【10年压轴题】2016-2025年湖北省选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年湖北省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2025•湖北）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE＝2，则CG的长是（　　） A． B．2 C． D． 2．（2024•武汉）如图，小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3﹣3x2+3x﹣1的图象，发现它关于点（1，0）中心对称．若点A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3），…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是（　　） A．﹣1 B．﹣0.729 C．0 D．1 3．（2023•武汉）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S＝N，其中N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），则△ABO内部的格点个数是（　　） A．266 B．270 C．271 D．285 4．（2022•武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 5．（2021•武汉）已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（　　） A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36 6．（2020•武汉）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片． 把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法．图（4）是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是（　　） A．160 B．128 C．80 D．48 7．（2019•武汉）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（　　） A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a 8．（2018•武汉）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（　　） A． B． C． D． 9．（2017•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（2016•武汉）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 二．填空题（共10小题） 11．（2025•湖北）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝n cm．动点P，Q均以1cm/s的速度从点C同时出发，点P沿折线C→B→A向点A运动，点Q沿边CA向点A运动．当点Q运动到点A时，两点都停止运动．△PCQ的面积S（单位：cm2）与运动时间t（单位：s）的关系如图2所示． （1）m＝ 　 　 ； （2）n＝ 　 　 ． 12．（2024•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论： ①b＞0； ②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1； ③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解； ④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m． 其中正确的是 　 　 （填写序号）． 13．（2023•武汉）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是 　 　 ． 14．（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是 　 　 ． 15．（2021•武汉）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是 　 　 ． 16．（2020•武汉）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是　 　 ． 17．（2019•武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE． 问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是　 　 ． 18．（2018•武汉）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 　 　 ． 19．（2017•武汉）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是 　 　 ． 20．（2016•武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，则BD的长为　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•湖北）抛物线yx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求c的值； （2）如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； （3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的垂线l1，l2，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l3，l4，直线l1，l2，l3与l4围成的矩形叫做抛物线弧MN的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为f． ①求f关于t的函数解析式； ②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为g．若f+g，直接写出PQ的长． 22．（2024•武汉）抛物线yx2+2x交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图（1），连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q．