【10年压轴题】2016-2025年内蒙古选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年内蒙古选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2025•内蒙古）已知点A（m，y1），B（m+1，y2）都在反比例函数y的图象上，则下列结论一定正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．当m＜0时，y1＜y2 D．当m＜﹣1时，y1＜y2 2．（2024•包头）如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG．若AB＝4，BC＝6，则sin∠GBF的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（，1），△OA′B与△OAB关于直线OB对称，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象与A′B交于点C．若A′C＝BC，则k的值为（　　） A．2 B． C． D． 4．（2022•包头）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC．若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（　　） A．2OCEF B．OC＝2EF C．2OCEF D．OC＝EF 5．（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数y（x＞0）的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论： ①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE＝S△BEF；④OD：DF＝2：3． 其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（2020•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，按以下步骤作图： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点（点M在AB的上方）； （2）作直线MN交AB于点O，交BC于点D； （3）用圆规在射线OM上截取OE＝OD．连接AD，AE，BE，过点O作OF⊥AC．垂足为F，交AD于点G． 下列结论： ①CD＝2GF； ②BD2﹣CD2＝AC2； ③S△BOE＝2S△AOG； ④若AC＝6，OF+OA＝9，则四边形ADBE的周长为25． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2019•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b的最大值是（　　） A． B． C．﹣1 D．0 8．（2018•包头）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC＝4，∠CBD＝30°，则DF的长为（　　） A． B． C． D． 9．（2018•枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝3，AB＝5，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 10．（2016•包头）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD＝1，BC＝2，CD＝3，则CE与DE的数量关系正确的是（　　） A．CEDE B．CEDE C．CE＝3DE D．CE＝2DE 二．填空题（共10小题） 11．（2025•内蒙古）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF＝3，则EF的长为　 　 ． 12．（2024•包头）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE＝AF，则DE的长为 　 　 ． 13．（2023•内蒙古）如图，AC，AD，CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点F．下列结论：①CF平分∠ACD；②AF＝2DF；③四边形ABCF是菱形；④AB2＝AD•EF．其中正确的结论是 　 　 ．（填写所有正确结论的序号） 14．（2022•包头）如图，反比例函数y（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，直线AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点．若AD•BC＝AB•DO，连接CD，记△ADC，△DOC的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2的值为 　 　 ． 15．（2021•包头）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 　 　 ． 16．（2020•包头）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若∠ADB＝30°，则tan∠DEC的值为　 　 ． 17．（2019•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为斜边AC的中点，连接BD，点F是BC边上的动点（不与点B、C重合），过点B作BE⊥BD交DF延长线交于点E，连接CE，下列结论： ①若BF＝CF，则CE2+AD2＝DE2； ②若∠BDE＝∠BAC，AB＝4，则CE； ③△ABD和△CBE一定相似； ④若∠A＝30°，∠BCE＝90°，则DE． 其中正确的是　 　 ．（填写所有正确结论的序号） 18．（2018•包头）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论： ①△ACE≌△BCD； ②若∠BCD＝25°，则∠AED＝65°； ③DE2＝2CF•CA； ④若AB＝3，AD＝2BD，则AF． 其中正确的结论是　 　 ．（填写所有正确结论的序号） 19．（2017•包头）如图，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点D在AB上，点E与点C在AB的两侧，连接BE，CD，点M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，AM，AN． 下列结论：①△ACD≌△ABE；②△ABC∽△AMN；③△AMN是等边三角形；④若点D是AB的中点，则S△ABC＝2S△ABE． 其中正确的结论是　 　 ．（填写所有正确结论的序号） 20．（2016•包头）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且CD＝CE，连接DE并延长至点F，使EF＝AE，连接AF，CF，连接BE并延长交CF于点G．下列结论： ①△ABE≌△ACF；②BC＝DF；③S△ABC＝S△ACF+S△DCF；④若BD＝2DC，则GF＝2EG．其中正确的结论是　 　 ．（填写所有正确结论的序号） 三．解答题（共10小题） 21．（2025•内蒙古）如图，ABCD是一个平行四边形纸片，BD是一条对角线，BD＝BC＝5，CD＝6． （1）如图1，将平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点A的对应点落在点P处，PB交CD于点M． ①试猜想PM与CM的数量关系，并说明理由； ②求△BDM的面积； （2）如图2，点E，F分别在平行四边形纸片ABCD的AB，AD边上，连接EF，且EF∥BD，将平行四边形纸片ABCD沿EF折叠，使点A的对应点G落在CD边上，求DG的长． 