【10年压轴题】2016-2025年湖南省选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年湖南省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2025•湖南）如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 2．（2024•长沙）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F．设DE＝x，AF＝y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（　　） A．y B．y C．y D．y 3．（2023•长沙）“千门万户曈曈日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片（分别写有“福”字、春联、灯笼）的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品，现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（2022•长沙）如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点； ②作直线PQ交AB于点D； ③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM． 若AB＝2，则AM的长为（　　） A．4 B．2 C． D． 5．（2021•长沙）在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（　　） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9 6．（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（　　） A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟 7．（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CDBD的最小值是（　　） A．2 B．4 C．5 D．10 8．（2018•衡阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2017•长沙）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为（　　） A． B． C． D．随H点位置的变化而变化 10．（2016•长沙）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论： ①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根； ③a﹣b+c≥0；④的最小值为3． 其中，正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共10小题） 11．（2025•湖南）已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数． （1）若三角形为等边三角形，则t＝　 　 ； （2）下列结论正确的是　 　 ．（写出所有正确的结论） ①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形； ②若，则5＜t＜11； ③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7． 12．（2024•长沙）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 　 　 ． 13．（2023•长沙）毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 　 　 万里． 14．（2022•长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下： YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD（懂的都懂）：2200等于2002； JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6； QGYW（强国有我）：我知道210＝1024，103＝1000，所以我估计2200比1060大． 其中对2200的理解错误的网友是 　 　 （填写网名字母代号）． 15．（2021•长沙）某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图．那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为 　 　 ． 16．（2020•长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F． （1）　 　 ． （2）若PN2＝PM•MN，则　 　 ． 17．（2019•长沙）如图，函数y（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论： ①△ODM与△OCA的面积相等； ②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°； ③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2； ④若MFMB，则MD＝2MA． 其中正确的结论的序号是　 　 ．（只填序号） 18．（2018•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和yx的图象分别为直线l1，l2，过点A1（1，）作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，…依次进行下去，则点A2018的横坐标为　 　 ． 19．（2017•长沙）如图，点M是函数yx与y的图象在第一象限内的交点，OM＝4，则k的值为　 　 ． 20．