若BC平分线段PQ，求点P的坐标； （3）如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段DE交抛物线于另一点G，连接FG．若∠EGF＝90°，求直线DE的解析式． 23．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值； （3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 24．（2022•武汉）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P． （1）直接写出A，B两点的坐标； （2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标； （3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）． 25．（2021•武汉）抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）． （1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上； ①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标． ②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标． （2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值． 26．（2020•武汉）将抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2． （1）直接写出抛物线C1，C2的解析式； （2）如图（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标； （3）如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线yx与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点． 27．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2 （1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？ （2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线yx+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ． ①若AP＝AQ，求点P的横坐标； ②若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标． （3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系． 28．（2018•武汉）抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B． （1）直接写出抛物线L的解析式； （2）如图1，过定点的直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值； （3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标． 29．（2017•武汉）已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx上， （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE； （3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值． 30．（2016•武汉）抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方． （1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）． ①求该抛物线的解析式； ②若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标； （2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 【10年压轴题】2016-2025年湖北省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D D A C B D A 一．选择题（共10小题） 1．（2025•湖北）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE＝2，则CG的长是（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：如图，过G作GH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝AB＝AD，∠BCD＝∠ADC＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°，AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD， 由对折可得：BC＝BF，CE＝EF，∠BFE＝∠BCE＝90°＝∠DFE，∠FBE＝∠CBE， ∴∠DEF＝∠FDE＝45°，而， ∴DF＝EF＝DE•sin45°＝2， ∴， ∴， ∴， ∵∠FBE＝∠CBE，GH⊥BC，AC⊥BD， ∴OG＝HG， ∵BG＝BG， ∴Rt△OBG≌Rt△HBG， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 方法二：设AC与BD交于点O， ∵∠FBE＝∠CBE＝22.5°，∠BOG＝90°， ∴∠OGB＝67.5°＝∠CGE，∠CEG＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠CEG＝∠CGE＝67.5°， ∴CG＝CE＝EF＝2， 故选：B． 2．（2024•武汉）如图，小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3﹣3x2+3x﹣1的图象，发现它关于点（1，0）中心对称．若点A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3），…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是（　　） A．﹣1 B．﹣0.729 C．0 D．1 【解答】解：法一：由题知， 点A10的坐标为（1，0）， 则y10＝0． 因为函数图象关于点（1，0）中心对称， 所以y9+y11＝y8+y12＝…＝y1+y19＝0， 将x＝2代入函数解析式得， y＝23﹣3×22+3×2﹣1＝1， 即y20＝1， 所以y1+y2+y3+…+y19+y20的值为1． 