22．（2024•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴相交于A（1，0），B两点（点A在点B左侧），顶点为M（2，d），连接AM． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接AC，CM．当点C的坐标为（0，）时，求证：∠ACM＝∠BAM； （3）如图2，连接BM，将△ABM沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点M′处，过点B的直线与线段AM′相交于点D，与y轴负半轴相交于点E．当时，3S△ABD与2S△M′BD是否相等？请说明理由． 23．（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+3x+1交y轴于点A，直线yx+2交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），交y轴于点D，交x轴于点E． （1）求点D，E，C的坐标； （2）F是线段OE上一点（OF＜EF），连接AF，DF，CF，且AF2+EF2＝21． ①求证：△DFC是直角三角形； ②∠DFC的平分线FK交线段DC于点K，P是直线BC上方抛物线上一动点，当3tan∠PFK＝1时，求点P的坐标． 24．（2022•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点B的坐标是（2，0），顶点C的坐标是（0，4），M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2．当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称； （3）如图2，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH﹣OG＝7．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点M（m，n）是抛物线上一动点． （1）如图1，当m＞0，n＞0，且n＝3m时， ①求点M的坐标； ②若点B（，y）在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作CD∥MO，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由； （2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E（x，）在对称轴上，当m＞2，n＞0，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为（0，），连接GF．若EF+NF＝2MF，求证：射线FE平分∠AFG． 26．（2020•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线yx+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM． （1）求b的值及点M的坐标； （2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°； （3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（2019•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC． （1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； （2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标； （3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标． （4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（2018•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC． （1）求直线l的解析式； （2）若直线x＝m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长； （3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（2017•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）直线y＝﹣x+n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE＝4EC． ①求n的值； ②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，△AGF与△CGD是否全等？请说明理由； （3）直线y＝m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），点M关于y轴的对称点为点M'，点H的坐标为（1，0）．若四边形OM'NH的面积为．求点H到OM'的距离d的值． 30．（2016•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC． （1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积； （3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？ （4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【10年压轴题】2016-2025年内蒙古选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A A A D A D A B 一．选择题（共10小题） 1．（2025•内蒙古）已知点A（m，y1），B（m+1，y2）都在反比例函数y的图象上，则下列结论一定正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．当m＜0时，y1＜y2 D．当m＜﹣1时，y1＜y2 【解答】解：∵反比例函数常量k＝﹣3＜0， ∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， A、若两点在同一分支上，m＜m+1，故y1＜y2，原说法错误，不符合题意； B、若两点不在同一分支上，m＜m+1，故y1＞y2，原说法错误，不符合题意； C、当m＜0时，无法确定B（m+1，y2）所在象限，原说法错误，不符合题意； D、当m＜﹣1时，两点都在第二象限，y1＜y2，原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024•包头）如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG．若AB＝4，BC＝6，则sin∠GBF的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过G作GH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4，AD∥BC， ∵BC＝6，BE＝EF＝FC， ∴BE＝EF＝CF＝2， ∴BF＝CE＝4， ∴AB＝BF＝CE＝DC＝4， ∴△ABF和△DCE是等腰直角三角形， ∴∠AFE＝∠DEC＝45°， ∴△EGF是等腰直角三角形， ∴GH＝EH， ∴BH＝3， ∴BG， ∴sin∠GBF， 故选：A． 