【10年压轴题】2016-2025年甘肃省选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年甘肃省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2025•甘肃）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点．动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为（　　） A．2 B．2.5 C． D．4 2．（2024•甘肃）如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 3．（2023•金昌）如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（　　） A．（4，2） B．（4，4） C．（4，2） D．（4，5） 4．（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（　　） A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2 5．（2021•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝2+2，则AD＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．2 6．（2020•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若AB＝3，AC＝4，则CD＝（　　） A． B． C． D． 7．（2019•兰州）如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM＝（　　） A． B． C．1 D．1 8．（2018•兰州）如图，抛物线yx2﹣7x与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，若直线yx+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m D．m 9．（2017•兰州）如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是（　　） A． B．5 C．6 D． 10．（2016•兰州）如图，A，B两点在反比例函数y的图象上，C、D两点在反比例函数y的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝3，EF，则k2﹣k1＝（　　） A．4 B． C． D．6 二．填空题（共10小题） 11．（2025•甘肃）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有　 　 个正方形． 12．（2024•甘肃）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120cm，OB＝60cm，则阴影部分的面积是 　 　 cm2.（结果用π表示） 13．（2023•金昌）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是 　 　 米．（结果保留π） 14．（2022•兰州）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000 幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044 幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 　 　 .（结果精确到0.1） 15．（2021•兰州）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为 　 　 ． 16．（2020•兰州）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝2，点E在AB的延长线上，且AE＝AC，EF⊥AC于点F，连接BF并延长交CD于点G，则DG＝　 　 ． 17．（2019•兰州）如图，矩形ABCD，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于　 　 ． 18．（2018•兰州）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是 　 　 ． 19．（2017•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCO的顶点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，2）．动点P在直线yx上运动，以点P为圆心，PB长为半径的⊙P随点P运动，当⊙P与▱ABCO的边相切时，P点的坐标为　 　 ． 20．（2016•兰州）对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：yx﹣3交x轴于点M，⊙M的半径为2，矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD＝2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•甘肃）如图1，抛物线y＝a（x）（x﹣4）（a≠0）分别与x轴，y轴交于A，B（0，﹣4）两点，M为OA的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接AB，过点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，连接BD，求△BCD的面积； （3）点E为线段AB上一动点（点A除外），将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF． ①当AE时，请在图2中画出线段OF后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，∠OPA＝90°，连接PF，当点E运动时，求PF的最小值． 22．（2024•甘肃）如图1，抛物线y＝a（x﹣h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C为OB的中点． （1）求抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式； （2）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长． （3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值． 