【10年压轴题】2016-2025年广西选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年广西省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2025•广西）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线y的一支上．若点A的坐标为（4，），则第三级阶梯的高EF＝（　　） A．4 B．3 C． D． 2．（2024•广西）如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点．连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（　　） A．1 B．2 C．5 D．10 3．（2023•广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若，则k的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2022•广西）已知反比例函数y（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C． D． 5．（2021•广西）定义一种运算：a*b，则不等式（2x+1）*（2﹣x）＞3的解集是（　　） A．x＞1或x B．﹣1＜x C．x＞1或x＜﹣1 D．x或x＜﹣1 6．（2020•桂林）如图，已知的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（　　） A．π B．π C．2π D．2π 7．（2019•柳州）定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2＝﹣1），a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如（1+3i）2＝12+2×1×3i+（3i）2＝1+6i+9i2＝1+6i﹣9＝﹣8+6i，因此，（1+3i）2的实部是﹣8，虚部是6．已知复数（3﹣mi）2的虚部是12，则实部是（　　） A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5 8．（2018•南宁）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，则cos∠ADF的值为（　　） A． B． C． D． 9．（2017•桂林）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（　　） A． B．2 C．π D．π 10．（2016•桂林）已知直线yx+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y（x）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二．填空题（共10小题） 11．（2025•广西）如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD，则AD＝　 　 ． 12．（2024•广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝　 　 m． 13．（2023•广西）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 　 　 ． 14．（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是 　 　 ． 15．（2021•广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 　 　 ． 16．（2020•桂林）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是　 　 ． 17．（2019•柳州）已知一组数据共有5个数，它们的方差是0.4，众数、中位数和平均数都是8，最大的数是9，则最小的数是 　 　 ． 18．（2018•南宁）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y（x＞0）的图象经过点C，反比例函数y（x＜0）的图象分别与AD，CD交于点E，F，若S△BEF＝7，k1+3k2＝0，则k1等于　 　 ． 19．（2017•桂林）如图，第一个图形中有1个点，第二个图形中有4个点，第三个图形中有13个点，…，按此规律，第n个图形中有　 　 个点． 20．（2016•桂林）如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•广西）【平行六边形】如图1，在凸六边形ABCDEF中，满足AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中AB与DE，BC与EF，CD与FA叫做“主对边”；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F叫做“主对角”；AD，BE，CF叫做“主对角线”． （1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 　 　 ②平行六边形的三组主对角分别相等 　 　 ③平行六边形的三条主对角线互相平分 　 　 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． （2）如图2，已知平行六边形OPQRST满足OP＝PQ＝QR＝RS．求证：平行六边形OPQRST是菱六边形； （3）如图3是一张边长为3，4，6的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 22．（2024•广西）如图1，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6．AC的垂直平分线分别交AC，AB于点M，O，CO平分∠ACB． （1）求证：△ABC∽△CBO； （2）如图2，将△AOC绕点O逆时针旋转得到△A'OC'，旋转角为α（0°＜α＜360°）．