3．（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（，1），△OA′B与△OAB关于直线OB对称，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象与A′B交于点C．若A′C＝BC，则k的值为（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D， ∵O（0，0），A（2，0），B（，1）， ∴BD＝1，OD， ∴AD＝OD，tan∠BOA， ∴OB＝AB2，∠BOA＝∠BAO＝30°， ∴∠OBD＝∠ABD＝60°，∠OBA＝120°， ∵△AOB与△A′OB关于直线OB对称， ∴∠OBA′＝120°， ∴∠OBA′+∠OBD＝180°， ∴点A′、B、D共线， ∴A′B＝AB＝2， ∵A′C＝BC， ∴BC＝1，CD＝2， ∴点C（，2）， ∵点C（，2）在反比例函数y的图象上， ∴k2＝2， 故选：A． 4．（2022•包头）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC．若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（　　） A．2OCEF B．OC＝2EF C．2OCEF D．OC＝EF 【解答】解：过点O作OH⊥BC于点H， ∵在矩形ABCD中，EF∥AB，AE＝AB， ∴四边形ABFE是正方形， ∴OHEFBF＝BH＝HF， ∵BF＝2CF， ∴CH＝EF＝2OH， ∴OCOH， 即2OCEF， 故选：A． 5．（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数y（x＞0）的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论： ①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE＝S△BEF；④OD：DF＝2：3． 其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：①矩形OABC中， ∵B（4，2）， ∴OA＝4，OC＝2， 由勾股定理得：OB2， 当y＝2时，2， ∴x＝1， ∴D（1，2）， ∴CD＝1， 由勾股定理得：OD， ∴sin∠DOC， cos∠BOC， ∴sin∠DOC＝cos∠BOC， 故①正确； ②设OB的解析式为：y＝kx（k≠0）， 把（4，2）代入得：4k＝2， ∴k， ∴yx， 当x时，x＝±2， ∴E（2，1）， ∴E是OB的中点， ∴OE＝BE， 故②正确； ③当x＝4时，y， ∴F（4，）， ∴BF＝2， ∴S△BEF（4﹣2）， S△DOE ＝4﹣1 ， ∴S△DOE＝S△BEF， 故③正确； ④由勾股定理得：DF， ∵OD， ∴， 即OD：DF＝2：3． 故④正确； 其中正确的结论有①②③④，共4个． 故选：A． 6．（2020•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，按以下步骤作图： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点（点M在AB的上方）； （2）作直线MN交AB于点O，交BC于点D； （3）用圆规在射线OM上截取OE＝OD．连接AD，AE，BE，过点O作OF⊥AC．垂足为F，交AD于点G． 下列结论： ①CD＝2GF； ②BD2﹣CD2＝AC2； ③S△BOE＝2S△AOG； ④若AC＝6，OF+OA＝9，则四边形ADBE的周长为25． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：根据作图过程可知： AO＝BO，OE＝OD， ∴四边形ADBE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴四边形ADBE是菱形， ∵OF⊥AC，BC⊥AC， ∴OF∥BC， 又AO＝BO， ∴AF＝CF，AG＝GD， ∴CD＝2FG． ∴①正确； ∵四边形ADBE是菱形， ∴AD＝BD， 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得 AD2﹣CD2＝AC2， ∴BD2﹣CD2＝AC2． ∴②正确； ∵点G是AD的中点， ∴S△AOD＝2S△AOG， ∵S△AOD＝S△BOE， S△BOE＝2S△AOG； ∴③正确； ∵AFAC6＝3， 又OF+OA＝9， ∴OA＝9﹣OF， 在Rt△AFO中，根据勾股定理，得 （9﹣OF）2＝OF2+32， 解得OF＝4， ∴OA＝5， ∴AB＝10， ∴BC＝8， ∴BD+DC＝AD+DC＝8， ∴CD＝8﹣AD， 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得 AD2＝62+（8﹣AD）2， 解得AD， ∴菱形ADBE的周长为4AD＝25． ∴④正确． 综上所述：①②③④． 故选：D． 7．（2019•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b的最大值是（　　） A． B． C．﹣1 D．0 【解答】解：连接AC，则四边形ABOC是矩形，∴∠A＝∠ABO＝90°， 又∵MN⊥MC， ∴∠CMN＝90°， ∴∠AMC＝∠MNB， ∴△AMC∽△NBM， ∴， 设BN＝y，AM＝x．则MB＝3﹣x，ON＝2﹣y， ∴， 即：yx2x ∴当x时，y最大（）2， ∵直线y＝kx+b与y轴交于N（0，b） 当BN最大，此时ON最小，点N （0，b）越往上，b的值最大， ∴ON＝OB﹣BN＝2， 此时，N（0，） b的最大值为． 故选：A． 8．（2018•包头）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC＝4，∠CBD＝30°，则DF的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图， 在Rt△BDC中，BC＝4，∠DBC＝30°， ∴BD＝2， 连接DE， ∵∠BDC＝90°，点E是BC中点， ∴DE＝BE＝CEBC＝2， ∵∠DBC＝30°， ∴∠BDE＝∠DBC＝30°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠BDE， ∴DE∥AB， ∴△DEF∽△BAF， ∴， 在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，BD＝2， ∴AB＝3， ∴， ∴， ∴DFBD2， 故选：D． 9．（2018•枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝3，AB＝5，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】方法一： 解：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°， ∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠FAD， ∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF， ∴CE＝CF， ∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°， ∴FC＝FG， ∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°， ∴△BFG∽△BAC， ∴， ∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°， ∴BC＝4， ∴， ∵FC＝FG， ∴， 解得：FC， 即CE的长为． 