【10年压轴题】2016-2025年河南省选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年河南省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2025•河南）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v（km/h）之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（　　） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9 B．当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60km/h D．若车速从25km/h增大到60km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04 2．（2024•河南）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（　　） A．当P＝440W时，I＝2A B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 3．（2023•河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（　　） A．6 B．3 C． D． 4．（2022•河南）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（　　） A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小 B．当K＝0时，R1的阻值为100Ω C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态 5．（2021•河南）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2020•河南）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（　　） A．6 B．9 C．6 D．3 7．（2019•河南）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A．（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10） 8．（2018•河南）如图，点E、F、G、H是正方形ABCD四条边（不含端点）上的点，DE＝AF＝BG＝CH设线段DE的长为x（cm），四边形EFGH的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（　　） A．B． C．D． 9．（2017•河南）如图，把半径为2的⊙O沿弦AB，AC折叠，使和都经过圆心O，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D．4 10．（2016•河南）如图所示，小球从台球桌面ABCO上的点P（0，1）出发，撞击桌边发生反弹，反射角等于入射角，若小球以每秒个单位长度的速度沿图中箭头方向运动，则第50秒的小球所在位置的坐标为（　　） A．（2，3） B．（3，4） C．（3，2） D．（0，1） 二．填空题（共10小题） 11．（2025•河南）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为 　 　 ． 12．（2024•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD＝1，则AE的最大值为 　 　 ，最小值为 　 　 ． 13．（2023•河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 　 　 ． 14．（2022•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 　 　 ． 15．（2021•河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1．第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A'处，如图2；第二步，将纸片沿CA'折叠，点D落在D′处，如图3．当点D′恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段A′D′的长为 　 　 ． 16．（2020•河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为　 　 ． 17．（2019•河南）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BEa．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为　 　 ． 18．（2018•河南）如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，点F为射线AD上一动点，△A′EF与△AEF关于EF所在直线对称，连接AC，分别交EA′、EF于点M、N，AB＝2，AD＝2．若△EMN与△AEF相似，则AF的长为　 　 ． 19．（2017•河南）如图，在等边三角形ABC中，AB＝2cm，点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点（不与点A，B重合），若点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边上，则BN的长为　 　 cm． 20．（2016•河南）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC、PD．若△DPC为直角三角形，则BE的长　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•河南）在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点D，过点D作DE⊥OA，垂足为点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为点G． （1）观察猜想 如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系：　 　 ． （2）类比探究 如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当0°＜∠AOB＜180°，且∠AOB≠90°时，若，请直接写出的值． 22．（2024•河南）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 　 　 （填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB＝AD，AC是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若BC＝m，DC＝n，∠BCD＝2θ，求AC的长（用含m，n，θ的式子表示）． （3）拓展应用 如图3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长． 23．