连接A′M，C′M． ①求△A'MC'面积的最大值及此时旋转角α的度数，并说明理由； ②当△A'MC'是直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数． 23．（2023•广西）【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF：折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B′，E′展平纸片，连接AB′，BB′，BE′．请完成： （1）观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系； （2）证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B′，P′，展平纸片，连接BB′，P′B′．请完成： （3）证明BB′是∠NBC的一条三等分线． 24．（2022•广西）已知∠MON＝α，点A，B分别在射线OM，ON上运动，AB＝6． （1）如图①，若α＝90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A′，B′，D′，连接OD，OD′．判断OD与OD′有什么数量关系？证明你的结论； （2）如图②，若α＝60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离； （3）如图③，若α＝45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出△AOB面积的最大值． 25．（2021•广西）如图，已知AD，EF是⊙O的直径，AD＝6，⊙O与▱OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，∠AFE＝∠OCD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若GF＝1，求cos∠AEF的值； （3）在（2）的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交⊙O于点N，求的值． 26．（2020•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC． （1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式； （2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标； （3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标． 27．（2019•柳州）如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心，CE的长为半径作圆，点P为直线y＝x﹣3上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求△BDP周长的最小值； （3）若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于CE时，过P，Q两点的直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），求四边形ABMN的面积． 28．（2018•南宁）如图，抛物线y＝ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC＝BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM＝BN，连接MN，AM，AN． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标； （3）试求出AM+AN的最小值． 29．（2017•桂林）已知抛物线y1＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0）． （1）求抛物线y1的函数解析式； （2）如图①，将抛物线y1沿x轴翻折得到抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点C，点D是线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴交抛物线y1于点E，求线段DE的长度的最大值； （3）在（2）的条件下，当线段DE处于长度最大值位置时，作线段BC的垂直平分线交DE于点F，垂足为H，点P是抛物线y2上一动点，⊙P与直线BC相切，且S⊙P：S△DFH＝2π，求满足条件的所有点P的坐标． 30．（2016•桂林）如图1，已知开口向下的抛物线y1＝ax2﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E． （1）直接写出点A，C，D的坐标； （2）当四边形ABDE是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式； （3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系． 【10年压轴题】2016-2025年广西省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D C B C C D A 一．选择题（共10小题） 1．（2025•广西）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线y的一支上．若点A的坐标为（4，），则第三级阶梯的高EF＝（　　） A．4 B．3 C． D． 【解答】解：∵点A（4，）在双曲线y上， ∴k＝46， ∴反比例函数的解析式为y， ∵BC＝1且BC与x轴平行，AB与y轴平行，点A坐标为（4，）， ∴点C的横坐标比点A的横坐标小1，即横坐标为3， ∵点C在y上， ∴C点坐标为（3，2）， 同理，DE＝1，则点E的横坐标为2，把x＝2代入y，则y＝3， ∴求得E点坐标为（2，3）， FG＝1，则点G的横坐标为1，把x＝1代入y，则y＝6， ∴G点坐标为（1，6）， 观察图象可知，EF的长度等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标， 即EF＝6﹣3＝3． 故选：B． 2．