【10年压轴题】2016-2025年山东省选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年山东省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2025•山东）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．当x≥1000时，y随x的增大而减小 B．当x＝2000时，y有最大值 C．当y≥0.6时，x≥1000 D．当y＝0.4时，x＝600 2．（2024•济南）如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD＝2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC﹣CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为t（s），DP2为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①AB＝3；②当t＝5时，y＝1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC﹣CA匀速运动时，两个时刻t1，t2（t1＜t2）分别对应y1和y2，若t1+t2＝6，则y1＞y2．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 3．（2023•济南）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论： ①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”； ②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）； ③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”； ④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是； 其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2022•济南）抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1或m＞0 B．m C．0≤m D．﹣1＜m＜1 5．（2021•济南）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（　　） A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3 6．（2020•济南）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（　　） A．m B．m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3 7．（2019•济南）关于x的一元二次方程ax2+bx0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（　　） A．t B．﹣1＜t C．t D．﹣1＜t 8．（2018•济南）若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”．抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m＞0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．1＜m≤2 D．1＜m＜2 9．（2017•济南）如图1，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行道路，表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x （m）时，相应影子的长度为y （m），根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是（　　） A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C 10．（2016•济南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝AD＝5，BC＝4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM＝CE＝1，AN＝3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（　　） A．B． C． D． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•山东）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAQB，则线段PQ的最小值是 　 　 ． 12．（2024•济南）如图，在矩形纸片ABCD中，，AD＝2，E为边AD的中点，点F在边CD上，连接EF，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D′，连接BD′．若BD′＝2，则DF＝　 　 ． 13．（2023•济南）如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P．若∠ABC＝30°，AP＝2，则PE的长等于 　 　 ． 14．（2022•济南）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点O（0，0）按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O1（1，0），再将O1（1，0）绕原点顺时针旋转90°得到O2（0，﹣1），再将O2（0，﹣1）绕原点顺时针旋转90°得到O3（﹣1，0）…依次类推．点（0，1）经过“011011011”变换后得到点的坐标为　 　 ． 15．（2021•济南）如图，一个由8个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为 　 　 ． 16．（2020•济南）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在B'处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点C'处，EF为折痕，连接AC'．若CF＝3，则tan∠B'AC′＝　 　 ． 17．（2019•济南）如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于　 　 ． 18．（2018•济南）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在矩形ABCD的各条边上，AB＝EF，FG＝2，GC＝3．有以下四个结论：①∠BGF＝∠CHG；②△BFG≌△DHE；③tan∠BFG；④矩形EFGH的面积是4．其中一定成立的是　 　 ．（把所有正确结论的序号填在横线上） 19．（2017•济南）定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P（﹣1，1），Q（2，3），则P，Q的“实际距离”为5，即PS+SQ＝5或PT+TQ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A，B，C三个小区的坐标分别为A（3，1），B（5，﹣3），C（﹣1，﹣5），若点M表示单车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为 　 　 ． 