【10年压轴题】2016-2025年江苏省选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年江苏省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2025•苏州）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接A′C，A′D，则下列结论不正确的是（　　） A．A′D∥BE B．A'C'D C．△A′CD的面积＝△A′DE的面积 D．四边形A′BED的面积＝△A′BC的面积 2．（2024•南京）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件A商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件A商品与1件B商品，立减了30元．若B商品的单价是整数元，则它的最小值是（　　） A．1元 B．99元 C．101元 D．199元 3．（2023•南京）如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（　　） A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm 4．（2022•南京）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 5．（2021•南京）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板．在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（　　） A． B． C． D． 6．（2020•南京）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（　　） A．（9，2） B．（9，3） C．（10，2） D．（10，3） 7．（2019•南京）如图，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，△A'B'C'还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①④ B．②③ C．②④ D．③④ 8．（2018•南京）用一个平面去截正方体（如图），下列关于截面（截出的面）的形状的结论： ①可能是锐角三角形； ②可能是直角三角形； ③可能是钝角三角形； ④可能是平行四边形． 其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④ 9．（2017•南京）过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（　　） A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3） 10．（2016•南京）若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（　　） A．1 B．6 C．1或6 D．5或6 二．填空题（共10小题） 11．（2025•苏州）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是线段BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，则线段CF长度的最大值为　 　 ． 12．（2024•南京）已知4是关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 　 　 ，　 　 ． 13．（2023•南京）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝　 　 cm． 14．（2022•南京）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列：（0，0），（1，0），（0，1），（2，0），（1，1），（0，2），（3，0），（2，1），（1，2），（0，3），（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），…，按这个规律，则（6，7）是第 　 　 个点． 15．（2021•南京）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为 　 　 ． 16．（2020•南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是 　 　 ． 17．（2019•南京）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是　 　 ． 18．（2018•南京）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C 旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点 F，则CF的长为　 　 ． 19．（2017•南京）函数y1＝x与y2的图象如图所示，下列关于函数y＝y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是 　 　 ． 20．（2016•南京）如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为 　 　 cm． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，M（m，y1），N（m+2，y2）为二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上两点． （1）求直线BC对应函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1﹣m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值． 22．（2024•南京）如图（1），夜晚，小明从路灯L的正下方P1处出发，先沿平路走到P2处，再上坡到达P3处．已知小明的身高为1.5m，他在道路上的影长y（单位：m）与行走的路程x（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，OA，BC是线段，AB是曲线． （1）结合P2的位置，解释点A的横坐标、纵坐标的实际意义． （2）路灯L的高度是　 　 m． （3）设P2P3的坡角为α（0°＜α＜45°）． ①通过计算：比较线段OA与线段BC的倾斜程度． ②当α取不同的值时，下列关于曲线AB的变化趋势的描述；（a）y随x的增大而增大；（b）y随x的增大而减小；（c）y随x的增大先增大后减小；（d）y随x的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是　 　 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 23．（2023•南京）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度θ（0°＜θ＜180°），再将旋转后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作T（A，顺θ，k）；若逆时针旋转，记作T（A，逆θ，k）． 