（2024•广西）如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点．连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（　　） A．1 B．2 C．5 D．10 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为各边中点， ∴∠ABC＝∠ADC＝∠BCA＝∠BAC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，AH＝DH＝AE＝BE＝BF＝CF＝CG＝DG， ∴△ABH≌△BCE≌CDF≌△DAG（SAS）， ∴∠ABH＝∠BCE＝∠CDF＝∠DAG，∠AHB＝∠BEC＝∠CFD＝∠DGA， ∴∠DQA＝∠AMB＝∠CNB＝∠CPD＝90°， ∴∠HMA＝∠ENB＝∠CPF＝∠GQD＝90°， ∴BH∥DF，AG∥CE， ∴△ADG≌△DPC≌△CNB≌△BMA（ASA）， ∵HM，EN，PF，QG分别为△ADQ，△BAM，△CNB，△DPC 的中位线， ∴M，N，P，Q分别为AQ，BM，CN，DP 的中点， ∴MN＝PN＝PQ＝QM， ∴四边形MNPQ为正方形， 正方形的边长为5，则CD＝5，CF＝2.5， 由勾股定理得，DF， 由题意得△DQG∽△DFC， ∴DQ：QG＝CD：CF＝2：1，得 DQ＝2QG， ∵E，F，G，H分别为各边中点． ∴DQ＝PQ ∴四边形MNPQ的面积， 故选：C． 3．（2023•广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若，则k的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：设A（m，）， 在y中，令y得x，令x＝m得y， ∴B（，），D（m，）， ∴C（，）， ∴S2＝S4＝1，S3， ∵， ∴11， 解得k＝2， 经检验，k＝2是方程的解，符合题意， 故选：C． 4．（2022•广西）已知反比例函数y（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵反比例函数y（b≠0）的图象位于一、三象限， ∴b＞0； ∵A、B的抛物线都是开口向下， ∴a＜0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的右侧， 故A、B都是错误的． ∵C、D的抛物线都是开口向上， ∴a＞0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左侧， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0 由a＞0，c＜0，排除C． 故选：D． 5．（2021•广西）定义一种运算：a*b，则不等式（2x+1）*（2﹣x）＞3的解集是（　　） A．x＞1或x B．﹣1＜x C．x＞1或x＜﹣1 D．x或x＜﹣1 【解答】解：由新定义得或， 解得x＞1或x＜﹣1 故选：C． 6．（2020•桂林）如图，已知的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（　　） A．π B．π C．2π D．2π 【解答】解：如图，设的圆心为O，连接OP，OA，AP'，AP，AB' ∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点， 根据垂径定理，得 ACAB＝4，PO⊥AB， OC3， ∴PC＝OP﹣OC＝5﹣3＝2， ∴AP2， ∵将绕点A逆时针旋转90°后得到， ∴∠PAP′＝∠BAB′＝90°， ∴LPP′π． 则在该旋转过程中，点P的运动路径长是π． 故选：B． 7．（2019•柳州）定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2＝﹣1），a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如（1+3i）2＝12+2×1×3i+（3i）2＝1+6i+9i2＝1+6i﹣9＝﹣8+6i，因此，（1+3i）2的实部是﹣8，虚部是6．已知复数（3﹣mi）2的虚部是12，则实部是（　　） A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5 【解答】解：∵（3﹣mi）2＝32﹣2×3×mi+（mi）2＝9﹣6mi+m2i2＝9+m2i2﹣6mi＝9﹣m2﹣6mi， ∴复数（3﹣mi）2的实部是9﹣m2，虚部是﹣6m， ∴﹣6m＝12， ∴m＝﹣2， ∴9﹣m2＝9﹣（﹣2）2＝9﹣4＝5． 故选：C． 8．（2018•南宁）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，则cos∠ADF的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据折叠，可知：△DCP≌△DEP， ∴DC＝DE＝4，CP＝EP． 在△OEF和△OBP中，， ∴△OEF≌△OBP（AAS）， ∴OE＝OB，EF＝BP． 设EF＝x，则BP＝x，DF＝DE﹣EF＝4﹣x， 又∵BF＝OB+OF＝OE+OP＝PE＝PC，PC＝BC﹣BP＝3﹣x， ∴AF＝AB﹣BF＝1+x． 在Rt△DAF中，AF2+AD2＝DF2，即（1+x）2+32＝（4﹣x）2， 解得：x， ∴DF＝4﹣x， ∴cos∠ADF． 故选：C． 9．（2017•桂林）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（　　） A． B．2 C．π D．π 【解答】解：如图，连接AC、BD交于点G，连接OG． ∵BF⊥CE， ∴∠BFC＝90°， ∴点F的运动轨迹在以边长BC为直径的⊙O上， 当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BCG＝60°， ∴∠BOG＝120°， ∴的长π， 故选：D． 10．（2016•桂林）已知直线yx+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y（x）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【解答】解：以点B为圆心线段AB长为半径作圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示． 