【10年压轴题】2016-2025年吉林省选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年吉林省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2025•吉林）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′；再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M′；（3）过点M′画射线CM′交边AB于点D．下列结论错误的为（　　） A．∠B＝∠DCB B．∠BDC＝90° C．DB＝DC D．AD+DC＝BC 2．（2024•长春）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y（k＞0，x＞0）的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若BC，则点B的坐标是（　　） A．（0，） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，2） 3．（2023•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连接AB，，则k的值为（　　） A．3 B．3 C．4 D．6 4．（2022•长春）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（　　） A． B． C． D．4 5．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y（x＞0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC＝3BD，则点B的横坐标为（　　） A． B．2 C． D．3 6．（2020•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连接AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（　　） A．0＜k≤2 B．k≤3 C．k≤2 D．k≤4 7．（2019•长春）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　） A． B．9 C． D． 8．（2018•长春）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y（x＞0）的图象上，若AB＝2，则k的值为（　　） A．4 B．2 C．2 D． 9．（2017•长春）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在第二象限，∠BAO＝60°，BC交y轴于点D，DB：DC＝3：1．若函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点C，则k的值为（　　） A． B． C． D． 10．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（　　） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 二．填空题（共10小题） 11．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为　 　 ．（结果保留π） 12．（2024•长春）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连结AD．给出下面四个结论： ①∠ABD＝∠DAC； ②AF＝FG； ③当DG＝2，GB＝3时，FG； ④当2，AB＝6时，△DFG的面积是， 上述结论中，正确结论的序号有 　 　 ． 13．（2023•长春）2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面 　 　 米． 14．（2022•长春）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x时，函数值y的最小值为1，则a的值为 　 　 ． 15．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 　 　 ． 16．（2020•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CDAB，则k的值为　 　 ． 17．（2019•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为　 　 ． 18．（2018•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为 　 　 ． 19．（2017•长春）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为　 　 ． 20．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣1经过点（2，﹣1）．点P在此抛物线上．其横坐标为m；连接PO并延长至点Q，使OQ＝2PO．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． （3）当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标． （4）当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 22．（2024•长春）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝x2+2x+c（c是常数）经过点（﹣2，﹣2）．点A、B是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m、﹣m，点C的横坐标为﹣5m，点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，连结AB、AC． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）求证：当m取不为零的任意实数时，tan∠CAB的值始终为2； （3）作AC的垂直平分线交直线AB于点D，以AD为边、AC为对角线作菱形ADCE，连结DE． ①当DE与此抛物线的对称轴重合时，求菱形ADCE的面积； ②当此抛物线在菱形ADCE内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 23．（2023•长春）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+2（b是常数）经过点（2，2）．