法二：将x＝0代入函数解析式得y＝﹣1， 记此点为A0（0，﹣1）， 则y0＝﹣1． 结合上述过程可知， y9+y11＝y8+y12＝…＝y1+y19＝y0+y20＝0， 所以y0+y1+y2+…+y20＝0， 则y1+y2+…+y20＝y0+y1+y2+…+y20﹣y0＝0﹣（﹣1）＝1． 故选：D． 3．（2023•武汉）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S＝N，其中N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），则△ABO内部的格点个数是（　　） A．266 B．270 C．271 D．285 【解答】解：由A（0，30）可知边OA上有31个格点（含点O，A）， ∵直线OB的解析式为yx， ∴当x为小于或等于20的正偶数时y也为整数，即OB边上有10个格点（不含端点O，含端点B）； ∵直线AB的解析式为y＝﹣x+30， ∴当0＜x＜20且x为整数时，y均为整数，故边AB上有19个格点（不含端点）， ∴L＝31+19+10＝60， ∵△ABO的面积为S30×20＝300， ∴300＝N60﹣1， ∴N＝271． 故选：C． 4．（2022•武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【解答】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴最左下角的数为：6+20﹣22＝4， ∴最中间的数为：x+6﹣4＝x+2，或x+6+20﹣22﹣y＝x﹣y+4， 最右下角的数为：6+20﹣（x+2）＝24﹣x，或x+6﹣y＝x﹣y+6， ∴， 解得：， ∴x+y＝12， 故选：D． 5．（2021•武汉）已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（　　） A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36 【解答】解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根， ∴a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，a+b＝3, ∴a2﹣3a＝5，b2＝3b+5， ∴2a3﹣6a2+b2+7b+1 ＝2a（a2﹣3a)+3b+5+7b+1 ＝10a+10b+6 ＝10(a+b)+6 ＝10×3+6 ＝36． 故选：D． 6．（2020•武汉）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片． 把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法．图（4）是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是（　　） A．160 B．128 C．80 D．48 【解答】解：观察图象可知（4）中共有2×4×5＝40个3×2的长方形， 由（3）可知，每个3×2的长方形有4种不同放置方法， 则n的值是40×4＝160． 故选：A． 7．（2019•武汉）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（　　） A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a 【解答】解：∵2+22＝23﹣2； 2+22+23＝24﹣2； 2+22+23+24＝25﹣2； … ∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2， ∴250+251+252+…+299+2100 ＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249） ＝（2101﹣2）﹣（250﹣2） ＝2101﹣250， ∵250＝a， ∴2101＝（250）2•2＝2a2， ∴原式＝2a2﹣a． 故选：C． 8．（2018•武汉）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图， ∵D为AB的中点， ∴OD⊥AB， ∴AD＝BDAB＝2， 在Rt△OBD中，OD1， ∵将弧沿BC折叠， ∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆， ∴， ∴AC＝DC， ∴AE＝DE＝1， ∵∠ODE＝∠OFE＝∠DEF＝90°， ∴四边形ODEF是矩形， ∵DE＝OD＝1， ∴四边形ODEF是正方形， ∴OF＝EF＝1， 在Rt△OCF中，CF2， ∴CE＝CF+EF＝2+1＝3， 而BE＝BD+DE＝2+1＝3， ∴BC＝3． 故选：B． 9．（2017•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：如图： 故选：D． 10．（2016•武汉）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）． ∴AB＝2， ①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即（0，0）、（4，0）、（0，4）， ∵点（0，4）与直线AB共线， ∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个； ②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个； ③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个； 综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个． 故选：A． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•湖北）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝n cm．动点P，Q均以1cm/s的速度从点C同时出发，点P沿折线C→B→A向点A运动，点Q沿边CA向点A运动．当点Q运动到点A时，两点都停止运动．△PCQ的面积S（单位：cm2）与运动时间t（单位：s）的关系如图2所示． （1）m＝ 　8　 ； （2）n＝ 　12　 ． 【解答】解：（1）观察图象可知，当t＝4时，点P与点B重合， ∵动点P，Q均以1cm/s的速度从点C同时出发， ∴CB＝CP＝CQ＝4cm， ∵∠C＝90°， ∴， 故答案为：8； （2）由图象可知，当t＝10时，S＝10，此时CQ＝10，BP＝10﹣BC＝6， 过点P作PD⊥AC于点D，如图，则∠PDA＝90°， ∵， ∴PD＝2， ∵∠PDA＝∠C＝90°，∠A＝∠A， ∴△ADP∽△ACB， ∴， ∴， ∴P为AB的中点， ∴AB＝2BP＝12， 故答案为：12． 