【10年压轴题】2016-2025年山西省选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年山西省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2025•山西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E．若BC＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣4 B．4π﹣4 C．8π﹣8 D．4π﹣8 2．（2024•山西）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（　　） A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 3．（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为（　　） A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3） 4．（2022•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（　　） A．3π﹣3 B．3π C．2π﹣3 D．6π 5．（2021•山西）抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　） A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3 C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1 6．（2020•山西）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（　　） A． B． C． D． 7．（2019•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2π D．4 8．（2018•山西）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8 9．（2017•山西）如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD．若AC＝10cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5πcm2 B．10πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2 10．（2016•山西）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH 二．填空题（共10小题） 11．（2025•山西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝4，点E在边AB上，AE＝3，连接CE，且∠DCE＝∠BCE．点F在BC的延长线上，连接DF．若DF＝DC，则线段CF的长为 　 　 ． 12．（2024•山西）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AE⊥BC于点E，点F是AE延长线上一点，且∠ACF＝∠CAF，线段AB，CF的延长线交于点G．若AB，AD＝4，tan∠ABC＝2，则BG的长为 　 　 ． 13．（2023•山西）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为 　 　 ． 14．（2022•山西）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为 　 　 ． 15．（2021•山西）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为 　 　 ． 16．（2020•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为　 　 ． 17．（2019•山西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为　 　 cm． 18．（2018•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为　 　 ． 19．（2017•山西）一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB＝∠BCD＝90°，∠A＝60°，∠CBD＝45°，E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F．若AD＝4cm，则EF的长为　 　 cm． 20．（2016•山西）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•山西）综合与探究 问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB＞BC，点D在边AB上，AD＞BD．沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB′与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB′E，然后展平． 猜想证明：（1）判断四边形BDB'E的形状，并说明理由； 拓展延伸：（2）如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A′落在射线DB′上，且折痕与边AC交于点F，然后展平．连接A′E交边AC于点G，连接A′F． ①若AD＝2BD，判断DE与A′E的位置关系，并说明理由； ②若∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，当△A′FG是以A′F为腰的等腰三角形时，请直接写出A′F的长． 22．（2024•山西）综合与探究 问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AD于点F． 猜想证明： （1）判断四边形AECF的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG，点E，B的对应点分别为点G，H． ①如图2，当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N．猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由； ②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交于点Q．