（2023•河南）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． （1）观察发现 如图1，在平面直角坐标系中，过点M（4，0）的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1 关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 　 　 ；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为 　 　 个单位长度． （2）探究迁移 如图2，▱ABCD中，∠BAD＝α（0°＜α＜90°），P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题： ①若∠PAP2＝β，请判断β与α的数量关系，并说明理由； ②若AD＝m，求P，P3两点间的距离． （3）拓展应用 在（2）的条件下，若α＝60°，，∠PAB＝15°，连接P2P3，当P2P3与▱ABCD的边平行时，请直接写出AP的长． 24．（2022•河南）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：　 　 ． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ． ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝　 　 °，∠CBQ＝　 　 °； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长． 25．（2021•河南）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线． 简述理由如下： 由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线． …… 任务： （1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是 　 　 （填序号）． ①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL （2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由． （3）如图3，已知∠AOB＝60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF1．点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC＝OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE＝30°时，直接写出线段OC的长． 26．（2020•河南）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE． （1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为　 　 ，连接BD，可求出的值为　 　 ； （2）当0°＜α＜360°且α≠90°时， ①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值． 27．（2019•河南）如图，抛物线y＝ax2x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线yx﹣2经过点A，C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m． ①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标； ②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示） 28．（2018•河南）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，3），顶点F的坐标为（1，4），对称轴交x轴于点H，直线yx+1交x轴于点D，交y轴于点E，交抛物线的对称轴于点G． （1）求出a，b，c的值． （2）点M为抛物线对称轴上一个动点，若△DGM是以DG为腰的等腰三角形时，请求出点M的坐标． （3）点P为抛物线上一个动点，当点P关于直线yx+1的对称点恰好落在x轴上时，请直接写出此时点P的坐标． 29．（2017•河南）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝x+3交于点A（m，0）和点B（2，n），与y轴交于点C． （1）求m，n的值及抛物线的解析式； （2）在图1中，把△AOC平移，始终保持点A的对应点P在抛物线上，点C，O的对应点分别为M，N，连接OP，若点M恰好在直线y＝x+3上，求线段OP的长度； （3）如图2，在抛物线上是否存在点Q（不与点C重合），使△QAB和△ABC的面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（2016•河南）抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），C（3，0），交y轴于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上一个动点，连接PB，PC．设△PBC的面积为S，点P的横坐标为m，试求S关于m的函数解析式，并求出S的最大值； （3）如图2，连接AB，点M（2，1）为抛物线内一点，在抛物线上是否存在点Q，使直线QM与y轴相交所成的锐角等于∠OAB？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 【10年压轴题】2016-2025年河南省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C C D D A C A 一．选择题（共10小题） 1．（2025•河南）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v（km/h）之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（　　） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9 B．当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60km/h D．若车速从25km/h增大到60km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04 【解答】解：由图象可得， 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9，故选项A说法正确，不符合题意； 当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，故选项B说法正确，不符合题意； 要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不超过60km/h，故选项C说法错误，符合题意； 若车速从25km/h增大到60km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：C． 2．（2024•河南）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（　　） A．当P＝440W时，I＝2A B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【解答】解：由图1可知，当P＝440W时，I＝2A，故选项A说法正确，不符合题意； 由图2可知，Q随I的增大而增大，故选项B说法正确，不符合题意； 由图2可知，I每增加1A，Q的增加量不相同，故选项C说法错误，符合题意； 由图1可知I随P的增大而增大，由图2可知Q随I的增大而增大，所以P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D说法正确，不符合题意． 