（2016•长沙）若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是 　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•湖南）如图，已知二次函数y＝ax（x﹣4）（a≠0）的图象过点A（2，2），连接OA点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3）是此二次函数图象上的三个动点，且0＜x3＜x1＜x2＜2，过点P作PB∥y轴交线段OA于点B． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，点C、D在线段OA上，且直线QC、RD都平行于y轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答： ①当PB＞QC时，求证：x1+x2＞2； ②当PB＞RD时，求证：x1+x3＜2； （3）如图，若，延长PB交x轴于点T，射线QT、TR分别与y轴交于点Q1，R1，连接AP，分别在射线AT、x轴上取点M、N（点N在点T的右侧），且∠AMN＝∠PAO，．记t＝R1Q1﹣ON，试探究：当x为何值时，t有最大值？并求出t的最大值． 22．（2024•长沙）已知四个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）都在关于x的函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象上． （1）当A，B两点的坐标分别为（﹣1，﹣4），（3，4）时，求代数式2024a+1012b的值； （2）当A，B两点的坐标满足a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由； （3）当a＞0时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：2a2+2（y1+y2）a0，2a2﹣2（y3+y4）a0．请问是否存在实数（m＞1），使得AB，CD，m•EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：m•EF表示一条长度等于EF的m倍的线段）． 23．（2023•长沙）我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题： （1）若关于x的二次函数y1＝2x2+kx+3与y2＝mx2+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值； （2）对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数． ①求函数y2的图象的对称轴； ②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； （3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1＝ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F．当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由． 24．（2022•长沙）若关于x的函数y，当tx≤t时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”． （1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值； ②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式； （2）若函数y（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值； （3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 25．（2021•长沙）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ． （1）求sin∠AOQ的值； （2）求的值； （3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围． 26．（2020•长沙）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE． （1）求∠AOB的度数； （2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度； （3）分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12﹣S22＝21时，求弦AC的长度． 27．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C． （1）求点A的坐标； （2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E． ①如图1，求证：CE＝DE； ②如图2，连接AC，BE，BO，当a，∠CAE＝∠OBE时，求的值． 28．（2018•衡阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？ （2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式． 29．（2017•长沙）如图，抛物线y＝mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E． （1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值； （2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）； （3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB＝∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值． 30．（2016•长沙）如图，直线l：y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ＝135°． （1）求△AOB的周长； （2）设AQ＝t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标； （3）当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ＝m，若过点A的二次函数y＝ax2+bx+c同时满足以下两个条件： ①6a+3b+2c＝0； ②当m≤x≤m+2时，函数y的最大值等于，求二次项系数a的值． 