最大值为2， 故答案为：2． 18．（2018•陕西）如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EFAB；G、H是BC边上的点，且GHBC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是　　 ． 【解答】解：连接AO、BO、CO， ∵，， ∴S1S△AOB，S2S△BOC． ∵点O是▱ABCD的对称中心， ∴S△AOB＝S△BOCS▱ABCD， ∴． 即S1与S2之间的等量关系是． 故答案为． 19．（2017•陕西）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC．若AC＝6，则四边形ABCD的面积为　18　 ． 【解答】解：法一、如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N； ∵∠BAD＝∠BCD＝90° ∴四边形AMCN为矩形，∠MAN＝90°； ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN； 在△ABM与△ADN中， ， ∴△ABM≌△ADN（AAS）， ∴AM＝AN（设为λ）；△ABM与△ADN的面积相等； ∴四边形ABCD的面积＝正方形AMCN的面积； 由勾股定理得：AC2＝AM2+MC2，而AC＝6； ∴2λ2＝36，λ2＝18， 法二、如图，延长CB到点E，使BE＝CD，连接AE， ∴∠ABE+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠D+∠ABC＝180°， ∴∠D＝∠ABE， ∵AD＝AB，BE＝BC， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴∠EAB＝∠DAC，AE＝AC，△ABM与△ADN的面积相等； ∴∠CAB+∠EAB＝∠BAC+∠DAC＝90°，即∠EAC＝90°， ∴△EAC是等腰直角三角形， ∴四边形ABCD的面积＝△EAC的面积62＝18； 故答案为：18． 20．（2016•陕西）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为　22　 ． 【解答】解：①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P与点A重合时，PD值最小，为2； ②若以边PC为底，∠PBC为顶角时，以点B为圆心，BC长为半径作圆，与BD相交于一点，则弧AC（除点C外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在BD上时，PD最小，最小值为2√3﹣2； ③若以边PB为底，∠PCB为顶角，以点C为圆心，BC为半径作圆，则弧BD上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点D重合时，PD最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； 综上所述，PD的最小值为22． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•陕西）问题探究 （1）如图①，在△ABC中，请画出一个▱BDEF，使得点D，E，F分别在边AB，AC，BC上； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P为矩形ABCD内一点，且满足S△BPC＝9，△BPC周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，△ABC区域为草地，线段BC为花海边沿，点A为游客服务中心，线段PQ为步道，点P和点Q为步道口，点O为观景台．按照设计要求，点P，Q分别在边AB，AC上，且满足BP：AQ＝2：3，O为PQ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使∠BOC最大．已知AB＝120m，AC＝BC＝180m，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口P与游客服务中心A之间的距离PA．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 【解答】解：（1）依题意，先作∠ADE＝∠B，DE交AC于点E，得出DE∥BF， 再以点B为圆心，以DE的长为半径画弧，交线段BC于一点F， 连接EF，则DE＝BF， ∵DE∥BF， ∴四边形BDEF是平行四边形， 即▱BDEF如图所示： （2）如图，过P点作PH⊥BC于点H， ∵S△BPC＝9，BC＝6， ∴， 解得PH＝3， 过点P作MN∥BC且分别与AB，CD交于M，N，即P在线段MN上运动的， 则C△BPC＝BP+CP+BC＝BP+CP+6， 当BP+CP有最小值时，则△BPC的周长有最小值， 作B点关于MN的对称点B'， ∴BM＝BM＝3，B'P＝BP，∴BP+CP＝B'P+CP≥B'C， 当B'，P，C三点共线时，BP+CP有最小值，即B'C的长，即△BPC的周长有最小值， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△BBC中，B'B＝6，BC＝6， ∴， 此时△BPC得周长； （3）如图，取AB的中点M，取AC的中点N，连接MN， ∴MN是△ABC的中位线， 过点P作PD∥AC， ∴∠BAC＝∠BPD， 又∵∠ABD＝∠PBD， ∴△PBD∽△ABC， ∴，即， ∵， ∴AQ＝PD， ∵PD∥AC， ∴四边形APDQ是平行四边形， 连接AD， ∵O是PQ的中点，且四边形APDQ是平行四边形， ∴AO＝OD， ∴O是AD的中点， 过A点作AH⊥BC于点H，过点O作OE⊥BC于点E， ∴∠AHD＝∠OED＝90°， ∵∠ADH＝∠ODE， ∴△ADH∽△ODE， ∴， ∵AB＝120m，AC＝BC＝180m， ∴AH为定值， ∴OE为定值， 则点O在△ABC的中位线MN上运动，作△BOC的外接圆⊙T， 当且仅当⊙T与MN相切时，∠BOC的值最大， ∠BO'C＝∠BFC＝∠BOC+∠OBF， 故∠BO'C＝∠BFC＞∠BOC， 如图，连接CM，作MK⊥BC于点K，O'L⊥BC于点L，连接O'T，LT， ∵⊙T与MN相切于点O'， ∴∠MO'T＝90°， ∵O'L⊥BC于点L， ∴∠BLO'＝90°， ∵MN∥BC， ∴∠MO'L＝90°． 