点A的坐标为（m，0），点B在该抛物线上，横坐标为1﹣m．其中m＜0． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当点B在x轴上时，求点A的坐标； （3）该抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P，B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2﹣m时，求m的值； （4）当点B在x轴上方时，过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC、BO．若四边形AOBC的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC的顶点），设这两个交点分别为点E、点F，线段BO的中点为D．当以点C、E、O、D（或以点C、F、O、D）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半时，直接写出所有满足条件的m的值． 24．（2022•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx（b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC．当BC＝4时，求点B的坐标； （3）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围； （4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值． 25．（2021•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A． （1）当m时，点A的坐标是 　 　 ，抛物线与y轴交点的坐标是 　 　 ； （2）若点A在第一象限，且OA，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围； （3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，求m的值； （4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值． 26．（2020•长春）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A． （1）求点A的坐标． （2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围． （3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值． （4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值． 27．（2019•长春）已知函数y（n为常数） （1）当n＝5， ①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值； ②求此函数的最大值． （2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围． （3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围． 28．（2018•长春）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数yx2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数yx2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L． （1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值； （2）求L与m之间的函数关系式； （3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值； （4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当y0≤9时，直接写出L的取值范围． 29．（2017•长春）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它的相关函数为y． （1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y＝ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值； （2）已知二次函数y＝﹣x2+4x．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值； ②当﹣3≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x的相关函数的最大值和最小值； （3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（，1），（，1），连接MN．直接写出线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围． 30．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，有抛物线y＝a（x﹣h）2．抛物线y＝a（x﹣3）2+4经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B，P是抛物线y＝a（x﹣3）2+4上一点，且在x轴上方，过点P作x轴的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点Q，过点Q作PQ的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点Q′（不与点Q重合），连接PQ′，设点P的横坐标为m． （1）求a的值； （2）当抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时，设△PQQ′与△OAB重叠部分图形的周长为l． ①求的值； ②求l与m之间的函数关系式； （3）当h为何值时，存在点P，使以点O，A，Q，Q′为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出h的值． 【10年压轴题】2016-2025年吉林省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C B C D A D B 一．选择题（共10小题） 1．（2025•吉林）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′；再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M′；（3）过点M′画射线CM′交边AB于点D．