【10年压轴题】2016-2025年湖南省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B A C B D B D 一．选择题（共10小题） 1．（2025•湖南）如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 【解答】解：2πRπR（千米），2πRπR（千米）， πRπRπR（千米）， ∴点A和点B之间的劣弧长约为πR千米． 故选：C． 2．（2024•长沙）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F．设DE＝x，AF＝y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（　　） A．y B．y C．y D．y 【解答】解：过D作DH⊥BC交BC的延长线于H， 在菱形ABCD中，AB＝6，AB∥CD，AB＝CD＝AD＝6，AD∥BC， ∴∠DCH＝∠B＝30°，∠ADF＝∠DEH， ∴DH， ∵AF⊥DE， ∴∠AFD＝∠EHD＝90°， ∴△ADF∽△DEH， ∴， ∴， ∴y， 故选：C． 3．（2023•长沙）“千门万户曈曈日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片（分别写有“福”字、春联、灯笼）的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品，现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：画树状图如下： ∴一共有9种等可能得情况，他们恰好领取同一类礼品的情况有3种， ∴他们恰好领取同一类礼品的概率是：， 故选：C． 4．（2022•长沙）如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点； ②作直线PQ交AB于点D； ③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM． 若AB＝2，则AM的长为（　　） A．4 B．2 C． D． 【解答】解：由作图可知，PQ是AB的垂直平分线， ∴AM＝BM， ∵以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M， ∴DA＝DM＝DB， ∴∠DAM＝∠DMA，∠DBM＝∠DMB， ∵∠DAM+∠DMA+∠DBM+∠DMB＝180°， ∴2∠DMA+2∠DMB＝180°， ∴∠DMA+∠DMB＝90°，即∠AMB＝90°， ∴△AMB是等腰直角三角形， ∴AMAB22， 故选：B． 5．（2021•长沙）在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（　　） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9 【解答】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片， ∴每人手里的数字不重复． 由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6； 由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3； 由丙：16，可知丙手中的数字可能是6和10，7和9； 由丁：7，可知丁手中的数字可能是1和6，2和5，3和4； 由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9； ∴丁只能是2和5，甲只能是4和7，丙只能是6和10，戊只能是8和9． ∴各选项中，只有A是正确的， 故选：A． 6．（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（　　） A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟 【解答】解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中， ， 解得， 所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9， 由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标： t3.75， 则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间． 故选：C． 7．（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CDBD的最小值是（　　） A．2 B．4 C．5 D．10 【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M． ∵BE⊥AC， ∴∠AEB＝90°， ∵tanA2，设AE＝a，BE＝2a， 则有：100＝a2+4a2， ∴a2＝20， ∴a＝2或﹣2（舍弃）， ∴BE＝2a＝4， ∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB， ∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等）， ∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA， ∴sin∠DBH， ∴DHBD， ∴CDBD＝CD+DH， ∴CD+DH≥CM， ∴CDBD≥4， ∴CDBD的最小值为4． 方法二：作CM⊥AB于M，交BE于点D，则点D满足题意．通过三角形相似或三角函数证得BD＝DM，从而得到CDBD＝CM＝4． 故选：B． 8．