例如：如图①，先将△ABC绕点B逆时针旋转50°，得到△A1BC1，再将△A1BC1以点B为位似中心缩小到原来的，得到△A2BC2，这个变换记作T（B，逆50°，）． （1）如图②，△ABC经过T（C，顺60°，2）得到△A′B′C，用尺规作出△A′B′C．（保留作图痕迹） （2）如图③，△ABC经过T（B，逆α，k1）得到△EBD，△ABC经过T（C，顺β，k2）得到△FDC，连接AE，AF．求证：四边形AFDE是平行四边形． （3）如图④，在△ABC中，∠A＝150°，AB＝2，AC＝1．若△ABC经过（2）中的变换得到的四边形AFDE是正方形． Ⅰ．用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； Ⅱ．直接写出AE的长． 24．（2022•南京）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称． （1）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，CD⊥AB，垂足为D．下列3对三角形：①△ABC和△ACD；②△BAC和△BCD；③△DAC和△DCB．其中成自位似轴对称的是 　 　 ；（填写所有符合要求的序号） （2）如图3，已知△ABC经过自位似轴对称变换得到△ADE，Q是DE上一点，用直尺和圆规作点P，使P与Q是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； （3）如图4，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点．∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，连结DE，求证：DE∥AC． 25．（2021•南京）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？ （1）如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，的长为4π cm．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）． （2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h． ①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 　 　 （用含l，h的代数式表示）． ②设的长为a，点B在母线OC上，OB＝b．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路． 26．（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． （1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的． 为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明． （2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）． ①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示； ②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示． 27．（2019•南京）【概念认识】 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|． 【数学理解】 （1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝　 　 ． ②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是　 　 ． （2）函数y（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3． （3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标． 【问题解决】 （4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由） 28．（2018•南京）结果如此巧合! 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，BD＝4，求△ABC的面积． 解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x． 根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x． 根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2＝（3+4）2． 整理，得x2+7x＝12． 所以S△ABCAC•BC （x+3）（x+4） （x2+7x+12） （12+12） ＝12． 小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下面的探索． 已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD＝m，BD＝n． 可以一般化吗？ （1）若∠C＝90°，求证：△ABC的面积等于mn． 倒过来思考呢？ （2）若AC•BC＝2mn，求证∠C＝90°． 改变一下条件…… （3）若∠C＝60°，用m、n表示△ABC的面积． 29．（2017•南京）折纸的思考． 【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形． 第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）． 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB、PC，得到△PBC． （1）说明△PBC是等边三角形． 【数学思考】 （2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程． （3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围． 【问题解决】 （4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为　 　 cm． 30．（2016•南京）如图，把函数y＝x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y＝2x的图象；也可以把函数y＝x的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝2x的图象． 类似地，我们可以认识其他函数． （1）把函数y的图象上各点的纵坐标变为原来的　 　 倍，横坐标不变，得到函数y的图象；也可以把函数y的图象上各点的横坐标变为原来的　 　 倍，纵坐标不变，得到函数y的图象． （2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变． （Ⅰ）函数y＝x2的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数　 　 的图象； （Ⅱ）为了得到函数y（x﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y＝﹣x2的图象上所有的点　 　 ． A．