12．（2024•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论： ①b＞0； ②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1； ③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解； ④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m． 其中正确的是 　②③④　 （填写序号）． 【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∵a＜0， ∴b＜0，故①错误； ∵0＜m＜1， ∴m﹣（﹣1）＞1，即（﹣1，1），（m，1）两点之间的距离大于1， 又∵a＜0， ∴x＝m﹣1时，y＞1， ∴若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1，故②正确； 由①可得， ∴，即﹣1＜b＜0， 当a＝﹣1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+c， 设顶点纵坐标为， ∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1）， ∴﹣1﹣b+c＝1， ∴c＝b+2， ∴， ∵﹣1＜b＜0，，对称轴为直线b＝﹣2， ∴当b＝0时，t取得最大值为2，而b＜0， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无解，故③正确； ∵a＜0，抛物线开口向下，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，，x1＞x2，总有y1＜y2， 又， ∴点A（x1，y1）离较远， ∴对称轴， 解得：，故④正确； 故答案为：②③④． 13．（2023•武汉）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是 　　 ． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵折叠△BDE得到△FDE， ∴△BDE≌△FDE， ∴S△BDE＝S△FDE，∠F＝∠B＝60°＝∠A＝∠C， ∵DE平分等边△ABC的面积， ∴图形ACED的面积＝S△BDE＝S△FDE， ∴S△FHG＝S△ADG+S△CHE， ∵∠AGD＝∠FGH，∠CHE＝∠FHG， ∴△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG， ∴2， ∴， ∴GH2＝m2+n2， 解得GH或GH（不合题意舍去）， 故答案为：． 14．（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是 　80　 ． 【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N， ∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4， ∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°， ∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°， ∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN， ∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS）， ∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4， ∴DM＝NF， ∴△DMI≌△FNI（AAS）， ∴DI＝FI，MI＝NI， ∵∠DCF＝90°， ∴DI＝FI＝CI＝5， 在Rt△DMI中，由勾股定理可得： MI3， ∴NI＝MI＝3， ∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2， ∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10， ∵四边形ABHL为正方形， ∴AL＝AB＝10， ∵四边形AJKL为矩形， ∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80， 故答案为：80． 15．（2021•武汉）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是 　1　 ． 【解答】解：∵图象过点（0，2）， 即当x＝AD＝BE＝0时，点D与A重合，点E与B重合， 此时y＝AE+CD＝AB+AC＝2， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝AC＝1， 过点A作AF⊥BC于点F，过点B作NB⊥BC，并使得BN＝AC，如图所示： ∵AD＝BE，∠NBE＝∠CAD， ∴△NBE≌△CAD（SAS）， ∴NE＝CD， 又∵y＝AE+CD， ∴y＝AE+CD＝AE+NE， 当A、E、N三点共线时，y取得最小值，如图所示，此时： AD＝BE＝x，AC＝BN＝1， ∴AF＝AC•sin45°， \又∵∠BEN＝∠FEA，∠NBE＝∠AFE ∴△NBE∽△AFE ∴，即， 解得：x， ∴图象最低点的横坐标为：1． 故答案为：． 16．（2020•武汉）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是　　 ． 【解答】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G， 设DE＝x＝EM，则EA＝2﹣x， ∵AE2+AM2＝EM2， ∴（2﹣x）2+t2＝x2， 解得x1， ∴DE1， ∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处， ∴EF⊥DM， ∠ADM+∠DEF＝90°， ∵EG⊥AD， ∴∠DEF+∠FEG＝90°， ∴∠ADM＝∠FEG， ∴tan∠ADM， ∴FG， ∵CG＝DE1， ∴CF1， ∴S四边形CDEF（CF+DE）×1t+1． 故答案为：t+1． 17．（2019•武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE． 问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是　2　 ． 