令一次函数yx+3中x＝0，则y＝3， ∴点A的坐标为（0，3）； 令一次函数yx+3中y＝0，则x+3＝0， 解得：x， ∴点B的坐标为（，0）． ∴AB＝2． ∵抛物线的对称轴为直线x， ∴点B在抛物线的对称轴上， ∴点C的坐标为（2，3）， ∴AC＝2AB＝BC， ∴△ABC为等边三角形． 设抛物线与x轴的交点为点E，F（点E在点F左边）， 令y（x）2+4中y＝0，则（x）2+4＝0， 解得：x1，x2＝3， ∴点E的坐标为（，0），点F的坐标为（3，0）． 又∵点B的坐标为（，0）， ∴BE＝BF＝2， ∴点E与点M重合，点F与点N重合． △ABP为等腰三角形分三种情况： ①当AB＝BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点； ②当AB＝AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，； ③当AP＝BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点； ∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个． 故选：A． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•广西）如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD，则AD＝　1　 ． 【解答】解：延长AD交BC于E， ∵AB＝CA，BD＝CD， ∴AE⊥BC，BE＝CE， ∵AB＝BC＝CA＝2， ∴BE＝CE＝1， ∴AE，DE1， ∴AD＝AE﹣DE1． 故答案为：1． 12．（2024•广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝　　 m． 【解答】解：如图，以O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为y轴正半轴，建立直角坐标系， 由题意可知，P（0，），B（5，4），其中B点为抛物线顶点， 设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣5）2+4， 将P（0，）代入上式， 解得：a， 即抛物线的解析式为：y（x﹣5）2+4， M为抛物线与x轴的交点， 即y（x﹣5）2+4＝0， 解得：x1，x2（舍）， ∴OMm． 故答案为：． 13．（2023•广西）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 　　 ． 【解答】解：如图所示，连接AE， ∵M，N分别是EF，AF的中点， ∴MN是△AEF的中位线， ∴， ∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°， ∴， ∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大， ∵点E是BC上的动点， ∴当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度， ∴此时 ， ∴， ∴MN的最大值为． 故答案为：． 14．（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是 　5　 ． 【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥CD于N，过点F作FP⊥AC于P，连接GH， ∵将△EFH沿EF翻折得到△EFH′， ∴△EGH'≌△EGH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝BC＝4，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°， ∴BDBC＝8，△CPF是等腰直角三角形， ∵F是CD的中点， ∴CFCD＝2， ∴CP＝PF＝2，OBBD＝4， ∵∠ACD＝∠ACB，EM⊥BC，EN⊥CD， ∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴∠MEN＝90°， ∵EF⊥BE， ∴∠BEF＝90°， ∴∠BEM＝∠FEN， ∵∠BME＝∠FNE， ∴△BME≌△FNE（ASA）， ∴EB＝EF， ∵∠BEO+∠PEF＝∠PEF+∠EFP＝90°， ∴∠BEO＝∠EFP， ∵∠BOE＝∠EPF＝90°， ∴△BEO≌△EFP（AAS）， ∴OE＝PF＝2，OB＝EP＝4， ∵tan∠OEG，即， ∴OG＝1， ∴EG， ∵OB∥FP， ∴∠OBH＝∠PFH， ∴tan∠OBH＝tan∠PFH， ∴， ∴2， ∴OH＝2PH， ∵OP＝OC﹣PC＝4﹣2＝2， ∴OH2， 在Rt△OGH中，由勾股定理得：GH， ∴△EGH′的周长＝△EGH的周长＝EH+EG+GH＝25． 故答案为：5． 15．（2021•广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 　y＝（x）2　 ． 【解答】解：过C、D作x轴平行线，作A关于直线y＝4的对称点A'，过A'作A'E∥CD，且A'E＝CD，连接BE交直线y＝9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y＝4于D'，如图： 作图可知：四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形， ∴A'E∥CD，C'D'∥CD，且A'E＝CD，C'D'＝CD， ∴C'D'∥A'E且C'D'＝A'E， ∴四边形A'EC'D'是平行四边形， ∴A'D'＝EC'， ∵A关于直线y＝4的对称点A'， ∴AD'＝A'D'， ∴EC'＝AD'， ∴BE＝BC'+EC'＝BC'+AD'，即此时BC'+AD'转化到一条直线上，BC'+AD'最小，最小值为BE的长度， 而AB、CD为定值， ∴此时四边形ABC′D′的周长最小， ∵A（3，0）关于直线y＝4的对称点A'， ∴A'（3，8）， ∵四边形A'ECD是平行四边形，C（﹣3，9），D（2，4）， ∴E（﹣2，13）， 设直线BE解析式为y＝kx+b，则， 解得， ∴直线BE解析式为yx， 令y＝9得9x， ∴x， ∴C'（，9）， ∴CC'（﹣3）， 即将抛物线y＝x2向右移个单位后，四边形ABC′D′的周长最小， ∴此时抛物线为y＝（x）2， 故答案为：y＝（x）2． 