①→⑤→③B．①→⑥→③C．①→②→⑥D．①→③→⑥ （3）函数y的图象可以经过怎样的变化得到函数y的图象？（写出一种即可） 【10年压轴题】2016-2025年江苏省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B D A D B A C 一．选择题（共10小题） 1．（2025•苏州）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接A′C，A′D，则下列结论不正确的是（　　） A．A′D∥BE B．A'C'D C．△A′CD的面积＝△A′DE的面积 D．四边形A′BED的面积＝△A′BC的面积 【解答】解：连接AA′交BE于点L， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵E为边AD的中点， ∴AE＝DEADAB， ∵将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE， ∴A′E＝AE＝DE，点A′与点A关于直线BE对称， ∴BE垂直平分AA′， ∴∠ALE＝90°， ∵∠EA′A＝∠EAA′，∠EA′D＝∠EDA′， ∴∠AA′D＝∠EA′A+∠EA′D＝∠EAA′+∠EDA′180°＝90°， ∴∠AA′D＝∠ALE， ∴A′D∥BE， 故A正确； 作A′H⊥CD于点H，设A′H＝m，则∠A′HD＝∠A′HC＝∠ADC＝90°， ∴A′H∥AD， ∴∠DA′H＝∠ADA′＝∠AEB， ∴tan∠DA′H＝tan∠ADA′tan∠AEB2， ∴DH＝2A′H＝2m，AA′＝2A′D，AB＝2AE， ∴A′Dm，ADA′D， ∴AB＝CD＝ADm＝5m， ∴CH＝CD﹣DH＝5m﹣2m＝3m， ∴A′Cm， ∴， ∴A′CA′D， 故B正确； ∵AA′＝2A′D＝2m， ∴S△A′ADm×2m＝5m2， ∴S△A′DE＝S△A′AES△A′ADm2， ∵S△A′CD5m2m2， ∴S△A′CD＝S△A′DE， 故C正确； ∵AEADm， ∴S△A′BE＝S△ABE5mmm2， ∴S四边形A′BEDm2m2m2， ∵S正方形ABCD＝（5m）2＝25m2， ∴S△A′BC＝25m2﹣2m2﹣2m2m2， ∴S四边形A′BED≠S△A′BC， 故D不正确， 故选：D． 2．（2024•南京）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件A商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件A商品与1件B商品，立减了30元．若B商品的单价是整数元，则它的最小值是（　　） A．1元 B．99元 C．101元 D．199元 【解答】解：∵每满100元立减10元，立减20元，说明消费金额满了2个100元， ∴2件A商品的原价满足：200≤2A＜300， ∵乙在该商场单笔购买2件A商品与1件B商品，立减了30元，说明消费金额满了3个100元， ∴2件A商品与1件B商品的原价满足：300≤2A+B＜400， ∴299≤2A＜300时，B最小为1即可， 故选：A． 3．（2023•南京）如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（　　） A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm 【解答】解：如图：过点B作BC⊥AH，垂足为C， ∵OH⊥AC，BC⊥AC， ∴∠AHO＝∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝∠OAH， ∴△AOH∽△ABC， ∴， ∴， 如图：过点A作AD⊥BH，垂足为D， ∵OH⊥BD，AD⊥BD， ∴∠OHB＝∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝∠OBH， ∴△ABD∽△OBH， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴1， 解得：OH＝36， ∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36cm， 故选：A． 4．（2022•南京）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，立方体是直三棱柱， ∴CQ＝5， ∴折叠成直三棱柱后CM， 折叠成直三棱柱后CP， 折叠成直三棱柱后CN， ∵5， ∴与点C距离最大的是点N． 故选：B． 5．（2021•南京）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板．在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，灯在纸板上方， ∴上面两条边离点光源近，在同一投影面上的影子就长于下方离点光源远的两条边， ∴上方投影比下方投影要长， 故选：D． 6．（2020•南京）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（　　） A．（9，2） B．（9，3） C．（10，2） D．（10，3） 【解答】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G， 则PE⊥y轴，PF⊥x轴， ∵∠EOF＝90°， ∴四边形PEOF是矩形， ∵PE＝PF，PE∥OF， ∴四边形PEOF为正方形， ∴OE＝PF＝PE＝OF＝5， ∵A（0，8）， ∴OA＝8， ∴AE＝8﹣5＝3， ∵四边形OACB为矩形， ∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB， ∴EG∥AC， ∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形， ∴CG＝AE＝3，EG＝OB， ∵PE⊥AO，AO∥CB， ∴PG⊥CD， ∴CD＝2CG＝6， ∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2， ∵PD＝5，DG＝CG＝3， ∴PG＝4， ∴OB＝EG＝5+4＝9， ∴D（9，2）． 故选：A． 7．（2019•南京）如图，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，△A'B'C'还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①④ B．②③ C．②④ D．③④ 【解答】解：先将△ABC绕着点A旋转180°得到△AB″C″，再将所得的△AB″C″绕着点B″B'的中点D旋转180°，即可得到△A'B'C'（方法不唯一）； 先将△ABC沿着B'B的垂直平分线翻折可得△A″B'C″，再将所得的△A″B'C″沿着A'A″的垂直平分线翻折，即可得到△A'B'C'（方法不唯一）； 故选：D． 8．（2018•南京）用一个平面去截正方体（如图），下列关于截面（截出的面）的形状的结论： ①可能是锐角三角形； ②可能是直角三角形； ③可能是钝角三角形； ④可能是平行四边形． 