（2018•衡阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， 而抛物线的对称轴为直线x1，即b＝﹣2a， ∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，所以①正确； ∵2≤c≤3， 把x＝﹣1，y＝0代入y＝ax2+bx+c， 得a﹣b+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∴2≤﹣3a≤3， ∴﹣1≤a，所以②正确； ∵抛物线的顶点坐标（1，n）， ∴x＝1时，二次函数值有最大值n， ∴a+b+c≥am2+bm+c， 即a+b≥am2+bm，所以③正确； ∵抛物线的顶点坐标（1，n）， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选：D． 9．（2017•长沙）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为（　　） A． B． C． D．随H点位置的变化而变化 【解答】解：设CH＝x，DE＝y，则DHx，EHy， ∵∠EHG＝90°， ∴∠DHE+∠CHG＝90°． ∵∠DHE+∠DEH＝90°， ∴∠DEH＝∠CHG， 又∵∠D＝∠C＝90°，△DEH∽△CHG， ∴，即， ∴CG，HG， △CHG的周长为n＝CH+CG+HG， 在Rt△DEH中，DH2+DE2＝EH2 即（x）2+y2＝（y）2 整理得x2， ∴n＝CH+HG+CG． ∴． 解法二：连接AH、AG，作AM⊥HG于M． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB． ∴AM＝AB． ∵EA＝EH， ∴∠1＝∠2， ∵∠EAB＝∠EHG＝90°， ∴∠HAB＝∠AHG， ∵DH∥AB， ∴∠DHA＝∠HAB＝∠AHM， ∵AH＝AH，∠D＝∠AMH＝90°， ∴△AHD≌△AHM， ∴DH＝HM，AD＝AM， ∵AM＝AB，AG＝AG， ∴Rt△AGM≌Rt△AGB， ∴GM＝GB， ∴△GCH的周长＝n＝CH+HM+MG+CG＝CH+DH+CG+GB＝2BC， ∵四边形ABCD的周长＝m＝4BC， ∴ 故选：B． 10．（2016•长沙）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论： ①该抛物线的对称轴在y轴左侧； ②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根； ③a﹣b+c≥0； ④的最小值为3． 其中，正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵b＞a＞0 ∴0， 所以①正确； ∵抛物线与x轴最多有一个交点， ∴b2﹣4ac≤0， ∴关于x的方程ax2+bx+c+2＝0中，Δ＝b2﹣4a（c+2）＝b2﹣4ac﹣8a＜0， 所以②正确； ∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点， ∴x取任何值时，y≥0 ∴当x＝﹣1时，a﹣b+c≥0； 所以③正确； 当x＝﹣2时，4a﹣2b+c≥0 a+b+c≥3b﹣3a a+b+c≥3（b﹣a） 3 所以④正确． 故选：D． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•湖南）已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数． （1）若三角形为等边三角形，则t＝　2　 ； （2）下列结论正确的是　①②　 ．（写出所有正确的结论） ①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形； ②若，则5＜t＜11； ③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7． 【解答】解：（1）由题可知t＝1k+1k＝1+1＝2， 故答案为：2； （2）①当k＝2，t＝1时， 则，即a2+b2＝c2， ∴三角形为直角三角形， 故①正确，符合题意； ②当k＝1，c＝1时， 则， 1°当a＞b时，a﹣b＜c，即， 解得：b＞2； 2°当a＜b时，b﹣a＜c，即， 解得：b＜6． 综上，2＜b＜6． 当b＝2时，， 当b＝6时，； ∴5＜t＜11， 故②正确，符合题意； ③， ∴， 又a+b＞c， ∴， 不妨设a＝n，则b＝n+1，c＝n+2， ∴， 解得：1＜n≤7， ∴n可取2，3，4，5，6，7， 对应的t值分别为：，共6个， 故③错误，不符合题意． 故答案为：①②． 12．（2024•长沙）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 　2009　 ． 【解答】解：设这位参与者的出生年份x，选取的数字为m， （10m+4.6）×10+1978﹣x＝915 ∴100m+46+1978﹣x＝915， ∴x＝1109+100m， ∵此时中学生的出生时间应该在2000年后， ∴m＝9， ∴x＝2009． 故答案为：2009． 13．（2023•长沙）毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 　4　 万里． 【解答】解：设地球的半径为r万里， 则2πr＝8， 解得r， ∴火星的半径为万里， ∴经过火星球心的截面的圆的周长大约为2π4（万里）． 故答案为：4． 14．（2022•长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下： YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD（懂的都懂）：2200等于2002； JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6； QGYW（强国有我）：我知道210＝1024，103＝1000，所以我估计2200比1060大． 其中对2200的理解错误的网友是 　DDDD　 （填写网名字母代号）． 【解答】解：（1）∵2200就是200个2相乘， ∴YYDS（永远的神）的说法正确； ∵2200就是200个2相乘，2002是2个200相乘， ∴2200不等于2002， ∴DDDD（懂的都懂）说法不正确； ∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…， ∴2n的尾数2，4，8，6循环， ∵200÷4＝50， ∴2200的个位数字是6， ∴JXND（觉醒年代）说法正确； ∵210＝1024，103＝1000， ∴2200＝（210）20＝（1024）20，1060＝（103）20＝100020， ∵1024＞1000， ∴2200＞1060， ∴QGYW（强国有我）说法正确； 故答案为：DDDD． 