20．（2016•济南）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG＝　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•山东）【图形感知】 如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝∠ABC＝∠BDC＝90°，AD＝2，AB＝4． （1）求CD的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段CD上取一点E，连接BE．将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A′BED′，其中A′，D′分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点D′恰好落在边BC上，延长A′D′交CD于点F，如图2．判断四边形DBA′F的形状，并说明理由； ②乙：点A′恰好落在边BC上，如图3．求DE的长； （3）如图4，连接DD′交BE于点P，连接CP．当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 22．（2024•济南）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D． （1）兴趣小组的同学得出AC2＝AD•AB．理由如下： ∵∠ACB＝90° ∴∠A+∠B＝90° ∵CD⊥AB ∴∠ADC＝90° ∴∠A+∠ACD＝90° ∴∠B＝①_____ ∵∠A＝∠A ∴△ABC∽△ACD ∴②_____ ∴AC2＝AD•AB 请完成填空：①　 　 ；②　 　 ； （2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE＝∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，，平面内一点D，满足AD＝AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB＝∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时．求线段CE的长． 23．（2023•济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG． （1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值； （2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长； （3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值． 24．（2022•济南）抛物线y＝ax2x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式和t，k的值； （2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； （3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQPQ的最大值． 25．（2021•济南）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C． （1）求抛物线的表达式及点C的坐标； （2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围． 26．（2020•济南）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式及C点坐标； （2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标； （3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值． 27．（2019•济南）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′． （1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标； （2）如图2，直线l：y＝kx经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 28．（2018•济南）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4过A（2，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为D，连接AC、BC．点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（m＞4）． （1）求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值； （2）如图2，若∠ACP＝45°，求m的值； （3）如图3，过点A、P的直线与y轴交于点N，过点P作PM⊥CD，垂足为M，直线MN与x轴交于点Q，试判断四边形ADMQ的形状，并说明理由． 29．（2017•济南）如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交BC于点D，tan∠OAD＝2，抛物线M1：y＝ax2+bx（a≠0）过A，D两点． （1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式； （2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA＝90°时，求所有符合条件的点P的坐标； （3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2． ①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值； ②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围． 30．（2016•济南）如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M． （1）求a的值和直线AB的函数表达式； （2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值； （3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′AE′B的最小值． 【10年压轴题】2016-2025年山东省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D D A D B D D 一．选择题（共10小题） 1．（2025•山东）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．当x≥1000时，y随x的增大而减小 B．当x＝2000时，y有最大值 C．当y≥0.6时，x≥1000 D．当y＝0.4时，x＝600 【解答】解：A、当x≥1000时，y随x的增大先增大，后减小，故A选项错误，不符合题意； B、∵抛物线过点（1000，0.6），（3000.0.6）， ∴抛物线的对称轴为：直线x2000， ∵抛物线的开口向下， ∴x＝2000时，y有最大值， 故B选项正确，符合题意； C、由图象可得：当y＝0.6时，x1＝1000，x2＝3000， ∴当y≥0.6时，1000≤x≤3000， 故C选项错误，不符合题意； D、由图象可得当y＝0.4时，x对应的值有2个，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．