23．（2023•金昌）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx与x轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B（4，﹣4），点C（0，﹣4）在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx的表达式； （2）当BP＝2时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由； （3）如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值． 24．（2022•兰州）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明； 【思考尝试】 （1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题． 【实践探究】 （2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题． 【拓展迁移】 （3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝4时，请你求出△ADP周长的最小值． 25．（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点． （1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式； （2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积； （3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD． ①当点D在抛物线上时，求点D的坐标； ②点E（2，）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠BPD时，直接写出点P的坐标． 26．（2020•兰州）如图，二次函数yx2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y轴于点C（0，﹣4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F． （1）求二次函数yx2+bx+c的表达式； （2）判断△ABD的形状，并说明理由； （3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标； （4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（2019•兰州）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒． （1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式； （2）连接BD，当t时，求△DNB的面积； （3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标； （4）当t时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标． 28．（2018•兰州）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC． （1）求抛物线的表达式； （2）求证：AB平分∠CAO； （3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（2017•兰州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：yx﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式； （2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标； （3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标； ②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值． 30．（2016•兰州）如图1，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），B（0，4）两点，动点P从A出发，在线段AB上沿A→B的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥y于点D，交抛物线于点C．设运动时间为t（秒）． （1）求二次函数y＝﹣x2+bx+c的表达式； （2）连接BC，当t时，求△BCP的面积； （3）如图2，动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA上沿O→A的方向以1个单位长度的速度运动．当点P与B重合时，P、Q两点同时停止运动，连接DQ，PQ，将△DPQ沿直线PC折叠得到△DPE．在运动过程中，设△DPE和△OAB重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系及t的取值范围． 【10年压轴题】2016-2025年甘肃省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C D A D D C B A 一．选择题（共10小题） 1．（2025•甘肃）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点．动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为（　　） A．2 B．2.5 C． D．4 【解答】解：根据题意动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动过程中，△APD的面积先增大，再减小， 当点P运动到点C时，△APD的面积最大， 根据函数图象可得此时△APD的面积为4， 如图， ∵点D为边AB的中点，等腰直角三角形ABC， ∴， 可得 AC＝4， 当点P运动到CB的中点时，如图， ∵点D为边AB的中点， ∴， 故选：A． 2．（2024•甘肃）如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【解答】解：结合图象，得到当x＝0时，PO＝AO＝4， ∴当点P运动到点B时，PO＝BO＝2， ∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠BOC＝90°， ∴， 当点P运动到BC中点时，PO的长为， 故选：C． 