下列结论错误的为（　　） A．∠B＝∠DCB B．∠BDC＝90° C．DB＝DC D．AD+DC＝BC 【解答】解：由作图可知∠B＝∠DCB＝45°， ∴DB＝DC，∠BDC＝90°， 故选项A，B，C正确． 故选：D． 2．（2024•长春）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y（k＞0，x＞0）的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若BC，则点B的坐标是（　　） A．（0，） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，2） 【解答】解：由题意，∵点A（4，2）在函数y上， ∴k＝4×2＝8． ∴反比例函数为y． 设直线OA为y＝kx， ∴4k＝2． ∴k． ∴直线OA为yx． 又设向上平移m个单位到直线BC， ∴B（0，m），直线BC为yx+m． 再设（a，）（a＞0）， ∴a+m． ∴ma． 作CH⊥y轴于H， ∴CH＝a，BHma，BH2+CH2＝BC2． ∴a2+a2＝5． ∴a＝2． ∴4﹣m＝1． ∴m＝3． ∴B（0，3）． 故选：B． 3．（2023•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连接AB，，则k的值为（　　） A．3 B．3 C．4 D．6 【解答】解：由题意，得A（k，1），B（1，k）． ∵AB＝3， ∴由两点距离公式可得：2（k﹣1）2＝18． ∴（k﹣1）2＝9． ∴k＝﹣2或4． 又k＞0， ∴k＝4． 故选：C． 4．（2022•长春）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（　　） A． B． C． D．4 【解答】解：作MN⊥x轴于N， ∵P在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q， ∴P（，2）， ∴PQ＝2， ∵将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM． ∴QM＝QP＝2，∠PQM＝60°， ∴∠MQN＝90°﹣60°＝30°， ∴MNQM＝1， ∴QN， ∴M（，1）， ∵点M也在该反比例函数的图象上， ∴k， 解得k＝2， 故选：C． 5．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y（x＞0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC＝3BD，则点B的横坐标为（　　） A． B．2 C． D．3 【解答】解：作BE⊥x轴于E， ∴AC∥BE， ∴△CDF∽△BDE， ∴， ∵BC＝3BD， ∴， ∴CF＝2BE，DF＝2DE， 设B（，b）， ∴C（1，﹣2b）， ∵函数y（x＞0）的图象交于点C， ∴﹣k＝1×（﹣2b）＝﹣2b， ∴k＝2b， ∴B的横坐标为2， 故选：B． 6．（2020•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连接AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（　　） A．0＜k≤2 B．k≤3 C．k≤2 D．k≤4 【解答】解：∵点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B， ∴OB＝3，AB＝2， 设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D， 则BC＝3﹣c，PD∥AB，OC＝c， ∴△PCD∽△ACB， ∴， ∵AP＝2PC， ∴， ∴PD，CD＝1c， ∴OD＝OC+CD＝1c， ∴P（1c，）， 把P（1c，）代入函数y（x＞0）中，得 kc， ∵0≤c≤3 ∴， 故选：C． 7．（2019•长春）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　） A． B．9 C． D． 【解答】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D， ∵A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）， ∴OA＝OC＝3， 在Rt△AOC中，AC， 又∵AC＝2BC， ∴BC， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠BCD＝∠CBD， ∴CD＝BD， ∴OD＝3 ∴B（，）代入y得：k， 故选：D． 8．（2018•长春）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y（x＞0）的图象上，若AB＝2，则k的值为（　　） A．4 B．2 C．2 D． 【解答】解：作BD⊥AC于D，如图， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴ACAB＝2， ∴BD＝AD＝CD， ∵AC⊥x轴， ∴C（，2）， 把C（，2）代入y得k24． 故选：A． 9．（2017•长春）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在第二象限，∠BAO＝60°，BC交y轴于点D，DB：DC＝3：1．若函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点C，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（﹣4，0）， ∴BC＝4， ∵DB：DC＝3：1， ∴B（﹣3，OD），C（1，OD）， ∵∠BAO＝60°， ∴∠COD＝30°， ∴OD， ∴C（1，）， ∴k， 故选：D． 10．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（　　） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【解答】解：AC＝m﹣1，CQ＝n， 则S四边形ACQE＝AC•CQ＝（m﹣1）n＝mn﹣n． ∵P（1，4）、Q（m，n）在函数y（x＞0）的图象上， ∴mn＝k＝4（常数）． ∴S四边形ACQE＝AC•CQ＝4﹣n， ∵当m＞1时，n随m的增大而减小， ∴S四边形ACQE＝4﹣n随m的增大而增大． 故选：B． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为　　 ．