（2024•济南）如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD＝2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC﹣CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为t（s），DP2为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①AB＝3；②当t＝5时，y＝1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC﹣CA匀速运动时，两个时刻t1，t2（t1＜t2）分别对应y1和y2，若t1+t2＝6，则y1＞y2．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 【解答】解：由题意，当P到C时，DP2＝y＝7， ∴DC2＝7． 作DH⊥BC于H，如图1所示， ∵∠B＝60°，BD＝2， ∴BHBD＝1，DH． ∴CH2． ∴BC＝BH+CH＝1+2＝3． ∴AB＝BC＝3，故①正确． ∴此时t＝AB÷1＝3（秒）． ∴当t＝5时，P在AC上，且PC＝2． 如图2，AD＝AP＝1， 又∠A＝60°， ∴△ADP是等边三角形． ∴DP＝AD＝AP＝1． ∴y＝DP2＝1，故②正确． 当4≤t≤6时，如图3， ∴PC＝1，此时P从如图的位置运动到A． ∴AHAD． ∴DH，此时P运动到H时y＝DH2取最小值为． 又HP＝AC﹣AH﹣PC＝31， ∴DP． ∴此时y＝DP2取最大值为3． ∴当4≤t≤6时，y≤3，故③错误． ∵t1+t2＝6，t1＜t2， ∴t1+t2＜2t2，2t1＜t1+t2，t2＝6﹣t1． ∴t1＜3，t2＞3． 又由题意，可得，当0≤t≤3时，y＝（t﹣1）2+3；当3≤t≤6时，y＝（t﹣5.5）2， ∴y1＝（t1﹣1）2+3，y2＝（t2﹣5.5）2（t1﹣0.5）2． ∴y1﹣y2＝（t1﹣1）2+3﹣（t1﹣0.5）2 ＝3﹣t1＞0． ∴y1＞y2，故④正确． 故选：D． 3．（2023•济南）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论： ①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”； ②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）； ③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”； ④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是； 其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：依据题意，由“倍增点”的意义， ∵2（1+3）＝8+0，2（1﹣2）＝﹣2+0， ∴点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”． ∴①正确． 对于②，由题意，可设满足题意得“倍增点”A为（x，x+2）， ∴2（x+1）＝x+2+0． ∴x＝0． ∴A（0，2）． ∴②错误． 对于③，可设抛物线上的“倍增点”为（x，x2﹣2x﹣3）， ∴2（x+1）＝x2﹣2x﹣3． ∴x＝5或﹣1． ∴此时满足题意的“倍增点”有（5，12），（﹣1，0）两个． ∴③正确． 对于④，设B（x，y）， ∴2（x+1）＝y+0． ∴y＝2（x+1）． ∴P1B． ∴当x时，P1B有最小值为． ∴④正确． 故选：C． 4．（2022•济南）抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1或m＞0 B．m C．0≤m D．﹣1＜m＜1 【解答】解：在y＝﹣x2+2mx﹣m2+2中，令x＝m﹣1，得y＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）﹣m2+2＝1， 令x＝m+1，得y＝﹣（m+1）2+2m（m+1）﹣m2+2＝1， ∴（m﹣1，1）和（m+1，1）是关于抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2对称轴对称的两点， ①若m﹣1≥0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴右侧（包括（m﹣1，1）在y轴上）， 则点（m﹣1，1）经过翻折得M（m﹣1，y1），点（m+1，1）经过翻折得N（m+1，y2）， 如图： 由对称性可知，y1＝y2， ∴此时不满足y1＜y2； ②当m+1≤0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴左侧（包括（m+1，1）在y轴上）， 则点（m﹣1，1）即为M（m﹣1，y1），点（m+1，1）即为N（m+1，y2）， ∴y1＝y2， ∴此时不满足y1＜y2； ③当m﹣1＜0＜m+1，即（m﹣1，1）在y轴左侧，（m+1，1）在y轴右侧时，如图： 此时M（m﹣1，1），（m+1，1）翻折后得N，满足y1＜y2； 由m﹣1＜0＜m+1得：﹣1＜m＜1， 故选：D． 5．（2021•济南）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（　　） A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3 【解答】解：由题意可知， 当m≥0时，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2， ∴当0≤m≤3时，﹣2≤n′≤2， 当m＜0时，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6， ∴当﹣1≤m＜0时，﹣2＜n′≤3， 综上，当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是﹣2≤n′≤3， 故选：D． 6．（2020•济南）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（　　） A．m B．m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3 【解答】解：当对称轴在y轴的右侧时，， 解得m＜3， 当对称轴是y轴时，m＝3，符合题意， 当对称轴在y轴的左侧时，2m﹣6＞0，解得m＞3， 综上所述，满足条件的m的值为m． 故选：A． 7．（2019•济南）关于x的一元二次方程ax2+bx0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（　　） A．t B．﹣1＜t C．t D．﹣1＜t 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx0有一个根是﹣1， ∴二次函数y＝ax2+bx的图象过点（﹣1，0）， ∴a﹣b0， ∴b＝a， 而t＝2a+b， ∴t＝2a+a3a， ∵二次函数y＝ax2+bx的图象的顶点在第一象限， ∴a＜0，Δ＝b2﹣4ac＝a2a﹣2a＝（a）2≥0，0， ∴b＞0， ∴a0， ∴a， ∴a＜0， ∴﹣1＜3a， ∴﹣1＜t， 故选：D． 8．（2018•济南）若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”．抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m＞0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．1＜m≤2 D．