【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD， 在△ABG和△ADP中 ， ∴△ABG≌△ADP（SAS）， ∴AG＝AP，BG＝DP， ∴GC＝PE， ∵∠GAP＝∠BAD＝60°， ∴△AGP是等边三角形， ∴AP＝GP， ∴PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE ∴PA+PC＝PE； （2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F． ∵△MGD和△OME是等边三角形 ∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD， ∴∠GMO＝∠DME 在△GMO和△DME中 ∴△GMO≌△DME（SAS）， ∴OG＝DE ∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO ∴当D、E、O、N四点共线时，NO+GO+MO值最小， ∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°， ∴∠NMD＝135°， ∴∠DMF＝45°， ∵MG． ∴MF＝DF＝4， ∴NF＝MN+MF＝6+4＝10， ∴ND2， ∴MO+NO+GO最小值为2， 故答案为2， 18．（2018•武汉）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 　　 ． 【解答】解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N， ∵DE平分△ABC的周长， ∴ME＝EB，又AD＝DB， ∴DEAM，DE∥AM， ∵∠ACB＝60°， ∴∠ACM＝120°， ∵CM＝CA， ∴∠ACN＝60°，AN＝MN， ∴AN＝AC•sin∠ACN， ∴AM， ∴DE， 故答案为：． 19．（2017•武汉）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是 　a或﹣3＜a＜﹣2　 ． 【解答】解：∵y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a）， ∴当y＝0时，x1，x2＝﹣a， ∴抛物线与x轴的交点为（，0）和（﹣a，0）． ∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3， ∴当a＞0时，23，解得a； 当a＜0时，2＜﹣a＜3，解得﹣3＜a＜﹣2． 故答案为：a或﹣3＜a＜﹣2． 20．（2016•武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，则BD的长为　2　 ． 【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示： 则∠M＝90°， ∴∠DCM+∠CDM＝90°， ∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC2＝AB2+BC2＝25， ∵CD＝10，AD＝5， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°， ∴∠ACB+∠DCM＝90°， ∴∠ACB＝∠CDM， ∵∠ABC＝∠M＝90°， ∴△ABC∽△CMD， ∴， ∴CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8， ∴BM＝BC+CM＝10， ∴BD2， 故答案为：2． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•湖北）抛物线yx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求c的值； （2）如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； （3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的垂线l1，l2，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l3，l4，直线l1，l2，l3与l4围成的矩形叫做抛物线弧MN的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为f． ①求f关于t的函数解析式； ②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为g．若f+g，直接写出PQ的长． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入， 得， ∴， （2）由（1）可知：， ∴T（1，﹣2）， ∵P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t， ∴， ∵过点P作对称轴的垂线，垂足为H， ∴PH＝1﹣t，， ∴； （3）①当x＝0时，，当时，x1＝﹣1，x2＝3， ∴，B（3，0）， 由（2）可知：T（1，﹣2），，对称轴为直线x＝1， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵P在第四象限， ∴0＜t＜3， 当0＜t≤1时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为P，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 当1＜t≤2时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 当2＜t＜3时，抛物线弧CP的最高点为P，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴， 综上：； ②∵PQ∥x轴， ∴P，Q关于对称轴对称， ∴， 当0＜t≤l时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：2﹣t，， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 当1＜t≤2时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为Q，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：2﹣t，， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当2＜t＜3时，抛物线弧CP的最高点为Q，最低点为C，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t﹣2，， ∴； ∵， ∴， 解得：（舍去）或t， ∴PQ＝t﹣2+t＝2t﹣22， 综上： 22．（2024•武汉）抛物线yx2+2x交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图（1），连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q．