（结果保留π） 【解答】解：当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D， ∴AC⊥x轴，BD⊥x轴， ∵半径为1， ∴AC＝BD＝1， ∴A点的纵坐标为1， 把y＝1代入y，求得x， ∴A（，1）， ∴OC，AC＝1， ∴tan∠OAC， ∴∠OAC＝60°， ∴第一象限中阴影的面积S1， 同理，第一象限中阴影的面积S2， ∴S阴影． 故答案为：． 12．（2024•长春）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连结AD．给出下面四个结论： ①∠ABD＝∠DAC； ②AF＝FG； ③当DG＝2，GB＝3时，FG； ④当2，AB＝6时，△DFG的面积是， 上述结论中，正确结论的序号有 　①②③　 ． 【解答】解：①∵点D是的中点， ∴， ∴∠ABD＝∠DAC， 故结论①正确； ②∵AB是半圆的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADE+∠BDE＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠BDE+∠ABD＝90°， ∴∠ADE＝∠ABD， ∴∠ADE＝∠DAC， ∴AF＝FD， ∵∠ADB＝90°， ∴∠ADE+∠BDE＝90°，∠AGD+∠DAC＝90°， 又∵∠ADE＝∠DAC， ∴∠BDE＝∠AGD， ∴FD＝FG， ∴AF＝FG， 故结论②正确； ③∵DG＝2，GB＝3， ∴BD＝DG+GB＝5， 在Rt△ADG中，tan∠DAC， 在Rt△ABD中，tan∠ABD， ∵∠ABD＝∠DAC， ∴， ∴AD2＝10， 在Rt△ADG中，由勾股定理得：AG， ∴AF＝FGAG， 故结论③正确； ④∵点D是的中点，2， ∴， 即点D，C为半圆弧上的三等分点， ∴∠ABD＝∠DAC＝30°， 在Rt△ABD中，AB＝6，sin∠ABD， ∴AD＝AB•sin∠ABD＝6×sin30°＝3， 在Rt△ADG中，tan∠DAC， ∴DG＝AD•tan∠DAC＝3×tan30°＝√3， ∴S△ADGAD•DG3， ∵AF＝FG， ∴S△DFGS△ADG， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 13．（2023•长春）2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面 　19　 米． 【解答】解：由题意可知：A （﹣40，4）、B （40，4）．H （0，20）， 如图建立坐标系可得： 设抛物线解析式为：y＝ax2+20， 将 A （﹣40，4）代入解析式 y＝ax2+20， 解得：a， ∴y20， 消防车同时后退10米，即抛物线 y20向左平移后的抛物线解析式为：y20， 令x＝0， 解得：y＝19， 故答案为：19． 14．（2022•长春）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x时，函数值y的最小值为1，则a的值为 　﹣1　 ． 【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4）， 根据题意，当a≤x时，函数值y的最小值为1， 当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1， ∴x＝﹣1±， ∵﹣1， ∴﹣1x时，函数值y的最小值为1， ∴a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 15．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 　﹣2+2　 ． 【解答】解：把A（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a， 解得a＝1， ∴y＝x2， 设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m， ∴点E坐标为（m，4﹣2m）， ∴m2＝4﹣2m， 解得m＝﹣1（舍）或m＝﹣1． ∴CD＝2m＝﹣2+2． 故答案为：﹣2+2． 16．（2020•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CDAB，则k的值为　　 ． 【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）， ∴AB＝4， ∵抛物线y（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CDAB＝2， ∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），hc+1， ∴2[c﹣（c+1）]2+k， 解得，k． 17．（2019•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为　2　 ． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）与y轴交于点A， ∴A（0，），抛物线的对称轴为x＝1 ∴顶点P坐标为（1，a），点M坐标为（2，） ∵点M为线段AB的中点， ∴点B坐标为（4，） 设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0） 将点P（1，）代入得k ∴y＝（）x 将点B（4，）代入得（）×4 解得a＝2 故答案为：2． 18．（2018•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为 　3　 ． 【解答】解：当y＝0时，x2+mx＝0，解得x1＝0，x2＝﹣m，则A（﹣m，0）， ∵点A关于点B的对称点为A′，点A′的横坐标为1， ∴点A的坐标为（﹣1，0）， ∴抛物线解析式为y＝x2+x， 当x＝1时，y＝x2+x＝2，则A′（1，2）， 当y＝2时，x2+x＝2，解得x1＝﹣2，x2＝1，则C（﹣2，2）， ∴A′C的长为1﹣（﹣2）＝3． 故答案为3． 19．（2017•长春）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为　（﹣2，﹣3）　 ． 【解答】解：如图： 点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得 BC＝4． 由∠BAC＝90°，AB＝AC， 得AB＝2，∠ABD＝45°， ∴BD＝AD＝2， A（4，3）， 设AB的解析式为y＝kx+b，将A，B点坐标代入，得 ， 解得， AB的解析式为y＝x﹣1， 当y＝0时，x＝1，即P（1，0）， 由中点坐标公式，得 xA′＝2xP﹣xA＝2﹣4＝﹣2， yA′＝2yA′﹣yA＝0﹣3＝﹣3， A′（﹣2，﹣3）． 故答案为：（﹣2，﹣3）． 20．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为　15　 ． 