1＜m＜2 【解答】解：∵y＝mx2﹣4mx+4m﹣2＝m（x﹣2）2﹣2且m＞0， ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x＝2． 由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意． ①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意． 将（1，﹣1）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到﹣1＝m﹣4m+4m﹣2．解得m＝1． 此时抛物线解析式为y＝x2﹣4x+2． 由y＝0得x2﹣4x+2＝0．解得x1＝20.6，x2＝23.4． ∴x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意． 则当m＝1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意． ∴m≤1．【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大】 答案图1（m＝1时） 答案图2（ m时） ②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意． 此时x轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意． 将（0，0）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到0＝0﹣0+4m﹣2．解得m． 此时抛物线解析式为yx2﹣2x． 当x＝1时，得y1﹣2×11．∴点（1，﹣1）符合题意． 当x＝3时，得y9﹣2×31．∴点（3，﹣1）符合题意． 综上可知：当m时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意， ∴m不符合题． ∴m． 综合①②可得：当m≤1时，该函数的图象与x轴所围成的区域（含边界）内有七个整点， 故选：B． 9．（2017•济南）如图1，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行道路，表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x （m）时，相应影子的长度为y （m），根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是（　　） A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C 【解答】解：根据图3可得，函数图象的中间一部分为水平方向的线段， 故影子的长度不变，即沿着弧形道路步行， 因为函数图象中第一段和第三段图象对应的x的范围相等，且均小于中间一段图象对应的x的范围， 故中间一段图象对应的路径为， 又因为第一段和第三段图象都从左往右上升， 所以第一段函数图象对应的路径为正方形的边AB或AD，第三段函数图象对应的路径为BC或DC， 故行走的路线是A→B→D→C（或A→D→B→C）， 故选：D． 10．（2016•济南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝AD＝5，BC＝4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM＝CE＝1，AN＝3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵AD＝5，AN＝3， ∴DN＝2， 如图1，过点D作DF⊥AB， ∴DF＝BC＝4， 在RT△ADF中，AD＝5，DF＝4，根据勾股定理得，AF3， ∴BF＝CD＝2，当点Q到点D时用了2s， ∴点P也运动2s， ∴AP＝3，即QP⊥AB， ∴只分三种情况： ①当0＜t≤2时，如图1， 过Q作QG⊥AB，过点D作DF⊥AB，QG∥DF， ∴， 由题意得，NQ＝t，MP＝t， ∵AM＝1，AN＝3， ∴AQ＝t+3， ∴， ∴QG（t+3）， ∵AP＝t+1， ∴S＝S△APQAP×QG（t+1）（t+3）（t+2）2， 当t＝2时，S＝6， ②当2＜t≤4时，如图2， ∵AP＝AM+t＝1+t， ∴S＝S△APQAP×BC（1+t）×4＝2（t+1）＝2t+2， 当t＝4时，S＝10， ③当4＜t≤5时，如图3， 由题意得CQ＝t﹣4，PB＝t+AM﹣AB＝t+1﹣5＝t﹣4， ∴PQ＝BC﹣CQ﹣PB＝4﹣（t﹣4）﹣（t﹣4）＝12﹣2t， ∴S＝S△APQPQ×AB（12﹣2t）×5＝﹣5t+30， 当t＝5时，S＝5， ∴S与t的函数关系式分别是①S＝S△APQ（t+2）2，当t＝2时，S＝6，②S＝S△APQ＝2t+2，当t＝4时，S＝10，③∴S＝S△APQ＝﹣5t+30，当t＝5时，S＝5， 综合以上三种情况，D正确 故选：D． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•山东）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAQB，则线段PQ的最小值是 　4.8　 ． 【解答】解：如图，过M作MN⊥AP于N， ∴∠ANM＝∠ABC＝90°， ∵∠MAN＝∠CAB， ∴△AMN∽△ACB， ∴MN：BC＝AM：AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC10， ∵四边形PAQB是平行四边形， ∴AMAB＝3，PQ＝2PM， ∴MN：8＝3：10， ∴MN＝2.4， ∵PM≥MN， ∴PQ≥2MN＝4.8， ∴PQ的最小值是4.8． 故答案为：4.8． 12．（2024•济南）如图，在矩形纸片ABCD中，，AD＝2，E为边AD的中点，点F在边CD上，连接EF，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D′，连接BD′．若BD′＝2，则DF＝　　 ． 【解答】解：如图，连接BE，延长FE交BA的延长线于H， ∵矩形ABCD中，，AD＝2，E为边AD的中点， ∴AE＝DE＝1，∠BAE＝∠D＝90°， ∵将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D′， ∴ED＝ED′＝1，∠ED′F＝∠D＝90°，∠DEF＝∠D′EF， 则Rt△HAE≌Rt△FDE（ASA），DF＝AH， ∴BE， ∵BD′＝2， ∴， ∴△BED′为直角三角形， 设∠DEF＝α，则∠AEH＝∠DEF＝α，∠DED′＝2α， ∴∠AEB＝90°﹣2α，∠AHE＝90°﹣α， ∴∠HEB＝∠AHE＝90°﹣α， ∴△BHE为等腰三角形， ∴BH＝BE， ∴AH＝BH﹣AB， ∴DF＝AH， 故答案为：． 13．（2023•济南）如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P．若∠ABC＝30°，AP＝2，则PE的长等于 　　 ． 【解答】解：过点A作AF⊥PE于点F， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠D＝∠ABC＝30°，AD＝CD， ∴∠DAC75°， 由折叠可知：∠E＝∠D＝30°， ∴∠APE＝∠DAC﹣∠AEP＝45°， 在Rt△APF中，PF＝AP•cos∠APE， ∴PF＝AF＝2×cos45°， 在Rt△AEF中，tan∠AEP， ∴EF， ∴PE＝PF+EF， 故答案为：． 14．（2022•济南）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点O（0，0）按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O1（1，0），再将O1（1，0）绕原点顺时针旋转90°得到O2（0，﹣1），再将O2（0，﹣1）绕原点顺时针旋转90°得到O3（﹣1，0）…依次类推．