3．（2023•金昌）如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（　　） A．（4，2） B．（4，4） C．（4，2） D．（4，5） 【解答】解：由题意可知，当点P在边AB上时，y的值先减小后增大， 当点P在边BC上时，y的值逐渐减小， ∴M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度， ∵AB＝4，EC＝EDAB4＝2， ∴BE2， ∴M（4，2）， 故选：C． 4．（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（　　） A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2 【解答】解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC ＝2.25πm2． 故选：D． 5．（2021•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝2+2，则AD＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．2 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠ADC＝60°，∠BCD＝120°，AC⊥BD，AO＝CO，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝∠ACB＝60°， ∴DOCOAO，AD＝2AO， ∵∠BCE＝15°， ∴∠ACE＝45°， ∴∠ACE＝∠DEC＝45°， ∴EO＝CO＝AO， ∵ED＝2+2， ∴AOAO＝2+2， ∴AO＝2， ∴AD＝4， 故选：A． 6．（2020•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若AB＝3，AC＝4，则CD＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC5， 根据作图过程可知： AP是BD的垂直平分线， ∴BE＝DE，AE⊥BD， ∴S△ABCAB•ACBC•AE， ∴5AE＝12， ∴AE， 在Rt△ABE中，根据勾股定理，得 BE， ∴BD＝2BE， ∴CD＝BC﹣BD＝5． 故选：D． 7．（2019•兰州）如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM＝（　　） A． B． C．1 D．1 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠DCB＝∠COD＝∠BOC＝90°，OD＝OC， ∴BDAB＝2， ∴OD＝BO＝OC＝1， ∵将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处， ∴DE＝DC，DF⊥CE， ∴OE1，∠EDF+∠FED＝∠ECO+∠OEC＝90°， ∴∠ODM＝∠ECO， 在△OEC与△OMD中，， △OEC≌△OMD（ASA）， ∴OM＝OE1， 故选：D． 8．（2018•兰州）如图，抛物线yx2﹣7x与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，若直线yx+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m D．m 【解答】解：∵抛物线yx2﹣7x与x轴交于点A、B ∴B（5，0），A（9，0） ∴抛物线向左平移4个单位长度 ∴平移后解析式y（x﹣3）2﹣2 当直线yx+m过B点，有2个交点 ∴0m m 当直线yx+m与抛物线C2相切时，有2个交点 ∴x+m（x﹣3）2﹣2 x2﹣7x+5﹣2m＝0 ∵相切 ∴△＝49﹣20+8m＝0 ∴m 如图 ∵若直线yx+m与C1、C2共有3个不同的交点， ∴m 故选：C． 9．（2017•兰州）如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是（　　） A． B．5 C．6 D． 【解答】解：若点E在BC上时，如图 ∵∠EFC+∠AEB＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°， ∴∠CFE＝∠AEB，∵在△CFE和△BEA中，，∴△CFE∽△BEA， 由二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，此时，BE＝CE＝x，即， ∴y，当y时，代入方程式解得：x1（舍去），x2， ∴BE＝CE＝1，∴BC＝2，AB， ∴矩形ABCD的面积为25； 故选：B． 10．（2016•兰州）如图，A，B两点在反比例函数y的图象上，C、D两点在反比例函数y的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝3，EF，则k2﹣k1＝（　　） A．4 B． C． D．6 【解答】解： 解法一：设A（m，），B（n，）则C（m，），D（n，）， 由题意：解得k2﹣k1＝4． 解法二：连接OA、OC、OD、OB，如图： 由反比例函数的性质可知S△AOE＝S△BOF|k1|k1，S△COE＝S△DOFk2， ∵S△AOC＝S△AOE+S△COE， ∴AC•OE2OE＝OE（k2﹣k1）…①， ∵S△BOD＝S△DOF+S△BOF， ∴BD•OF3（EF﹣OE）3（OE）＝5OE（k2﹣k1）…②， 由①②两式解得OE＝2，则k2﹣k1＝4． 故选：A． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•甘肃）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有　31　 个正方形． 【解答】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有1+21＝3个正方形， 第3个图形有1+21+22＝7个正方形， ∴第5个图形中共有1+21+22+23+24＝31个正方形， 故答案为：31． 12．（2024•甘肃）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120cm，OB＝60cm，则阴影部分的面积是 　3000π　 cm2.（结果用π表示） 【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC ＝3000π（cm2）， 故答案为：3000π． 