若BC平分线段PQ，求点P的坐标； （3）如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段DE交抛物线于另一点G，连接FG．若∠EGF＝90°，求直线DE的解析式． 【解答】解：（1）在yx2+2x中，令x＝0得y， ∴C（0，）， 令y＝0得0x2+2x， 解得x＝﹣5或x＝1， ∴A（1，0），B（﹣5，0）； （2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 把A（，0），C（0，）代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为yx， 由PQ∥AC，设直线PQ的解析式为yx+b'， 设P（t，t2+2t）， ∴t2+2tt+b'， ∴b't2t， ∴直线PQ的解析式为yxt2t， 令x＝0得yt2t， ∴Q（0，t2t）； ∵BC平分线段PQ， ∴PQ的中点（，t2t）在直线BC上， 由B（﹣5，0），C（0，）得直线BC解析式为yx， ∴t2t， 解得t＝﹣2或t＝0（舍去）， ∴P（﹣2，）； （3）过点G作TS∥x轴，过点E，F分别作TS的垂线，垂足分别为T，S，如图： ∴∠T＝∠S＝∠EGF＝90°， ∴∠EGT＝90°﹣∠FGS＝∠GFS， ∴△ETG∽△GSF， ∴， ∴ET•FS＝GS•TG， ∵点D与原点O关于 对称， ∴D（0，﹣5）， 设直线EF的解析式为y1＝k1x，直线ED的解析式为y2＝k2x﹣5， 联立得：k1xx2+2x， ∴x2+（2﹣k1）x0， 联立 得：k2x﹣5x2+2x， ∴x2+（2﹣k2）x0， 设xE＝e，xF＝f，xG＝g， ∴ef＝﹣5，eg＝5，e+g＝2k2﹣4， ∴f＝﹣g，ETe2+2e（g2+2g）（e+g+4）（e﹣g），FSf2+2f（g2+2g）（f+g+4）（f﹣g）， ∵ET•FS＝GS•TG， ∴（e+g+4）（e﹣g）•（f+g+4）（f﹣g）＝（g﹣e）（f﹣g）， ∴（e+g+4）（e﹣g）•（﹣g+g+4）（﹣g﹣g）＝（g﹣e）（﹣g﹣g）， ∴e+g＝﹣5， ∴2k2﹣4＝﹣5， 解得k2， ∴直线DE解析式为yx﹣5． 23．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值； （3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣8＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝4， 当x＝0时，y＝﹣8， ∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）． （2）∵F是直线x＝t与抛物线 C1的交点， ∴F（t，t2﹣2t﹣8）． ①如图，若△BE1D1∽△CE1F1时． 则∠BCF1＝∠CBO， ∴CF1∥OB． ∵C（0，﹣8）， ∴t2﹣2t﹣8＝﹣8． 解得：t＝0（舍去）或t＝2． ②如图，若△BE2D2∽△F2E2C时． 过 F2 作F2T⊥y轴于点T． ∵∠BCF2＝∠BD2E2＝90°， ∴∠CBO+∠BCO＝90°，∠F2CT+∠BCO＝90°， ∴∠F2CT＝∠OBC， 又∵∠CTF2＝∠BOC， ∴△BCO∽△CF2T， ∴， ∵B（4，0），C（0，﹣8）， ∴OB＝4，OC＝8． ∵F2T＝t，CT＝﹣8﹣（t2﹣2t﹣8）＝2t﹣t2， ∴， ∴2t2﹣3t＝0， 解得：t＝0（舍去）或 ， 综上，符合题意的t的值为2或； （3）点P在一条定直线上． 由题意知抛物线C2：y＝x2， ∵直线OG的解析式为y＝2x， ∴G（2，4）． ∵H是OG的中点， ∴H（1，2）． 设 M（m，m2），N（n，n2），直线MN的解析式为y＝k1x+b1． 则， 解得：， ∴直线MN的解析式为y＝（m+n）x﹣mn． ∵直线MN经过点H（1，2）， ∴mn＝m+n﹣2． 同理，直线GN的解析式为y＝（n+2）x﹣2n；直线MO的解析式为y＝mx． 联立，得， ∵直线OM与NG相交于点P， ∴n﹣m+2≠0． 解得：， ∵mn＝m+n﹣2， ∴P（，）． 设点P在直线y＝kx+b上，则， 整理得，2m+2n﹣4＝2kn+bn﹣bm+2b＝﹣bm+（2k+b）n+2b， 比较系数，得， ∴k＝2，b＝﹣2． ∴当k＝2，b＝﹣2时，无论m，n为何值时，等式恒成立． ∴点P在定直线y＝2x﹣2上． 24．（2022•武汉）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P． （1）直接写出A，B两点的坐标； （2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标； （3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）． 【解答】解：（1）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝3或﹣1， ∴A（﹣1，0），B（3，0）； （2）∵OP＝OA＝1， ∴P（0，1）， ∴直线AC的解析式为y＝x+1． ①若点D在AC的下方时， 过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1． ∵B（3，0），BD1∥AC， ∴直线BD1的解析式为y＝x﹣3， 由，解得或， ∴D1（0，﹣3）， ∴D1的横坐标为0． ②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（0，5）， 过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件． 直线l的解析式为y＝x+5， 由，可得x2﹣3x﹣8＝0， 解得x或， ∴D2，D3的横坐标为，， 综上所述，满足条件的点D的横坐标为0，，． （3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b， 由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0， 设x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x1x2＝﹣3﹣b， ∴xA•xC＝xB•xE＝﹣3﹣b ∵xA＝﹣1， ∴xC＝3+b， ∴m＝3+b， ∵xB＝3， ∴xE＝﹣1， ∴n＝﹣1， 设直线CE的解析式为y＝px+q， 同法可得mn＝﹣3﹣q ∴q＝﹣mn﹣3， ∴q＝﹣（3+b）（﹣1）﹣3b2+2b， ∴OFb2+2b， ∴b+1（m﹣3）+1m． 25．（2021•武汉）抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）． （1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上； ①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标． ②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标． （2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值． 