15．（2021•长沙）某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图．那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为 　50　 ． 【解答】解：∵30÷25%＝120（份）， ∴一共抽取了120份作品， ∴此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为：120﹣30﹣28﹣12＝50（份）， 故答案为：50． 16．（2020•长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F． （1）　1　 ． （2）若PN2＝PM•MN，则　　 ． 【解答】解：（1）∵MN为⊙O的直径， ∴∠MPN＝90°， ∵PQ⊥MN， ∴∠PQN＝∠MPN＝90°， ∵NE平分∠PNM， ∴∠MNE＝∠PNE， ∴△PEN∽△QFN， ∴，即①， ∵∠PNQ+∠NPQ＝∠PNQ+∠PMQ＝90°， ∴∠NPQ＝∠PMQ， ∵∠PQN＝∠PQM＝90°， ∴△NPQ∽△PMQ， ∴②， ∴①×②得， ∵QF＝PQ﹣PF， ∴1， ∴1， 故答案为：1； 解法二：作EG⊥MN，则可证四边形PEGF为菱形， 又∵EG∥PQ，PF＝FG ∴， ∴1； （2）∵∠PNQ＝∠MNP，∠NQP＝∠NPM， ∴△NPQ∽△NMP， ∴， ∴PN2＝QN•MN， ∵PN2＝PM•MN， ∴PM＝QN， ∴， ∵cos∠M， ∴， ∴， ∴NQ2＝MQ2+MQ•NQ，即， 设，则x2+x﹣1＝0， 解得，x，或x0（舍去）， ∴， 故答案为：． 17．（2019•长沙）如图，函数y（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论： ①△ODM与△OCA的面积相等； ②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°； ③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2； ④若MFMB，则MD＝2MA． 其中正确的结论的序号是　①③④　 ．（只填序号） 【解答】解：①设点A（m，），M（n，）， 则直线AC的解析式为yx， ∴C（m+n，0），D（0，）， ∴S△ODMn，S△OCA（m+n）， ∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确； ∵反比例函数与正比例函数关于原点对称， ∴O是AB的中点， ∵BM⊥AM， ∴OM＝OA， ∴k＝mn， ∴A（m，n），M（n，m）， ∴AM（m﹣n），OM， ∴AM不一定等于OM， ∴∠BAM不一定是60°， ∴∠MBA不一定是30°．故②错误， ∵M点的横坐标为1， ∴可以假设M（1，k）， ∵△OAM为等边三角形， ∴OA＝OM＝AM， 1+k2＝m2， ∵m＞0，k＞0， ∴m＝k， ∵OM＝AM， ∴（1﹣m）21+k2， ∴k2﹣4k+1＝0， ∴k＝2， ∵m＞1， ∴k＝2，故③正确， 如图，作MK∥OD交OA于K． ∵OF∥MK， ∴， ∴， ∵OA＝OB， ∴， ∴， ∵KM∥OD， ∴2， ∴DM＝2AM，故④正确． 故答案为①③④． 18．（2018•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和yx的图象分别为直线l1，l2，过点A1（1，）作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，…依次进行下去，则点A2018的横坐标为　4504　 ． 【解答】解：由题意可得， A1（1，），A2（1，1），A3（﹣2，1），A4（﹣2，﹣2），A5（4，﹣2），A6（4，4），…， 可得A4n+2（4n，4n） ∵2018÷4＝504…2， ∴A2018在第一象限， ∴点A2018的横坐标为：4504， 故答案为：4504． 19．（2017•长沙）如图，点M是函数yx与y的图象在第一象限内的交点，OM＝4，则k的值为　4　 ． 【解答】解：作MN⊥x轴于N，如图所示： 设M（x，y）， ∵点M是函数yx与y的图象在第一象限内的交点， ∴M（x，x）， 在Rt△OMN中，由勾股定理得：x2+（x）2＝42， 解得：x＝2， ∴M（2，2）， 代入y得：k＝2×24； 故答案为：4． 20．（2016•长沙）若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是 　　 ． 【解答】解：由题意作出树状图如下： 一共有36种情况，“两枚骰子朝上的点数互不相同”有30种， 所以，P． 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•湖南）如图，已知二次函数y＝ax（x﹣4）（a≠0）的图象过点A（2，2），连接OA点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3）是此二次函数图象上的三个动点，且0＜x3＜x1＜x2＜2，过点P作PB∥y轴交线段OA于点B． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，点C、D在线段OA上，且直线QC、RD都平行于y轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答： ①当PB＞QC时，求证：x1+x2＞2； ②当PB＞RD时，求证：x1+x3＜2； （3）如图，若，延长PB交x轴于点T，射线QT、TR分别与y轴交于点Q1，R1，连接AP，分别在射线AT、x轴上取点M、N（点N在点T的右侧），且∠AMN＝∠PAO，．记t＝R1Q1﹣ON，试探究：当x为何值时，t有最大值？并求出t的最大值． 