若AB＝5，BE＝4，直接写出四边形AMNQ的面积． 23．（2023•山西）综合与探究 如图，二次函数y＝﹣x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C． （1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标； （2）点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m． ①当时，求m的值； ②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF．设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值． 24．（2022•山西）综合与探究 如图，二次函数yx2x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E． （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式； （2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 25．（2021•山西）综合与探究 如图，抛物线yx2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式． （2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D． ①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长． 26．（2020•山西）综合与探究 如图，抛物线yx2﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）． （1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式； （2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标； （3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标． 27．（2019•山西）如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC、BC、DB、DC． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值． （3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（2018•山西）综合与探究 如图，抛物线yx﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值． 29．（2017•山西）如图，抛物线yx2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）求直线BC的函数表达式； （2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简） ②在点P、Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值； （3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（2016•山西）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）． （1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形． 【10年压轴题】2016-2025年山西省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B C B A A B D 一．选择题（共10小题） 1．（2025•山西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E．若BC＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣4 B．4π﹣4 C．8π﹣8 D．4π﹣8 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵BC＝4， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2024•山西）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（　　） A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 【解答】解：如图所示， 连接BD，AC， ∵点H和点E分别是AD和AB的中点， ∴HE是△ABD的中位线， ∴HE． 同理可得，GF， ∴HE＝GF，HE∥GF， ∴四边形HEFG是平行四边形． ∵HE，HG，且AC＝BD， ∴HE＝HG， ∴平行四边形HEFG是菱形， ∴EG与HF互相垂直平分． 故选：A． 3．（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为（　　） A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3） 【解答】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB． ∵点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形， ∴AB＝BC＝2，OQ＝3， ∴OA＝OB， ∴OC＝3， ∵DQ＝DB＝2OD， ∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2， ∴M（3，﹣2）， 故选：A． 4．（2022•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（　　） A．3π﹣3 B．3π C．2π﹣3 D．6π 【解答】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处， ∴AC＝AO，BC＝BO， ∵AO＝BO， ∴四边形AOBC是菱形， 连接OC交AB于D， ∵OC＝OA， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠CAO＝∠AOC＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∵AC＝3， ∴OC＝3，ADAC， ∴AB＝2AD＝3， ∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC3×33π， 故选：B． 