故选：C． 3．（2023•河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（　　） A．6 B．3 C． D． 【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B， \ 结合图象可知，当点P在AO上运动时，， ∴PB＝PC，， 又∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∴△APB≌△APC（SSS）， ∴∠BAO＝∠CAO＝30°， 当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为， ∴OB，即AO＝OB， ∴∠BAO＝∠ABO＝30°， 过点O作OD⊥AB，垂足为D， ∴AD＝BD，则AD＝AO•cos30°＝3， ∴AB＝AD+BD＝6， 即等边三角形ABC的边长为6． 故选：A． 4．（2022•河南）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（　　） A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小 B．当K＝0时，R1的阻值为100Ω C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态 【解答】解：由图2可知，呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小，故A正确，不符合题意； 由图2知，K＝0时，R1的阻值为100，故B正确，不符合题意； 由图3知，当K＝10时，M＝2200×10×10﹣3＝22（mg/100mL）， ∴当K＝10时，该驾驶员为酒驾状态，故C不正确，符合题意； 由图2知，当R1＝20时，K＝40， ∴M＝2200×40×10﹣3＝88（mg/100mL）， ∴该驾驶员为醉驾状态，故D正确，不符合题意； 故选：C． 5．（2021•河南）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1． 利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE． ∴y的最大值为AE， ∴AE＝5． 在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25， 设BE的长度为t， 则BA＝t+1， ∴（t+1）2+t2＝25， 即：t2+t﹣12＝0， ∴（t+4）（t﹣3）＝0， 由于t＞0， ∴t+4＞0， ∴t﹣3＝0， ∴t＝3． ∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6． 故选：C． 6．（2020•河南）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（　　） A．6 B．9 C．6 D．3 【解答】解：连接BD交AC于O， ∵AD＝CD，AB＝BC， ∴BD垂直平分AC， ∴BD⊥AC，AO＝CO， ∵AB＝BC， ∴∠ACB＝∠BAC＝30°， ∵AC＝AD＝CD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠DAC＝∠DCA＝60°， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°， ∵AB＝BC， ∴AD＝CDAB＝3， ∴四边形ABCD的面积＝23， 故选：D． 7．（2019•河南）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A．（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10） 【解答】解：∵A（﹣3，4），B（3，4）， ∴AB＝3+3＝6， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝6， ∴D（﹣3，10）， ∵70＝4×17+2， ∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°， ∴点D的坐标为（3，﹣10）． 故选：D． 8．（2018•河南）如图，点E、F、G、H是正方形ABCD四条边（不含端点）上的点，DE＝AF＝BG＝CH设线段DE的长为x（cm），四边形EFGH的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设正方形ABCD的边长为m，则m＞0， ∵DE＝x，DE＝AF＝BG＝CH， ∴CH＝x， ∴DH＝m﹣x， ∵EH2＝DE2+DH2， ∴y＝x2+（m﹣x）2， y＝x2+x2﹣2mx+m2， y＝2x2﹣2mx+m2， ＝2[（xm）2]， ＝2（xm）2m2， ∴y与x的函数图象是A． 故选：A． 9．（2017•河南）如图，把半径为2的⊙O沿弦AB，AC折叠，使和都经过圆心O，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D．4 【解答】解：作OD⊥AC于D，连接AO、BO、CO， ∵ODAO1，ADAC， ∴∠OAD＝30°，AC＝2， ∴∠AOC＝2∠AOD＝120°， 同理∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝120°， ∴阴影部分的面积＝2S△AOC＝221＝2， 故选：C． 10．（2016•河南）如图所示，小球从台球桌面ABCO上的点P（0，1）出发，撞击桌边发生反弹，反射角等于入射角，若小球以每秒个单位长度的速度沿图中箭头方向运动，则第50秒的小球所在位置的坐标为（　　） A．（2，3） B．（3，4） C．（3，2） D．（0，1） 【解答】解：根据题意得： 小球运动一周所走的路程338， ∵小球以每秒个单位长度的速度运动， ∴小球运动一周所用的时间为：88（秒）， ∴50÷8＝6…2， ∴第50秒的小球所在位置为点E， ∴点E的坐标为（2，3）． 故选：A． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•河南）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为 　或　 ． 【解答】解：∵AB＝AC＝5， ∴∠B＝∠C， ∵∠APC＝∠B+∠BAP， ∴∠APC＞∠B， ∴∠APC＞∠C， 若△APC为“反直角三角形”， ①当∠APC﹣∠C＝90°时，过点A作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC＝5，BC＝8， ∴， ∴， ∵∠B＝∠C， ∴∠APC﹣∠B＝∠BAP＝90°， ∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠PAB＝90°， ∴△ADB∽△PAB， ∴， ∴， ∴； ②当∠APC﹣∠CAP＝90°时，过点P作PM⊥BC交AC于点M， ∴∠APC﹣∠APM＝∠CPM＝90°， ∴∠CAP＝∠APM， ∴AM＝PM， ∵PM⊥BC，AD⊥BC， ∴PM∥AD， ∴△CMP∽△CAD， ∴， 设CP＝x，则BP＝8﹣x， ∴， ∴，CM， ∴AC＝AM+CM＝PM+CM， ∴x， ∴BP； ③当∠CAP＝∠C+90°时， ∵，，且2， ∴∠C＞30°， ∴∠BAC＜120°， 若∠CAP＝∠C+90°，则∠CAP＞120°，即∠CAP＞∠BAC， ∴此种情况不存在， ④当∠CAP＝∠APC+90°时， ∵当点P与点B重合时，∠APC最小，此时∠APC＝∠B＞30°， 同③理可证，此种情况不存在； 综上可知，BP的长为或， 故答案为：或． 