【解答】解：（1）把点A（2，2）代入二次函数y＝ax（x﹣4）（a≠0）中， 得﹣4a＝2，故a， 故此二次函数的表达式为y． （2）证明：选择①：由A（2，2）可知直线OA的表达式为y＝x， 由题意可知P（x1，2x1），B（x1，x1），Q（x2，2x2），C（x2，x2）， 故PB2x1﹣x1x1，QCx2， ∵PB＞QC，即x1， 整理可得（x2﹣x1）（x2+x1）＞x2﹣x1，由于x2﹣x1＞0， 故（x2+x1）＞1， 即x1+x2＞2； 选择②：同理得R（x3，2x3），D（x3，x3）， 故RDx3， ∵PB＞RD，即x1x3， 整理可得（x3﹣x1）（x3+x1）＞x3﹣x1，由于x3﹣x1＜0， 故（x3+x1）＜1， 即x1+x3＜2； （3）由待定系数法可求得直线AP的表达式为y＝（1）x+x1， 设直线AP交y轴于点G，如图2所示， 则OG＝x1＝OT， ∵∠GOA＝∠TOA＝45°， 在△GOA和△TOA中， ， ∴△GOA≌△TOA（SAS）， ∴∠PAO＝∠TAO， ∵∠AMN＝∠PAO， ∴∠AMN＝∠TAO， ∵AO2MN， 在△TOA和△TNM中， ， ∴△TOA≌△TNM（AAS）， ∴TN＝TO＝x1，ON＝2x1， 作QH⊥x轴于点H， 则tan∠QTH， 又∵tan∠QTH＝tan∠Q1TO， 即， ∴OQ1＝（）x1． ∵T（x1，0），R（x1，）， ∴由待定系数法可得直线RT的表达式为y＝（）x， 即OR1， ∴R1Q1＝OQ1+OR1， ∴t＝R1Q1﹣ON2x1， 故当x1时，t的最大值为． 即当x时，t的最大值为． 22．（2024•长沙）已知四个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）都在关于x的函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象上． （1）当A，B两点的坐标分别为（﹣1，﹣4），（3，4）时，求代数式2024a+1012b的值； （2）当A，B两点的坐标满足a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由； （3）当a＞0时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：2a2+2（y1+y2）a0，2a2﹣2（y3+y4）a0．请问是否存在实数（m＞1），使得AB，CD，m•EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：m•EF表示一条长度等于EF的m倍的线段）． 【解答】解：（1）将A（﹣1，﹣4），B（3，4）代入y＝ax2+bx+c得， ②﹣①得8a+4b＝8，即2a+b＝2． ∴． （2）此函数图象与x轴的公共点个数为两个． 方法1：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0， 得（a+2y1）（a+2y2）＝0， ∴，， ①当a＞0时，，此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方， ∴此时该函数图象与x轴有两个公共点； ②当a＜0时，，此抛物线开口向下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方， ∴此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点． 方法2：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0， 得（a+2y1）（a+2y2）＝0， ∴，， ∴抛物线上存在纵坐标为的点，即一元二次方程有解． ∴该方程根的判别式，即b2﹣4ac≥2a2． ∵a≠0，所以b2﹣4ac＞0． ∴原函数图象与x轴必有两个公共点． 方法3：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0， 可得或． ①当时，有，即， ∴． 此时该函数图象与x轴有两个公共点． ②当时，同理可得△＞0，此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点． （3）因为a＞0，所以该函数图象开口向上． ∵， ∴， ∴y1＝y2＝﹣a． ∵， ∴， ∴y3＝y4＝a， ∴直线AB，CD均与x轴平行． 由（2）可知该函数图象与x轴必有两个公共点， 设E（x5，0），F（x6，0）． 由图象可知，即b2﹣4ac＞4a2， ∴ax2+bx+c＝﹣a的两根为x1、x2， ∴， 同理ax2+bx+c＝a的两根为x3、x4，可得， 同理ax2+bx+c＝0的两根为x5、x6，可得， 由于m＞1，结合图象与计算可得AB＜EF＜m•EF，AB＜CD． 若存在实数m（m＞1），使得AB，CD，m•EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为 30°、60° 的直角三角形， ∴线段AB不可能是该直角三角形的斜边． ①当以线段CD为斜边，且两锐角分别为30°，60°时， ∵m•EF＞AB， ∴必须同时满足：AB2+（m•EF）2＝CD2，． 将上述各式代入化简可得，且， 联立解之得，， 解得，符合要求． ∴，此时该函数的最小值为． ②当以线段m•EF为斜边时，必有AB2+CD2＝（m•EF）2， 同理代入化简可得2（b2﹣4ac）＝m2（b2﹣4ac）， 解得， ∵以线段为斜边，且有一个内角为60°，而CD＞AB， ∴CD＝AB•tan60°，即， 化简得b2﹣4ac＝8a2＞4a2符合要求． ∴，此时该函数的最小值为． 综上所述，存在两个m的值符合题意；当时，此时该函数的最小值为，当时，此时该函数的最小值为﹣2a． 23．（2023•长沙）我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题： （1）若关于x的二次函数y1＝2x2+kx+3与y2＝mx2+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值； （2）对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数． ①求函数y2的图象的对称轴； ②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； （3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1＝ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F．当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由． 【解答】解：（1）由题意可知，a2＝c1，a1＝c2，b1＝﹣b2≠0， ∴m＝3，n＝2，k＝﹣1． 答：k的值为﹣1，m的值为3，n的值为2． （2）①∵点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动， ∴对称轴为x， ∴s＝﹣3r， ∴， ∴对称轴为x． 