16．（2020•桂林）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是　　 ． 【解答】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT． ∵PA＝2．AT＝1，AB＝4， ∴PA2＝AT•AB， ∴， ∵∠PAT＝∠PAB， ∴△PAT∽△BAP， ∴， ∴PTPB， ∴PB+CP＝CP+PT， ∵PC+PT≥TC， 在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4， ∴CT， ∴PB+PC， ∴PB+PC的最小值为． 故答案为． 17．（2019•柳州）已知一组数据共有5个数，它们的方差是0.4，众数、中位数和平均数都是8，最大的数是9，则最小的数是 　7　 ． 【解答】解：设这5个数分别由小到大排列， ∵最大的数是9， ∴最后一个数为9， ∵5个数的平均数是8， ∴这5个数的和为40， ∵5个数的中位数是8， ∴中间的数是8， ∵众数是8， ∴至少有2个8， 当第4个数为a≠8时，则a＝9， ∵众数为8， ∴前3个数都为8， 则平均数不为8， ∴不合题意舍去， 当第4个数为a＝8时， ∴40﹣8﹣8﹣9＝15， ∴前2个数的和为15， 设前2个数分别为：x、y，则x+y＝15， 由方差是0.4得：[（x﹣8）2+（y﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4， ∴x2+y2﹣16（x+y）＝﹣127， ∴x2+y2﹣16×15＝﹣127， ∴x2+y2＝113， ∵（x+y）2＝152， ∴x2+y2+2xy＝225， ∴xy（225﹣113）＝56， ∴x2+y2﹣2xy＝113﹣2×56＝1， ∴（x﹣y）2＝1， ∴x﹣y＝﹣1， ∵x+y＝15， ∴x＝7，y＝8， ∴最小的数是7； 故答案为：7． 18．（2018•南宁）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y（x＞0）的图象经过点C，反比例函数y（x＜0）的图象分别与AD，CD交于点E，F，若S△BEF＝7，k1+3k2＝0，则k1等于　9　 ． 【解答】解：设点B的坐标为（a，0），则A点坐标为（﹣a，0） 由图象可知，点C（a，），E（﹣a，），D（﹣a，），F（，） 矩形ABCD面积为：2a•2k1 ∴S△DEF S△BCF S△ABE ∵S△BEF＝7 ∴2k1k2＝7 ① ∵k1+3k2＝0 ∴k2k1代入①式得 解得k1＝9 故答案为：9 19．（2017•桂林）如图，第一个图形中有1个点，第二个图形中有4个点，第三个图形中有13个点，…，按此规律，第n个图形中有　（3n﹣1）　 个点． 【解答】解：如图，第一个图形中有1个点，第二个图形中有4＝1+3，第三个图形中有13＝1+3+9…，按此规律，第n个图形中有1+3+9+…+3n﹣1（3n﹣1）个点． 故答案为：（3n﹣1）． 20．（2016•桂林）如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是　π　 ． 【解答】解：如图点P运动的路径是以G为圆心的弧，在⊙G上取一点H，连接EH、FH． ∵四边形AOCB是正方形， ∴∠AOC＝90°， ∴∠AFP∠AOC＝45°， ∵EF是⊙O直径， ∴∠EAF＝90°， ∴∠APF＝∠AFP＝45°， ∴∠EPF＝135°， ∵EF是定值， ∴点P在以点G为圆心，GE为半径的圆上， ∴∠H＝∠APF＝45°， ∴∠EGF＝2∠H＝90°， ∵EF＝4，GE＝GF， ∴EG＝GF＝2， ∴的长π． 故答案为π． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•广西）【平行六边形】如图1，在凸六边形ABCDEF中，满足AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中AB与DE，BC与EF，CD与FA叫做“主对边”；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F叫做“主对角”；AD，BE，CF叫做“主对角线”． （1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 　错误　 ②平行六边形的三组主对角分别相等 　正确　 ③平行六边形的三条主对角线互相平分 　错误　 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． （2）如图2，已知平行六边形OPQRST满足OP＝PQ＝QR＝RS．求证：平行六边形OPQRST是菱六边形； （3）如图3是一张边长为3，4，6的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 【解答】（1）解：连接BE，CF，AD，BE，AD交于点O， 由图可知： ①AB平行于DE，只能知道△AOB∽△DOE，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②AB平行于DE，∠ABE＝∠BED，同理可得∠CBE＝BEF，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的． 故答案为：①错误；②正确；③错误； （2）证明：过点Q作QH平行且相等于PO，连接OH，HS， 则平行四边形PQHO是平行四边形， ∴PQ平行于OH，PQ＝OH， 在平行六边形OPQRST中，PO平行于RS，PO＝RS， ∴QH平行且相等于RS， ∴QRSH为平行四边形， ∴QR平行于HS，QR＝HS， 在平行六边形OPQRST中，PQ平行于ST，QR平行于OT， ∴OH平行于ST，HS平行于OT， ∴HSTO为平行四边形， ∴HS＝OT，OH＝ST， ∴QR＝OT，PQ＝ST， ∵OP＝PQ＝QR＝RS， ∴PQ＝QR＝RS＝ST＝OT＝PO， ∴平行六边形OPQRST是菱六边形． （3）解：设三角形纸片为△ABC， 裁剪后的纸片为菱六边形DEFGHK， ∴DE平行于HG，HK平行于EFHG，GF平行于AB，DE＝EF＝FG＝HG＝KH＝DK， ∴△ADE∽△ABC，△BKH∽△BAC， ∴，， 设DE＝EF＝FG＝HG＝KH＝DK＝x， 则， ∴，，， ∵AB＝AD+DK+BK＝3， ∴， 解得：， ∴，，． 