5．（2021•山西）抛物线的函数表达式为y＝3（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　） A．y＝3（x+1）2+3 B．y＝3（x﹣5）2+3 C．y＝3（x﹣5）2﹣1 D．y＝3（x+1）2﹣1 【解答】解：根据题意知，将抛物线y＝3（x﹣2）2+1向下平移2个单位长度，向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y＝3（x﹣5）2﹣1． 故选：C． 6．（2020•山西）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的， ∴飞镖落在阴影区域的概率是， 故选：B． 7．（2019•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2π D．4 【解答】解：作DE⊥AB于点E，连接OD，如图所示， ∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2， ∴tanA， ∴∠A＝30°， ∴∠DOB＝60°， ∵ODAB， ∴DE， ∴S阴影＝S△ABC﹣S△AOD﹣S扇形BOD， 故选：A． 8．（2018•山西）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8 【解答】解：利用对称性可知：阴影部分的面积＝扇形AEF的面积﹣△ABD的面积4×2＝4π﹣4， 故选：A． 9．（2017•山西）如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD．若AC＝10cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5πcm2 B．10πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2 【解答】解：∵AC与BD是⊙O的两条直径， ∴∠ABC＝∠ADC＝∠DAB＝∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴△ABO与△CDO的面积的和＝△AOD与△BOC的面积的和， ∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOD+S扇形BOC＝2S扇形AOD， ∵OA＝OB， ∴∠BAC＝∠ABO＝36°， ∴∠AOD＝72°， ∴图中阴影部分的面积＝210π， 故选：B． 10．（2016•山西）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH 【解答】解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1 在直角三角形DCF中，DF ∴FG ∴CG1 ∴ ∴矩形DCGH为黄金矩形 故选：D． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•山西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝4，点E在边AB上，AE＝3，连接CE，且∠DCE＝∠BCE．点F在BC的延长线上，连接DF．若DF＝DC，则线段CF的长为 　　 ． 【解答】解：如图，延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD＝90°， ∵DF＝DC， ∴， ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠B＝∠GAE＝90°，∠B+∠BAD＝180°， ∴∠B＝∠BAD＝∠BHD＝90°， ∴四边形ABHD是矩形， ∴AB＝DH＝8，AD＝BH， ∵∠AEG＝∠BEC， ∴△AEG∽△BEC， ∴， ∵AB＝8，AE＝3， ∴BE＝5， ∴， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠G＝∠BCE， ∵∠DCE＝∠BCE， ∴∠DCE＝∠G， ∴CD＝GD， 设CH＝FH＝x，则AD＝BH＝4+x， ∴， 由勾股定理得：CD2＝CH2+HD2， ∴， 解得：， 即， ∴， 故答案为：． 12．（2024•山西）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AE⊥BC于点E，点F是AE延长线上一点，且∠ACF＝∠CAF，线段AB，CF的延长线交于点G．若AB，AD＝4，tan∠ABC＝2，则BG的长为 　　 ． 【解答】解法一：过点F作FH⊥AC于H，延长AD与GC的延长线交于K，如图所示： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD＝4，AB∥CD，BC∥AD， 又∵AE⊥BC， 在Rt△ABE中，tan∠ABC2， ∴AE＝2BE， 由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2， 即（2BE）2+BE2＝（）2， ∴BE＝1， ∴AE＝2BE＝2， ∴CE＝BC﹣BE＝3， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC， ∵∠ACF＝∠CAF， ∴FA＝FC， ∵FH⊥AC， ∴AH＝CHAC， ∵S△FACAC•FHAF•CE， ∴FH， 在Rt△AFH中，由勾股定理得：AF2﹣FH2＝AH2， 即， ∴AF， ∴EF＝AF﹣AE， ∵BC∥AD， ∴△FCE∽△FKA， ∴EF：AF＝CE：AK， 即， ∴AK， ∴DK＝AK﹣AD， ∵AB∥CD， ∴△KDC∽△KAG， ∴DK：AK＝CD：AG， 即， ∴AG， ∴BG＝AG﹣AB． 故答案为：． 解法二：过点G作GH⊥BC，交CB的延长线于H，如图所示： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD＝4，AB∥CD，BC∥AD， 又∵AE⊥BC 在Rt△ABE中，tan∠ABC， ∴AE＝2BE， 由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2， 即（2BE）2+BE2＝（）2， ∴BE＝1， ∴AE＝2BE＝2， ∴CE＝BC﹣BE＝3， 设EF＝a，则AF＝AE+EF＝2+a， ∵∠ACF＝∠CAF， ∴AF＝CF＝2+a， 在Rt△CEF中，由勾股定理得：CF2＝CE2+EF2， 即（2+a）2＝32+a2， 解得：a， ∵∠GBH＝∠ABC， ∴在Rt△GBH中，tan∠GBH， ∴GH＝2HB， 设HB＝b，则GH＝2b，CH＝BC+HB＝4+b， 在Rt△GBH中，由勾股定理得：GB， ∵GH⊥BC，AF⊥BC， ∴EF∥GH， ∴△CEF∽△CHG， ∴CE：CH＝EF：GH， 即3：（4+b）：2b， 解得：b， ∴GH， 故答案为：． 