点（0，1）经过“011011011”变换后得到点的坐标为　（﹣1，﹣1）　 ． 【解答】解：将点（0，1）经过一次011变换， 即先向右平移一个单位得到（1，1）， 再绕点O顺时针旋转90得到（1，﹣1）， 再绕点O顺时针旋转90得到（﹣1，﹣1）； 如此将点（﹣1，﹣1）经过011变换得到点（0，1）， 再将点（0，1）经过011变换得到点（﹣1，﹣1）． 故答案为：（﹣1，﹣1）． 15．（2021•济南）如图，一个由8个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为 　　 ． 【解答】解：如图所示，连接EG，则∠OEP＝90°， 由题意得，小正方形的边长为1， ∴OP， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝∠A＝90°，∠MQP＝90°， ∴∠BMQ＝∠CQP＝90°﹣∠MQP， 同理∠EPO＝∠CQP＝90°﹣∠QPC， ∴∠BMQ＝∠EPO， 又∠OEP＝∠B＝90°， ∴△OEP∽△QBM， ∴， ∴BM，QB， ∵∠B＝∠A＝90°，∠NMQ＝90°， ∴∠BMQ＝∠ANM＝90°﹣∠AMN， 在△QBM和△MAN中， ， ∴△QBM≌△MAN（AAS）， ∴AM＝QB， ∴AB＝BM+AM． 故答案为：． 16．（2020•济南）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在B'处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点C'处，EF为折痕，连接AC'．若CF＝3，则tan∠B'AC′＝　　 ． 【解答】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2， EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9， 由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF， ∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°， ∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°， ∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173， ∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125， ∴2x2﹣20x+173＝125， 解得，x＝4或6， 当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝10﹣6＝4，EC′＞B′E，不合题意，应舍去， ∴CE＝C′E＝4， ∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2， ∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8， ∴tan∠B'AC′． 故答案为：． 另一解法：由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF， ∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°， ∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°， ∴∠AEB+∠CEF＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10， ∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF， ∴△ABE∽△ECF， ∴， 设BE＝x，则BE＝B'E＝x，C'E＝CE＝10﹣x， ∴， 解得，x＝4或6， ∴BE＝B'E＝4，CE＝C'E＝6， 或BE＝B'E＝6，CE＝C'E＝4， ∵B'E＞C'E， ∴BE＝B'E＝6，CE＝C'E＝4， ∴B'C'＝B'E﹣C'E＝6﹣4＝2， 由折叠知，AB'＝AB＝8，∠B'＝∠B＝90°， ∴tan∠B'AC′． 解法三：设BE＝a，EC＝b，则a+b＝10．由于△AB'E∽△EC'F， 所以AB'：EC'＝EB'：C'F，即8：b＝a：3，ab＝24．B'C'＝a﹣b， 因为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝100﹣96＝4． 所以B'C′＝2． 所以tan∠B'AC′． 故答案为． 17．（2019•济南）如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于　　 ． 【解答】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H， 由折叠得：ABNM是正方形，AB＝BN＝NM＝MA＝5， CD＝CF＝5，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF， ∴NC＝MD＝8﹣5＝3， 在Rt△FNC中，FN4， ∴MF＝5﹣4＝1， 在Rt△MEF中，设EF＝x，则ME＝3﹣x，由勾股定理得， 12+（3﹣x）2＝x2， 解得：x， ∵∠CFN+∠PFG＝90°，∠PFG+∠FPG＝90°， ∴∠CFN＝∠FPG， 又∵∠FGP＝∠CNF＝90° ∴△FNC∽△PGF， ∴FG：PG：PF＝NC：FN：FC＝3：4：5， 设FG＝3m，则PG＝4m，PF＝5m， ∴GN＝PH＝BH＝4﹣3m，HN＝5﹣（4﹣3m）＝1+3m＝PG＝4m， 解得：m＝1， ∴PF＝5m＝5， ∴PE＝PF+FE＝5， 故答案为：． 18．（2018•济南）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在矩形ABCD的各条边上，AB＝EF，FG＝2，GC＝3．有以下四个结论：①∠BGF＝∠CHG；②△BFG≌△DHE；③tan∠BFG；④矩形EFGH的面积是4．其中一定成立的是　①②④　 ．（把所有正确结论的序号填在横线上） 【解答】解：∵∠FGH＝90°， ∴∠BGF+∠CGH＝90°． 又∵∠CGH+∠CHG＝90°， ∴∠BGF＝∠CHG，故①正确． 同理可得∠DEH＝∠CHG． ∴∠BGF＝∠DEH． 又∵∠B＝∠D＝90°，FG＝EH， ∴△BFG≌△DHE，故②正确． 同理可得△AFE≌△CHG． ∴AF＝CH． 易得△BFG∽△CGH． 设GH、EF为a， ∴．∴． ∴BF． ∴AF＝AB﹣BF＝a． ∴CH＝AF＝a． 在Rt△CGH中， ∵CG2+CH2＝GH2， ∴32+（a）2＝a2．解得a＝2．∴GH＝2．∴BF＝a． 在Rt△BFG中，∵cos∠BFG，∴∠BFG＝30°． ∴tan∠BFG＝tan30°，故③错误． 矩形EFGH的面积＝FG×GH＝2×24，故④正确． 故答案为：①②④ 19．（2017•济南）定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P（﹣1，1），Q（2，3），则P，Q的“实际距离”为5，即PS+SQ＝5或PT+TQ＝5．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A，B，C三个小区的坐标分别为A（3，1），B（5，﹣3），C（﹣1，﹣5），若点M表示单车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为 　（1，﹣2）　 ． 