【解答】解：（1）对于y＝x2﹣1，令y＝x2﹣1＝0，解得x＝±1，令x＝0，则y＝﹣1， 故点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（1，0），顶点坐标为（0，﹣1）， ①当x时，y＝x2﹣1， 由点A、C的坐标知，点A向右平移1个单位向上平移3个单位得到点C， ∵四边形ACDE为平行四边形， 故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D， 则1，3， 故点D的坐标为（，）； ②设点C（0，n），点E的坐标为（m，m2﹣1）， 同理可得，点D的坐标为（m+1，m2﹣1+n）， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：m2﹣1+n＝（m+1）2﹣1， 解得n＝2m+1， 故点C的坐标为（0，2m+1）； 连接CE，过点E作y轴的平行线交x轴于点M，交过点C与x轴的平行线与点N， 则S△ACE＝S梯形CNMA﹣S△AEM﹣S△CEN（m+1+m）（2m+1）（m+1）（m2﹣1）m[2m+1﹣（m2﹣1）]S▱ACDE＝6， 解得m＝﹣5（舍去）或2， 故点E的坐标为（2，3）； （2）∵F是原点O关于抛物线顶点的对称点，故点F的坐标为（0，﹣2）， 由点B、F的坐标得，直线BF的表达式为y＝2x﹣2①， 同理可得，直线AF的表达式为y＝﹣2x﹣2②， 设直线l的表达式为y＝tx+n， 联立y＝tx+n和y＝x2﹣1并整理得：x2﹣tx﹣n﹣1＝0， ∵直线l与抛物线只有一个公共点， 故Δ＝（﹣t）2﹣4（﹣n﹣1）＝0，解得nt2﹣1， 故直线l的表达式为y＝txt2﹣1③， 联立①③并解得xH， 同理可得，xG， ∵射线FA、FB关于y轴对称，则∠AFO＝∠BFO，设∠AFO＝∠BFO＝α， 则sin∠AFO＝sin∠BFOsinα， 则FG+FH（xH﹣xG）（）为常数． 26．（2020•武汉）将抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2． （1）直接写出抛物线C1，C2的解析式； （2）如图（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标； （3）如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线yx与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点． 【解答】解：（1）∵抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1， ∴C1：y＝（x﹣2）2﹣6， ∵将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2． ∴C2：y＝（x﹣2+2）2﹣6，即y＝x2﹣6； （2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，如图1， 设A（a，（a﹣2）2﹣6），则BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|， ∵∠BAO＝∠ACO＝90°， ∴∠BAD+∠OAC＝∠OAC+∠AOC＝90°， ∴∠BAD＝∠AOC， ∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA， ∴△ABD≌△OAC（AAS）， ∴BD＝AC， ∴a﹣2＝|（a﹣2）2﹣6|， 解得，a＝4，或a＝﹣1（舍），或a＝0（舍），或a＝5， ∴A（4，﹣2）或（5，3）； （3）把y＝kx代入y＝x2﹣6中得，x2﹣kx﹣6＝0， ∴xE+xF＝k， ∴M（）， 把yx代入y＝x2﹣6中得，x2x﹣6＝0， ∴， ∴N（，）， 设MN的解析式为y＝mx+n（m≠0），则 ，解得，， ∴直线MN的解析式为：， 当x＝0时，y＝2， ∴直线MN：经过定点（0，2）， 即直线MN经过一个定点． 27．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2 （1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？ （2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线yx+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ． ①若AP＝AQ，求点P的横坐标； ②若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标． （3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系． 【解答】解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2； （2）如图1，①设抛物线C1与y轴交于C点，直线AB与y轴交于D点 ∵C1：y＝（x﹣1）2﹣4， ∴A（3，0），C（0，﹣3）， ∵直线yx+b经过点A， ∴b＝4， ∴D（0，4）， ∵AP＝AQ，PQ∥y轴， ∴P、Q两点关于x轴对称， 设D（0，4）关于x轴的对称点为D'，则D'（0，﹣4）， ∴直线AD'的解析式为yx﹣4， 由，得x1＝3，x2， ∴xQ， ∴xP＝xQ， ∴P点横坐标为； ②设P（m，4m），Q（m，m2﹣2m﹣3）， ∵PA＝PQ， ∴（m2m﹣7）2＝（m﹣3）2+（4m）2， ∴|m2m﹣7||m﹣3|， ∵﹣1＜m＜3， ∴﹣m2m+7（3﹣m）， ∴m或m＝3（舍）， ∴P点横坐标为； （3）设经过M与E的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2， ∴， 则有x2﹣kx+km﹣m2＝0， Δ＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0， ∴k＝2m， ∴直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2， 同理：直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2， ∴E（，mn）， ∴[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）（n2﹣mn）×（n）（m2﹣mn）×（m）＝2， ∴（m﹣n）34， ∴（m﹣n）3＝8， ∴m﹣n＝2． 解法二：求MNE的面积比较复杂，可以用分割法求，过点E作x轴的垂线，交MN与点F，求出F的坐标，可得结论． 28．