12．（2024•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD＝1，则AE的最大值为 　2　 ，最小值为 　2　 ． 【解答】解：∵BE⊥AE， ∴∠BEA＝90°， ∴点E是在以AB为直径的圆上运动， ∵CD＝1，且CD是绕点C旋转， ∴点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动， ∵ABAC＝3， ∴当cos∠BAE最大时，AE最小，当cos∠BAE最小时，AE最最大． ①如图，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC内部时，∠BAE最小，AE最大， ∵∠ADC＝∠CDE＝90°， ∴AD2， ∵， ∴∠CEA＝∠CBA＝45°， ∴DE＝CD＝1， 此时AE＝21，即AE的最大值为21， ②如图，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC外部时，∠BAE最大，AE最小， 同理可得AD＝2，DE＝1， 此时AE＝21，即AE的最小值为21， 故答案为：21；21． 13．（2023•河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 　2或1　 ． 【解答】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况： ①如图1，当∠MND＝90°时， 则MN⊥AD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴MN∥AB， ∵M为对角线BD的中点， ∴AN＝DN， ∵AN＝AB＝1， ∴AD＝2AN＝2； ②如图2，当∠NMD＝90°时， 则MN⊥BD， ∵M为对角线BD的中点， ∴BM＝DM， ∴MN垂直平分BD， ∴BN＝DN， ∵∠A＝90°，AB＝AN＝1， ∴BNAB， ∴AD＝AN+DN＝1， 综上所述，AD的长为2或1． 故答案为：2或1． 14．（2022•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 　或　 ． 【解答】解：如图： ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2， ∴ABAC＝4， ∵点D为AB的中点， ∴CD＝ADAB＝2，∠ADC＝90°， ∵∠ADQ＝90°， ∴点C、D、Q在同一条直线上， 由旋转得： CQ＝CP＝CQ′＝1， 分两种情况： 当点Q在CD上， 在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1， ∴AQ， 当点Q在DC的延长线上， 在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3， ∴AQ′， 综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或， 故答案为：或． 15．（2021•河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1．第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A'处，如图2；第二步，将纸片沿CA'折叠，点D落在D′处，如图3．当点D′恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段A′D′的长为 　 或 2　 ． 【解答】解：①点D′恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，设A′C交AB边于点E，如图， 由题意：△ADC≌△A′DC≌△A′D′C，A′C垂直平分线段DD′． 则∠D′A′C＝∠DA′C＝∠A＝60°，A′C＝AC＝1． ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1， ∴BC＝AC•tanA＝1×tan60°． AB＝2AC＝2， ∵， ∴CE． ∴A′E＝A′C﹣CE＝1． 在Rt△A′D′E中， ∵cos∠D′A′E， ∴， ∴A′D′＝2A′E＝2． ②点D′恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，如图， 由题意：△ADC≌△A′DC≌△A′D′C，∠ACD＝∠A′CD＝∠A′CD′∠ACB＝30°； 则∠D′A′C＝∠DA′C＝∠A＝60°，A′C＝AC＝1． ∵∠D′A′C＝60°，∠A′CD′＝30°， ∴∠A′D′C＝90°， ∴A′D′′C． 综上，线段A′D′的长为： 或 2． 故答案为： 或 2． 16．（2020•河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为　　 ． 【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′， 此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′， 由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°， ∴∠COD′＝90°， ∴CD′2， 的长l， ∴阴影部分周长的最小值为2． 故答案为：． 17．（2019•河南）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BEa．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为　或　 ． 【解答】解：分两种情况： ①当点B′落在AD边上时，如图1． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝90°， ∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上， ∴∠BAE＝∠B′AE∠BAD＝45°， ∴AB＝BE， ∴a＝1， ∴a； ②当点B′落在CD边上时，如图2． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a． ∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上， ∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′a， ∴DB′，EC＝BC﹣BE＝aaa． 在△ADB′与△B′CE中， ， ∴△ADB′∽△B′CE， ∴，即， 解得a1，a2（舍去）． 综上，所求a的值为或． 故答案为或． 18．（2018•河南）如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，点F为射线AD上一动点，△A′EF与△AEF关于EF所在直线对称，连接AC，分别交EA′、EF于点M、N，AB＝2，AD＝2．若△EMN与△AEF相似，则AF的长为　1或3　 ． 【解答】解：①当EM⊥AC时，△EMN∽△EAF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝2，∠B＝90°， ∴tan∠CAB， ∴∠CAB＝30°， ∴∠AEM＝60°， ∴∠AEF＝30°， ∴AF＝AE•tan30°•1， ②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF， 可得AF＝AE•tan60°＝3， 故答案为1或3． 19．