【解答】解：设M（x，y），由“实际距离”的定义可知： 点M只能在ECFG区域内， ﹣1＜x＜5，﹣5＜y＜1， 又∵M到A，B，C距离相等， ∴|x﹣3|+|y﹣1|＝|x﹣5|+|y+3|＝|x+1|+|y+5|，① ∴|x﹣3|+1﹣y＝5﹣x+|y+3|＝x+1+y+5，② 要将|x﹣3|与|y+3|中绝对值去掉， 需要判断x在3的左侧和右侧，以及y在﹣3的上侧还是下侧， 将矩形ECFG分割为4部分，若要使M到A，B，C的距离相等， 由图可知M只能在矩形AENK中， 故x＜3，y＞﹣3， 则方程可变为：3﹣x+1﹣y＝y+5+x+1＝5﹣x+3+y， 解得，x＝1，y＝﹣2，则M（1，﹣2） 故答案为：（1，﹣2）． 20．（2016•济南）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG＝　　 ． 【解答】解：如图2中，作NF⊥CD于F．设DM＝x，则AM＝EM＝10﹣x， ∵DE＝EC，AB＝CD＝8， ∴DECD＝4， 在RT△DEM中，∵DM2+DE2＝EM2， ∴（4）2+x2＝（10﹣x）2， 解得x＝2.6， ∴DM＝2.6，AM＝EM＝7.4， ∵∠DEM+∠NEF＝90°，∠NEF+∠ENF＝90°， ∴∠DEM＝∠ENF，∵∠D＝∠EFN＝90°， ∴△DME∽△FEN， ∴， ∴， ∴EN， ∴AN＝EN， ∴tan∠AMN， 如图3中，∵ME⊥EN，HG⊥EN， ∴EM∥GH， ∴∠NME＝∠NHG， ∵∠NME＝∠AMN，∠EHG＝∠NHG， ∴∠AMN＝∠EHG， ∴tan∠EHG＝tan∠AMN． 方法二，tan∠EHG＝tan∠EMN． 故答案为． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•山东）【图形感知】 如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝∠ABC＝∠BDC＝90°，AD＝2，AB＝4． （1）求CD的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段CD上取一点E，连接BE．将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A′BED′，其中A′，D′分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点D′恰好落在边BC上，延长A′D′交CD于点F，如图2．判断四边形DBA′F的形状，并说明理由； ②乙：点A′恰好落在边BC上，如图3．求DE的长； （3）如图4，连接DD′交BE于点P，连接CP．当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）∵∠BAD＝∠ABC＝∠BDC＝90°， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴△ADB∽△DBC， ∴， ∵∠BAD＝90°，AD＝2，AB＝4， ∴， ∴， ∴； （2）①四边形DBA'F是矩形，理由如下， 由折叠的性质得∠A＝∠A'＝90°，∠ABD＝∠A'BD'， ∵∠ABD+∠DBC＝∠ABC＝90°， ∴∠A'BD＝∠A'BD'+∠DBC＝90°， ∴四边形DBA'F是矩形； ②延长AD和A'D'相交于点Q，连接BQ， 由折叠的性质得∠A＝∠A'＝90°，∠ABD＝∠A'BD'，∠EBD＝∠EBD'， ∵点A'恰好落在边BC上， ∴AB＝A'B＝4，∠ABA'＝90°， ∴四边形ABA'Q是矩形， ∵AB＝A'B＝4， ∴四边形ABA'Q是正方形， ∵∠ABE＝∠ABD+∠EBD＝∠A'BD'+∠EBD′＝∠A'BE＝0.5×90°＝45°， ∴点E在对角线BQ上， ∴DQ＝AQ﹣AD＝2，， ∵四边形ABA'Q是正方形， ∴AQ∥CB， ∴△DQE∽△CBE， ∴， ∴； （3）由折叠的性质得∠EBD＝∠EBD'，BD＝BD'， ∴BE是线段DD'的垂直平分线， ∴∠BPD＝90°， ∴点P在以BD为直径的⊙O上，连接OC，OP， ∴CP≥OC﹣OP，即点P在OC上时，线段CP存在最小值， ∵， 线段CP的最小值为． 22．（2024•济南）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D． （1）兴趣小组的同学得出AC2＝AD•AB．理由如下： ∵∠ACB＝90° ∴∠A+∠B＝90° ∵CD⊥AB ∴∠ADC＝90° ∴∠A+∠ACD＝90° ∴∠B＝①_____ ∵∠A＝∠A ∴△ABC∽△ACD ∴②_____ ∴AC2＝AD•AB 请完成填空：①　∠ACD　 ；②　　 ； （2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE＝∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，，平面内一点D，满足AD＝AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB＝∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时．求线段CE的长． 【解答】解：（1）①∠ACD， ②， 故答案为：∠ACD，； （2）△AEB是直角三角形， ∵∠ACE＝∠AFC，∠CAE＝∠FAC， ∴△ACF∽△AEC， ∴， ∴AC2＝AF•AE， 由（1）得 AC2＝AD•AB， ∴AF•AE＝AD•AB， ∴， ∵∠FAD＝∠BAE， ∴△AFD∽△ABE， ∴∠ADF＝∠AEB＝90°， ∴△AEB是直角三角形； （3）∵∠CEB＝∠CBD，∠ECB＝∠BCD， ∴△CEB∽△CBD， ∴． ∴CD•CE＝CB2＝24． 如图，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C，D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0＝6，交⊙A于D0，CD0＝4，∠CDD0＝90°， ∴CD0•CE0＝24＝CD•CE，则， ∵∠ECE0＝∠D0CD， ∴△ECE0∽ΔD0CD， ∴∠CDD0＝∠CE0E＝90°， ∴点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动， 过点B作BE'⊥E0E，垂足为E′，BE′即为最短的BE，连接CE′， ∵∠BCE0＝∠CE0E′＝∠BE′E0＝90°， ∴四边形CE0E'B是矩形， 在Rt△CE0E'中可求得CE′2， ∴CE＝2． 23．（2023•济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG． （1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值； （2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长； （3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值． 【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝2，， ∴∠C＝90°，CD＝AB＝2，， ∴， ∴∠BDC＝60°， ∵∠ABE＝∠BAD＝∠EAG＝∠ADG＝90°， ∴∠EAG﹣∠EAD＝∠BAD﹣∠EAD， 即∠DAG＝∠BAE， ∴△ADG∽△ABE， ∴； （2）如图2，过点F作FM⊥CG于点M， ∵∠ABE＝∠AGF＝∠ADG＝90°，AE＝GF， ∴∠BAE＝∠DAG＝∠CGF，∠ABE＝∠GMF＝90°， ∴△ABE≌△GMF（AAS）， ∴BE＝MF，AB＝GM＝2， ∴∠MDF＝∠BDC＝60°，FM⊥CG， ∴， ∴， 设 DM＝x，则 ， ∴DG＝GM+MD＝2+x， 由（1）可知：， ∴， 解得 x＝1， ∴； （3）如图3，连接AC， 设AE＝EC＝x，则有x2＝（2x）2+22， 解得x， ∴sin∠AEB， ∴∠AEB＝60°， ∴∠AEC＝120°， 将△AEP绕点E顺时针旋转 120°，EA与EC重合，得到△CEP'，连接PP'， 矩形ABCD中，AD＝BC，AB＝2， ∴tan∠ACB， ∴∠ACB＝30°， ∴AC＝2AB＝4， ∵EA＝EC， ∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∠AEC＝120°， ∴∠ACG＝∠GAC＝90°﹣30°＝60°， ∴△AGC 是等边三角形，AG＝AC＝4， ∴PE＝EF＝AG＝4， ∵将△AEP绕点E顺时针旋转 120°，EA与EC重合，得到△CEP'， ∴PA＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝4， ∴， ∴当点P，C，P′三点共线时，PA+PC 的值最小， 此时为 ． 