13．（2023•山西）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为 　　 ． 【解答】解：过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，如图所示： 则∠AHC＝∠AHB＝90°， ∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴BH＝HCBC＝3， ∴AH4， ∵∠ADB＝∠CBD+∠CED，∠ADB＝2∠CBD， ∴∠CBD＝∠CED， ∴DB＝DE， ∵∠BCD＝90°， ∴DC⊥BE， ∴CE＝BC＝6， ∴EH＝CE+CH＝9， ∴， ∵DC⊥BE，AH⊥BC， ∴CD∥AH， ∴， ∴， 解得AD． 故答案为：． 14．（2022•山西）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为 　4　 ． 【解答】解：如图，连接AE，AF，EN， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF， ∴∠EAF＝90°， ∴△EAF为等腰直角三角形， ∵AN⊥EF， ∴EM＝FM，∠EAM＝∠FAM＝45°， ∴△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS）， ∴EN＝FN， 设DN＝x， ∵BE＝DF＝5，CN＝8， ∴CD＝CN+DN＝x+8， ∴EN＝FN＝DN+DF＝x+5，CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+8﹣5＝x+3， 在Rt△ECN中，由勾股定理可得： CN2+CE2＝EN2， 即82+（x+3）2＝（x+5）2， 解得：x＝12， ∴DN＝12，AD＝BC＝BE+CE＝5+x+3＝20， ∴AN4， 解法二：可以用相似去做，△ADN与△FCE相似，设正方形边长为x， ，即， ∴x＝20． 在△ADN中，利用勾股定理可求得AN＝4． 故答案为：4． 15．（2021•山西）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为 　4　 ． 【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H， 设BD＝a， ∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a， ∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6， ∴DFa，EF∥AC，DE＝3， ∴∠FED＝∠ACD＝45°， ∵∠BED＝45°， ∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°， ∵DG⊥EF，DH⊥BE， ∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH， ∴四边形DGEH是正方形， ∴DEDG＝3，DH∥EF， ∴DG＝DH＝3， ∵DH∥EF， ∴∠BDH＝∠DFG， ∴△BDH∽△DFG， ∴， ∴， ∴BH＝2， ∴BD， ∴AB＝4， 故答案为：4． 16．（2020•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为　　 ． 【解答】解：如图，过点F作FH⊥AC于H． 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵CD⊥AB， ∴S△ABC•AC•BC•AB•CD， ∴CD，AD， ∵FH∥EC， ∴， ∵EC＝EB＝2， ∴，设FH＝2k，AH＝3k，CH＝3﹣3k， ∵tan∠FCH， ∴， ∴k， ∴FH，CH＝3， ∴CF， ∴DF， 解法二：过E做EM⊥AB，利用平行线等分线段解决问题． 故答案为． 17．（2019•山西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为　（10﹣2）　 cm． 【解答】解：过点A作AG⊥DE于点G， 由旋转知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°， ∴∠AED＝∠ADG＝45°， 在△AEF中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°， 在Rt△ADG中，AG＝DG3cm， 在Rt△AFG中，GFcm，AF＝2FG＝2cm， ∴CF＝AC﹣AF＝（10﹣2）cm， 故答案为：（10﹣2）． 18．（2018•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为　　 ． 【解答】解：如图， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝10， ∴点D是AB中点， ∴CD＝BDAB＝5， 连接DF， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CFD＝90°， ∴BF＝CFBC＝4， ∴DF3， 连接OF， ∵OC＝OD，CF＝BF， ∴OF∥AB， ∴∠OFC＝∠B， ∵FG是⊙O的切线， ∴∠OFG＝90°， ∴∠OFC+∠BFG＝90°， ∴∠BFG+∠B＝90°， ∴FG⊥AB， ∴S△BDFDF×BFBD×FG， ∴FG， 故答案为． 19．（2017•山西）一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB＝∠BCD＝90°，∠A＝60°，∠CBD＝45°，E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F．若AD＝4cm，则EF的长为　（）　 cm． 【解答】解：过点A作AG⊥DC于G． ∵∠CDB＝∠CBD＝45°，∠ADB＝90°， ∴∠ADG＝45°． ∴DG＝AG2cm． ∵∠ABD＝30°， ∴BDAD＝4cm． ∵∠CBD＝45°， ∴CB2cm． ∵AG⊥CG，EF⊥CG，CB⊥CG， ∴AG∥EF∥BC． 又∵E是AB的中点， ∴F为CG的中点， ①∴EF（AG+BC）（22）＝（）cm． ②连接DE， AB＝8cm， DE＝4cm， CD＝2cm， DF＝（22）÷2＝（）cm， EF（）cm． 