（2018•武汉）抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B． （1）直接写出抛物线L的解析式； （2）如图1，过定点的直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值； （3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标． 【解答】解：（1）由题意知， 解得：b＝2、c＝1， ∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2+2x+1； （2）如图1， ∵y＝kx﹣k+4＝k（x﹣1）+4， ∴当x＝1时，y＝4，即该直线所过定点G坐标为（1，4）， ∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2， ∴点B（1，2）， 则BG＝2， ∵S△BMN＝1，即S△BNG﹣S△BMGBG•（xN﹣1）BG•（xM﹣1）＝1， ∴xN﹣xM＝1， 由得x2+（k﹣2）x﹣k+3＝0， 解得：x， 则xN、xM， 由xN﹣xM＝1得1， ∴k＝±3， ∵k＜0， ∴k＝﹣3； （3）如图2， 设抛物线L1的解析式为y＝﹣x2+2x+1+m， ∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0）， 设P（0，t）， ①当△PCD∽△FOP时，， ∴， ∴t2﹣（1+m）t+2＝0①； ②当△PCD∽△POF时，， ∴， ∴t（m+1）②； （Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时， Δ＝（1+m）2﹣8＝0， 解得：m＝21（负值舍去）， 此时方程①有两个相等实数根t1＝t2， 方程②有一个实数根t， ∴m＝21， 此时点P的坐标为（0，）和（0，）； （Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时， 把②代入①，得：（m+1）2（m+1）2+2＝0， 解得：m＝2（负值舍去）， 此时，方程①有两个不相等的实数根t1＝1、t2＝2， 方程②有一个实数根t＝1， ∴m＝2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）； 综上，当m＝21时，点P的坐标为（0，）和（0，）； 当m＝2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）． 29．（2017•武汉）已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx上， （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE； （3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，1）、B（4，6）代入y＝ax2+bx中， ，解得：， ∴抛物线的解析式为yx2x． （2）证明：（方法一）设直线AF的解析式为y＝kx+m， 将点A（﹣1，1）代入y＝kx+m中，即﹣k+m＝1， ∴k＝m﹣1， ∴直线AF的解析式为y＝（m﹣1）x+m． 联立直线AF和抛物线解析式成方程组， ，解得：，， ∴点G的坐标为（2m，2m2﹣m）． ∵GH⊥x轴， ∴点H的坐标为（2m，0）． ∵抛物线的解析式为yx2xx（x﹣1）， ∴点E的坐标为（1，0）． 设直线AE的解析式为y＝k1x+b1， 将A（﹣1，1）、E（1，0）代入y＝k1x+b1中， ，解得：， ∴直线AE的解析式为yx． 设直线FH的解析式为y＝k2x+b2， 将F（0，m）、H（2m，0）代入y＝k2x+b2中， ，解得：， ∴直线FH的解析式为yx+m． ∴FH∥AE． （方法二）设直线AF的解析式为y＝kx+m， 将点A（﹣1，1）代入y＝kx+m中，即﹣k+m＝1， ∴k＝m﹣1， ∴直线AF的解析式为y＝（m﹣1）x+m． 联立直线AF和抛物线解析式成方程组， ，解得：，， ∴点G的坐标为（2m，2m2﹣m）． ∵GH⊥x轴， ∴点H的坐标为（2m，0）． ∵抛物线的解析式为yx2xx（x﹣1）， ∴点E的坐标为（1，0）． 过点A作AA′⊥x轴，垂足为点A′，如图1所示． ∵点A（﹣1，1）， ∴A′（﹣1，0）， ∴AE＝2，AA′＝1． ∵∠AA′E＝∠FOH，， ∴△AA′E∽△FOH， ∴∠AEA′＝∠FHO， ∴FH∥AE． （3）设直线AB的解析式为y＝k0x+b0， 将A（﹣1，1）、B（4，6）代入y＝k0x+b0中， ，解得：， ∴直线AB的解析式为y＝x+2． 当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣2，t），点Q的坐标为（t，0）． 当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示． ∵QM＝2PM， ∴， ∴QM′，MM′t， ∴点M的坐标为（t，t）． 又∵点M在抛物线yx2x上， ∴t（t）2（t）， 解得：t； 当点M在线段QP的延长线上时， 同理可得出点M的坐标为（t﹣4，2t）， ∵点M在抛物线yx2x上， ∴2t（t﹣4）2（t﹣4）， 解得：t． 综上所述：当运动时间为秒、秒、秒或秒时，QM＝2PM． 30．（2016•武汉）抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方． （1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）． ①求该抛物线的解析式； ②若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标； （2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）①将P（1，﹣3），B（4，0）代入y＝ax2+c，得 ，解得， 抛物线的解析式为yx2； ②如图1， 当点D在OP左侧时， 由∠DPO＝∠POB，得 DP∥OB， D与P关于y轴对称，P（1，﹣3）， 得D（﹣1，﹣3）； 当点D在OP右侧时，延长PD交x轴于点G． 作PH⊥OB于点H，则OH＝1，PH＝3． ∵∠DPO＝∠POB， ∴PG＝OG． 设OG＝x，则PG＝x，HG＝x﹣1． 在Rt△PGH中，由x2＝（x﹣1）2+32，得x＝5． ∴点G（5，0）． ∴直线PG的解析式为yx 解方程组得，． ∵P（1，﹣3）， ∴D（，）． ∴点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（，）． （2）点P运动时，是定值，定值为2，理由如下： 作PQ⊥AB于Q点，设P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），则at2+c＝0，c＝﹣at2． ∵PQ∥OF， ∴， ∴OFamt+at2． 同理OE＝﹣amt+at2． ∴OE+OF＝2at2＝﹣2c＝2OC． ∴2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$