（2017•河南）如图，在等边三角形ABC中，AB＝2cm，点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点（不与点A，B重合），若点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边上，则BN的长为　或　 cm． 【解答】解：如图1，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边AB上时， 则MN⊥AB，BN＝BN′， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝60°， ∵点M为边BC的中点， ∴BMBCAB， ∴BNBM（cm）， 如图2，当点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边AC上时， 则MN⊥BB′，四边形BMB′N是菱形， ∵∠ABC＝60°，点M为边BC的中点， ∴BN＝BMBCAB（cm）， 故答案为：或． 20．（2016•河南）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC、PD．若△DPC为直角三角形，则BE的长　3或　 ． 【解答】解：①如图1中，当∠PDC＝90°时， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ADC+∠PDC＝180°， ∴A、D、P共线， ∵EA＝EP，∠AEP＝90°， ∴∠EAP＝45°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAE＝45°， ∵∠B＝90° ∴∠BAE＝∠BEA＝45°， ∴BE＝AB＝3． ②如图2中，当∠DPC＝90°时，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，设BE＝x， ∵∠AEB+∠PEF＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠PEF， 在△ABE和△EFP中， ， ∴△ABE≌△EFP， ∴EF＝AB＝3，PF＝HC＝BE＝x， ∴CF＝3﹣（5﹣x）＝x﹣2， ∵∠DPH+∠CPH+90°，∠CPH+∠CPF＝90°， ∴∠DPH＝∠CPF， ∵∠DHP＝∠PHC， ∴△PHD∽△CHP， ∴PH2＝DH•CH， ∴（x﹣2）2＝x（3﹣x）， ∴x或（舍）， ∴BE， 综上所述，当△PDC是直角三角形时，BE的值为3或． 故答案为：3或． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•河南）在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点D，过点D作DE⊥OA，垂足为点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为点G． （1）观察猜想 如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系：　OD＝CG+OE　 ． （2）类比探究 如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当0°＜∠AOB＜180°，且∠AOB≠90°时，若，请直接写出的值． 【解答】解：（1）如图，过点C作CP⊥OA于点P， ∵OC 平分∠AOB，CD⊥OB，CP⊥OA， ∴CP＝CD， 在Rt△POC和Rt△DOC中， ∵OC＝OC，CP＝CD， ∴Rt△POC≌Rt△DOC（HL）， ∴OP＝OD， ∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA， ∴∠CPE＝∠PEG＝∠CGE＝90°， ∴四边形CPEG是矩形， ∴PE＝CG， ∴OD＝OP＝PE+OE＝CG+OE， 故答案为：OD＝CG+OE； （2）不成立，OD＝CG﹣OE，证明如下： 如图，过点C作CQ⊥OA于点Q， ∵OC 平分∠AOB，CD⊥OB，CQ⊥OA， ∴CQ＝CD， 在Rt△QOC和Rt△DOC 中， ∵OC＝OC，CP＝CD， ∴Rt△QOC≌Rt△DOC， ∴OQ＝OD， ∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA， ∴∠CQE＝∠QEG＝∠CGE＝90°， ∴四边形CQEG是矩形， ∴QE＝CG， ∴OD＝OQ＝QE﹣OE＝CG﹣OE； （3）①如图：当0°＜∠AOB＜90°时， ∵CG⊥DE，DE⊥OA， ∴CG∥OE， ∴△OEF∽△CGF， ∴， 即CG＝3OE，OD＝CG+OE＝3OE+OE＝4OE， ∴， ∵∠DCG+∠CDG＝90°，∠ODE+∠CDG＝90°， ∴∠DCG＝∠ODE， ∴△CDG∽△DOE， ∴； ②如图：当90°＜∠AOB＜180°时， ∵CG⊥GF，GF⊥OE， ∴CG∥OE， ∴△OEF∽△CGF， ∴， 即CG＝3OE， ∴OD＝CG﹣OE＝3OE﹣OE＝2OE， ∴， ∵∠DCG+∠CDG＝90°，∠ODE+∠CDG＝90°， ∴∠DCG＝∠ODE， ∴△CDG∽△DOE，， 综上，的值为或． 22．（2024•河南）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 　②④　 （填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB＝AD，AC是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若BC＝m，DC＝n，∠BCD＝2θ，求AC的长（用含m，n，θ的式子表示）． （3）拓展应用 如图3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长． 【解答】解：（1）观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图②和图④中存在对角互补且邻边相等， 故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）①∠ACD＝∠ACB， 理由：延长CB至点E，使BE＝DC，连接AE， ∵四边形ABCD是邻等对补四边形， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∵∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝∠D， ∵AB＝AD， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴∠E＝∠ACD，AE＝AC， ∴∠E＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠ACB； ②过A作AF⊥EC于F， ∵AE＝AC， ∴CFCE（BC+BE）（BC+DC）， ∵∠BCD＝2θ， ∴∠ACD＝∠ACB＝θ， 在Rt△AFC中，cosθ， ∴AC， AC的长为； （3）∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC5， ∵四边形ABMN是邻等对补四边形， ∴∠ANM+∠B＝180°， ∴∠ANM＝90°， 当AB＝BM时， 方法一：如图，连接AM，过N作NH⊥BC于H， ∴AM2＝AB2+BM2＝18， 在Rt△AMN中，MN2＝AM2﹣AN2＝18﹣AN2， 在Rt△CMN中，MN2＝CM2﹣CN2＝（4﹣3）2﹣（5﹣AN）2， 18﹣AN2＝（4﹣3）2﹣（5﹣AN）2， 解得AN＝4.2， ∴CN＝0.8， ∵∠NHC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C， ∴△NHC∽△ABC， ∴， 