故答案为：（）． 20．（2016•山西）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为　3　 ． 【解答】解：∵AB＝CD＝4，C为线段AB的中点， ∴BC＝AC＝2， ∴AD＝2， ∵EH⊥DC，CD⊥AB，BE⊥AB， ∴EH∥AC，四边形BCGE为矩形， ∴∠HEA＝∠EAB，BC＝GE＝2， 又∵AE是∠DAB的平分线， ∴∠EAB＝∠DAE， ∴∠DAE＝∠HEA， ∴HA＝HE， 设GH＝x， 则HA＝HE＝HG+GE＝2+x， ∵EH∥AC， ∴△DHG∽△DAC， ∴，即， 解得：x＝3， 即HG＝3， 故答案为：3． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•山西）综合与探究 问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB＞BC，点D在边AB上，AD＞BD．沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB′与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB′E，然后展平． 猜想证明：（1）判断四边形BDB'E的形状，并说明理由； 拓展延伸：（2）如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A′落在射线DB′上，且折痕与边AC交于点F，然后展平．连接A′E交边AC于点G，连接A′F． ①若AD＝2BD，判断DE与A′E的位置关系，并说明理由； ②若∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，当△A′FG是以A′F为腰的等腰三角形时，请直接写出A′F的长． 【解答】解：（1）四边形BDB'E是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得BD＝B'D，BE＝B'E，∠B'DE＝∠BDE， ∵B'D∥BC， ∴∠B'DE＝∠BED， ∴∠BDE＝∠BED， ∴BD＝BE， ∴BE＝BD＝B'D＝B'E， ∴四边形BDB'E是菱形； （2）①DE⊥A'E，理由如下： 由（1）知四边形BDB'E是菱形， ∴BD＝B'E＝B'D， 由折叠的性质得到AD＝A'D， ∵AD＝2BD， ∴A'D＝2BD＝2B'D＝2B'E， ∴B'D＝A'B'＝B'E， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴DE⊥A'E； ②∵∠C＝90°，AB＝15，BC＝9， ∴， 当△A'FG是以A'F为腰A'G为底的等腰三角形时，如图，延长A'F交AB于点H，设AC，A'D交点为M，则FG＝A'F， ∴∠C＝90°，A'D∥BC， ∴∠AMD＝∠C＝90°， ∴∠AMA'＝90°， 由折叠的性质得AD＝A'D，∠ADF＝∠A'DF，AF＝A'F， ∴△ADF≌△A'DF（SAS）， ∴∠A＝∠DA'F， ∵∠AFH＝∠A'FG， ∴∠AHF＝∠AMA'＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△AFH∽△ABC， ∴， ∴HF：AH：AF＝BC：AC：AB＝3：4：5， ∵∠A＝∠DA'F，AF＝A'F，∠AHF＝∠A'MF， ∴△AHF≌△A'MF（AAS）， ∴HF＝FM，AH＝A'M， 设HF＝FM＝3x，AH＝A'M＝4x，AF＝A'F＝5x， ∴AM＝AF+FM＝8x， ∵A'D∥BC， ∴△AMD∽△ACB， ∴，即， ∴AD＝10x， ∴BE＝BD＝AB﹣AD＝15﹣10x， ∴CE＝BC﹣BE＝10x﹣6， ∵FG＝A'F＝5x， ∴MG＝FG﹣FM＝2x， ∴CG＝AC﹣AM﹣MG＝12﹣8x﹣2x＝12﹣10x， ∵A'D∥BC， ∴△A'MG∽△ECG， ∴， ∴， 解得：x＝1， ∴A'F＝5x＝5； 当△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形时，如图，则A'F＝AG， 同理得HF：AH：AF＝BC：AC：AB＝3：4：5，HF＝FM，AH＝A'M，AF＝A'F， 设HF＝FM＝3y，AH＝A'M＝4y，AF＝A'F＝5y， ∴AM＝AF+FM＝8y， ∵A'D∥BC， ∴△AMD∽△ACB， ∴，即， ∴AD＝10y， ∴BE＝BD＝AB﹣AD＝15﹣10y， ∴CE＝BC﹣BE＝10y﹣6， ∵△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形，A'M⊥AC， ∴GM＝FM＝3y， ∴FG＝GM+FM＝6y， ∴CG＝AC﹣AF﹣FG＝12﹣11y， ∵A'D∥BC， ∴△A'MG∽△ECG， ∴， ∴， 解得：， ∴A'F＝5y； 综上，A'F的长为5或． 22．（2024•山西）综合与探究 问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AD于点F． 猜想证明： （1）判断四边形AECF的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG，点E，B的对应点分别为点G，H． ①如图2，当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N．猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由； ②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交于点Q．若AB＝5，BE＝4，直接写出四边形AMNQ的面积． 【解答】解：（1）四边形AECF为矩形．理由如下： ∵AE⊥BC，CF⊥AD， ∴∠AEC＝90°，∠AFC＝90°， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AD∥BC， ∴∠AFC+∠ECF＝180°，∠ECF＝180°﹣∠AFC＝90° ∴四边形AECF为矩形． （2）①CH＝MD．理由如下： 证法一： ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D． ∵△ABE 旋转得到△AHG， ∴AB＝AH，∠B＝∠H． ∴AH＝AD，∠H＝∠D． ∵∠HAM＝∠DAC， ∴△HAM≌△DAC， ∴AM＝AC， ∴AH﹣AC＝AD﹣AM， ∴CH＝MD． 证法二： 如图，连接HD． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠ADC， ∵△ABE 旋转得到△AHG， ∴AB＝AH，∠B＝∠AHM， ∴AH＝AD，∠AHM＝∠ADC， ∴∠AHD＝∠ADH， ∴∠AHD﹣∠AHM＝∠ADH﹣∠ADC， ∴∠MHD＝∠CDH， ∵DH＝HD， ∴△CDH≌△MHD， ∴CH＝MD． ②情况一：如图，当点G旋转至BA的延长线上时，GH⊥CD，此时S四边形AMNQ． ∵AB＝5，BE＝4， ∴由勾股定理可得AE＝3， ∵△ABE旋转到△AHG， ∴AG＝AE＝3，GH＝BE＝4，∠H＝∠B， ∵GN⊥CD， ∴GN＝AE＝3， ∴NH＝1， ∵AD∥BC， ∴∠GAM＝∠B， ∴tan∠GAM＝tan∠B，即， 解得GM，则MH， ∵tan∠H＝tan∠B， ∴在Rt△QNH中，QN， ∴S四边形AMNQ＝S△AMH﹣S△QNHMH•AGNH•QN． 情况二：如图，当点G旋转至BA上时，GH⊥CD，此时S四边形AMNQ． 同第一种情况的计算思路可得：NH＝7，QN，AG＝3，MH， ∴S四边形AMNQ＝S△QNH﹣S△AMHNH•QNMH•AG． 综上，四边形AMNQ的面积为 或 ． 23．（2023•山西）综合与探究 如图，二次函数y＝﹣x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C． （1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标； （2）点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m． ①当时，求m的值； ②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF．设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值． 【解答】解：（1）由 y＝﹣x2+4x 得，当 y＝0 时，﹣x2+4x＝0， 解得 x1＝0，x2＝4， ∵点A在x轴正半轴上． ∴点A的坐标为（4，0）． 设直线AB的函数表达式为 y＝kx+b（k≠0）． 将A，B两点的坐标 （4，0），（1，3）分别代入 y＝kx+b， 得 ， 解得， ∴直线AB的函数表达式为 y＝﹣x+4． 将x＝0代入 y＝﹣x+4，得 y＝4． ∴点C的坐标为（0，4）； （2）①解：∵点P在第一象限内二次函数 y＝﹣x2+4x的图象上，且PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，其横坐标为m． ∴点P，D的坐标分别为 P（m，﹣m2+4m），D（m，﹣m+4）， ∴PE＝﹣m2+4m．DE＝﹣m+4，OE＝m， ∵点C的坐标为（0，4）， ∴OC＝4． ， ∴PD＝2． 如图1，当点P在直线AB上方时，PD＝PE﹣DE＝﹣m2+4m﹣（﹣m+4）＝﹣m2+5m﹣4， ∵PD＝2， ∴﹣m2+5m﹣4＝2， 解得 m1＝2．m2＝3． 如图2，当点P在直线AB下方时，PD＝DE﹣PE＝﹣m+4﹣（﹣m2+4m）＝m2﹣5m+4， ∵PD＝2， ∴m2﹣5m+4＝2， 解得 ， ∵0＜m＜1，m． 综上所述，m的值为2或3或； ②解：如图3， 由（2）①得，OE＝m，PE＝﹣m2+4m，DE＝﹣m+4． ∵BQ⊥x轴于点Q，交OP于点F，点B的坐标为（1，3）， ∴OQ＝1， ∵点P在直线AB上方， ∴EQ＝m﹣1． ∵PE⊥x轴于点E， ∴∠OQF＝∠OEP＝90°， ∴FQ∥DE，∠FOQ＝∠POE， ∴△FOQ∽△POE， ∴， ∴， ∴， ∴FQ＝DE， ∴四边形FQED为平行四边形， ∵PE⊥x轴， ∴四边形FQED为矩形． ∴S＝EQ•FQ＝（m﹣1）（﹣m+4），即S＝﹣m2+5m﹣4， ∵﹣1＜0，1＜m＜4， ∴当m时，S的最大值为； 24．（2022•山西）综合与探究 如图，二次函数yx2x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E． （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式； （2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）在yx2x+4中， 令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4）， 设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得： 8k+4＝0， 解得k， ∴直线BC解析式为yx+4； （2）过C作CG⊥PD于G，如图： 设P（m，m2m+4）， ∴PDm2m+4， ∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°， ∴四边形CODG是矩形， ∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m， ∴PG＝PD﹣DGm2m+4﹣4m2m， ∵CP＝CE，CG⊥PD， ∴GE＝PGm2m， ∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC， ∴△CGE∽△BOC， ∴，即， 解得m＝0（舍去）或m＝4， ∴P（4，6）； （3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下： 过C作CH⊥PD于H，如图： 设P（m，m2m+4）， 由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4， 根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，m2m+4）代入得： m2m+4＝2m+b， ∴bm2m+4， ∴直线PF解析式为y＝2xm2m+4， 令x＝0得ym2m+4， ∴F（0，m2m+4）， ∴OF＝|m2m+4|， 同（2）可得四边形CODH是矩形， ∴CH＝OD， ∵CE＝FD， ∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL）， ∴∠HCE＝∠FDO， ∵∠HCE＝∠CBO， ∴∠FDO＝∠CBO， ∴tan∠FDO＝tan∠CBO， ∴，即， ∴m2m+4m或m2m+4m， 解得m＝22或m＝﹣22或m＝4或m＝﹣4， ∵P在第一象限， ∴m＝22或m＝4． 25．（2021•山西）综合与探究 如图，抛物线yx2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式． （2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D． ①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长． 