故O'，L，T三点共线， ∴∠BLT＝180°﹣∠BLO'＝90°，则BC⊥LT， ∴， ∵BC＝AC＝180m，M是AB的中点， ∴，CM⊥AB， ∴， 即， ∴BK＝20（m）， ∴， ∵点M是AB的中点M，O是AD的中点， ∴MO是三角形ABD的中位线， ∴BD＝2MO'＝140m，， ∴． 22．（2024•陕西）问题提出 （1）如图①，在△ABC中，AB＝15，∠C＝30°，作△ABC的外接圆⊙O，则的长为 　25π　 ；（结果保留π） 问题解决 （2）如图②所示，道路AB的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段AD，AC和BC为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口．已知点E在AC上，且AE＝EC，∠DAB＝60°，∠ABC＝120°，AB＝1200m，AD＝BC＝900m，现要在湿地上修建一个新观测点P，使∠DPC＝60°．再在线段AB上选一个新的步道出入口点F，并修道三条新步道PF，PD，PC，使新步道PF经过观测点E，并将五边形ABCPD的面积平分． 请问：是否存在满足要求的点P和点F？若存在，求此时PF的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 【解答】解：（1）连接OA、OB，如图1， ∵∠C＝30°， ∴∠AOB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△OAB等边三角形， ∵AB＝15， ∴OA＝OB＝15， ∴的长为25π， 故答案为：25π； （2）存在满足要求的点P和点F，此时PF的长为（3001200）m．理由如下： ∵∠DAB＝60°，∠ABC＝120°， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC＝900m， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵要在湿地上修建一个新观测点P，使∠DPC＝60°， ∴点P在以O为圆心，CD为弦，圆心角为120°的圆上，如图2， ∵AE＝EC， ∴经过点E的直线都平分四边形ABCD的面积， ∵新步道PF经过观测点E，并将五边形ABCPD的面积平分， ∴直线PF必经过CD的中点M， ∴ME是△CAD的中位线， ∴ME∥AD， ∵MF∥AD，DM∥AF， ∴四边形AFMD是平行四边形， ∴FM＝AD＝900m， 作CN⊥PF于点N，如图3， ∵四边形AFMD是平行四边形，∠DAB＝60°， ∴∠PMC＝∠DMF＝∠DAB＝60°， ∵CMCDAB＝600m， ∴MN＝CM•cos60°＝300m， ∴CN＝CM•sin60°＝300m， ∵∠PMC＝∠DPC＝60°， ∴△PMC∽△DPC， ∴，即， ∴PC2＝720000， 在Rt△PCN中，PN300（m）， ∴PF＝300300+900＝（3001200）m， ∴存在满足要求的点P和点F，此时PF的长为（3001200）m． 23．（2023•陕西）（1）如图①，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，AB＝24．若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值； （2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝10000m，BC＝DE＝6000m．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N．连接BN，点P在⊙O上，连接EP．其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长． 【解答】解：（1）如图①，连接OP，OM，过点O作OM'⊥AB，垂足为M'， 则 OP+PM≥OM． ∵⊙O半径为4， ∴PM≥OM﹣4≥OM'﹣4， ∵OA＝OB．∠AOB＝120°， ∴∠A＝30°， ∴OM'＝AM'•tan30°＝12tan30°＝4， ∴PM≥OM'﹣4＝44， ∴线段PM的最小值为44； （2）如图②，分别在BC，AE上作BB'＝AA'＝r＝30（m）， 连接A'B'，B'O、OP、OE、B′E． ∵OM⊥AB，BB'⊥AB，ON＝BB'， ∴四边形BB'ON是平行四边形． ∴BN＝B′O． ∵B'O+OP+PE≥B'O+OE≥B'E， ∴BN+PE≥B'E﹣r， ∴当点O在B'E上时，BN+PE取得最小值． 作⊙O'，使圆心O'在B'E上，半径r＝30（m）， 作O'M'⊥AB，垂足为M'，并与A'B'交于点H． ∴O'H∥A'E， ∴△B'O'H∽△B'EA'， ∴， ∵⊙O'在矩形AFDE区域内（含边界）， ∴当⊙O'与FD相切时，B′H最短，即B′H＝10000﹣6000+30＝4030（m）． 此时，O′H也最短． ∵M'N'＝O'H， ∴M'N'也最短． ∴O'H4017.91（m）， ∴O'M'＝O'H+30＝4047.91（m）， ∴此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长为4047.91m． 24．（2022•陕西）问题提出 （1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为 　75°　 ． 