其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④ 【解答】解：用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，而三角形只能是锐角三角形，不能是直角三角形和钝角三角形． 故选：B． 9．（2017•南京）过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（　　） A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3） 【解答】解：如图，设△ABC的外心E（4，t），则CE＝5﹣t，EM＝t﹣2， ∵EC＝AE， ∴5﹣t， 解得t，可得结论． 故选：A． 10．（2016•南京）若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（　　） A．1 B．6 C．1或6 D．5或6 【解答】解：∵一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等， ∴这组数据可能是2，3，4，5，6或1，2，3，4，5， ∴x＝1或6， 故选：C． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•苏州）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是线段BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，则线段CF长度的最大值为　　 ． 【解答】解：如图所示，过点A作AH⊥BC于H， 在Rt△AHC中，∠C＝60°，∠AHC＝90°，AC＝3， ∴AH＝AC•sinC， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝60°＝∠C， 又∵∠DAC＝∠FAD， ∴△DAC∽△FAD， ∴， ∴， ∵CF＝AC﹣AF， ∴当AF有最小值时，CF有最大值， ∴当AD有最小值时，AF有最小值， ∴当AD⊥BC时，AD有最小值，即AF有最小值，此时点D与点H重合， ∴AD的最小值为， ∴AF的最小值为， ∴CF的最大值为， 故答案为：． 12．（2024•南京）已知4是关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 　2　 ，　4　 ． 【解答】解：关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）中，x﹣2＝0或ax2+bx+c＝0， 即x＝2或ax2+bx+c＝0， ∵4是关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）的一个根， ∴a（4）2+b（4）+c＝0， 整理得：31a+4b+c﹣（8a+b）0， ∵a，b，c都是有理数， ∴8a+b＝0，31a+4b+c＝0， ∴b＝﹣8a，c＝a， ∴ax2﹣8ax+a＝0， 解得：x＝4±， ∴另一个根为4； 故答案为：2，4． 13．（2023•南京）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝　　 cm． 【解答】解：作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°， ∵CF＝4cm，FB′＝1cm， ∴B′C＝CF+FB′＝4+1＝5（cm）， 由折叠得BC＝B′C＝5cm，∠BCE＝∠B′CE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D， ∵CB′⊥AD于点F， ∴∠BCB′＝∠CFD＝90°， ∴∠BCE＝∠B′CE∠BCB′90°＝45°，DF3（cm）， ∴∠HEC＝∠BCE＝45°， ∴CH＝EH， ∵sinB＝sinD，cosB＝cosD， ∴CH＝EHBE，BHBE， ∴BEBE＝5， ∴BEcm， 解法二：延长DA交CE的延长线于点M． ∵AD∥CB， ∴∠M＝∠MCB， ∵∠MCB＝∠MCF＝45°， ∴∠M＝∠MCF＝45°， ∴CF＝FM＝4， ∵AF＝FD＝2， ∴AM＝2， ∵， ∴EB5． 故答案为：． 14．（2022•南京）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列：（0，0），（1，0），（0，1），（2，0），（1，1），（0，2），（3，0），（2，1），（1，2），（0，3），（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），…，按这个规律，则（6，7）是第 　99　 个点． 【解答】解：横纵坐标和是0的有1个点， 横纵坐标和是1的有2个点， 横纵坐标和是2的有3个点， 横纵坐标和是3的有4个点， ……， 横纵坐标和是n的有（n+1）个点， ∴6+7＝13， ∵1+2+……+12+1313×（13+1）＝91， ∴横纵坐标和是13的有14点，分别为：（13，0）、（12，1）、（11，2）、（10，3）、（9，4）、（8，5）、（7，6）、（6，7）、（5，8）、（4，9）、（3，10）、（2，11）、（1，12）、（0，13）、 ∴（6，7）是第91+8＝99个点， 故答案为：99． 15．（2021•南京）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为 　　 ． 【解答】解：法一、如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AB′于点N，过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G． 由旋转可知，AB＝AB′＝3，∠ABB′＝∠AB′C′， ∴∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′， ∵BB′＝1，AM⊥BB′， ∴BM＝B′M， ∴AM， ∵S△ABB′， ∴1•BN×3，则BN， ∴AN， ∵AB∥DC， ∴∠ECG＝∠ABC， ∵∠AMB＝∠EGC＝90°， ∴△AMB∽△EGC， ∴， 设CG＝a，则EGa， ∵∠ABB′+∠AB′B+∠BAB′＝180°， ∠AB′B+∠AB′C′+∠C′B′C＝180°， 又∵∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′， ∴∠BAB′＝∠C′B′C， ∵∠ANB＝∠EGC＝90°， ∴△ANB∽△B′GE， ∴， ∵BC＝4，BB′＝1， ∴B′C＝3，B′G＝3+a， ∴，解得a． ∴CG，EG， ∴EC． 故答案为：． 法二、如图，连接DD'， 由旋转可知，∠BAB′＝∠DAD′，AB′＝AB＝3，AD′＝AD＝4， ∴△BAB′∽△DAD′， ∴AB：BB′＝AD：DD′＝3：1，∠AD′D＝∠AB′B＝∠B， ∴DD′， 又∵∠AD′C′＝∠AB′C′＝∠B，∠AD′D＝∠B＝∠AB′B， ∴∠AD′C′＝∠AD′D，即点D′，D，C′在同一条直线上， ∴DC′， 又∠C′＝∠ECB′，∠DEC′＝∠B′EC， ∴△CEB′∽△C'ED， ∴B′E：DE＝CE：C′E＝B′C：DC′，即B′E：DE＝CE：C′E＝3：， 设CE＝x，B'E＝y， ∴x：（4﹣y）＝y：（3﹣x）＝3：， ∴x． 故答案为：． 