22．（2024•广西）如图1，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6．AC的垂直平分线分别交AC，AB于点M，O，CO平分∠ACB． （1）求证：△ABC∽△CBO； （2）如图2，将△AOC绕点O逆时针旋转得到△A'OC'，旋转角为α（0°＜α＜360°）．连接A′M，C′M． ①求△A'MC'面积的最大值及此时旋转角α的度数，并说明理由； ②当△A'MC'是直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数． 【解答】（1）证明：∵OM垂直平分AC， ∴OA＝OC，∠A＝∠ACO， ∵CO平分∠ACB， ∴∠ACO＝∠BCO＝∠A， ∵∠B＝∠B， ∴△ABC∽△CBO． （2）解：①∵∠ACO＝∠BCO＝∠A，∠B＝90°， ∴：∠ACO＝∠BCO＝∠A＝30°， 在Rt△ABC中，AB＝6， ∴AC4， ∴AM＝2， ∴OM＝AM•tan30°＝2， 如图3，作MH⊥A'C'于点H，ON⊥A'C'于点N，连接MN， 在△AOC旋转的过程中，对应边AC＝A'C'＝4，对应高OM＝ON＝2， 在Rt△MHN中，MH＜MN， 在△OMN中，MN＜OM+ON， ∴MH＜MN＜OM+ON， 如图4，当N、H重合时MH取最大值，此时最大值为OM+ON＝4， ∴S△A'MC'A'C'•MH＝8，即△A'MC'面积最大值是8， 此时M、O、N三点共线，α＝∠MON＝180°． ②在旋转得过程中，等腰三角形AOC的形状、大小不变，∠AOC＝∠A'OC'＝120°， ∵MC′≤MO+OC'＝MO+OC＝6＜4A'C'，同理MA'≤6＜A'C'， ∴△A'MC'中只有可能∠A'MC'＝90°， ∵OM垂直平分AC， ∴MA＝MC，∠AMO＝90°， （Ⅰ）如图5，当点C'与A重合时，A'恰好在MO的延长线上，满足∠A'MC'＝90°，此时α＝120°； （Ⅱ）如图6，当A'与C重合时，点C'恰好在MO的延长线上，满足∠A'MC'＝90°，此时α＝240°． 综上，当△A'MC'是直角三角形时，α为120°或240°． 23．（2023•广西）【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF：折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B′，E′展平纸片，连接AB′，BB′，BE′．请完成： （1）观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系； （2）证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B′，P′，展平纸片，连接BB′，P′B′．请完成： （3）证明BB′是∠NBC的一条三等分线． 【解答】（1）解：∠1＝∠2＝∠3； （2）证明：如图1， 设AM，EF交于点O， 由题意得：EF是AB的垂直平分线，AM是BB′的垂直平分线，AB＝AB′， ∴AB′＝BB′，OA＝OB＝OB′， ∴AB′＝BB′＝AB，O为外心， ∴∠ABB′＝60°， ∴∠1＝∠2＝30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠3＝90°﹣60°＝30°， ∴∠1＝∠2＝∠3； （3）证明：如图2， 同理（2）得：OB＝OB′＝OP＝OP′，BP′＝PB′＝BB′， ∴∠P′BO＝∠B′BO，∠OBB′＝∠BB′O， ∵EF∥BC， ∴∠OB′B＝∠B′BC， ∴∠P′BO＝∠B′BO＝∠B′BC， ∴BB′是∠NBC的一条三等分线． 24．（2022•广西）已知∠MON＝α，点A，B分别在射线OM，ON上运动，AB＝6． （1）如图①，若α＝90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A′，B′，D′，连接OD，OD′．判断OD与OD′有什么数量关系？证明你的结论； （2）如图②，若α＝60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离； （3）如图③，若α＝45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出△AOB面积的最大值． 【解答】解：（1）OD＝OD′，理由如下： 在Rt△AOB中，点D是AB的中点， ∴OD， 同理可得：OD′， ∵AB＝A′B′， ∴OD＝OD′； （2）如图1， 作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′，交AB于D， 当O运动到O′时，OC最大， 此时△AOB是等边三角形， ∴BO′＝AB＝6， OC最大＝CO′＝CD+DO′BO′＝3+3； （3）如图2， 作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作⊙I， ∴AI3，∠AOB， 则点O在⊙I上，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于O， 此时△AOB的面积最大，此时OA＝OB， ∵OC＝CI+OIAB+33+3， ∴S△AOB最大9+9， ∴当OA＝OB时，△AOB的最大面积是9+9． 25．（2021•广西）如图，已知AD，EF是⊙O的直径，AD＝6，⊙O与▱OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，∠AFE＝∠OCD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若GF＝1，求cos∠AEF的值； （3）在（2）的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交⊙O于点N，求的值． 