问题探究 （2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积． 问题解决 （3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD； ②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E； ③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP． 请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论． 【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵AD是等边△ABC的中线， ∴∠PAC∠BAC＝30°， ∵AP＝AC， ∴∠APC（180°﹣30°）＝75°， 故答案为：75°； （2）如图2，连接PB， ∵AP∥BC，AP＝BC， ∴四边形PBCA为平行四边形， ∵CA＝CB， ∴平行四边形PBCA为菱形， ∴PB＝AC＝6，∠PBC＝180°﹣∠C＝60°， ∴BE＝PB•cos∠PBC＝3，PE＝PB•sin∠PBC＝3， ∵CA＝CB，∠C＝120°， ∴∠ABC＝30°， ∴OE＝BE•tan∠ABC， ∴S四边形OECA＝S△ABC﹣S△OBE 6×33 ； （3）符合要求， 理由如下：如图3，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F， ∵CA＝CD，∠DAC＝45°， ∴∠ACD＝90°， ∴四边形FDCA为正方形， ∵PE是CD的垂直平分线， ∴PE是AF的垂直平分线， ∴PF＝PA， ∵AP＝AC， ∴PF＝PA＝AF， ∴△PAF为等边三角形， ∴∠PAF＝60°， ∴∠BAP＝60°﹣45°＝15°， ∴裁得的△ABP型部件符合要求． 25．（2021•陕西）问题提出 （1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号） 问题解决 （2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1，过点A作AH⊥CD交CD的延长线于H，过点E作EG⊥CH于G， ∴∠H＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝8，AB∥CD， ∴∠ADH＝∠BAD＝45°， 在Rt△ADH中，AD＝6， ∴AH＝AD•sin∠BAD＝6×sin45°＝3， ∵点E是AD的中点， ∴DEAD＝3， 同理EG， ∵DF＝5， ∴FC＝CD﹣DF＝3， ∴S四边形ABFE＝S▱ABCD﹣S△DEF﹣S△BFC＝8×353×3； （2）存在，如图2，分别延长AE与CD，交于点K，则四边形ABCK是矩形， ∴AK＝BC＝1200米，AB＝CK＝800米， 设AN＝x米，则PC＝x米，BO＝2x米，BN＝（800﹣x）米，AM＝OC＝（1200﹣2x）米， ∴MK＝AK﹣AM＝1200﹣（1200﹣2x）＝2x米，PK＝CK﹣CP＝（800﹣x）米， ∴S四边形OPMN＝S矩形ABCK﹣S△AMN﹣S△BON﹣S△OCP﹣S△PKM ＝800×1200x（1200﹣2x）•2x（800﹣x）x（1200﹣2x）•2x（800﹣x） ＝4（x﹣350）2+470000， ∴当x＝350时，S四边形OPMN最小＝470000（平方米）， AM＝1200﹣2x＝1200﹣2×350＝500＜900，CP＝x＝350＜600， ∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000平方米，此时，点N到点A的距离为350米． 26．（2020•陕西）问题提出 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是　CF、DE、DF　 ． 问题探究 （2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长． 问题解决 （3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）． ①求y与x之间的函数关系式； ②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴四边形CEDF是矩形， ∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE＝DF， ∴四边形CEDF是正方形， ∴CE＝CF＝DE＝DF， 故答案为：CF、DE、DF； （2）连接OP，如图2所示： ∵AB是半圆O的直径，2， ∴∠APB＝90°，∠AOP180°＝60°， ∴∠ABP＝30°， 同（1）得：四边形PECF是正方形， ∴PF＝CF， 在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝84， 在Rt△CFB中，BFCF， ∵PB＝PF+BF， ∴PB＝CF+BF， 即：4CFCF， 解得：CF＝6﹣2； （3）①∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵CA＝CB， ∴∠ADC＝∠BDC， 同（1）得：四边形DEPF是正方形， ∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°， ∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示： 则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF， ∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°， ∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′BPA′•PBx（70﹣x）， 