【解答】解：∵D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点， ∴设D（x，﹣x2+6x）， ∵顶点C的坐标为（4，3）， ∴OC5， ∵四边形OABC是菱形， ∴BC＝OC＝5，BC∥x轴， ∴S△BCD5×（﹣x2+6x﹣3）（x﹣3）2+15， ∵0， ∴S△BCD有最大值，最大值为15， 故答案为15． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣1经过点（2，﹣1）．点P在此抛物线上．其横坐标为m；连接PO并延长至点Q，使OQ＝2PO．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． （3）当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标． （4）当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）将（2，﹣1）代入y＝x2+bx﹣得，﹣1＝4+2b﹣1， 解得b＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1； （2）如图所示，面积比保持不变为，理由如下： 根据题意可得，∠M＝∠ODQ＝90°，∠Q＝∠Q， ∴△QOD∽△QPM， ∴， ∴， 则； （3）如图所示，QM经过最低点，即经过顶点， 该抛物线的顶点横坐标为， 纵坐标为， 该抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）， ∵∠PNO＝∠ODQ＝90°，∠NPO＝∠DOQ， ∴△PON∽△OQD，且相似比为， 根据顶点纵坐标可得，OD＝2， 则，即， 解得， ①当时， 即为如图所示， 此时， 点Q在第四象限， 故； ②如图所示， 当时，此时点P在第一象限，点Q在第三象限，此时， 故； 综上，或； （4）①当PQ经过顶点T时，过点T作TE⊥x轴，交x轴于点E， 由∠PNO＝∠TEO＝90°，∠PON＝∠TOE得，△PON∽△TOE， ∴，即，解得m＝1（舍去），或m＝﹣1， ∴当点P向左运动时，满足题意， ∴m≤﹣1； ②如图所示，当点Q在抛物线上时，过点Q作QE⊥x，交x轴于点E， 同理，△PON∽△QOE，相似比仍为 此时，Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1， 解得（舍去），或， 此时，当P点向下一直移动，直至到x轴时，都符合题意， 当x2﹣2x﹣1＝0时， 解得，x2＝1， ∴当时，符合题意； ③图所示，当点Q在抛物线上时，点Q在第二象限，点P在第四象限， 思路同②，此时Q[﹣2m，﹣2（m2﹣2m﹣1）]，代入抛物线解析式得，﹣2（m2﹣2m﹣1）＝（﹣2m）2+4m﹣1， 解得（舍去），或 此时，当P点向右一直移动，直至到x轴时，都符合题意， ∴当时，符合题意； 综上，当m≤﹣1或或时，符合题意． 22．（2024•长春）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝x2+2x+c（c是常数）经过点（﹣2，﹣2）．点A、B是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m、﹣m，点C的横坐标为﹣5m，点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，连结AB、AC． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）求证：当m取不为零的任意实数时，tan∠CAB的值始终为2； （3）作AC的垂直平分线交直线AB于点D，以AD为边、AC为对角线作菱形ADCE，连结DE． ①当DE与此抛物线的对称轴重合时，求菱形ADCE的面积； ②当此抛物线在菱形ADCE内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【解答】（1）解：将点（﹣2，﹣2）代入抛物线解析式得：4﹣4+c＝﹣2， ∴c＝﹣2， ∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣2． （2）证明：A（m，m2+2m﹣2），B（﹣m，m2﹣2m﹣2），C（﹣5m，m2+2m﹣2）， ①当m＜0时，如图1，作BH⊥AC于点H， tan∠CAB2； ②当m＞0时，如图2，作BH⊥AC于点H， tan∠CAB2； 综上，当m取不为零的任意实数时，tan∠CAB的值始终为2． （3）解：①∵y＝x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3， ∴对称轴x＝﹣1， 由题可得A（m，m2+2m﹣2），B（﹣m，m2﹣2m﹣2），C（﹣5m，m2+2m﹣2）， ∵四边形ADCE是菱形，且DE与对称轴重合，交AC于点M， ∴xD2m， ∴﹣2m＝﹣1， ∴m， ∴AM，AC＝3， ∵tan∠CAB＝2， ∴DM＝3，DE＝6， ∴S菱形ADCE3×6＝9． ②（Ⅰ）如图3，当m＜0，且AE过顶点（﹣1，﹣3）时， ∴2，即yA+3＝﹣2xA﹣2， ∴m2+2m﹣2+3＝﹣2m﹣2， 整理得m2+4m+3＝0， ∴m＝﹣1或m＝﹣3， ∴m≤﹣3或﹣1≤m＜0； （Ⅱ）如图4，当m＞0，且CD过顶点（﹣1，﹣3）时， ∴，即yC+3＝﹣2xC﹣2， ∴m2+2m﹣2+3＝10m﹣2， 整理得m2﹣8m+3＝0， ∴m＝4或m＝4， ∴0＜m≤4； 综上，m≤﹣3或﹣1≤m＜0或0＜m≤4． 23．（2023•长春）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+2（b是常数）经过点（2，2）．点A的坐标为（m，0），点B在该抛物线上，横坐标为1﹣m．其中m＜0． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当点B在x轴上时，求点A的坐标； （3）该抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P，B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2﹣m时，求m的值； （4）当点B在x轴上方时，过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC、BO．若四边形AOBC的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC的顶点），设这两个交点分别为点E、点F，线段BO的中点为D．当以点C、E、O、D（或以点C、F、O、D）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半时，直接写出所有满足条件的m的值． 