故选：A． 方法二： 过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°， ∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠FAD， ∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF， ∴CE＝CF， ∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°， ∴FC＝FG， ∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°， ∴BC＝4， 在Rt△AFC和Rt△AFG中， ， ∴Rt△AFC≌Rt△AFG（HL）， ∴AC＝AG＝3， ∴设FG＝x，则BF＝4﹣x，BG＝AB﹣AG＝5﹣3＝2， ∴FG2+BG2＝BF2， 则x2+22＝（4﹣x）2， 解得：x， 即CE的长为． 故选：A． 10．（2016•包头）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD＝1，BC＝2，CD＝3，则CE与DE的数量关系正确的是（　　） A．CEDE B．CEDE C．CE＝3DE D．CE＝2DE 【解答】解：过点D作DH⊥BC， ∵AD＝1，BC＝2， ∴CH＝1， DH＝AB2， ∵AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴∠A＝90°， ∵DE⊥CE， ∴∠AED+∠BEC＝90°， ∵∠AED+∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠BEC， ∴△ADE∽△BEC， ∴， 设BE＝x，则AE＝2， 即， 解得x， ∴， ∴CE， 故选：B． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•内蒙古）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF＝3，则EF的长为　　 ． 【解答】解：如图，连接AC交BD于O，过点E作EG⊥BD于G， ∵四边形ABCD是菱形，对角线BD的长为16， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝8，AB＝AD＝4， ∴AO4， ∵E是AD的中点， ∴AD＝2DE， ∵EG⊥BD， ∴EG∥AC， ∴△EGD∽△AOD， ∴， ∴EGAO＝2，DGDO＝4， ∵BF＝3， ∴FG＝BD﹣GD﹣BF＝9， ∴EF， 故答案为：． 12．（2024•包头）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE＝AF，则DE的长为 　2　 ． 【解答】解：如图，连接BD交AC于点O． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠ADC＝∠ABC＝60°，AB＝BC＝CD＝AD＝6， ∴△ABC，△ADC都是等边三角形， ∴∠CAB＝60°， ∵EF⊥AF， ∴∠AFE＝90°，∠AEF＝30°， ∴AE＝2AF， ∵CE＝AF， ∴AC＝3EC， ∴AE＝4，EC＝2， ∴OA＝OC＝3，ODAO＝3， ∴OE＝AE﹣OA＝4﹣3＝1， ∴DE2． 故答案为：2． 13．（2023•内蒙古）如图，AC，AD，CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点F．下列结论：①CF平分∠ACD；②AF＝2DF；③四边形ABCF是菱形；④AB2＝AD•EF．其中正确的结论是 　①③④　 ．（填写所有正确结论的序号） 【解答】解：①∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA， ∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝EAB， 在△ABC中，∠ABC＝108°，AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， 同理可得，∠DCE＝∠DEC＝∠EAD＝∠EDA＝36°， ∴∠ACE＝∠BCD﹣∠BCA﹣∠DCE＝108°﹣36°﹣36°＝36°， ∴∠ACE＝∠DCE， 即CF平分∠ACD， 故①正确； ②∵∠ACE＝∠DEC＝36°，∠AFC＝∠DFE， ∴， ∵， ∴， 即AF≠2DF， 故②错误； ③∵∠BAC＝∠ACE＝36°， ∴AB∥FC， ∵∠EAB＝108°，∠EAD＝36°， ∴∠DAB＝∠EAB﹣∠EAD＝108°﹣36°＝72°， ∵∠ABC＝108°， ∴∠ABC+∠DAB＝108°+72°＝180°， ∴AF∥BC， ∴四边形ABCF是平行四边形， 又∵AB＝BC， ∴四边形ABCF是菱形， 故③正确； ④∵∠DEF＝∠DAE＝36°，∠EDF＝∠ADE， ∴△DEF∽△DAE， ∴， ∵DE＝AE＝AB， ∴， 即AB2＝AD•EF， 故④正确； 综上，正确的结论是：①③④； 故答案为：①③④． 14．（2022•包头）如图，反比例函数y（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，直线AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点．若AD•BC＝AB•DO，连接CD，记△ADC，△DOC的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2的值为 　4　 ． 【解答】解：∵反比例函数y（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点， ∴1×6＝3b， ∴b＝2， ∴B（3，2）， 设直线AB的解析式为y＝mx+n， ， 解得：， ∴y＝﹣2x+8， 令y＝0， ﹣2x+8＝0， 解得：x＝4， ∴C（4，0）， ∵AB2， BC， AD•BC＝AB•DO， ∴AD•2•DO， ∴AD＝2DO， ∴S1＝2S2， ∴S1﹣S2＝S2， ∵S1+S2＝S△AOC， ∴S1﹣S2＝S2S△AOC4×6＝4． 故答案为：4． 15．（2021•包头）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 　4　 ． 【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0）， 抛物线的对称轴为直线x＝1， 当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3）， 当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣3＝5，则D（4，5）， 连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图， ∵BE+DE＝EA+DE＝AD， ∴此时BE+DE的值最小， 设直线AD的解析式为y＝kx+b， 把A（﹣1，0），D（4，5）代入得，解得， ∴直线AD的解析式为y＝x+1， 当x＝1时，y＝x+1＝2，则E（1，2）， 当x＝0时，y＝x+1＝1，则F（0，1）， ∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF4×14×1＝4． 