【解答】解：（1）当y＝0时，x2+2x﹣6＝0， 解得x1＝﹣6，x2＝2， ∴A（﹣6，0），B（2，0）， 当x＝0时，y＝﹣6， ∴C（0，﹣6）， ∵A（﹣6，0），C（0，﹣6）， ∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6， ∵B（2，0），C（0，﹣6）， ∴直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6； （2）①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0， ∵B（2，0），C（0，﹣6）， ∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2， ∵DE∥BC， ∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形， ∴BD2＝BC2， ∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40， 解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去）， ∴点D的坐标为（﹣4，﹣2）， ∵点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）； 如图，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形， ∴CD2＝CB2， ∴2m2＝40， 解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去）， ∴点D的坐标为（﹣2，26）， ∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为（2﹣2，2）； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）； ②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0， ∵A（﹣6，0），B（2，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， ∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC， ∴设直线l的解析式为y＝3x+b， ∵点D的坐标（m，﹣m﹣6）， ∴b＝﹣4m﹣6， ∴M（﹣2，﹣4m﹣12）， ∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N． ∴N（﹣2，﹣4）， ∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8， ∵S△DMN＝S△AOC， ∴（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）6×6， 整理得：m2+4m﹣5＝0， 解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去）， ∴点D的坐标为（﹣5，﹣1）， ∴点M的坐标为（﹣2，8）， ∴DM3， 答：DM的长为3． 26．（2020•山西）综合与探究 如图，抛物线yx2﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）． （1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式； （2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标； （3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标． 【解答】解：（1）令y＝0，得yx2﹣x﹣3＝0， 解得，x＝﹣2，或x＝6， ∴A（﹣2，0），B（6，0）， 设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），则 ， 解得，， ∴直线l的解析式为； （2）如图1，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为 P（m，m2﹣m﹣3），N（m，m﹣1）， ∴PMm2+m+3，MNm+1，NPm2m+2， 分两种情况： ①当PM＝3MN时，得m2+m+3＝3（m+1）， 解得，m＝0，或m＝﹣2（舍）， ∴P（0，﹣3）； ②当PM＝3NP时，得m2+m+3＝3（m2m+2）， 解得，m＝3，或m＝﹣2（舍）， ∴P（3，）； ∴当点N是线段PM的三等分点时，点P的坐标为（3，）或（0，﹣3）； （3）∵直线l：与y轴交于点E， ∴点E的坐标为（0，﹣1）， 分两种情况：①如图2，当点Q在y轴的正半轴上时，记为点Q1， 过Q1作Q1H⊥AD于点H，则∠Q1HE＝∠AOE＝90°， ∵∠Q1EH＝∠AEO， ∴△Q1EH∽△AEO， ∴，即 ∴Q1H＝2HE， ∵∠Q1DH＝45°，∠Q1HD＝90°， ∴Q1H＝DH， ∴DH＝2EH， ∴HE＝ED， 连接CD， ∵C（0，﹣3），D（4，﹣3）， ∴CD⊥y轴， ∴ED， ∴，， ∴， ∴Q1O＝Q1E﹣OE＝9， ∴Q1（0，9）； ②如图3，当点Q在y轴的负半轴上时，记为点Q2，过Q2作Q2G⊥AD于G，则∠Q2GE＝∠AOE＝90°， ∵∠Q2EG＝∠AEO， ∴△Q2GE∽△AOE， ∴，即， ∴Q2G＝2EG， ∵∠Q2DG＝45°，∠Q2GD＝90°， ∴∠DQ2G＝∠Q2DG＝45°， ∴DG＝Q2G＝2EG， ∴ED＝EG+DG＝3EG， 由①可知，ED＝2， ∴3EG＝2， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 综上，点Q的坐标为（0，9）或（0，）． 27．（2019•山西）如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC、BC、DB、DC． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值． （3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由抛物线交点式表达式得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）＝ax2﹣2ax﹣8a， 即﹣8a＝6，解得：a， 故抛物线的表达式为：yx2x+6； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，6）， 由点B、C的坐标，得直线BC的表达式为：yx+6， 如图所示，过点D作y轴的平行线交直线BC于点H， 设点D（m，m2m+6），则点H（m，m+6）， 则S△BDCHD×OB＝2（m2m+6m﹣6）＝2（m2+3m）， ∴S△ACO6×2， 即：2（m2+3m）， 解得：m＝1或3（舍去1）， 故m＝3； （3）当m＝3时，点D（3，）， 设点M（x，0），点N（t，n），则nt2t+6①， ①当BD是边时， 点B向左平移1个单位向上平移个单位得到点D，同样点M（N）向左平移1个单位向上平移个单位得到点N（M）， 故， 解得x＝4（舍去）或0或； 故点M的坐标为（0，0）或（，0）或（，0）； ②当BD是对角线时， 由中点公式得：（3+4）（x+t），（0）（n+0）③， 联立①③并解得x＝4（舍去）或8， 故点M的坐标为（8，0）； 综上，点M的坐标为（0，0）或（，0）或（，0）或（8，0）． 28．（2018•山西）综合与探究 如图，抛物线yx﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值． 【解答】解：（1）当y＝0，x﹣4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4， ∴A（﹣3，0），B（4，0）， 当x＝0，yx﹣4＝﹣4， ∴C（0，﹣4）； （2）AC5， 易得直线BC的解析式为y＝x﹣4， 设Q（m，m﹣4）（0＜m＜4）， 当CQ＝CA时，m2+（m﹣4+4）2＝52，解得m1，m2（舍去），此时Q点坐标为（，4）； 当AQ＝AC时，（m+3）2+（m﹣4）2＝52，解得m1＝1，m2＝0（舍去），此时Q点坐标为（1，﹣3）； 当QA＝QC时，（m+3）2+（m﹣4）2＝m2+（m﹣4+4）2，解得m（舍去）， 综上所述，满足条件的Q点坐标为（，4）或（1，﹣3）； （3）解：过点F作FG⊥PQ于点G，如图， 则FG∥x轴．由B（4，0），C（0，﹣4）得△OBC为等腰直角三角形 ∴∠OBC＝∠QFG＝45 ∴△FQG为等腰直角三角形， ∴FG＝QGFQ， ∵PE∥AC，PG∥CO， ∴∠FPG＝∠ACO， ∵∠FGP＝∠AOC＝90°， ∴△FGP∽△AOC． ∴，即， ∴PGFG•FQFQ， ∴PQ＝PG+GQFQFQFQ， ∴FQPQ， 设P（m，m2m﹣4）（0＜m＜4），则Q（m，m﹣4）， ∴PQ＝m﹣4﹣（m2m﹣4）m2m， ∴FQ（m2m）（m﹣2）2 ∵0， ∴QF有最大值． ∴当m＝2时，QF有最大值． 29．（2017•山西）如图，抛物线yx2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）求直线BC的函数表达式； （2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简） ②在点P、Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值； （3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由y＝0得x2x+30， 解得：x1＝﹣3，x2＝9， ∴B（9，0）， 由x＝0得y＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为yx+3； （2）①过P作PG⊥x轴于G， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴OA＝3．OC＝3， ∴tan∠CAO， ∴∠CAO＝60°， ∵AP＝t， ∴PGt，AGt， ∴OG＝3t， ∴P（t﹣3，t）， ∵DQ⊥x轴，BQ＝2t， ∴OQ＝9﹣2t， ∴D（9﹣2t，t2t）， ②过P作PH⊥QD于H， 则四边形PGQH是矩形， ∴HQ＝PG，∵PQ＝PD，PH⊥QD，∴DQ＝2HQ＝2PG， ∵P（t﹣3，t），D（9﹣2t，t2t）， ∴t2t＝2t， 解得：t1＝0（舍去），t2， ∴当PQ＝PD时，t的值是； （3）∵点F为PD的中点， ∴F的横坐标为：（t﹣3+9﹣2t）t+3，F的纵坐标为（tt2t）t2t， ∴F（t+3，t2t）， ∵点F在直线BC上， ∴t2t（t+3）+3， 解得，t1＝t2＝3， ∴F（，）． 30．（2016•山西）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）． （1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣8经过点A（﹣2，0），D（6，﹣8）， ∴，解得， ∴抛物线解析式为yx2﹣3x﹣8， ∵yx2﹣3x﹣8（x﹣3）2， ∴抛物线对称轴为直线x＝3， 又∵抛物线与x轴交于点A、B两点，点A坐标（﹣2，0）， ∴点B坐标（8，0）． 设直线l的解析式为y＝kx， ∵经过点D（6，﹣8）， ∴6k＝﹣8， ∴k， ∴直线l的解析式为yx， ∵点E为直线l与抛物线对称轴的交点， ∴点E的横坐标为3，纵坐标为3＝﹣4， ∴点E坐标（3，﹣4）． （2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE， 由O点，E点，C点的坐标，可知OE＝CE，△FOE与△FCE有公共边FE， 此时点F纵坐标为﹣4， ∴x2﹣3x﹣8＝﹣4， ∴x2﹣6x﹣8＝0， x＝3， ∴点F坐标（3，﹣4）或（3，﹣4）． （3）①如图1 中，当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形． ∵点E坐标（3，﹣4）， ∴OE5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H．则， ∴OM＝OE＝5， ∴点M坐标（0，﹣5）． 设直线ME的解析式为y＝k1x﹣5， ∴3k1﹣5＝﹣4， ∴k1， ∴直线ME解析式为yx﹣5， 令y＝0，得x﹣5＝0，解得x＝15， ∴点H坐标（15，0）， ∵MH∥PB， ∴，即， ∴m， ②如图2 中，当QO＝QP时，△POQ是等腰三角形． ∵当x＝0时，yx2﹣3x﹣8＝﹣8， ∴点C坐标（0，﹣8）， ∴CE5， ∴OE＝CE， ∴∠1＝∠2， ∵QO＝QP， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴CE∥PB， 设直线CE交x轴于N，解析式为y＝k2x﹣8， ∴3k2﹣8＝﹣4， ∴k2， ∴直线CE解析式为yx﹣8， 令y＝0，得x﹣8＝0， ∴x＝6， ∴点N坐标（6，0）， ∵CN∥PB， ∴， ∴， ∴m． ③OP＝PQ时，显然不可能，理由， ∵D（6，﹣8）， ∴∠1＜∠BOD， ∵∠OQP＝∠BOQ+∠ABP， ∴∠PQO＞∠1， ∴OP≠PQ，综上所述，当m或时，△OPQ是等腰三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$