法三、构造相似，如图，延长B′C到点G，使B′G＝B′E，连接EG， ∴∠B′EG＝∠B′GE， 由旋转可知，AB＝AB′， ∴∠B＝∠AB′B＝∠AB′C′， ∴∠BAB′＝∠EB′G， ∴∠B＝∠G， 又AB∥CD， ∴∠ECG＝∠B＝∠G， ∴△ABB′∽△B′EG∽△ECG， ∴， 设CG＝m， ∴EC＝3m， ∴B′G＝3+m， ∴， 解得m， ∴3m． 故答案为：． 解法四：如图，连接DD'， 由旋转可知，∠BAB′＝∠DAD′，AB′＝AB＝3，AD′＝AD＝4， ∴△BAB′∽△DAD′， ∴AB：BB′＝AD：DD′＝3：1，∠AD′D＝∠AB′B＝∠B， ∴DD′， 又∵∠AD′C′＝∠AB′C′＝∠B，∠AD′D＝∠B＝∠AB′B， ∴∠AD′C′＝∠AD′D，即点D′，D，C′在同一条直线上， 如图，过点C作CF∥C′D′，交B′C′于点F， ∵AB＝AB′， ∴∠B＝∠AB′B， ∵∠AB′C′＝∠B， 由三角形内角和可知，∠FB′C＝∠BAB′， ∵AB′∥FC， ∴∠B′CF＝∠AB′B， 由∵AB＝3，BB′＝1，BC＝4， ∴AB＝B′C， ∴△ABB′≌△B′CF， ∴FC＝B′B＝1， 由旋转可知，△ABB′∽△ADD′， ∴， ∴DD′ ∴C′D， 又由CF∥C′D， ∴△C′DE∽△FCE， ∴， ∴， ∴， ∴EC． 故答案为：． 16．（2020•南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是 　①②④　 ． 【解答】解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同， ∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确； ②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1， ∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确； ③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误； ④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1， ∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④正确， 故答案为①②④． 17．（2019•南京）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是　4＜BC　 ． 【解答】解：作△ABC的外接圆，如图所示： ∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4， 当∠BAC＝90°时，BC是直径最长， ∵∠C＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∴BC＝2AC，ABAC＝4， ∴AC， ∴BC； 当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4， ∵∠BAC＞∠ABC， ∴BC长的取值范围是4＜BC； 故答案为：4＜BC． 18．（2018•南京）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C 旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点 F，则CF的长为　4　 ． 【解答】解：连接OE，延长EO交CD'于点G，作OH⊥B′C于点H， 则∠OEB′＝∠OHB′＝90°， ∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′， ∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝5、BC＝B′C＝4， ∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝2.5， ∴B′H＝OE＝2.5， ∴CH＝B′C﹣B′H＝1.5， ∴CG＝B′E＝OH2， ∵四边形EB′CG是矩形， ∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′， ∴CF＝2CG＝4， 故答案为：4． 19．（2017•南京）函数y1＝x与y2的图象如图所示，下列关于函数y＝y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是 　①③　 ． 【解答】解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确； ②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误； ③y＝x（）2+4≥4，当且仅当x＝2时取“＝”．即在第一象限内，最低点的坐标为（2，4），故正确； ∴正确的有①③． 故答案为：①③． 20．（2016•南京）如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为 　13　 cm． 【解答】解：因为正方形AECF的面积为50cm2， 所以ACcm， 因为菱形ABCD的面积为120cm2， 所以BDcm， 所以菱形的边长cm． 故答案为：13． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，M（m，y1），N（m+2，y2）为二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上两点． （1）求直线BC对应函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1﹣m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，可得C的坐标为（0，3）． 令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3． 故点B的坐标为（3，0）， 设直线BC的表达式为y＝kx+b， 故解得， ∴直线BC对应函数的表达式为y＝﹣x+3． （2）不存在实数m使得y1+2y2＝10，理由如下： 方法一：把M（m，y1），N（m+2，y2）代入二次函数y＝﹣x2+2x+3中， 可得，， ∴， 配方得． 故当时，y1+2y2的最大值为10． 故不存在实数m使得y1+2y2＝10； 方法二：由方法一得． 当y1+2y2＝10时，即﹣3m2﹣2m+9＝10，整理可得3m2+2m+1＝0． ∵Δ＝4﹣12＝﹣8＜0， ∴方程没有实数根． ∴不存在实数m使得y1+2y2＝10； （3）或，理由如下： 如图1，作NH∥y轴，交x轴于点H，交BC于点N′， 作PQ⊥NH，垂足为Q，作MM′∥y轴，交BC于点M′， 则MM′∥NN′， 当x＝1﹣m时，y＝﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+3＝﹣m2+4． ∴点P的坐标为（1﹣m，﹣m2+4）． ∵点N的坐标为（m+2，﹣m2﹣2m+3）， ∴点Q的坐标为（m+2，﹣m2+4），点H的坐标为（m+2，0）， 点N′的坐标为（m+2，﹣m+1）． ∴NQ＝PQ＝|2m+1|，BH＝HN′＝|﹣m+1|． ∴∠PNQ＝∠BN′H＝45°． ∴PN∥BC， ∴△MDE∽△MNP． ∴， ∴，即MD＝ND． ∵MM′∥NN′， ∴△MM′D′∽△NN′D． ∴，即MM′＝NN′， ∵点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3）， ∴点M′的坐标为（m，﹣m+3）． ∴m2﹣3m＝﹣m2﹣m+2，即m2﹣m﹣1＝0， 解得或． 