13．（2023•金昌）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是 　5π　 米．（结果保留π） 【解答】解：（米）． 故答案为：5π． 14．（2022•兰州）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000 幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044 幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 　0.9　 .（结果精确到0.1） 【解答】解：∵幼树移植数20000棵时，幼树移植成活的频率为0.902， ∴估计幼树移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9． 故答案为：0.9． 15．（2021•兰州）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为 　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AD∥BC，BC＝AD＝3， 根据作图过程可知：AQ平分∠BAD，MN是CQ的垂直平分线， ∴∠BAQ＝45°， ∴BQ＝AB＝1， ∴AQ， ∵AD∥BC， ∴△BQO∽△DAO， ∴， ∴QOAQ， ∴AO， 如图，设CQ的垂直平分线MN交AD于点H， ∴GH⊥AD， ∴△AGH是等腰直角三角形， ∵AH＝GH＝AD﹣DH＝3﹣1＝2， ∴AG＝2， ∴OG＝AG﹣AO＝2． 故答案为：． 16．（2020•兰州）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝2，点E在AB的延长线上，且AE＝AC，EF⊥AC于点F，连接BF并延长交CD于点G，则DG＝　4﹣2　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BDC＝∠EAF＝45°，AC⊥BD，BD＝AC＝2， ∵AE＝AC＝2，∠EFA＝∠CBA，∠EAF＝∠BAC＝45°， ∴△AEF≌△ACB（AAS）， ∴∠E＝∠ACB＝45°，EF＝BC＝2，AF＝AB＝2， ∴∠E＝∠BDG， ∵EF⊥AC，AC⊥BD， ∴EF∥BD， ∴∠EFB＝∠DBG， ∴△EBF∽△DGB， ∴， ∴， ∴DG＝4﹣2， 故答案为：4﹣2， 17．（2019•兰州）如图，矩形ABCD，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于　3　 ． 【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠ACB＝30°， 由作图知，AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAE＝∠CAE＝30°， ∴∠EAC＝∠ACE＝30°， ∴AE＝CE， 过E作EF⊥AC于F， ∴EF＝BE＝1， ∴AC＝2CF＝2， ∴AB，BC＝3， ∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝3， 故答案为：3． 18．（2018•兰州）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是 　33　 ． 【解答】解：如图， 在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE， 在Rt△ADM和Rt△BCN中， ， ∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL）， ∴∠DAM＝∠CBN， 在△DCE和△BCE中， ， ∴△DCE≌△BCE（SAS）， ∴∠CDE＝∠CBE ∴∠DAM＝∠CDE， ∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°， ∴∠DAM+∠ADF＝90°， ∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°， 取AD的中点O，连接OF、OC， 则OF＝DOAD＝3， 在Rt△ODC中，OC3 根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC， ∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小， 最小值＝OC﹣OF＝33． 故答案为：33． 19．（2017•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCO的顶点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，2）．动点P在直线yx上运动，以点P为圆心，PB长为半径的⊙P随点P运动，当⊙P与▱ABCO的边相切时，P点的坐标为　（0，0）或（，1）或（3，）．　 ． 【解答】解：∵C（﹣3，2）， ∴直线OC的解析式为yx， ∵直线OP的解析式为yx， ∵1， ∴OP⊥OC， ①当⊙P与BC相切时，∵动点P在直线yx上， ∴P与O重合，此时圆心P到BC的距离为OB， ∴P（0，0）． ②如图1中，当⊙P与OC相切时，则OP＝BP，△OPB是等腰三角形，作PE⊥y轴于E，则EB＝EO，易知P的纵坐标为1，可得P（，1）． ③如图2中，当⊙P与OA相切时，则点P到点B的距离与点P到x轴的距离相等，可得x， 解得x＝3（舍弃）或3， ∴P（3，）． ④如图3中，当⊙P与AB相切时，设线段AB与直线OP的交点为G，此时PB＝PG， ∵OP⊥AB， ∴∠BGP＝∠PBG＝90°不成立， ∴此种情形，不存在P． 综上所述，满足条件的P的坐标为（0，0）或（，1）或（3，）． 20．（2016•兰州）对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：yx﹣3交x轴于点M，⊙M的半径为2，矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD＝2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为　（，）或（，）　 ． 【解答】解：如图所示，矩形在这两个位置时就是⊙M的“伴侣矩形”， 根据直线l：yx﹣3得：OM，ON＝3， 由勾股定理得：MN2， ①矩形在x轴下方时，分别过A、D作两轴的垂线AH、DG， 由cos∠ABD＝cos∠ONM， ∴，AB，则AD＝1， ∵DG∥y轴， ∴△MDG∽△MNO， ∴， ∴， ∴DG， ∴CG， 同理可得：， ∴， ∴DH， ∴C（，）； ②矩形在x轴上方时，同理可得：C（，）； 故答案为：（，）或（，）． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•甘肃）如图1，抛物线y＝a（x）（x﹣4）（a≠0）分别与x轴，y轴交于A，B（0，﹣4）两点，M为OA的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接AB，过点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，连接BD，求△BCD的面积； （3）点E为线段AB上一动点（点A除外），将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF． ①当AE时，请在图2中画出线段OF后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，∠OPA＝90°，连接PF，当点E运动时，求PF的最小值． 【解答】解：（1）把B（0，﹣4），代入y＝a（）（x﹣4）（a≠0）， 得﹣10a＝﹣4， 解得：， ∴y； （2）当y0时， 则，x2＝4， ∴A（4，0）， ∵M是OA的中点， ∴M（2，0）， ∴OM＝2， ∵B（0，﹣4）， ∴设直线AB的解析式为：y＝kx﹣4，把A（4，0），代入， 得k＝1， ∴y＝x﹣4， ∵点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D， ∴C（2，﹣2），D（2，）， ∴， ∴△BCD的面积； （3）①由题意，作图如下： 连接BF，作FQ⊥OB于点Q， 由（2）可知：OA＝OB＝4， ∴∠OAB＝∠OBA＝45° ∵将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF， ∴OE＝OF，∠EOF＝90°＝∠BOA， ∴∠AOE＝∠BOF， 又∵OA＝OB，OE＝OF， ∴△AOE≌△BOF（SAS）， ∴∠OBF＝∠OAE＝45°，， ∵FQ⊥OB， ∴△FQB为等腰直角三角形， ∴， ∴OQ＝OB﹣BQ＝3， ∴F（﹣1，﹣3）， 对于， 当x＝﹣1时，， ∴点F在抛物线上； ②连接BF并延长，交x轴于点G，连接PM，MF，作MH⊥BG于点H，如图， ∵∠OPA＝90°，M为OA的中点， ∴， ∵PF≥MF﹣PM， ∴当M，P，F三点共线时，PF最小， 同①可得，∠OBF＝∠OAE＝45°， ∴点F在射线BG上运动， ∴当MF⊥BG时，即F与点H重合时，MF最小，此时PF最小为MH﹣PM， ∵∠OBG＝45°， ∴△OBG为等腰直角三角形， ∴OG＝OB＝4，∠BGO＝45° ∴MG＝OG+OM＝6，△MHG为等腰直角三角形， ∴， ∴PF的最小值为． 22．（2024•甘肃）如图1，抛物线y＝a（x﹣h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C为OB的中点． （1）求抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式； （2）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长． （3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣2）2+2， 将点A的坐标代入上式得：0＝a×（4﹣2）2+2， 解得：a， 抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式为yx2+2x； （2）由（1）知，y（x﹣2）2+2， 由中点坐标公式得点C（1，）， 当x＝1时，y（x﹣2）2+2， 则CE； （3）①由（2）知，C（1，）， 当y时，y（x﹣2）2+2， 则x＝2（不合题意的值已舍去）， 即点F（2，）； ②方法一： 设点D（m，0），则点F（m+1，）， 过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线l的对称点F′（m+1，3），连接DF′， 则BD+BF＝BD+BF′≥DF′，当D、B、F′共线时，BD+BF＝DF′为最小， 由点F′、D的坐标得，直线DF′的表达式为：y＝3（x﹣m）， 将点B的坐标代入上式得：23（2﹣m）， 解得：m， 则点F′（，3），点D（，0）， 则BD+BF最小值为：DF′2； 方法二：作点C关于x轴的对称点E（1，）， 则△CBF≌△OED（SAS）， 则BF＝DE， 则BD+BF＝BD+DE≥BE，当D、B、E共线时，BD+BF＝BE为最小， 则BE2； 23．（2023•金昌）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx与x轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B（4，﹣4），点C（0，﹣4）在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx的表达式； （2）当BP＝2时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由； （3）如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx过点B（4，﹣4）， ∴﹣16+4b＝﹣4， ∴b＝3， ∴y＝﹣x2+3x． 答：抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x． （2）四边形OCPD是平行四边形，理由如下： 如图1，作PD⊥OA交x轴于点H，连接PC、OD， ∵点P在y＝﹣x上， ∴OH＝PH，∠POH＝45°， 连接BC， ∵OC＝BC＝4， ∴． ∴， ∴， ∴， 当xD＝2时，DH＝yD＝﹣4+3×2＝2， ∴PD＝DH+PH＝2+2＝4， ∵C（0，﹣4）， ∴OC＝4， ∴PD＝OC， ∵OC⊥x轴，PD⊥x轴， ∴PD∥OC， ∴四边形OCPD是平行四边形． （3）如图2，由题意得，BP＝OQ，连接BC， 在OA上方作△OMQ，使得∠MOQ＝45°，OM＝BC， ∵OC＝BC＝4，BC⊥OC， ∴∠CBP＝45°， ∴∠CBP＝∠MOQ， ∵BP＝OQ，∠CBP＝∠MOQ，BC＝OM， ∴△CBP≌△MOQ（SAS）， ∴CP＝MQ， ∴CP+BQ＝MQ+BQ≥MB（当M，Q，B三点共线时最短）， ∴CP+BQ的最小值为MB， ∵∠MOB＝∠MOQ+∠BOQ＝45°+45°＝90°， ∴， 即CP+BQ的最小值为4． 答：CP+BQ的最小值为4． 24．（2022•兰州）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明； 【思考尝试】 （1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题． 