24．（2022•济南）抛物线y＝ax2x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式和t，k的值； （2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； （3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQPQ的最大值． 【解答】解：（1）将B（8，0）代入y＝ax2x﹣6， ∴64a+22﹣6＝0， ∴a， ∴yx2x﹣6， 当y＝0时，t2t﹣6＝0， 解得t＝3或t＝8（舍）， ∴t＝3， ∵B（8，0）在直线y＝kx﹣6上， ∴8k﹣6＝0， 解得k； （2）作PM⊥x轴交于M， ∵P点横坐标为m， ∴P（m，m2m﹣6）， ∴PMm2m+6，AM＝m﹣3， 在Rt△COA和Rt△AMP中， ∵∠OAC+∠PAM＝90°，∠APM+∠PAM＝90°， ∴∠OAC＝∠APM， ∴△COA∽△AMP， ∴，即OA•MA＝CO•PM， 3（m﹣3）＝6（m2m+6）， 解得m＝3（舍）或m＝10， ∴P（10，）； （3）作PN⊥x轴交BC于N，过点N作NE⊥y轴交于E， ∴PNm2m﹣6﹣（m﹣6）m2+2m， ∵PN⊥x轴， ∴PN∥OC， ∴∠PNQ＝∠OCB， ∴Rt△PQN∽Rt△BOC， ∴， ∵OB＝8，OC＝6，BC＝10， ∴QNPN，PQPN， 由△CNE∽△CBO， ∴CNENm， ∴CQPQ＝CN+NQPQ＝CN+PN， ∴CQPQmm2+2mm2m（m）2， 当m时，CQPQ的最大值是． 25．（2021•济南）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C． （1）求抛物线的表达式及点C的坐标； （2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得： ， 解得：． ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3． ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点C（1，4）． （2）设AC交y轴于点F，连接DF，过点C作CE⊥x轴于点E，如图， ∵A（﹣1，0），C（1，4）， ∴OA＝1，OE＝1，CE＝4． ∴OA＝OE，AC2． ∵FO⊥AB，CE⊥AB， ∴FO∥CE， ∴OFCE＝2，F为AC的中点． ∵△DAC是以AC为底的等腰三角形， ∴DF⊥AC． ∵FO⊥AD， ∴△AFO∽△FDO． ∴． ∴． ∴OD＝4． ∴D（4，0）． 设直线CD的解析式为y＝kx+m， ∴， 解得：． ∴直线CD的解析式为y． ∴， 解得：，． ∴P（）． （3）过点P作PH⊥AB于点H，如图， 则OH，PH， ∵OD＝4， ∴HD＝OD﹣OH， ∴PD． ∴PC＝CD﹣PD＝5． 由（2）知：AC＝2． 设AF＝x，AE＝y，则CE＝2y． ∵DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C． ∵∠CAB+∠AEF+∠AFE＝180°， ∠AEF+∠PEF+∠CEP＝180°， 又∵∠PEF＝∠CAB， ∴∠CEP＝∠AFE． ∴△CEP∽△AFE． ∴． ∴． ∴xy． ∴当y时，x即AF有最大值． ∵OA＝1， ∴OF的最大值为1． ∵点F在线段AD上， ∴点F的横坐标m的取值范围为﹣1＜m． 解法二：∵DC＝DA， ∴∠DAC＝∠DCA， ∴∠FAE＝∠PEF＝∠PCE， ∴△CEP∽△AFE， ∴， ∵C（1，4），A（﹣1，0）， ∴直线AC的解析式为y＝2x+2， 设E（n，2n+2）， 则AE（n+1），CE（1﹣n），CP． ∴， ∴45n2+20m﹣25＝0， ∵Δ＞0， ∴02﹣4×45×（20m﹣25）≥0， ∴m， ∴F的横坐标m的取值范围为﹣1＜m． 26．（2020•济南）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式及C点坐标； （2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标； （3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值． 【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3， 当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）； （2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a）， 由点A、C、D的坐标得，AC，同理可得：AD，CD， ①当CD＝AD时，即，解得a＝1； ②当AC＝AD时，同理可得a（舍去负值）； 故点D的坐标为（1，1）或（1，）； （3）∵E（m，0），则设点M（m，﹣m2+2m+3）， 设直线BM的表达式为y＝sx+t，则，解得， 故直线BM的表达式为y＝（﹣m﹣1）x+3m+3， 当x＝0时，y＝3m+3，故点N（0，3m+3），则ON＝3m+3； S1AE×yM（m+1）×（﹣m2+2m+3）， 2S2＝ON•xM＝（3m+3）×m＝S1（m+1）×（﹣m2+2m+3）， 解得m＝﹣2±或﹣1（舍去负值）， 故m2． 27．（2019•济南）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′． （1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标； （2）如图2，直线l：y＝kx经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得 解得 ∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x， 配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）； （2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′． ∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1 ∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x 将A（﹣4，0）代入y＝kx中，得0＝﹣4k，解得k， ∴直线l解析式为yx， 设D（m，﹣m2﹣4m），∵D、E关于原点O对称， ∴OD＝OE ∵DE＝2EM ∴OM＝2OD， 过点D作DF⊥x轴于F，过M作MR⊥x轴于R， ∴∠OFD＝∠ORM， ∵∠DOF＝∠MOR ∴△ODF∽△OMR ∴2 ∴OR＝2OF，RM＝2DF ∴M（﹣2m，2m2+8m） ∴2m2+8m•（﹣2m）， 解得：m1＝﹣3，m2， ∵m＜﹣2 ∴m的值为：﹣3； （3）由（2）知：m＝﹣3， ∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3， 如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20 ∴AB2+BG2＝AG2 ∴△ABG是直角三角形，∠ABG＝90°， ∴tan∠GAB， ∵∠DEP＝∠GAB ∴tan∠DEP＝tan∠GAB， 在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OHOE， 过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点； ∵E（3，﹣3）， ∴∠EOT＝45° ∵∠EOH＝90° ∴∠HOT＝45° ∴H（﹣1，﹣1），设直线EH解析式为y＝px+q， 则，解得 ∴直线EH解析式为yx， 解方程组， ∴x或， ∴点P的横坐标为：或． 