22．（2024•南京）如图（1），夜晚，小明从路灯L的正下方P1处出发，先沿平路走到P2处，再上坡到达P3处．已知小明的身高为1.5m，他在道路上的影长y（单位：m）与行走的路程x（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，OA，BC是线段，AB是曲线． （1）结合P2的位置，解释点A的横坐标、纵坐标的实际意义． （2）路灯L的高度是　6　 m． （3）设P2P3的坡角为α（0°＜α＜45°）． ①通过计算：比较线段OA与线段BC的倾斜程度． ②当α取不同的值时，下列关于曲线AB的变化趋势的描述；（a）y随x的增大而增大；（b）y随x的增大而减小；（c）y随x的增大先增大后减小；（d）y随x的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是　（a）（b）（c）　 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 【解答】解：（1）由题意得：A（6，2）， 横坐标：小明走到灯下6m处，纵坐标：此时影长为2m，影长的顶端正好在P2处； （2）由题意得：， 解得：x＝6， ∴路灯L的高度是6m， 故答案为：6； （3）①∵A（6，2）， ∴kOA， EF为小明在坡上任意一点， ∴此时，BF＝（x﹣8）m，影长FC＝y m，P1G＝8tanα m， ∵EF∥LG， ∴， ∴， ∵cosα， ∴BG， ∴CG， ∴， 整理得：， ∴， ∵， ∴kBC＜kOA， ∴线段OA的倾斜程度更大； ②A：小明走到灯下6m处，影子正好顶端在P2处， B：小明走到灯下8m处，到达P2， 可以看出AB段先增大后减小， ∴当α取不同的值时，可能出现（a）（b）（c）的情况， 故答案为：（a）（b）（c）． 23．（2023•南京）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度θ（0°＜θ＜180°），再将旋转后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作T（A，顺θ，k）；若逆时针旋转，记作T（A，逆θ，k）． 例如：如图①，先将△ABC绕点B逆时针旋转50°，得到△A1BC1，再将△A1BC1以点B为位似中心缩小到原来的，得到△A2BC2，这个变换记作T（B，逆50°，）． （1）如图②，△ABC经过T（C，顺60°，2）得到△A′B′C，用尺规作出△A′B′C．（保留作图痕迹） （2）如图③，△ABC经过T（B，逆α，k1）得到△EBD，△ABC经过T（C，顺β，k2）得到△FDC，连接AE，AF．求证：四边形AFDE是平行四边形． （3）如图④，在△ABC中，∠A＝150°，AB＝2，AC＝1．若△ABC经过（2）中的变换得到的四边形AFDE是正方形． Ⅰ．用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； Ⅱ．直接写出AE的长． 【解答】（1）解：如图1， 1．以B为圆心，BC为半径画弧，以C为圆心，BC为半径画弧，两弧在BC的上方交于点D，分别以A，C为圆心，以AC为半径画弧，两弧交于点E， 2．延长CD至B′，使DB′＝CD，延长CE至A′，使A′E＝CE，连接A′B′， 则△A′B′C就是求作的三角形； （2）证明：∵△EBD和△ABC位似，△FDC与△ABC位似， ∴∠EBD＝∠ABC，，， ∴∠EBA＝∠DBC， ∴△EBA∽△DBC， ∴， ∴， ∴AE＝DF， 同理可得：DE＝AF， ∴四边形AFDE是平行四边形； （3）解：如图2， 1．以BC为边在BC上方作等边三角形GBC， 2．作等边三角形BCG的外接圆O，作直径BD，连接CD， 3．作∠DBE＝∠ABC，∠BDE＝∠ACB，延长BA，交⊙O于F，连接CF，DF， 则四边形AFDE是正方形， 证明：由上知：△EBA∽△DBC，△FAC∽△DBC， ∴∠BAE＝∠DCB，∠FAC＝∠DBC，，， ∴∠BAE+∠FAC＝∠DCB+∠DBC， 要使▱AFDE是正方形，应使∠EAF＝90°，AE＝AF， ∴∠BAE+∠FAC+∠BAC＝270°，BD＝2CD， ∴∠BAE+∠FAC＝270°﹣∠BAC＝270°﹣150°＝120°， ∴∠DBC+∠DCB＝120°， ∴∠BDC＝60°， ∴作等边△BCG，保证∠BDC＝∠G＝60°，作直径BD，保证BD＝2CD，这样得出作法； ∵∠ABE＝∠DBC＝30°，∠EAB＝∠BCD＝90°，AB＝2， ∴AEAB． 24．（2022•南京）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称． （1）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，CD⊥AB，垂足为D．下列3对三角形：①△ABC和△ACD；②△BAC和△BCD；③△DAC和△DCB．其中成自位似轴对称的是 　①②　 ；（填写所有符合要求的序号） （2）如图3，已知△ABC经过自位似轴对称变换得到△ADE，Q是DE上一点，用直尺和圆规作点P，使P与Q是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； （3）如图4，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点．∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，连结DE，求证：DE∥AC． 【解答】（1）解：如图1， 故答案为：①②； （2）解：（方法一）如图3﹣1， （Ⅰ）分别在AE和AD的延长线上截取AC′＝AC，AB′＝AB，连接B′C′， （Ⅱ）作射线AQ，交B′C′于点P′， （Ⅲ）连接BC′，CB′，交于点O，作射线AO， （Ⅳ）作P′P⊥AO，交BC于点P， 则点P就是Q点变换前的对应点， （方法二）如图3﹣2， 以点A为圆心，AE为半径画弧交AC于E′，以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于D′，以点D′为圆心，DQ为半径画弧，交D′E′于Q′，连接AQ′，延长AQ′，交BC于P， 则点P就是求作的点； （3）证明：如图4， （方法一）延长BE，交AC于F， ∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD， ∴△ABE∽△ACD， ∴， ∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE+∠DAE＝∠CAD+∠DAE， ∴∠BAD＝∠FAE， ∵∠AEF＝∠ABE+∠BAE，∠ADB＝∠CAD+∠C， ∴∠AEF＝∠ADB， ∴△EAF∽△DAB， ∴， ∴， ∵点D是BC的中点， ∴CD＝BD， ∴BE＝EF， ∴DE∥AC， （方法二）∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD， ∴△ABE∽△ACD， ∴， ∵∠BAF＝∠BAC， ∴△ABF∽△ACB， ∴， ∴， ∵BD＝CD， ∴， ∴DE∥AC． 25．（2021•南京）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？ （1）如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，的长为4π cm．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）． （2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h． ①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 　l+h　 （用含l，h的代数式表示）． ②设的长为a，点B在母线OC上，OB＝b．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路． 【解答】解：（1）如图②中连接AO，AC，AB．设∠AOC＝n． ∵的长＝4π， ∴4π， ∴n＝60°， ∴∠COA＝60°， ∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∵OB＝BC＝6cm， ∴AB⊥OC， ∴AB6（cm）． 最短的路径是线段AB，最短路径的长为6cm． （2）①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为母线的长加圆柱的高，即为h+l． 故答案为：h+l． ②蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如图④，最短路径为AB， 思路： Ⅰ、记AB与圆柱的展开图的上边的交点记作点G，连接OG，并过G点作GF⊥AD，垂足为F， Ⅱ、由题可知，GF＝h，OB＝b，由的长为a，得展开后的线段AD＝a， Ⅲ、设线段GC的长为x，则的弧长GC'也为x， Ⅳ、由母线长为l，可求出∠C'OG，作BE⊥OG，垂足为E， Ⅴ、因为OB＝b，可由三角函数求出OE和BE，从而得到GE， Ⅵ、利用勾股定理表示出BG，接着由FD＝CG＝x，得到AF＝a﹣x，利用勾股定理可以求出AG， Ⅶ、将AF+BE即得到AH，将EG+GF即得到HB，因为两点之间线段最短，得出A、G、B三点共线， Ⅷ、利用勾股定理可以得到关于x的方程，即可解出x， Ⅸ、将x的值回代到BG和AG中，求出它们的和即可得到最短路径的长． 26．（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． （1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的． 为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明． （2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）． ①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示； ②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示． 【解答】证明：（1）如图②，连接A'C'， ∵点A，点A'关于l对称，点C在l上， ∴CA＝CA'， ∴AC+BC＝A'C+BC＝A'B， 同理可得AC'+C'B＝A'C'+BC'， ∵A'B＜A'C'+C'B， ∴AC+BC＜AC'+C'B； （2）如图③， 在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB（其中点D是正方形的顶点）； 如图④， 在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CDEB（其中CD，BE都与圆相切）． 27．（2019•南京）【概念认识】 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|． 【数学理解】 （1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝　3　 ． ②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是　（1，2）　 ． （2）函数y（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3． （3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标． 【问题解决】 （4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由） 【解答】解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3； ②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3， ∵0≤x≤2， ∴x+y＝3， ∴， 解得：， ∴B（1，2）， 故答案为：3，（1，2）； （2）假设函数的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3， 根据题意，得， ∵x＞0， ∴，， ∴， ∴x2+4＝3x， ∴x2﹣3x+4＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝﹣7＜0， ∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根， ∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3． （3）设D（x，y）， 根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|， ∵， 又x≥0， ∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3， ∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）． （4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止， 设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处． 理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G． ∵∠EFH＝45°， ∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF， 同理d（O，P）＝OG， ∵OG≥OF， ∴d（O，P）≥d（O，E）， ∴上述方案修建的道路最短． 28．（2018•南京）结果如此巧合! 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，BD＝4，求△ABC的面积． 解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x． 根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x． 根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2＝（3+4）2． 整理，得x2+7x＝12． 所以S△ABCAC•BC （x+3）（x+4） （x2+7x+12） （12+12） ＝12． 