即， ∴NH，CH， ∴BH， ∴BN， 方法二：∵∠ANM＝90°， ∠C＝∠C， ∴△CNM∽△CBA， ∴， 即， ∴NM，CN， ∴AN＝5， 根据（2）的结论， 则BN； 当AN＝AB时，如图，连接AM， ∵AM＝AM， ∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL）， ∴BM＝NM，故不符合题意，舍去； 当AN＝MN时， 方法一：连接AM，过N作NH⊥BC于H， ∵∠MNC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C， ∴△CMN∽△CAB， 即， 即， 解得CN， ∵∠NHC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C， ∴△NHC∽△ABC， ∴， 即， ∴NH，CH， ∴BH， ∴BN， 方法二：设AN＝MN＝x， 则CN＝5﹣x， ∴， ∴x， ∴CM， ∴BM＝4， 根据（2）的结论， 则BN； 当BM＝MN时，如图，连接AM， ∵AM＝AM， ∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL）， ∴AN＝AB，故不符合题意，舍去； 综上，BN的长为或． 23．（2023•河南）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． （1）观察发现 如图1，在平面直角坐标系中，过点M（4，0）的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1 关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 　180°　 ；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为 　8　 个单位长度． （2）探究迁移 如图2，▱ABCD中，∠BAD＝α（0°＜α＜90°），P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题： ①若∠PAP2＝β，请判断β与α的数量关系，并说明理由； ②若AD＝m，求P，P3两点间的距离． （3）拓展应用 在（2）的条件下，若α＝60°，，∠PAB＝15°，连接P2P3，当P2P3与▱ABCD的边平行时，请直接写出AP的长． 【解答】解：（1）答案为：180°，8； （2）①如图1， β＝2α，理由如下： 连接AP1， 由轴对称的性质可得：∠PAB＝∠BAP1，∠P1AD＝∠DAP2， ∴∠PAB+∠DAP2＝∠BAP1+∠DAP1＝∠BAD＝α， ∴β＝2α； ②如图2， 作DF⊥AB于F，作P1E⊥DF于E， ∵PP1⊥AB，P3P1⊥CD， 可得矩形EFGP1和矩形DEP1H， ∴DE＝HP1，EF＝GP1， ∵DF＝AD•sinA＝m•sinα， ∴GP1+HP1＝DE+EF＝DF＝m•sinα， ∵HP3＝HP1，PG＝P1G， ∴HP3+PG＝GP1+HP1＝m•sinα， ∴PP3＝2m•sinα； （3）如图3， 在Rt△KMN中，∠M＝90°，∠N＝15°，KS＝SN，则∠KSM＝30°， 设KM＝1，则SN＝KS＝2，MS，则KN， ∴sin15°， 当P2P3∥AD时，作DI⊥AB于I，设P1P2交AD于T， ∵P1P2⊥AD， ∴P2P3⊥P1P2， ∴∠P3P2P1＝90°， ∵PP3∥DI， ∴∠P2P3P1＝∠ADI＝30°， 由（2）知：PP3＝2AD•sin60°＝6， 设AP1＝AP＝x，则PP1＝2AP•sin∠PAB＝2x•sin15°＝2x•， ∴P1P3＝PP3﹣PP1＝6， ∵∠BAP1＝∠BAP＝15°， ∵∠P1AT＝∠DAB﹣∠BAP1＝60°﹣15°＝45°， 由轴对称性质得：∠ATP1＝90°， ∴TP1AP1， ∴P1P2， 由P1P2＝P1P3•sin∠P2P3P1＝P1P3•sin30°得， 62x， ∴x＝3， 如图5， 当P2P3∥CD时，设AP＝x， 同理可得：P1P2＝2P1P3， ∴2[6]x， ∴x＝2， 综上所述：AP＝3或2． 24．（2022•河南）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：　∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM（任写一个即可）　 ． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ． ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝　15　 °，∠CBQ＝　15　 °； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长． 【解答】解：（1）∵对折矩形纸片ABCD， ∴AE＝BEAB，∠AEF＝∠BEF＝90°， ∵沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处， ∴AB＝BM，∠ABP＝∠PBM， ∵sin∠BME， ∴∠EMB＝30°， ∴∠ABM＝60°， ∴∠CBM＝∠ABP＝∠PBM＝30°， 故答案为：∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM（任写一个即可）； （2）①由（1）可知∠CBM＝30°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°， 由折叠可得：AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°， ∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°， 又∵BQ＝BQ， ∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL）， ∴∠CBQ＝∠MBQ＝15°， 故答案为：15，15； ②∠MBQ＝∠CBQ，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°， 由折叠可得：AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°， ∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°， 又∵BQ＝BQ， ∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL）， ∴∠CBQ＝∠MBQ； （3）由折叠的性质可得DF＝CF＝4cm，AP＝PM， ∵Rt△BCQ≌Rt△BMQ， ∴CQ＝MQ， 当点Q在线段CF上时，∵FQ＝1cm， ∴MQ＝CQ＝3cm，DQ＝5cm， ∵PQ2＝PD2+DQ2， ∴（AP+3）2＝（8﹣AP）2+25， ∴AP， 当点Q在线段DF上时，∵FQ＝1cm， ∴MQ＝CQ＝5cm，DQ＝3cm， ∵PQ2＝PD2+DQ2， ∴（AP+5）2＝（8﹣AP）2+9， ∴AP， 综上所述：AP的长为cm或cm． 25．（2021•河南）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线． 简述理由如下： 由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线． …… 任务： （1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是 　⑤　 （填序号）． ①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL （2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由． （3）如图3，已知∠AOB＝60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF1．