28．（2018•济南）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4过A（2，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为D，连接AC、BC．点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（m＞4）． （1）求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值； （2）如图2，若∠ACP＝45°，求m的值； （3）如图3，过点A、P的直线与y轴交于点N，过点P作PM⊥CD，垂足为M，直线MN与x轴交于点Q，试判断四边形ADMQ的形状，并说明理由． 【解答】解：（1）将点A（2，0）和点B（4，0）分别代入y＝ax2+bx+4，得， 解得：． ∴该抛物线的解析式为yx2﹣3x+4． 过点B作BG⊥CA，交CA的延长线于点G（如图1所示），则∠G＝90°． ∵∠COA＝∠G＝90°，∠CAO＝∠BAG， ∴△GAB∽△OAC． ∴2． ∴BG＝2AG． 在Rt△ABG中，∵BG2+AG2＝AB2， ∴（2AG）2+AG2＝22．解得：AG． ∴BG，CG＝AC+AG＝2． 在Rt△BCG中，tan∠ACB． （2）如图2①，方法一：过点P作PE⊥CD于点E， ∵∠ACP＝∠BCD＝45°， ∴∠ACB＝∠PCE， ∴tan∠PCE， 则，即， 解得m或m＝0（舍）； 方法二：如图2②，过点B作BH⊥CD于点H，交CP于点K，连接AK．易得四边形OBHC是正方形． 应用“全角夹半角”可得AK＝OA+HK． 设K（4，h），则BK＝h，HK＝HB﹣KB＝4﹣h，AK＝OA+HK＝2+（4﹣h）＝6﹣h． 在Rt△ABK中，由勾股定理，得AB2+BK2＝AK2． ∴22+h2＝（6﹣h）2．解得h． ∴点K（4，）． 设直线CK的解析式为y＝hx+4． 将点K（4，）代入上式，得4h+4．解得h． ∴直线CK的解析式为yx+4． 设点P的坐标为（x，y），则x是方程x2﹣3x+4x+4的一个解． 将方程整理，得3x2﹣16x＝0． 解得x1，x2＝0（不合题意，舍去）． 将x1代入yx+4，得y． ∴点P的坐标为（，）， 故点P的横坐标m的值为． （3）四边形ADMQ是平行四边形．理由如下： ∵CD∥x轴， ∴yC＝yD＝4． 将y＝4代入yx2﹣3x+4，得4x2﹣3x+4． 解得x1＝0，x2＝6． ∴点D（6，4）． 根据题意，得P（m，m2﹣3m+4），M（m，4），H（m，0）． ∴PHm2﹣3m+4，OH＝m，AH＝m﹣2，MH＝4． ①当4＜m＜6时，DM＝6﹣m， 如图3， ∵△OAN∽△HAP， ∴． ∴． ∴ONm﹣4． ∵△ONQ∽△HMQ， ∴． ∴． ∴． ∴OQ＝m﹣4． ∴AQ＝OA﹣OQ＝2﹣（m﹣4）＝6﹣m． ∴AQ＝DM＝6﹣m． 又∵AQ∥DM， ∴四边形ADMQ是平行四边形． ②当m＞6时，同理可得：四边形ADMQ是平行四边形． 综上，四边形ADMQ是平行四边形． 29．（2017•济南）如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交BC于点D，tan∠OAD＝2，抛物线M1：y＝ax2+bx（a≠0）过A，D两点． （1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式； （2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA＝90°时，求所有符合条件的点P的坐标； （3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2． ①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值； ②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围． 【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形． ∵四边形CDHO是矩形， ∴OC＝DH＝6， ∵tan∠DAH2， ∴AH＝3， ∵OA＝4， ∴CD＝OH＝1， ∴D（1，6）， 把D（1，6），A（4，0）代入y＝ax2+bx中，则有， 解得， ∴抛物线M1的表达式为y＝﹣2x2+8x． （2）如图1﹣1中，设P（2，m）． ∵∠CPA＝90°， ∴PC2+PA2＝AC2， ∴22+（m﹣6）2+22+m2＝42+62， 解得m＝3±， ∴P（2，3），P′（2，3）． （3）①如图2中， 易知直线AE的解析式为y＝﹣x+4， x＝1时，y＝3， ∴D′（1，3）， 平移后的抛物线的解析式为y＝﹣2x2+8x﹣m， 把点D′坐标代入可得3＝﹣2+8﹣m， ∴m＝3． ②由，消去y得到2x2﹣9x+4+m＝0， 当抛物线与直线AE有两个交点时，Δ＞0， ∴92﹣4×2×（4+m）＞0， ∴m， 当x＝m时，﹣m+4＝﹣2m2+8m﹣m，解得m＝2或2（舍弃）， 综上所述，当2m时，抛物线M2与直线AE有两个交点． 30．（2016•济南）如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M． （1）求a的值和直线AB的函数表达式； （2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值； （3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′AE′B的最小值． 【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0， ∴（x+1）（ax+3）＝0， ∴x＝﹣1或， ∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0）， ∴4， ∴a． ∵A（4，0），B（0，3）， 设直线AB解析式为y＝kx+b，则， 解得， ∴直线AB解析式为yx+3． （2）如图1中， ∵PM⊥AB，PE⊥OA， ∴∠PMN＝∠AEN， ∵∠PNM＝∠ANE， ∴△PNM∽△ANE， ∴， ∵NE∥OB， ∴， ∴AN（4﹣m）， ∵抛物线解析式为yx2x+3， ∴PNm2m+3﹣（m+3）m2+3m， ∴， 解得m＝2或4， 经检验x＝4是分式方程的增根， ∴m＝2． （3）如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE． ∵OE′＝2，OM′•OB3＝4， ∴OE′2＝OM′•OB， ∴， ∵∠BOE′＝∠M′OE′， ∴△M′OE′∽△E′OB， ∴， ∴M′E′BE′， ∴AE′BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时）， 最小值＝AM′． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$