【解答】解：（1）将点（2，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+2中， 得2＝﹣4+2b+2， 解得：b＝2， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3， ∴顶点坐标为（1，3）． （2）由y＝﹣x2+2x+2， 当y＝0时，﹣x2+2x+2＝0， 解得：，， ∵抛物线上的点B在x轴上时，横坐标为1﹣m．其中m＜0． ∴1﹣m＞1， ∴， 解得：， ∵点A的坐标为（m，0）， ∴． （3）令﹣x2+2x+2＝0， 得x1＝1，x2＝1， ∴P（1，0）， ∵m＜0， ∴1﹣m＞1， ∴点B一定在对称轴右侧， ∴B（1﹣m，﹣m2+3）． ①如图所示，当，即时， 根据题意，3＝2﹣m， 解得m＝﹣1； ②当，即时， 依题意，3﹣（﹣m2+3）＝2﹣m， 解得：m＝﹣2或m＝1（舍去）． 综上所述，m＝﹣1或m＝﹣2． （4）如图所示， ∵B在x轴的上方， ∴且m＜0， ∴m＜0， ∵以点C、E、O、D为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半，线段BO的中点为D， ∴S△BCD＝S△COD， ∵S四边形AOBC＝S△AOC+S△BOC，S△BOC＝S△BCD+S△COD， ①当E是AC的中点，如图， 则S四边形AOBC＝S四边形CEOD， ∴，代入 y＝﹣x2+2x+2， 即， 解得 （舍去）或； ②同理当F为AO的中点时，如图所示， S△ACF＝S△CFO，S△BCD＝S△COD，则点C、F、O、D为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半， ∴， 解得； ③如图所示， 设S△BOC＝S， 则， ∵以点C、F、O、D为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半，线段BO的中点为D， ∴， 即， ∴， ∴CF＝AO， ∴F（﹣m，﹣m2+3）， ∵B，F关于x＝1对称， ∴， 解得：． 综上所述，或或． 24．（2022•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx（b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC．当BC＝4时，求点B的坐标； （3）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围； （4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值． 【解答】解：（1）把（2，0）代入y＝x2﹣bx，得到b＝2， ∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x； （2）如图1中， ∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线的顶点为（1，﹣1），对称轴为直线x＝1， ∵BC∥x， ∴B，C故对称轴x＝1对称，BC＝4， ∴点B的横坐标为﹣1， ∴B（﹣1，3）； （3）如图2中， ∵点A的横坐标为m，PQ＝2|m|，m＞0， ∴PQ＝PN＝MN＝2m， ∴正方形的边MN在y轴上， 当点M与O重合时， 由， 解得或， ∴A（3，3）， 观察图象可知，当m≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大． 如图3中，当PQ落在抛物线的对称轴上时，m，观察图象可知，当0＜m时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小． 综上所述，满足条件的m的值为0＜m或m≥3； （4）如图4﹣1中，当点N（0，）时，满足条件， 此时直线NQ的解析式为y＝﹣x， 由，解得，或， ∵点A在第四象限， ∴A（，）， ∴m． 如图4﹣2中，当点N（0，），满足条件， 此时直线NQ是解析式为y＝﹣x， 由，解得， ∴A（，）， ∴m． 解法二：过点A作AH⊥PQ于点H，设抛物线交PQ于点G． 设A（m，m2﹣2m），则PG．PH＝m，G（2m，4m2﹣4m）， 由HGm，得到（m2﹣2m）﹣（4m2﹣4m）m， ∴m． 如图4﹣3中，当正方形PQMN的边长为时，满足条件，此时m， 综上所述，满足条件的m的值为或或． 25．（2021•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A． （1）当m时，点A的坐标是 　（，1）　 ，抛物线与y轴交点的坐标是 　（0，）　 ； （2）若点A在第一象限，且OA，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围； （3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，求m的值； （4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值． 【解答】解：（1）当m时，y＝2（x）2+1， ∴顶点A（，1）， 令x＝0，得y， ∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，）， 故答案为：（，1），（0，）； （2）∵点A（m，2m）在第一象限，且OA， ∴m2+（2m）2＝（）2，且m＞0， 解得：m＝1， ∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2+2，当x≤1时，函数值y随x的增大而减小； （3）∵当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3， ∴分两种情况：2m＜m，即m＜0时，或2m＞m，即m＞0时， ①当m＜0时，2（2m﹣m）2+2m＝3， 解得：m（舍）或m， ②当m＞0时，2（m﹣m）2+2m＝3， 解得：m， 综上所述，m的值为或； （4）P（4，2）、Q（4，2﹣2m），抛物线y＝2（x﹣m）2+2m， ①当m＞1时，如图1， ∵2m＞2，2﹣2m＜0， ∴抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边没有交点； ②当m＝1时，如图2， ∵2m＝2，2﹣2m＝0， ∴抛物线y＝2（x﹣m）2+2m的顶点在边PM边上， 即抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边只有一个交点； ③当m＜1时，如图3， ∵1≤2m＜2，0＜2﹣2m≤1，P（4，2）、Q（4，2﹣2m）， ∴M（m，2），N（m，2﹣2m）， 抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，点C在MN边上， ∴令y＝2，则2＝2（x﹣m）2+2m， ∴x＝m 或 x＝m（不合题意，应舍去）， ∴B（m，2），C（m，2m）， 根据题意，得2m＝m， 解得：m或m（不合题意，应舍去）； ④当0≤m时，如图4， ∴点B在PM边上，点C在NQ边上， ∴B（m，2），C（m，2﹣2m）， 则2﹣2m＝m， 解得：m， ∵0≤m， ∴m， ⑤当m＜0时，如图5， ∵2m＜0，2﹣2m＞2， ∴点B在NQ边上，点C在PM边上， B（m，2﹣2m），C（m，2） 则|m|＝2， 当m2时，得m2﹣2m+3＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0， ∴该方程无解； 当m2时，得m2+6m+3＝0， 解得：m＝﹣3或m＝﹣3， 当m＝﹣3时， |m|＝|﹣3|＝24≠2， 不符合题意，舍去， 综上所述，m的值为或或﹣3． 