在Rt△ACB中，AC＝BCAB70＝35， ∴S△ACBAC2（35）2＝1225， ∴y＝S△PA′B+S△ACBx（70﹣x）+1225x2+35x+1225； ②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40， 在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B50， ∵S△A′PBA′B•PFPB•A′P， ∴50×PF40×30， 解得：PF＝24， ∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2）， ∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2． 27．（2019•陕西）问题提出： （1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形； 问题探究： （2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离； 问题解决： （3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计） 【解答】解：（1）如图记为点D所在的位置． （2）如图， ∵AB＝4，BC＝10，∴取BC的中点O，则OB＞AB． ∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点， 连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC＝90°，点P不能在矩形外； ∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大， 作P1E⊥BC，垂足为E，则OE＝3， ∴AP1＝BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2， 由对称性得AP2＝8． （3）可以，如图所示，连接BD， ∵A为▱BCDE的对称中心，BA＝50，∠CBE＝120°， ∴BD＝100，∠BED＝60° 作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧BD上，取的中点E′，连接E′B，E′D， 则E′B＝E′D，且∠BE′D＝60°，∴△BE′D为正三角形． 连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A＝AC′，连接BC′，DC′， ∵E′A⊥BD， ∴四边形E′BC′D为菱形，且∠C′BE′＝120°， 作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA＝E′O+OA＝E′A， ∴S△BDE•BD•EF•BD•E′A＝S△E′BD， ∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′＝2S△E′BD＝1002•sin60°＝5000（m2） 所以符合要求的▱BCDE的最大面积为5000m2． 28．（2018•陕西）问题提出 （1）如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为　5　 ． 问题探究 （2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值． 问题解决 （3）如图③所示，AB、AC、是某新区的三条规划路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，所对的圆心角为60°，新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计） 【解答】解：（1）设O是△ABC的外接圆的圆心， ∴OA＝OB＝OC， ∵∠A＝120°，AB＝AC＝5， ∴△ABO是等边三角形， ∴AB＝OA＝OB＝5， （2）当PM⊥AB时，此时PM最大， 连接OA， 由垂径定理可知：AMAB＝12， ∵OA＝13， ∴由勾股定理可知：OM＝5， ∴PM＝OM+OP＝18， （3）设连接AP，OP 分别以AB、AC所在直线为对称轴， 作出P关于AB的对称点为M，P关于AC的对称点为N， 连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF， ∴AM＝AP＝AN， ∵∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC， ∴∠BAC＝∠PAB+∠PAC＝∠MAB+∠NAC＝60°， ∴∠MAN＝120° ∴M、P、N在以A为圆心，AP为半径的圆上， 设AP＝r， 易求得：MNr， ∵PE＝ME，PF＝FN， ∴PE+EF+PF＝ME+EF+FN＝MNr， ∴当AP最小时，PE+EF+PF可取得最小值， ∵AP+OP≥OA， ∴AP≥OA﹣OP，即点P在OA上时，AP可取得最小值， 设AB的中点为Q， ∴AQ＝AC＝3， ∵∠BAC＝60°， ∴AQ＝QC＝AC＝BQ＝3， ∴∠ABC＝∠QCB＝30°， ∴∠ACB＝90°， ∴由勾股定理可知：BC＝3， ∵∠BOC＝60°，OB＝OC＝3， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠OBC＝60°， ∴∠ABO＝90° ∴由勾股定理可知：OA＝3， ∵OP＝OB＝3， ∴AP＝r＝OA﹣OP＝33， ∴PE+EF+PF＝MNr＝39 ∴PE+EF+PF的最小值为（39）km． 29．