答：函数y2的图象的对称轴为x． ②， 令3x2+2x＝0， 解得， ∴过定点（0，1），（）． 答：函数y2的图象过定点（0，1），（）． （3）由题意可知，， ∴， ∴CD，EF， ∵CD＝EF且b2﹣4ac＞0， ∴|a|＝|c|． 1°若a＝﹣c，则， 要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形， 则△CAD，△CBD为等腰直角三角形， ∴CD＝2|yA|， ∴， ∴， ∴b2+4a2＝4， ∴， ∵b2＝4﹣4a2＞0， ∴0＜a2＜1， ∴S正＞2， 2°若a＝c，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形， 综上，当a＝﹣c时，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时S＞2． 24．（2022•长沙）若关于x的函数y，当tx≤t时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”． （1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值； ②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式； （2）若函数y（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值； （3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）①∵t＝1， ∴x， ∵函数y＝4044x， ∴函数的最大值M＝6066，函数的最小值N＝2022， ∴h＝2022； ②当k＞0时，函数y＝kx+b在tx≤t有最大值M＝ktk+b，有最小值N＝ktk+b， ∴hk； 当k＜0时，函数y＝kx+b在tx≤t有最大值M＝ktk+b，有最小值N＝ktk+b， ∴hk； 综上所述：h＝|k|； （2）t1，即t， 函数y（x≥1）最大值M，最小值N， ∴h， 当t时，h有最大值； （3）存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值，理由如下： ∵y＝﹣x2+4x+k＝﹣（x﹣2）2+4+k， ∴函数的对称轴为直线x＝2，y的最大值为4+k， ①当2≤t时，即t， 此时M＝﹣（t2）2+4+k，N＝﹣（t2）2+4+k， 此时h的最小值为； ②当t2时，即t， 此时N＝﹣（t2）2+4+k，M＝﹣（t2）2+4+k， ∴h＝2﹣t， ∵t， 此时h的最小值为； ③当t2≤t，即2≤t， 此时N＝﹣（t2）2+4+k，M＝4+k， ∴h（t）2， ∴h的最小值为， 由题意可得，4+k， 解得k； ④当t＜2≤t，即t＜2， 此时N＝﹣（t2）2+4+k，M＝4+k， ∴h（t）2， ∴h的最小值为； 综上，我们发现h的最小值为 ∴4+k， 解得k； 综上所述：k的值为． 25．（2021•长沙）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ． （1）求sin∠AOQ的值； （2）求的值； （3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围． 【解答】解：（1）如图，连接OP． ∵四边形MNPQ是正方形， ∴∠OMQ＝∠ONP＝90°，MQ＝PN， ∵OQ＝OP， ∴Rt△OMQ≌Rt△ONP（HL）， ∴OM＝ON， 设OM＝ON＝m，则MQ＝2m，OQm， ∴sin∠AOQ． （2）由（1）可知OM＝ON＝m，OQ＝OAm，MN＝2m， ∴AM＝OA﹣OMm﹣m， ∴． （3）∵AB＝2R， ∴OA＝OB＝OQ＝R， ∵QM＝2MO， ∴OM，MQ， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， ∵∠CED＝∠AEM， ∴∠A＝∠D， ∵∠AME＝∠DMB＝90°， ∴△AME∽△DMB， ∴， ∴， ∴y， 当点C与P重合时，， ∴， ∴xR， ∴R＜xR． 26．（2020•长沙）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE． （1）求∠AOB的度数； （2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度； （3）分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12﹣S22＝21时，求弦AC的长度． 【解答】解：（1）如图1中，过点O作OH⊥AB于H． ∵OA＝OB＝4，OH⊥AB， ∴AH＝HBAB＝2，∠AOH＝∠BOH， ∴sin∠AOH， ∴∠AOH＝60°， ∴∠AOB＝2∠AOH＝120°． （2）如图2中，连接OC，取OC的中点P，连接DP， ∵OA＝OC＝OB，AD＝DC，CE＝EB， ∴OD⊥AC，OE⊥CB， ∴∠ODC＝∠OEC＝90°， ∴∠ODC+∠OEC＝180°， ∴O，D，C，E四点共圆， ∴OC是直径， ∴OC的中点P是△OED的外接圆的圆心， ∴OPOC＝2， ∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上运动， ∵∠AOB＝120°， ∴点P的运动路径的长． （3）当点C靠近A点时， 如图3中，当AC＜BC时，连接OC交AB于J，过点O作OH⊥AB于H，过点C作CK⊥AB于K． ∵AD＝CD，CE＝EB， ∴DE∥AB，AB＝2DE， ∴△CDE∽△CAB， ∴（）2， ∴S△ABC＝4S2， ∵S△ADO＝S△ODC，S△OBE＝S△OEC， ∴S四边形ODCES四边形OACB， ∴S1+S2（4S2+4）＝2S2+2， ∴S1＝S2+2， ∵S12﹣S22＝21， ∴S22+4S2+12﹣S22＝21， ∴S2， ∴S△ABC＝3AB×CK， ∴CK， ∵OH⊥AB，CK⊥AB， ∴OH∥CK， ∴△CKJ∽△OHJ， ∴， ∴， ∴CJ4，OJ4， ∴JK，JH， ∴KH， ∴AK＝AH﹣KH＝2， ∴AC． 当点C靠近点B时，即AC＞BC时，同法可得AC． 综上所述，满足条件的AC的值为±． 27．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C． （1）求点A的坐标； （2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E． ①如图1，求证：CE＝DE； ②如图2，连接AC，BE，BO，当a，∠CAE＝∠OBE时，求的值． 