26．（2020•长春）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A． （1）求点A的坐标． （2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围． （3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值． （4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1， ∴点A的坐标为：（0，﹣1）； （2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1， 得：2＝1﹣2a﹣1， 解得：a＝﹣1， ∴函数的表达式为：y＝x2+2x﹣1， ∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2， ∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，如图1所示： ∴当x≥﹣1时，y随x的增大而增大； （3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，顶点坐标为：（a，﹣a2﹣1）， 当a＞0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示： ∵x≤0， ∴最低点就是A（0，﹣1）， ∵图象的最低点到直线y＝2a的距离为2， ∴2a﹣（﹣1）＝2， 解得：a； 当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点， 如图3所示： ∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝2， 整理得：（a+1）2＝2， 解得：a1＝﹣1，a2＝﹣1（不合题意舍去）； 综上所述，a的值为或﹣1； （4）∵a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）， ∴直角边为EF与FG， ∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，A（0，﹣1）， ∴AA′＝﹣2a， 当点P在EF边上时，如图4所示： 则xp＝﹣1， ∵EA＝OA＝1， ∴点P在对称轴x＝a的左侧， ∴PP′＝2（a+1）， ∵AA′＝2PP′， ∴﹣2a＝2×2（a+1）， 解得：a； 当点P在FG边上时，如图5所示： 则yp＝a﹣1， ∴x2﹣2ax﹣1＝a﹣1， 解得：x1＝a，x2＝a， ∴PP′＝a（a）＝2， ∵AA′＝2PP′， ∴﹣2a＝4， 解得：a1，a2＝0（不合题意舍去）； 综上所述，a的值为或． 27．（2019•长春）已知函数y（n为常数） （1）当n＝5， ①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值； ②求此函数的最大值． （2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围． （3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围． 【解答】解：（1）当n＝5时， y， ①将P（4，b）代入yx2x， ∴b； ②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5； 当x＜5时，当x时有最大值为； ∴函数的最大值为； （2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中， ∴n， ∴n＜4时，图象与线段AB只有一个交点； 将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n中， ∴n＝2， 将点（2，2）代入yx2x中， ∴n， ∴2≤n时图象与线段AB只有一个交点； 综上所述：n＜4，2≤n时，图象与线段AB只有一个交点； （3）n＞0时，n，函数图象如图实线所示． ①如图1中，当点A的纵坐标为4时， 将点（4，2）代入yx2 x中，则有4时，解得n＝4或n＝﹣8（舍去）， 观察图象可知：n＝4时，满足条件的点恰好有四个，分别是A，B，C，D． ②如图2中，观察图象可知，当n≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D． n＜0时，n，函数图象如图中实线． ③如图3中，当点A的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D． 则有：n＝4时， 解得n＝﹣2﹣2或n＝﹣2+2（舍弃） ④如图4中，当n≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D． 综上所述，函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，n≤﹣8或n＝﹣2﹣2或n＝4或n≥8． 28．（2018•长春）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数yx2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数yx2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L． （1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值； （2）求L与m之间的函数关系式； （3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值； （4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当y0≤9时，直接写出L的取值范围． 