故答案为4． 16．（2020•包头）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若∠ADB＝30°，则tan∠DEC的值为　　 ． 【解答】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，设CD＝2a， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF，BE＝FD， ∵AE⊥BD， ∴∠ADB＝∠BAE＝30°， ∴AE＝CFa，BE＝FD＝a， ∵∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AE⊥BD， ∴∠BAE＝∠ADB＝30°， ∴BD＝2AB＝4a， ∴EF＝4a﹣2a＝2a， ∴tan∠DEC， 故答案为：． 17．（2019•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为斜边AC的中点，连接BD，点F是BC边上的动点（不与点B、C重合），过点B作BE⊥BD交DF延长线交于点E，连接CE，下列结论： ①若BF＝CF，则CE2+AD2＝DE2； ②若∠BDE＝∠BAC，AB＝4，则CE； ③△ABD和△CBE一定相似； ④若∠A＝30°，∠BCE＝90°，则DE． 其中正确的是　①②④　 ．（填写所有正确结论的序号） 【解答】解：①∵∠ABC＝90°，D为斜边AC的中点， ∴AD＝BD＝CD， ∵BF＝CF， ∴DE⊥BC， ∴BE＝CE， ∵BE⊥BD， ∴BD2+BE2＝DE2， ∴CE2+AD2＝DE2， 故①正确； ②∵AB＝4，BC＝3， ∴AC， ∴， ∵∠A＝∠BDE，∠ABC＝∠DBE＝90°， ∴△ABC∽△DBE， ∴， 即． ∴BE， ∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD， ∵∠A＝∠BDE，∠BDC＝∠A+∠ABD， ∴∠A＝∠CDE， ∴DE∥AB， ∴DE⊥BC， ∵BD＝CD， ∴DE垂直平分BC， ∴BE＝CE， ∴CE， 故②正确； ③∵∠ABC＝∠DBE＝90°， ∴∠ABD＝∠CBE， ∵， 但随着F点运动，BE的长度会改变，而BC＝3， ∴或不一定等于， ∴△ABD和△CBE不一定相似， 故③错误； ④∵∠A＝30°，BC＝3， ∴∠A＝∠ABD＝∠CBE＝30°，AC＝2BC＝6， ∴BD， ∵BC＝3，∠BCE＝90°， ∴BE， ∵∴， 故④正确； 故答案为：①②④． 18．（2018•包头）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论： ①△ACE≌△BCD； ②若∠BCD＝25°，则∠AED＝65°； ③DE2＝2CF•CA； ④若AB＝3，AD＝2BD，则AF． 其中正确的结论是　①②③　 ．（填写所有正确结论的序号） 【解答】解：∵∠ACB＝90°， 由旋转知，CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中，， ∴△BCD≌△ACE，故①正确； ∵∠ACB＝90°，BC＝AC， ∴∠B＝45° ∵∠BCD＝25°， ∴∠BDC＝180°﹣45°﹣25°＝110°， ∵△BCD≌△ACE， ∴∠AEC＝∠BDC＝110°， ∵∠DCE＝90°，CD＝CE， ∴∠CED＝45°， 则∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝65°，故②正确； ∵△BCD≌△ACE， ∴∠CAE＝∠CBD＝45°＝∠CEF， ∵∠ECF＝∠ACE， ∴△CEF∽△CAE， ∴， ∴CE2＝CF•AC， 在等腰直角三角形CDE中，DE2＝2CE2＝2CF•AC，故③正确； 如图，过点D作DG⊥BC于G， ∵AB＝3， ∴AC＝BC＝3， ∵AD＝2BD， ∴BDAB， ∴DG＝BG＝1， ∴CG＝BC﹣BG＝3﹣1＝2， 在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD， ∵△BCD≌△ACE， ∴CE， ∵CE2＝CF•AC， ∴CF， ∴AF＝AC﹣CF＝3，故④错误， 故答案为：①②③． 19．（2017•包头）如图，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点D在AB上，点E与点C在AB的两侧，连接BE，CD，点M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，AM，AN． 下列结论：①△ACD≌△ABE；②△ABC∽△AMN；③△AMN是等边三角形；④若点D是AB的中点，则S△ABC＝2S△ABE． 其中正确的结论是　①②④　 ．（填写所有正确结论的序号） 【解答】解：①在△ACD和△ABE中， ∵， ∴△ACD≌△ABE（SAS）， 所以①正确； ②∵△ACD≌△ABE， ∴CD＝BE，∠NCA＝∠MBA， 又∵M，N分别为BE，CD的中点， ∴CN＝BM， 在△ACN和△ABM中， ∵， ∴△ACN≌△ABM， ∴AN＝AM，∠CAN∠BAM， ∴∠BAC＝∠MAN， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴∠ABC＝∠AMN， ∴△ABC∽△AMN， 所以②正确； ③∵AN＝AM， ∴△AMN为等腰三角形， 所以③不正确； ④∵△ACN≌△ABM， ∴S△ACN＝S△ABM， ∵点M、N分别是BE、CD的中点， ∴S△ACD＝2S△ACN，S△ABE＝2S△ABM， ∴S△ACD＝S△ABE， ∵D是AB的中点， ∴S△ABC＝2S△ACD＝2S△ABE， 所以④正确； 本题正确的结论有：①②④； 故答案为：①②④． 20．（2016•包头）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且CD＝CE，连接DE并延长至点F，使EF＝AE，连接AF，CF，连接BE并延长交CF于点G．下列结论： ①△ABE≌△ACF；②BC＝DF；③S△ABC＝S△ACF+S△DCF；④若BD＝2DC，则GF＝2EG．其中正确的结论是　①②③④　 ．（填写所有正确结论的序号） 【解答】解：①正确．∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵DE＝DC， ∴△DEC是等边三角形， ∴ED＝EC＝DC，∠DEC＝∠AEF＝60°， ∵EF＝AE， ∴△AEF是等边三角形， ∴AF＝AE，∠EAF＝60°， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF，故①正确． ②正确．∵∠ABC＝∠FDC， ∴AB∥DF， ∵∠EAF＝∠ACB＝60°， ∴AB∥AF， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF＝AB＝BC，故②正确． ③正确．∵△ABE≌△ACF， ∴BE＝CF，S△ABE＝S△AFC， 在△BCE和△FDC中， ， ∴△BCE≌△FDC， ∴S△BCE＝S△FDC， ∴S△ABC＝S△ABE+S△BCE＝S△ACF+S△DCF，故③正确． ④正确．∵△BCE≌△FDC， ∴∠DBE＝∠EFG，∵∠BED＝∠FEG， ∴△BDE∽△FGE， ∴， ∴， ∵BD＝2DC，DC＝DE， ∴2， ∴FG＝2EG．故④正确． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•内蒙古）如图，ABCD是一个平行四边形纸片，BD是一条对角线，BD＝BC＝5，CD＝6． （1）如图1，将平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点A的对应点落在点P处，PB交CD于点M． ①试猜想PM与CM的数量关系，并说明理由； ②求△BDM的面积； （2）如图2，点E，F分别在平行四边形纸片ABCD的AB，AD边上，连接EF，且EF∥BD，将平行四边形纸片ABCD沿EF折叠，使点A的对应点G落在CD边上，求DG的长． 【解答】解：（1）①PM＝CM；理由如下： 由翻折得AD＝DP，∠DAB＝∠DPB，四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠DAB＝∠BCD， ∴DP＝BC，∠DPB＝∠BCD， 又∵∠DMP＝∠BMC， ∴△DPM≌△BCM（AAS）， ∴PM＝CM； ②∵△DPM≌△BCM， ∴DM＝BM， 如图，过点M作MN⊥BD于点N，过点B作BH⊥CD于点H， ∴， ∵BD＝BC＝5，CD＝6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点C作CP⊥BD于点P，连接AG交BD于点T，过点B作BH⊥CD于点H， 由翻折的性质得AG⊥BD， 同（2）可得， ∴， ∴，即6×4＝5•CP， 得， ∴， 平行四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥CB， ∴∠ADT＝∠CBP， 又∵∠ATD＝∠CPB＝90°， ∴△ADT≌△CBP（AAS）， ∴， ∴DP＝BD﹣BP＝5﹣3＝18， ∵AG⊥BD，CP⊥BD， ∴GT∥CP， ∴△DGT∽△DCP， ∴， 即， 解得：． 22．（2024•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴相交于A（1，0），B两点（点A在点B左侧），顶点为M（2，d），连接AM． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接AC，CM．当点C的坐标为（0，）时，求证：∠ACM＝∠BAM； （3）如图2，连接BM，将△ABM沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点M′处，过点B的直线与线段AM′相交于点D，与y轴负半轴相交于点E．当时，3S△ABD与2S△M′BD是否相等？请说明理由． 【解答】（1）解：∵顶点为M（2，d）， ∴2， ∴b＝8， ∴y＝﹣2x2+8x+c， 将点A（1，0）代入y＝﹣2x2+8x+c， ∴﹣2+8+c＝0， 解得c＝﹣6， ∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+8x﹣6； （2）证明：∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2， ∴M（2，2）， 过点M作MN⊥x轴交于点N， ∵A（1，0），C（0，）， ∴AC，AM，CM， ∵CM2＝AC2+AM2， ∴△ACM是直角三角形，且∠CAM＝90°， ∴tan∠ACM＝2， 在Rt△AMN中，tan∠MAB＝2， ∴∠ACM＝∠BAM； （3）解：3S△ABD＝2S△M′BD，理由如下： ∵M（2，2）， ∴M'（2，﹣2）， 过点D作DH⊥x轴交于H点， ∵OE∥DH， ∴， 当y＝0时，﹣2x2+8x﹣6＝0， 解得x＝1或x＝3， ∴B（3，0）， ∴， 解得xD， 设直线AM'的解析式为y＝kx+m， ∴， 解得， ∴直线AM'的解析式为y＝﹣2x+2， ∴D（，）， ∴AD，DM'， 设B点到AM'的距离为h， ∴3S△ABD3hh，2S△M′BD2hh， ∴3S△ABD＝2S△M′BD． 23．（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+3x+1交y轴于点A，直线yx+2交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），交y轴于点D，交x轴于点E． （1）求点D，E，C的坐标； （2）F是线段OE上一点（OF＜EF），连接AF，DF，CF，且AF2+EF2＝21． ①求证：△DFC是直角三角形； ②∠DFC的平分线FK交线段DC于点K，P是直线BC上方抛物线上一动点，当3tan∠PFK＝1时，求点P的坐标． 【解答】（1）解：∵直线yx+2交y轴于点D，交x轴于点E， 当x＝0时，y＝2， ∴D（0，2）， 当y＝0时，x＝6， ∴E（6，0）， ∵直线yx+2交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧）， ∴﹣x2+3x+1x+2， ∴3x2﹣10x+3＝0， 解得， ∵点B在点C的左侧， ∴点C的横坐标为3，当x＝3时，y＝1， ∴C（3，1）， 答：C（3，1），D（0，2），E（6，0）． （2）如图， ①证明：∵抛物线y＝﹣x2+3x+1交y轴于点A， 当x＝0时，y＝1， ∴A（0，1）， ∴OA＝1， 在Rt△AOF中，∠AOF＝90°， ∴AF2＝OA2+OF2， 设F（m，0）， ∴OF＝m， ∴AF2＝1+m2， ∵E（6，0）， ∴OE＝6， ∴EF＝OE﹣OF＝6﹣m， ∵AF2+EF2＝21， ∴1+m2+（6﹣m）2＝21， ∴m1＝2，m2＝4， ∵OF＜EF， ∴m＝2， ∴OF＝2， ∴F（2，0）， ∵D（0，2）， ∴OD＝2， ∴OD＝OF， ∴△DOF是等腰直角三角形， ∴∠OFD＝45°， 过点C作CG⊥x轴于G， ∵C（3，1）， ∴CG＝1，OG＝3， ∵GF＝OG﹣OF＝1， ∴CG＝GF， ∴△CGF是等腰直角三角形， ∴∠GFC＝45°， ∴∠DFC＝90°， ∴△DFC是直角三角形． ②解：∵FK平分∠DFC，∠DFC＝90°， ∴∠DEK＝∠CFK＝45°， ∴∠OFK＝∠OFD+∠DFK＝90°， ∴FK∥y轴， ∵3tan∠PFK＝1， ∴， 设点P的坐标为（t，﹣t2+3t+1），根据题意得． （i）当点P在直线KF的左侧抛物线上时，． 过点P1作P1H⊥x轴于H， ∴P1H∥KF， ∴∠HP1F＝∠P1FK， ∴， ∵HF＝OF﹣OH， ∴HF＝2﹣t， 在Rt△P1HF中，∵， ∴P1H＝3HF， ∵， ∴﹣t2+3t+1＝3（2﹣t）， ∴t2﹣6t+5＝0， ∴t1＝1，t2＝5（舍去）， 当t＝1时，﹣t2+3t+1＝3， ∴P1（1，3）． （ii）当点P在直线KF的右侧抛物线上时，， 过点P2作P2M⊥x轴于M， ∴P2M∥KF， ∴∠MP2F＝∠P2FK， ∴， ∴P2M＝3MF， ∵， ∴﹣t2+3t+1＝3（t﹣2）， ∴（舍去）， 当t时，， ∴． ∴点P的坐标为（1，3）或（）． 24．（2022•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点B的坐标是（2，0），顶点C的坐标是（0，4），M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2．当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称； （3）如图2，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH﹣OG＝7．