点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC＝OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE＝30°时，直接写出线段OC的长． 【解答】解：（1）如图1，由作图得，OC＝OD，OE＝OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF， ∴∠PGO＝∠PHO＝90°， ∵OE﹣OC＝OF﹣OD， ∴CE＝DF， ∵CGCE，DHDF， ∴CG＝DH， ∴OC+CG＝OD+DH， ∴OG＝OH， ∵OP＝OP， ∴Rt△PGO≌Rt△PHO（HL）， 故答案为：⑤． （2）射线OP是∠AOB的平分线，理由如下： 如图2，∵OC＝OD，∠DOE＝∠COF，OE＝OF， ∴△DOE≌△COF（SAS）， ∴∠PEC＝∠PFD， ∵∠CPE＝∠DPF，CE＝DF， ∴△CPE≌△DPF（AAS）， ∴PE＝PF， ∵OE＝OF，∠PEO＝∠PFO，PE＝PF， ∴△OPE≌△OPF（SAS）， ∴∠POE＝∠POF，即∠POA＝∠POB， ∴射线OP是∠AOB的平分线． （3）如图3，OC＜OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO＝∠PME＝90°， 由（2）得，OP平分∠AOB，∠PEC＝∠PFD， ∴∠PEC+30°＝∠PFD+30°， ∵∠AOB＝60°， ∴∠POE＝∠POF∠AOB＝30°， ∵∠CPE＝30°， ∴∠OCP＝∠PEC+∠CPE＝∠PEC+30°，∠OPC＝∠PFD+∠POF＝∠PFD+30°， ∴∠OCP＝∠OPC（180°﹣∠POE）（180°﹣30°）＝75°， ∴OC＝OP，∠OPE＝75°+30°＝105°， ∴∠OPM＝90°﹣30°＝60°， ∴∠MPE＝105°﹣60°＝45°， ∴∠MEP＝90°﹣45°＝45°， ∴MP＝ME， 设MP＝ME＝m，则OM＝MP•tan60°m， 由OE1，得mm1，解得m＝1， ∴MP＝ME＝1， ∴OP＝2MP＝2， ∴OC＝OP＝2； 如图4，OC＞OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO＝∠PMC＝90°， 同理可得，∠POE＝∠POF∠AOB＝30°，∠OEP＝∠OPE＝75°，∠OPM＝60°，∠MPC＝∠MCP＝45°， ∴OE＝OP1， ∵MC＝MPOPOE， ∴OM＝MP•tan60°， ∴OC＝OM+MC2． 综上所述，OC的长为2或2． 26．（2020•河南）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE． （1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为　等腰直角三角形　 ，连接BD，可求出的值为　　 ； （2）当0°＜α＜360°且α≠90°时， ①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值． 【解答】解：（1）如图1， ∵AB绕点A逆时针旋转至AB′， ∴AB＝AB'，∠BAB'＝60°， ∴△ABB'是等边三角形， ∴∠BB'A＝60°， ∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°， ∵AB'＝AB＝AD， ∴∠AB'D＝∠ADB'， ∴∠AB'D75°， ∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°， ∵DE⊥B'E， ∴∠B'DE＝90°﹣45°＝45°， ∴△DEB'是等腰直角三角形． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BDC＝45°， ∴， 同理， ∴， ∵∠BDB'+∠B'DC＝45°，∠EDC+∠B'DC＝45°， ∴∠BDB'＝∠EDC， ∴△BDB'∽△CDE， ∴． 故答案为：等腰直角三角形，． （2）①两结论仍然成立． 证明：连接BD， ∵AB＝AB'，∠BAB'＝α， ∴∠AB'B＝90°， ∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'， ∴∠AB'D＝135°， ∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°45°， ∵DE⊥BB'， ∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°， ∴△DEB'是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，∠BDC＝45°， ∴， ∵∠EDB'＝∠BDC， ∴∠EDB'+∠EDB＝∠BDC+∠EDB， 即∠B'DB＝∠EDC， ∴△B'DB∽△EDC， ∴． ②3或1． 如图3，若CD为平行四边形的对角线， 点B'在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点．连接BO交⊙A于点B'， 过点D作DE⊥BB'交BB'的延长线于点E， 由（1）可知△B'ED是等腰直角三角形， ∴B'DB'E， 由（2）①可知△BDB'∽△CDE，且BB'CE． ∴1111＝3． 若CD为平行四边形的一边，如图4， 点E与点A重合， ∴1． 综合以上可得3或1． 27．（2019•河南）如图，抛物线y＝ax2x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线yx﹣2经过点A，C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m． ①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标； ②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示） 【解答】解：（1）当x＝0时，yx﹣2＝﹣2， ∴点C的坐标为（0，﹣2）； 当y＝0时，x﹣2＝0， 解得：x＝﹣4， ∴点A的坐标为（﹣4，0）． 将A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2x+c，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为yx2x﹣2． （2）①∵PM⊥x轴， ∴∠PMC≠90°， ∴分两种情况考虑，如图1所示． （i）当∠MPC＝90°时，PC∥x轴， ∴点P的纵坐标为﹣2． 当y＝﹣2时，x2x﹣2＝﹣2， 解得：x1＝﹣2，x2＝0， ∴点P的坐标为（﹣2，﹣2）； （ii）当∠PCM＝90°时，设PC与x轴交于点D． ∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠OCA+∠OCD＝90°， ∴∠OAC＝∠OCD． 又∵∠AOC＝∠COD＝90°， ∴△AOC∽△COD， ∴，即， ∴OD＝1， ∴点D的坐标为（1，0）． 设直线PC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将C（0，﹣2），D（1，0）代入y＝kx+b，得： ，解得：， ∴直线PC的解析式为y＝2x﹣2． 