（2017•陕西）问题提出 （1）如图①，△ABC是等边三角形，AB＝12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为 　4　 ； 问题探究 （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝18，如果点P是AD边上一点，且AP＝3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由． 问题解决 （3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了． 如图③，已测出AB＝24m，MB＝10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E，又测得DE＝8m． 请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米） 【解答】解：（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，则ADAC12＝6， ∵O是内心，△ABC是等边三角形， ∴∠OAD∠BAC60°＝30°， 在Rt△AOD中，cos∠OAD＝cos30°， ∴OA＝64， 故答案为：4； （2）存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分， ∵点O为矩形ABCD的对称中心， ∴CQ＝AP＝3， 过P作PM⊥BC于点M，则PM＝AB＝12，MQ＝18﹣3﹣3＝12， 由勾股定理得：PQ12； （3）如图3，作射线ED交AM于点C ∵AD＝DB，ED⊥AB，是劣弧， ∴所在圆的圆心在射线DC上， 假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA＝r，OD＝r﹣8，ADAB＝12， 在Rt△AOD中，r2＝122+（r﹣8）2， 解得：r＝13， ∴OD＝5， 过点M作MN⊥AB，垂足为N， ∵S△ABM＝96，AB＝24， ∴AB•MN＝96， 24×MN＝96， ∴MN＝8，NB＝6，AN＝18， ∵CD∥MN， ∴△ADC∽△ANM， ∴， ∴， ∴DC， ∴OD＜CD， ∴点O在△AMB内部， ∴连接MO并延长交于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离， ∵在上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM， ∴MF＝OM+OF＝OM+OG＞MG， 即MF＞MG， 过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH＝DN＝6，MH＝3， ∴OM3， ∴MF＝OM+r＝313≈19.71（米）， 答：喷灌龙头的射程至少为19.71米． 30．（2016•陕西）问题提出 （1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形． 问题探究 （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由． 问题解决 （3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB＝3米，AD＝6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG＝90°，EF＝FG 米，∠EHG＝45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1，△ADC即为所求； （2）存在，理由：作E关于CD的对称点E′， 作F关于BC的对称点F′， 连接E′F′，交BC于G，交CD于H，连接FG，EH， 则F′G＝FG，E′H＝EH，则此时四边形EFGH的周长最小， 由题意得：BF′＝BF＝AF＝2，DE′＝DE＝2，∠A＝90°， ∴AF′＝6，AE′＝8， ∴E′F′＝10，EF＝2， ∴四边形EFGH的周长的最小值＝EF+FG+GH+HE＝EF+E′F′＝210， ∴在边BC、CD上分别存在点G、H， 使得四边形EFGH的周长最小， 最小值为210； （3）能裁得， 理由：∵EF＝FG，∠A＝∠B＝90°，∠1+∠AFE＝∠2+∠AFE＝90°， ∴∠1＝∠2， 在△AEF与△BGF中，， ∴△AEF≌△BGF， ∴AF＝BG，AE＝BF，设AF＝x，则AE＝BF＝3﹣x， ∴x2+（3﹣x）2＝（）2，解得：x＝1，x＝2（不合题意，舍去）， ∴AF＝BG＝1，BF＝AE＝2， ∴DE＝4，CG＝5， 连接EG， 作△EFG关于EG的对称△EOG， 则四边形EFGO是正方形，∠EOG＝90°， 以O为圆心，以OE为半径作⊙O， ∵CE＝CG＝5， 则∠EHG＝45°的点在⊙O上， 连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上， 连接EH′、GH′，则∠EH′G＝45°， ∵△EFG的面积是定值，EG也定值，要裁到的四边形EFGH的面积最大，只要△EGH的面积最大， 即：上一点到EG的距离最大，而FH'⊥EG于M，∴点H'到EG的距离最大， ∴如图3所示，四边形EFGH′是要想裁得符合要求的面积最大的， ∴C在线段EG的垂直平分线上， ∴点F，O，H′，C在一条直线上， ∵EG， ∴OF＝EG， ∵CF＝2， ∴OC， ∵OH′＝OE＝FG， ∴OH′＜OC， ∴点H′在矩形ABCD的内部， ∴可以在矩形ABCD中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH′部件， 这个部件的面积EG•FH′（）＝5， ∴当所裁得的四边形部件为四边形EFGH′时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为（5）m2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$