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+c（a≠0）与x轴交于（2，0），顶点C的坐标是（0，4）， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+4； （2）证明：过点M作MD⊥y轴，垂足为D， 当△AOG与△MOG都以OG为底时， ∵S1＝2S2， ∴OA＝2MD， 当y＝0时，则﹣x2+4＝0， 解得x＝±2， ∵B（2，0）， ∴A（﹣2，0）， ∴OA＝2，MD＝1， 设M点的坐标为（m，﹣m2+4）， ∵点M在第一象限， ∴m＝1， ∴﹣m2+4＝3， 即M（1，3）， 设直线AM的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线AM的解析式为y＝x+2， ∵CN∥AM， ∴设直线CN的解析式为y＝x+t， ∵C（0，4）， ∴t＝4， 即直线CN的解析式为y＝x+4，将其代入y＝﹣x2+4中， 得x+4＝﹣x2+4， 解得x＝0或﹣1， ∵N点在第二象限， ∴N（﹣1，3）， ∵M（1，3）， ∴点N与点M关于y轴对称； （3）过点M作ME⊥x轴，垂足为E，令M（m，﹣m2+4）， ∴OE＝m，ME＝﹣m2+4， ∵B（2，0）， ∴OB＝2，BE＝2﹣m， 在Rt△BEM和Rt△BOH中， ∵tan∠MBE＝tan∠HBO， ∴， ∴OH2（2+m）＝2m+4， ∵OA＝2， ∴AE＝m+2， 在Rt△AOG和Rt△AEM中， ∵tan∠GAO＝tan∠MAE， ∴， ∴OG2（2﹣m）＝4﹣2m， ∵2OH﹣OG＝7， ∴2（2m+4）﹣（4﹣2m）＝7， 解得m， 当m时，﹣m2+4， ∴M（，）， ∴存在点M（，），使得2OH﹣OG＝7． 25．（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点M（m，n）是抛物线上一动点． （1）如图1，当m＞0，n＞0，且n＝3m时， ①求点M的坐标； ②若点B（，y）在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作CD∥MO，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由； （2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E（x，）在对称轴上，当m＞2，n＞0，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为（0，），连接GF．若EF+NF＝2MF，求证：射线FE平分∠AFG． 【解答】解（1）①∵点M（m，n）在抛物线y＝﹣x2+4x上， ∴n＝﹣m2+4m（Ⅰ）， ∵n＝3m（Ⅱ）， 联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，（舍去）或， ∴M（1，3）； ②OD＝MC，理由： 如图1，∵点B（，y）在该抛物线y＝﹣x2+4x上， ∴y＝﹣（）2+4， ∴B（，）， 由①知，M（1，3）， ∴直线BM的解析式为yx， 令y＝0，则x0， ∴x＝5， 延长MB交x轴于P， ∴P（5，0）， ∴OP＝5， ∵M（1，3）， ∴PM5＝OP， ∴∠POM＝∠PMO， ∵CD∥MO， ∴∠PDC＝∠POM，∠PCD＝∠PMO， ∴∠PDC＝∠PCD， ∴PD＝PC， ∴PO﹣PD＝PM﹣PC， ∴OD＝MC； （2）∵抛物线y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∴E（2，）， 令y＝0，则﹣x2+4x＝0， ∴x＝0或x＝4， ∴A（4，0）， ∵AN⊥x轴， ∴点N的横坐标为4， 由图知，NF＝EF+EM+MN，MF＝EF+EM， ∵EF+NF＝2MF， ∴EF+EF+EM+MN＝2（EF+EM）， ∴MN＝EM， 过点M作HM⊥x轴于H， ∴MH是梯形EKAN的中位线， ∴M的横坐标为3， ∵点M在抛物线上， ∴点M的纵坐标为﹣32+4×3＝3， ∴M（3，3）， ∵点E（2，）， ∴直线EF的解析式为yx+1， 令y＝0，则x+1＝0， ∴x， ∴F（，0）， ∴OF， 令x＝0，则y＝1， 记直线EF与y轴的交点为L， ∴L（0，1）， ∴OL＝1， ∵G（0，）， ∴OG， ∴LG＝OG﹣OL， 根据勾股定理得，FG， 过点L作LQ⊥FG于Q， ∴S△FLGFG•LQLG•OF， ∴LQ1＝OL， ∵OL⊥FA，LQ⊥FG， ∴FE平分∠AFG， 即射线FE平分∠AFG． 26．（2020•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线yx+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM． （1）求b的值及点M的坐标； （2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°； （3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）解：对于抛物线yx2﹣2x，令y＝0，得到x2﹣2x＝0， 解得x＝0或6， ∴A（6，0）， ∵直线yx+b经过点A， ∴0＝﹣3+b， ∴b＝3， ∵yx2﹣2x（x﹣3）2﹣3， ∴M（3，﹣3）． （2）证明：如图1中，设平移后的直线的解析式yx+n． ∵平移后的直线经过M（3，﹣3）， ∴﹣3n， ∴n， ∴平移后的直线的解析式为yx， 过点D（2，0）作DH⊥MC于H， 则直线DH的解析式为y＝2x﹣4， 由，解得， ∴H（1，﹣2）， ∵D（2，0），M（3，﹣3）， ∴DH，HM， ∴DH＝HM． ∴∠DMC＝45°， ∵∠ADM＝∠DMC+∠ACM， ∴∠ADM﹣∠ACM＝45°． （3）解：如图2中，过点G作GH⊥OA于H，过点E作EK⊥OA于K． ∵∠BEF＝2∠BAO，∠BEF＝∠BAO+∠EFA， ∴∠EFA＝∠BAO， ∵∠EFA＝∠GFH，tan∠BAO， ∴tan∠GFH＝tan∠EFK， ∵GH∥EK， ∴，设GH＝4k，EK＝3k， 则OH＝HG＝4k，FH＝8k，FK＝AK＝6k， ∴OF＝AF＝12k＝3， ∴k， ∴OF＝3，FK＝AK，EK， ∴OK， ∴E（，）． 27．（2019•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC． （1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； （2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标； （3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标． （4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2 可得a，b， ∴yx2x+2； ∴对称轴x＝1； （2）如图1：过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H， 设点D（1，y）， ∵C（0，2），B（3，0）， ∴在Rt△CGD中，CD2＝CG2+GD2＝（2﹣y）2+1， ∴在Rt△BHD中，BD2＝BH2+HD2＝4+y2， 在△BCD中，∵∠DCB＝∠CBD， ∴CD＝BD， ∴CD2＝BD2， ∴（2﹣y）2+1＝4+y2， ∴y， ∴D（1，）； （3）如图2：过点E作EQ⊥y轴于点Q，过点F作直线FR⊥y轴于R， ∵S△CEF＝S梯形QRFE﹣S△CRF﹣S△CQE ∵E（x，y），C（0，2），F（1，1）， ∴S△CEF（EQ+RF）•QRCR•RFFR•ER， ∴S△CEF（x+1）（y﹣1）x（y﹣2）1×1xy﹣1 ∵yx2x+2， ∴S△CEFx2x， ∴当x时，面积有最大值， 此时E（，）； （4）存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 设N（1，n），M（x，y）， ①四边形CMNB是平行四边形时，CM∥NB，CB∥MN， ， ∴x＝﹣2， ∴M（﹣2，）； ②四边形CNBM是平行四边形时，CN∥BM，CM∥BN， ， ∴x＝2， ∴M（2，2）； ③四边形CNMB是平行四边形时，CB∥MN，NC∥BM， ， ∴x＝4， ∴M（4，）； 综上所述：M（2，2）或M（4，）或M（﹣2，）； 28．