小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下面的探索． 已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD＝m，BD＝n． 可以一般化吗？ （1）若∠C＝90°，求证：△ABC的面积等于mn． 倒过来思考呢？ （2）若AC•BC＝2mn，求证∠C＝90°． 改变一下条件…… （3）若∠C＝60°，用m、n表示△ABC的面积． 【解答】解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x， 根据切线长定理，得：AE＝AD＝m、BF＝BD＝n、CF＝CE＝x， （1）如图1， 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x+m）2+（x+n）2＝（m+n）2， 整理，得：x2+（m+n）x＝mn， 所以S△ABCAC•BC （x+m）（x+n） [x2+（m+n）x+mn] （mn+mn） ＝mn， （2）由AC•BC＝2mn，得：（x+m）（x+n）＝2mn， 整理，得：x2+（m+n）x＝mn， ∴AC2+BC2＝（x+m）2+（x+n）2 ＝2[x2+（m+n）x]+m2+n2 ＝2mn+m2+n2 ＝（m+n）2 ＝AB2， 根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°； （3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G， 在Rt△ACG中，AG＝AC•sin60°（x+m），CG＝AC•cos60°（x+m）， ∴BG＝BC﹣CG＝（x+n）（x+m）， 在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[（x+m）]2+[（x+n）（x+m）]2＝（m+n）2， 整理，得：x2+（m+n）x＝3mn， ∴S△ABCBC•AG （x+n）•（x+m） [x2+（m+n）x+mn] （3mn+mn） mn． 29．（2017•南京）折纸的思考． 【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形． 第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）． 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB、PC，得到△PBC． （1）说明△PBC是等边三角形． 【数学思考】 （2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程． （3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围． 【问题解决】 （4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为　　 cm． 【解答】（1）证明：由折叠的性质得：EF是BC的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线， ∴PB＝PC，PB＝CB， ∴PB＝PC＝CB， ∴△PBC是等边三角形． （2）解：以点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P1BC1； 再以点B为位似中心，将△P1BC1放大，使点C1的对应点C2落在CD上，得到△P2BC2； 如图⑤所示； （3）解：本题答案不唯一，举例如图6所示， （4）解：如图7所示： △CEF是直角三角形，∠CEF＝90°，CE＝4，EF＝1， ∴∠AEF+∠CED＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠D＝90°，AD＝CD， ∴∠DCE+∠CED＝90°， ∴∠AEF＝∠DCE， ∴△AEF∽△DCE， ∴， 设AE＝x，则AD＝CD＝4x， ∴DE＝AD﹣AE＝3x， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝42， 解得：x， ∴AD＝4． 故答案为：． 30．（2016•南京）如图，把函数y＝x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y＝2x的图象；也可以把函数y＝x的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝2x的图象． 类似地，我们可以认识其他函数． （1）把函数y的图象上各点的纵坐标变为原来的　6　 倍，横坐标不变，得到函数y的图象；也可以把函数y的图象上各点的横坐标变为原来的　6　 倍，纵坐标不变，得到函数y的图象． （2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变． （Ⅰ）函数y＝x2的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数　y＝4（x﹣1）2﹣2　 的图象； （Ⅱ）为了得到函数y（x﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y＝﹣x2的图象上所有的点　D　 ． A．①→⑤→③B．①→⑥→③C．①→②→⑥D．①→③→⑥ （3）函数y的图象可以经过怎样的变化得到函数y的图象？（写出一种即可） 【解答】解：（1）把函数y的图象上各点的纵坐标变为原来的6倍，横坐标不变， 设y′＝6y，x′＝x，将y，x＝x′代入xy＝1可得y′，得到函数y的图象； 也可以把函数y的图象上各点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变， 设y′＝y，x′＝6x，将y＝y′，x代入xy＝1可得y′，得到函数y的图象； （2）（Ⅰ）函数y＝x2的图象上所有的点经过“纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变”的变化后，得到y＝4x2的图象；y＝4x2的图象经过“向右平移1个单位长度”的变化后，得到y＝4（x﹣1）2的图象；y＝4（x﹣1）2的图象经过“向下平移2个单位长度”的变化后，得到y＝4（x﹣1）2﹣2的图象． （Ⅱ）为了得到函数y（x﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y＝﹣x2的图象上所有的点先向下平移2个单位长度，得到y＝﹣x2﹣2的图象，再把y＝﹣x2﹣2的图象向右平移个单位长度，得到y＝﹣（x）2﹣2的图象；最后把y＝﹣（x）2﹣2的图象的横坐标变为原来的2倍，得到y＝﹣（x）2﹣2的图象，即y（x﹣1）2﹣2的图象． （3）∵y1， ∴函数y的图象先将纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到y；再向左平移2个单位，向下平移1个单位即可得到函数y的图象． 故答案为：（1）6，6；（2）（Ⅰ）y＝4（x﹣1）2﹣2；（Ⅱ）D． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/3 21:56:50；用户：思达教育；邮箱：15200006450@xyh.com；学号：30653724 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$