【解答】解：（1）由题意E（0，1），A（﹣1，1），D（1，1） 把D（1，1）代入yx2+mx+1中，得到1m+1， ∴m． （2）∵抛物线G1的对称轴xm， ∴AE＝ED＝2m， ∵矩形ABCD的对称中心为坐标原点O， ∴AD＝BC＝4m，AB＝CD＝2， ∴L＝8m+4． （3）∵当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点， ∴抛物线G2的顶点M（﹣m，m2﹣1）在线段AE上， ∴m2﹣1＝1， ∴m＝2或﹣2（舍弃）， ∴L＝8×2+4＝20． （4）G1的顶点（m，m2+1），G1过点（2，2m﹣1），G2顶点（﹣m，m2﹣1），G2过点（﹣4，4m﹣9）． ①当m≤2，最高点是抛物线G1的顶点N（m，m2+1）时， 若m2+1，解得m＝1或﹣1（舍弃）， 若m2+1＝9时，m＝4或﹣4（舍弃）， 又∵m≤2， 观察图象可知满足条件的m的值为1≤m≤2， ②当2＜m≤4时，当M（﹣m，m2﹣1）是最高点，则m2﹣1＞2m﹣1， 解得m＞4，与条件矛盾， 此时（2，2m﹣1）是最高点， ∴， 解得2＜m≤4， ③当m＞4时，若（2，2m﹣1）是最高点，则2m﹣1＞4m﹣9， 解得m＜4与条件矛盾． ∴此时（﹣4，4m﹣9）是最高点，4m﹣9≤9， 解得4＜m， 综上所述，1≤m， ∴12≤L≤40． 29．（2017•长春）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它的相关函数为y． （1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y＝ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值； （2）已知二次函数y＝﹣x2+4x．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值； ②当﹣3≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x的相关函数的最大值和最小值； （3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（，1），（，1），连接MN．直接写出线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围． 【解答】解：（1）函数y＝ax﹣3的相关函数为y，将点A（﹣5，8）代入y＝﹣ax+3得：5a+3＝8，解得：a＝1． （2）二次函数y＝﹣x2+4x的相关函数为y ①当m＜0时，将B（m，）代入y＝x2﹣4x得m2﹣4m，解得：m＝2（舍去）或m＝2． 当m≥0时，将B（m，）代入y＝﹣x2+4x得：﹣m2+4m，解得：m＝2或m＝2． 综上所述：m＝2或m＝2或m＝2． ②当﹣3≤x＜0时，y＝x2﹣4x，抛物线的对称轴为x＝2，此时y随x的增大而减小， ∴此时y的最大值为． 当0≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x，抛物线的对称轴为x＝2，当x＝0有最小值，最小值为，当x＝2时，有最大值，最大值y． 综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x的相关函数的最大值为，最小值为； （3）如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3． 如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1， ∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1． ∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1）， ∴n＝1． 如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（，1）， ∴2﹣n＝1，解得：n． ∴1＜n时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n． 30．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，有抛物线y＝a（x﹣h）2．抛物线y＝a（x﹣3）2+4经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B，P是抛物线y＝a（x﹣3）2+4上一点，且在x轴上方，过点P作x轴的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点Q，过点Q作PQ的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点Q′（不与点Q重合），连接PQ′，设点P的横坐标为m． （1）求a的值； （2）当抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时，设△PQQ′与△OAB重叠部分图形的周长为l． ①求的值； ②求l与m之间的函数关系式； （3）当h为何值时，存在点P，使以点O，A，Q，Q′为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出h的值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣3）2+4经过原点， ∴x＝0时，y＝0， ∴9a+4＝0， ∴a． （2）∵抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时， ∴h＝0，∵a， ∴yx2． ①∵P（m，m），Q（m，）， ∴PQm﹣（）m，QQ′＝2m， ∴． ②如图1中，当0＜m≤3时，设PQ与OB交于点E，与OA交于点F， ∵，∠PQQ′＝∠BMO＝90°， ∴△PQQ′∽△BMO， ∴∠QPQ′＝∠OBM， ∵EF∥BM， ∴∠OEF＝∠OBM， ∴∠OEF＝∠QPQ′， ∴OE∥PQ′， ∵， ∴EF，OE， ∴l＝OF+EF+OE＝mm＝4m， 当3＜m＜6时，如图2中，设PQ′与AB交于点H，与x轴交于点G，PQ交AB于E，交OA于F，作HM⊥OA于M． ∵AF＝6﹣m，tan∠EAF， ∴EF（6﹣m），AE， ∵tan∠PGF，PF， ∴GFm2+2m， ∴AGm2+m+6， ∴GM＝AMm2m+3， ∵HG＝HAm2m+5， ∴l＝GH+EH+EF+FGm2+4m+8． 综上所述l， （3）如图3中，①当h＝3时，两个抛物线对称轴x＝3， ∴点O、A关于对称轴对称，点Q，Q′关于对称轴对称， ∴OA∥QQ′，OQ′＝AQ， ∴四边形OAQQ′是等腰梯形，属于轴对称图形． ②当四边形OQ′1Q1A是菱形时，OQ′1＝OA＝Q1＝Q′1＝6， 当顶点在原点时，Q1点横坐标为3，将x＝3代入 yx2，得 y＝4，由于是平移，Q点纵坐标不变， ∴点Q1的纵坐标为4， 在RT△OHQ′1，中，OH＝4，OQ′1＝6， ∴HQ′1＝2， ∴h＝3﹣2或3+2， 综上所述h＝3或3﹣2或3+2时点O，A，Q，Q′为顶点的四边形是轴对称图形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$