（2018•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC． （1）求直线l的解析式； （2）若直线x＝m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长； （3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线yx2x﹣2， ∴当y＝0时，得x1＝1，x2＝﹣4，当x＝0时，y＝﹣2， ∵抛物线yx2x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， ∴点A的坐标为（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2）， ∵直线l经过A，C两点，设直线l的函数解析式为y＝kx+b， ，得， 即直线l的函数解析式为y； （2）直线ED与x轴交于点F，如图1所示， 由（1）可得， AO＝4，OC＝2，∠AOC＝90°， ∴AC＝2， ∴OD， ∵OD⊥AC，OA⊥OC，∠OAD＝∠CAO， ∴△AOD∽△ACO， ∴， 即，得AD， ∵EF⊥x轴，∠AOC＝90°， ∴EF∥OC， ∴△ADF∽△ACO， ∴， 解得，AF，DF， ∴OF＝4， ∴m， 当m时，y（）2（）﹣2， ∴EF， ∴DE＝EF﹣FD； （3）存在点P，使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG， 理由：作GM⊥AC于点M，作PN⊥x轴于点N，如图2所示， ∵点A（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2）， ∴OA＝4，OB＝1，OC＝2， ∴tan∠OAC，tan∠OCB，AC＝2， ∴∠OAC＝∠OCB， ∵∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG，∠GAM＝∠OAC﹣∠BAG， ∴∠BAP＝∠GAM， ∵点G（0，﹣1），AC＝2，OA＝4， ∴OG＝1，GC＝1， ∴AG，，即， 解得，GM， ∴AM， ∴tan∠GAM， ∴tan∠PAN， 设点P的坐标为（n，n2n﹣2）， ∴AN＝4+n，PNn2n﹣2， ∴， 解得，n1，n2＝﹣4（舍去）， 当n时，n2n﹣2， ∴点P的坐标为（，）， 即存在点P（，），使∠BAP＝∠BCO﹣∠BAG． 29．（2017•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）直线y＝﹣x+n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE＝4EC． ①求n的值； ②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，△AGF与△CGD是否全等？请说明理由； （3）直线y＝m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），点M关于y轴的对称点为点M'，点H的坐标为（1，0）．若四边形OM'NH的面积为．求点H到OM'的距离d的值． 【解答】解：（1）∵抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式yx2x﹣3； （2）①如图，过点E作EE'⊥x轴于E'，则EE'∥OC， ∴， ∵BE＝4EC， ∴BE'＝4OE'， 设点E的坐标为（x，y），则OE'＝x，BE'＝4x， ∵B（2，0）， ∴OB＝2，即x+4x＝2， ∴x， ∵抛物线yx2x﹣3与y轴交于点C， ∴C（0，﹣3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b'， ∵B（2，0），C（0，﹣3）， ∴，解得， ∴直线BC的解析式为yx﹣3， 当x时，y， ∴E（，）， 把E的坐标代入直线y＝﹣x+n，可得n， 解得n＝﹣2； ②△AGF与△CGD全等．理由如下： ∵直线EF的解析式为y＝﹣x﹣2， ∴当y＝0时，x＝﹣2， ∴F（﹣2，0），OF＝2， ∵A（﹣1，0）， ∴OA＝1， ∴AF＝2﹣1＝1， 由解得，， ∵点D在第四象限， ∴点D的坐标为（1，﹣3）， ∵点C的坐标为（0，﹣3）， ∴CD∥x轴，CD＝1， ∴∠AFG＝∠CDG，∠FAG＝∠DCG， ∴△AGF≌△CGD； （3）∵抛物线的对称轴为x，直线y＝m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N， ∴点M、N关于直线x对称， 设N（t，m），则M（1﹣t，m）， ∵点 M关于y轴的对称点为点M'， ∴M'（t﹣1，m）， ∴点M'在直线y＝m上， ∴M'N∥x轴， ∴M'N＝t﹣（t﹣1）＝1， ∵H（1，0）， ∴OH＝1＝M'N， ∴四边形OM'NH是平行四边形， 设直线y＝m与y轴交于点P， ∵四边形OM'NH的面积为， ∴OH×OP＝1×m，即m， ∴OP， 当x2x﹣3时，解得x1，x2， ∴点M的坐标为（，）， ∴M'（，），即PM'， ∴Rt△OPM'中，OM'， ∵四边形OM'NH的面积为， ∴OM'×d， ∴d． 30．（2016•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC． （1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积； （3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？ （4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点， ∴ ∴， ∴抛物线解析式为yx2x﹣2（x﹣2）2； （2）如图1， 过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G， 由（1）有，C（0，﹣2）， ∵B（0，3）， ∴直线BC解析式为yx﹣2， ∵H（1，y）在直线BC上， ∴y， ∴H（1，）， ∵B（3，0），E（0，﹣1）， ∴直线BE解析式为yx﹣1， ∴G（1，）， ∴GH， ∵直线BE：yx﹣1与抛物线yx2x﹣2相交于F，B， ∴F（，）， ∴S△FHBGH×|xG﹣xF|GH×|xB﹣xG| GH×|xB﹣xF| （3） ． （3）如图2， 由（1）有yx2x﹣2， ∵D为抛物线的顶点， ∴D（2，）， ∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平行于y轴方向向上运动， ∴设M（2，m），（m）， ∴OM2＝m2+4，BM2＝m2+1，OB2＝9， ∵∠OMB＝90°， ∴OM2+BM2＝OB2， ∴m2+4+m2+1＝9， ∴m或m（舍）， ∴M（2，）， ∴MD， ∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平行于y轴方向向上运动， ∴t； （4）存在点P，使∠PBF被BA平分， 如图3， ∴∠PBO＝∠EBO， ∵E（0，﹣1）， ∴在y轴上取一点N（0，1）， ∵B（3，0）， ∴直线BN的解析式为yx+1①， ∵点P在抛物线yx2x﹣2②上， 联立①②得，或（舍）， ∴P（，），即：在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PBF被BA平分，P（，）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$