【解答】（1）证明：∵四边形OABC是平行四边形， ∴OC∥AB， ∴∠DOC＝∠OAE， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠AEF， ∴∠DOC＝∠AEF， ∵EF是⊙O的直径， ∴∠EAF＝90°， ∴∠AFE+∠AEF＝90°， ∴∠AFE+∠DOC＝90°， ∵∠AFE＝∠OCD， ∴∠OCD+∠DOC＝90°， ∴∠ODC＝90°， ∴OD⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）连接DF，如图： ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ADF+∠DAF＝90°， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠G+∠DAF＝90°， ∴∠ADF＝∠G， 又∠DAF＝∠GAD， ∴△ADF∽△AGD， ∴， ∵AD＝6，GF＝1， ∴， 解得AF＝8或AF＝﹣9（舍去）， 在Rt△AEF中，AE2， ∴cos∠AEF； （3）延长CO交AF于K，连接MN、MF，如图： ∵EF是⊙O直径， ∴∠EAF＝90°， ∵OC∥AB， ∴∠CKA＝90°，即OK⊥AF， ∵EF＝AD＝6，AF＝8， ∴FO＝3，FK＝AK＝4， Rt△OKF中，OK， ∵∠G+∠OAF＝90°，∠OFA+∠AEF＝90°， 且∠OAF＝∠OFA， ∴∠G＝∠AEF， ∴tanG＝tan∠AEF， 即， ∴，即， 解得CK＝10， ∵BH平分∠ABC，OC∥AB， ∴∠CBH＝∠ABH＝∠CHB， ∴CH＝BC＝OA＝3， ∴MH＝CK﹣OK﹣OM﹣CH＝10333， ∴KH＝OK+OM+MH＝7， 在Rt△AKH中，AH， 而∠MNH＝∠MFA∠MOA∠ABC＝∠ABH， 且∠MHN＝∠HAB， ∴△MNH∽△HBA， ∴． 26．（2020•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC． （1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式； （2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标； （3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2）， ∴2＝a（0+6）（0﹣2）， ∴a， ∴抛物线的解析式为y（x+6）（x﹣2）（x+2）2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2； 针对于抛物线的解析式为y（x+6）（x﹣2）， 令y＝0，则（x+6）（x﹣2）＝0， ∴x＝2或x＝﹣6， ∴A（﹣6，0）； （2）如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为x＝﹣2， ∴E（﹣2，0）， ∵C（0，2）， ∴OC＝OE＝2， ∴CEOC＝2，∠CED＝45°， ∵△CME是等腰三角形， ∴①当ME＝MC时， ∴∠ECM＝∠CED＝45°， ∴∠CME＝90°， ∴M（﹣2，2）， ②当CE＝CM时， ∴MM1＝CM＝2， ∴EM1＝4， ∴M1（﹣2，4）， ③当EM＝CE时， ∴EM2＝EM3＝2， ∴M2（﹣2，﹣2），M3（﹣2，2）， 即满足条件的点M的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，4）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）； （3）如图2， 由（1）知，抛物线的解析式为y（x+6）（x﹣2）（x+2）2， ∴D（﹣2，）， 令y＝0，则（x+6）（x﹣2）＝0， ∴x＝﹣6或x＝2， ∴点A（﹣6，0）， ∴直线AD的解析式为yx+4， 过点P作PQ⊥x轴于Q，过点P'作P'Q'⊥DE于Q'， ∴∠EQ'P'＝∠EQP＝90°， 由（2）知，∠CED＝∠CEB＝45°， 由折叠知，EP'＝EP，∠CEP'＝∠CEP， ∴△PQE≌△P'Q'E（AAS）， ∴PQ＝P'Q'，EQ＝EQ'， 设点P（m，n）， ∴OQ＝m，PQ＝n， ∴P'Q'＝n，EQ'＝QE＝m+2， ∴点P'（n﹣2，2+m）， ∵点P'在直线AD上， ∴2+m（n﹣2）+4①， ∵点P在抛物线上， ∴n（m+6）（m﹣2）②， 联立①②解得，m或m， 即点P的横坐标为或． 27．（2019•柳州）如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心，CE的长为半径作圆，点P为直线y＝x﹣3上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求△BDP周长的最小值； （3）若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于CE时，过P，Q两点的直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），求四边形ABMN的面积． 【解答】解：（1）直线y＝x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝3， 故点A、C的坐标为（3，0）、（0，﹣3）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）（x﹣1）＝a（x2﹣4x+3）， 则3a＝﹣3，解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3…①； （2）连接DB′交于直线于P； 此时三角形BDP周长＝BD+PB+PD＝BD+DB′为最小值， D（2，1），则点G（2，﹣1），即：BG＝EG， 即点G是BB′的中点，过点B′（3，﹣2）， △BDP周长最小值＝BD+B′D； （3）如图2所示，连接PF并延长交圆与点Q，此时PQ为最大值， 点A、B、C、E、F的坐标为（3，0）、（1，0）、（0，﹣3）、（2，0）、（﹣2，0）， 则CE，FQCE， 则PFCECE， 设点P（m，m﹣3），点F（﹣2，0）， PF2＝13＝（m+2）2+（m﹣3）2， 解得：m＝1，故点P（1，﹣2）， 将点P、F坐标代入一次函数表达式并解得： 直线PF的表达式为：yx②， 联立①②并解得：x， 故点M、N的坐标分别为：（，）、（，）， 过点M、N分别作x轴的垂线交于点S、R， 则S四边形ABMN＝S梯形NRSM﹣S△ARN﹣S△SBM． 28．