【解答】解：（1）令ax2+6ax＝0， ax（x+6）＝0， ∴A（﹣6，0）； （2）①证明：如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M， ∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点， ∴PM⊥OA，∠PBC+∠BDM＝90°， 又∵PC＝PB， ∴∠PCB＝∠PBC， ∵CE为切线， ∴∠PCB+∠ECD＝90°， 又∵∠BDM＝∠CDE， ∴∠ECD＝∠CDE， ∴CE＝DE． ②解：设OE＝m，点D的坐标为（t，0）， ∵∠CAE＝∠CBO，∠CAE＝∠OBE， ∴∠CBO＝∠EBO， 由角平分线成比例定理可得：， 即：， ∴， ∴， ∴， ， ． 28．（2018•衡阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？ （2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式． 【解答】解：（1）如图1中，连接BP． 在Rt△ACB中，∵AC＝BC＝4，∠C＝90°， ∴AB＝4 ∵点B在线段PQ的垂直平分线上， ∴BP＝BQ， ∵AQt，CP＝t， ∴BQ＝4t，PB2＝42+t2， ∴（4t）2＝16+t2， 解得t＝8﹣4或8+4（舍弃）， ∴t＝（8﹣4）s时，点B在线段PQ的垂直平分线上． （2）①如图2中，当PQ＝QA时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠AQP＝90°． 则有PAAQ， ∴4﹣t•t， 解得t． ②如图3中，当AP＝PQ时，易知△APQ是等腰直角三角形，∠APQ＝90°． 则有：AQAP， ∴t（4﹣t）， 解得t＝2， 综上所述：ts或2s时，△APQ是以PQ为腰的等腰三角形． （3）如图4中，连接QC，作QE⊥AC于E． 由题意AE＝QE＝t，CN＝CP＝t， ∴CN＝QE，CN∥EQ， ∵PM＝CN，PM∥CN， ∴Q，M，N共线， ∵S•（QN+PC）•CN＝2t（0＜t＜4）． 29．（2017•长沙）如图，抛物线y＝mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E． （1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值； （2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）； （3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB＝∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值． 【解答】解：（1）令y＝mx2﹣16mx+48m＝m（x﹣4）（x﹣12）＝0，则x1＝12，x2＝4， ∴A（12，0），即OA＝12， 又∵C（0，48m）， ∴当△OAC为等腰直角三角形时，OA＝OC， 即12＝48m， ∴m； （2）由（1）可知点C（0，48m）， ∵对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称， ∴必有E（0，﹣48m）， 设直线AE的解析式为y＝kx+b， 将E（0，﹣48m），A（12，0）代入，可得 ，解得， ∴直线AE的解析式为y＝4mx﹣48m， ∵点D为直线AE与抛物线的交点， ∴解方程组，可得或（点A舍去）， 即点D的坐标为（8，﹣16m）； （3）当∠ODB＝∠OAD，∠DOB＝∠AOD时，△ODB∽△OAD， ∴OD2＝OA×OB＝4×12＝48， ∴OD＝4， 又∵点D为线段AE的中点， ∴AE＝2OD＝8， 又∵OA＝12， ∴OE4， ∴D（6，﹣2）， 把D（6，﹣2）代入抛物线y＝mx2﹣16mx+48m，可得﹣236m﹣96m+48m， 解得m， ∴抛物线的解析式为y（x﹣4）（x﹣12）， 即y（x﹣8）2， ∵点P（x0，y0）为抛物线上任意一点， ∴y0， 令t＝﹣4my02﹣12y0﹣50＝﹣2y02﹣12y0﹣50＝﹣2（y0+3）2+4， 则当y0时，t最大值＝﹣2（3）2+4， 若要使n4my02﹣12y0﹣50成立，则n， ∴n≥3， ∴实数n的最小值为． 30．（2016•长沙）如图，直线l：y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ＝135°． （1）求△AOB的周长； （2）设AQ＝t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标； （3）当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ＝m，若过点A的二次函数y＝ax2+bx+c同时满足以下两个条件： ①6a+3b+2c＝0； ②当m≤x≤m+2时，函数y的最大值等于，求二次项系数a的值． 【解答】解：（1）在函数y＝﹣x+1中，令x＝0，得y＝1， ∴B（0，1）， 令y＝0，得x＝1， ∴A（1，0）， 则OA＝OB＝1，AB， ∴△AOB周长为1+12． （2）∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO＝45°， ∴∠PBO＝∠QAO＝135°， 设∠POB＝x，则∠OPB＝∠AOQ＝135°﹣x﹣90°＝45°﹣x， ∴△PBO∽△OAQ， ∴， ∴PB， 过点P作PH⊥OB于H点， 则△PHB为等腰直角三角形， ∵PB， ∴PH＝HB， ∴P（，1）． （3）由（2）可知△PBO∽△OAQ，若它们的周长相等，则相似比为1，即全等， ∴PB＝OA， ∴1， ∴t＝1， 同理可得Q（1，）， ∴m1， ∵抛物线经过点A， ∴a+b+c＝0， 又∵6a+3b+2c＝0， ∴b＝﹣4a，c＝3a， 对称轴x＝2，取值范围1≤x1， ①若a＞0，则开口向上， 由题意x1时取得最大值22， 即（1）2a+（1）b+c＝22， 解得a． ②若a＜0，则开口向下， 由题意x＝2时取得最大值22， 即4a+2b+c＝22， 解得a＝﹣22． 综上所述所求a的值为或﹣22． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$