联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得：， 解得：，， 点P的坐标为（6，10）． 综上所述：当△PCM是直角三角形时，点P的坐标为（﹣2，﹣2）或（6，10）． ②当y＝0时，x2x﹣2＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝2， ∴点B的坐标为（2，0）． ∵点C的坐标为（0，﹣2），点B，B′关于点C对称， ∴点B′的坐标为（﹣2，﹣4）． ∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠2）， ∴点M的坐标为（m，m﹣2）． 利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为yx，直线B′M的解析式为yx，直线BB′的解析式为y＝x﹣2． 分三种情况考虑，如图2所示： 当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为yx﹣2； 当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为yx﹣2； 当直线l∥BB′且过线段CM的中点N（m，m﹣2）时，直线l的解析式为y＝xm﹣2． 综上所述：直线l的解析式为yx﹣2，yx﹣2或y＝xm﹣2． 28．（2018•河南）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，3），顶点F的坐标为（1，4），对称轴交x轴于点H，直线yx+1交x轴于点D，交y轴于点E，交抛物线的对称轴于点G． （1）求出a，b，c的值． （2）点M为抛物线对称轴上一个动点，若△DGM是以DG为腰的等腰三角形时，请求出点M的坐标． （3）点P为抛物线上一个动点，当点P关于直线yx+1的对称点恰好落在x轴上时，请直接写出此时点P的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线顶点F的坐标为（1，4）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4． 将C（0，3）代入y＝a（x﹣1）2+4，得：a+4＝3， 解得：a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3， ∴a＝﹣1，b＝2，c＝3． （2）当y＝0时，x+1＝0， 解得：x＝﹣2， ∴点D的坐标为（﹣2，0）． 当x＝1时，yx+1， ∴点G的坐标为（1，）， ∴DH＝1﹣（﹣2）＝3，GH， ∴DG． 分两种情况考虑（如图1）： ①当DG＝DM时，HG＝HM1， ∴点M1的坐标为（1，）； ②当GD＝GM时，GM2＝GM3， ∴点M2的坐标为（1，），点M3的坐标为（1，）． 综上所述：点M的坐标为（1，），（1，）或（1，）． （3）过点E作EN⊥直线DE，交x轴于点N，如图2所示． 当x＝0时，yx+1＝1， ∴点E的坐标为（0，1）， ∴OE＝1，DE． ∵∠DOE＝∠DEN＝90°，∠ODE＝∠EDN， ∴△DOE∽△DEN， ∴，即， ∴DN， ∴点N的坐标为（，0）． ∵点E（0，1），点N（，0）， ∴线段EN所在直线的解析式为y＝﹣2x+1（可利用待定系数法求出）． 设点P关于直线yx+1的对称点落在x轴上Q点处，连接PQ交DE于点R． 设直线PQ的解析式为y＝﹣2x+m， 当y＝0时，﹣2x+m＝0， 解得：x， ∴点Q的坐标为（，0）． 联立直线PQ和直线DE的解析式成方程组，得：， 解得：， ∴点R的坐标为（，）． ∵点R为线段PQ的中点， ∴点P的坐标为（，）． ∵点P在抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象上， ∴﹣（）2+23， 整理，得：9m2﹣68m+84＝0， 解得：m1＝6，m2， ∴点P的坐标为（1，4）或（，）． 29．（2017•河南）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝x+3交于点A（m，0）和点B（2，n），与y轴交于点C． （1）求m，n的值及抛物线的解析式； （2）在图1中，把△AOC平移，始终保持点A的对应点P在抛物线上，点C，O的对应点分别为M，N，连接OP，若点M恰好在直线y＝x+3上，求线段OP的长度； （3）如图2，在抛物线上是否存在点Q（不与点C重合），使△QAB和△ABC的面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把点A（m，0）和点B（2，n）代入直线y＝x+3，解得：m＝﹣3，n＝5， ∴A（﹣3，0）、B（2，5），把A、B坐标代入抛物线方程，解得：a＝1，b＝2， ∴抛物线方程为：y＝x2+2x﹣3…①， 则C（0，﹣3）； （2）由平移得：PN＝OA＝3，NM＝OC＝3， 设：平移后点P（t，t2+2t﹣3），则N（t+3，t2+2t﹣3）， ∴M（t+3，t2+2t﹣6），∵点M在直线y＝x+3上， ∴t2+2t﹣6＝t+3+3，解得：t＝3或﹣4， ∴P点坐标为（3，12）或（﹣4，5）， 则线段OP的长度为：3或； （3）存在． 设：直线AB交y轴于D（0，3），点C关于点D的对称点为C′（0，9） 过点C和C′分别做AB的平行线，交抛物线于点Q、Q′， 则：△QAB和△Q′AB和△ABC的面积相同， 直线QC和Q′C的方程分别为：y＝x﹣3和y＝x+9…②， 将①、②联立，解得：x＝﹣1或x＝3或x＝﹣4， ∴Q点坐标为（﹣1，﹣4）或（3，12）或（﹣4，5）． 30．（2016•河南）抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），C（3，0），交y轴于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上一个动点，连接PB，PC．设△PBC的面积为S，点P的横坐标为m，试求S关于m的函数解析式，并求出S的最大值； （3）如图2，连接AB，点M（2，1）为抛物线内一点，在抛物线上是否存在点Q，使直线QM与y轴相交所成的锐角等于∠OAB？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（3，0）代入y＝ax2+bx+2，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为yx2x+2． （2）由（1）可知，点B的坐标为（0，2）， 设直线BC的解析式为y＝kx+c（k≠0）， 将B（0，2），C（3，0）代入y＝kx+c，得： ，解得：， ∴直线BC的解析式为yx+2． 在图1中，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E． ∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为（m，m2m+2），点E的坐标为（m，m+2）， ∴PEm2m+2﹣（m+2）m2+2m， ∴S＝S△BPE+S△CPEOD•PECD•PEOC•PE＝﹣m2+3m＝﹣（m）2． ∵﹣1＜0， ∴当m时，S取最大值，最大值为． （3）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2）， ∴tan∠OAB＝2． 又∵直线QM与y轴相交所成的锐角等于∠OAB，点M的坐标为（2，1）， ∴直线QM的解析式为y（x﹣2）+1x或y（x﹣2）+1x+2，如图2所示． 令xx2x+2，即x2x﹣2＝0， 解得：x1，x2； 令x+2x2x+2，即x20， 解得：x1＝0，x2． ∴在抛物线上存在点Q，使直线QM与y轴相交所成的锐角等于∠OAB，其中点Q的横坐标为0或或或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$