（2018•南宁）如图，抛物线y＝ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC＝BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM＝BN，连接MN，AM，AN． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标； （3）试求出AM+AN的最小值． 【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣5ax+c得，解得， ∴抛物线解析式为yx2x+4； ∵AC＝BC，CO⊥AB， ∴OB＝OA＝3， ∴B（3，0）， ∵BD⊥x轴交抛物线于点D， ∴D点的横坐标为3， 当x＝3时，y93+4＝5， ∴D点坐标为（3，5）； （2）在Rt△OBC中，BC5， 设M（0，m），则CM＝BN＝4﹣m，CN＝5﹣（4﹣m）＝m+1， ∵∠MCN＝∠OCB， ∴当时，△CMN∽△COB，则∠CMN＝∠COB＝90°，即，解得m，此时M点坐标为（0，）； 当时，△CMN∽△CBO，则∠CNM＝∠COB＝90°，即，解得m，此时M点坐标为（0，）； 综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）； （3）连接DN，AD，如图， ∵AC＝BC，CO⊥AB， ∴OC平分∠ACB， ∴∠ACO＝∠BCO， ∵BD∥OC， ∴∠BCO＝∠DBC， ∵DB＝BC＝AC＝5，CM＝BN， ∴△ACM≌△DBN， ∴AM＝DN， ∴AM+AN＝DN+AN， 而DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号）， ∴DN+AN的最小值， ∴AM+AN的最小值为． 29．（2017•桂林）已知抛物线y1＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0）． （1）求抛物线y1的函数解析式； （2）如图①，将抛物线y1沿x轴翻折得到抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点C，点D是线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴交抛物线y1于点E，求线段DE的长度的最大值； （3）在（2）的条件下，当线段DE处于长度最大值位置时，作线段BC的垂直平分线交DE于点F，垂足为H，点P是抛物线y2上一动点，⊙P与直线BC相切，且S⊙P：S△DFH＝2π，求满足条件的所有点P的坐标． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点B（4，0）代入y1＝ax2+bx﹣4得：a＝1，b＝﹣3， ∴抛物线y1的函数解析式为：y1＝x2﹣3x﹣4； （2）由对称性可知，抛物线y2的函数解析式为：y2＝﹣x2+3x+4， ∴C（0，4），设直线BC的解析式为：y＝kx+q， 把B（4，0），C（0，4）代入得，k＝﹣1，q＝4， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4， 设D（m，﹣m+4），E（m，m2﹣3m﹣4），其中0≤m≤4， ∴DE＝﹣m+4﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣（m﹣1）2+9， ∵0≤m≤4，∴当m＝1时，DEmax＝9； 此时，D（1，3），E（1，﹣6）； （3）由题意可知，△BOC是等腰直角三角形， ∴线段BC的垂直平分线为：y＝x， 由（2）知，直线DE的解析式为：x＝1， ∴F（1，1）， ∵H是BC的中点， ∴H（2，2）， ∴DH，FH， ∴S△DFH＝1， 设⊙P的半径为r， ∵S⊙P：S△DFH＝2π， ∴r， ∵⊙P与直线BC相切， ∴点P在与直线BC平行且距离为的直线上， ∴点P在直线y＝﹣x+2或y＝﹣x+6的直线上， ∵点P在抛物线y2＝﹣x2+3x+4上， ∴﹣x+2＝﹣x2+3x+4， 解得：x1＝2，x2＝2， ﹣x+6＝﹣x2+3x+4， 解得：x3＝2，x4＝2， ∴符合条件的点P坐标有4个，分别是（2，），（2，），（2，4），（2，4）． 30．（2016•桂林）如图1，已知开口向下的抛物线y1＝ax2﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E． （1）直接写出点A，C，D的坐标； （2）当四边形ABDE是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式； （3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系． 【解答】解：（1）由题意得： 将A（m，1）代入y1＝ax2﹣2ax+1得：am2﹣2am+1＝1， 解得：m1＝2，m2＝0（舍）， ∴A（2，1）、C（0，1）、D（﹣2，1）； （2）如图1，由（1）知：B（1，1﹣a），过点B作BM⊥y轴， 若四边形ABDE为矩形，则BC＝CD， ∴BM2+CM2＝BC2＝CD2， ∴12+（﹣a）2＝22， ∴a， ∵y1抛物线开口向下， ∴a， ∵y2由y1绕点C旋转180°得到，则顶点E（﹣1，1）， ∴设y2＝a（x+1）2+1，则a， ∴y2x2+2x+1； （3）如图1，当0≤t≤1时，则DP＝t，构建直角△BQD， 得BQ，DQ＝3，则BD＝2， ∴∠BDQ＝30°， ∴PH，PGt， ∴S（PG+PH）×DPt2， 如图2，当1＜t≤2时， 因为矩形ABDE沿直线l折叠，所以延长DE和D′E′交直线l于同一点，设这一点为M， D（﹣2，1），E（﹣1，1）， ∴DE2， ∴EM＝DM﹣DE＝2t﹣2， ∵∠EMG＝30°， ∴EG＝E′G（t﹣1）， 在Rt△FEM中，∠EMF＝2×30°＝60°， ∴∠EFM＝30°， ∴FM＝2EM＝4t﹣4， ∴E′F＝FM﹣E′M＝FM﹣EM＝4t﹣4﹣（2t﹣2）＝2t﹣2＝2（t﹣1）， S△GE′F（t﹣1）2， S＝S△HMD′﹣S△GE′F﹣S△GE′Mt×2t（t﹣1）2（t﹣1）×（2t﹣2）， ； 综上所述：St2（0≤t≤1）或S（1＜t≤2）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$