【实践探究】 （2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题． 【拓展迁移】 （3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝4时，请你求出△ADP周长的最小值． 【解答】解：（1）AE＝EP， 理由如下：取AB的中点F，连接EF， ∵F、E分别为AB、BC的中点， ∴AF＝BF＝BE＝CE， ∴∠BFE＝45°， ∴∠AFE＝135°， ∵CP平分∠DCG， ∴∠DCP＝45°， ∴∠ECP＝135°， ∴∠AFE＝∠ECP， ∵AE⊥PE， ∴∠AEP＝90°， ∴∠AEB+∠PEC＝90°， ∵∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠PEC＝∠BAE， ∴△AFE≌△ECP（ASA）， ∴AE＝EP； （2）在AB上取AF＝EC，连接EF， 由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE， ∵AF＝EC，AE＝EP， ∴△FAE≌△CEP（SAS）， ∴∠ECP＝∠AFE， ∵AF＝EC，AB＝BC， ∴BF＝BE， ∴∠BEF＝∠BFE＝45°， ∴∠AFE＝135°， ∴∠ECP＝135°， ∴∠DCP＝45°， （3）连接CP，作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG， 由（2）知，∠DCP＝45°， ∴∠CDG＝45°， ∴△DCG是等腰直角三角形， ∴点D与G关于CP对称， ∴AP+DP的最小值为AG的长， ∵AB＝4， ∴BG＝8， 由勾股定理得AG4， ∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝4+4． 25．（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点． （1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式； （2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积； （3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD． ①当点D在抛物线上时，求点D的坐标； ②点E（2，）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠BPD时，直接写出点P的坐标． 【解答】解：（1）将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4）， ∴a， ∴y（x+3）（x﹣4）x2x﹣2； （2）令y＝0，则（x+3）（x﹣4）＝0， ∴x＝﹣3或x＝4， ∴A（4，0）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴yx﹣2， ∵OP＝1， ∴P（1，0）， ∵PQ⊥x轴， ∴Q（1，），C（1，﹣2）， ∴AP＝3， ∴S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ3×23； （3）①设P（t，0）， 如图2，过点D作x轴垂线交于点N， ∵∠BPD＝90°， ∴∠OPB+∠NPD＝90°，∠OPB+∠OBP＝90°， ∴∠NPD＝∠OBP， ∵BP＝PD， ∴△PND≌△BOP（AAS）， ∴OP＝ND，BO＝PN， ∴D（t+2，﹣t）， ∴﹣t（t+2+3）（t+2﹣4）， 解得t＝1或t＝﹣10， ∴D（3，﹣1）或D（﹣8，10）； ②如图3，∵PE平分∠BPD， ∴∠BPE＝∠EPD， ∵∠BPD＝90°， ∴∠BPE＝45°， 当PE∥y轴时，∠OBP＝45°， ∴P（2，0）； 如图4，过B点作BG⊥PB交PE于点G，过G点作FG⊥y轴，交于点F， ∵∠PBF+∠FBG＝90°，∠FBG+∠FGB＝90°， ∴∠PBF＝∠FGB， ∵∠BPG＝45°， ∴BP＝BG， ∴△BPO≌△GBF（AAS）， ∴BF＝OP，FG＝OB， ∵OB＝2， ∴FG＝2， ∵E（2，） ∴E点与G点重合， ∴PO＝BF＝2， ∴P（，0）； 综上所述：P点的坐标为（2，0）或（，0）． 方法2，设P（t，0），由①可知D（t+2，﹣t）， ∵当PE平分∠BPD， ∴∠BPE＝∠DPE， ∵PB＝PD，PE＝PE， ∴△PBE≌△PDE（SAS）， ∴BE＝ED， ∴4t2+（t）2， 解得t＝2或t， ∴P点的坐标为（2，0）或（，0）． 26．（2020•兰州）如图，二次函数yx2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y轴于点C（0，﹣4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F． （1）求二次函数yx2+bx+c的表达式； （2）判断△ABD的形状，并说明理由； （3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标； （4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵二次函数yx2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），点C（0，﹣4）， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为yx2﹣x﹣4． （2）△ABD是直角三角形，理由： ∵B（﹣2，m）在yx2﹣x﹣4， ∴B（﹣2，﹣1）， ∴直线OB的解析式为yx， 由，解得（即点B）或， ∴D（8，4）， ∵A（4，﹣4）， ∴AB3，AD4，BD5， ∴BD2＝AB2+AD2， ∴∠BAD＝90°， ∴△ABD是直角三角形． （3）结论AGBD． 理由：如图1中，连接AG，交EF于H． ∵四边形AEGF是矩形， ∴AH＝HG，EH＝FH， ∵EF∥BD， ∴1， ∴AE＝BE， ∴E（1，）， ∵，EH＝FH， ∴BG＝GD， ∵∠BAD＝90°， ∴AGBD． （4）如图2中，设EF的中点为K，P（x，y），连接PK． ∵E（1，），F（6，0）， ∴K（，），EF， ∵∠EPF＝90°， ∴点P在以EF为直径的⊙K上运动， ∵△PQH是等腰直角三角形，∠PQH＝90°， ∴∠QHP＝45°， ∵抛物线的顶点H（2，﹣5）， ∴直线PH的解析式为y＝x﹣7， ∵PKEF， ∴（x）2+（y）2＝（）2， （y+7）2+（y）2＝（）2， 解得y＝﹣4或， ∴Q（2，﹣4）或（2，）． 27．（2019•兰州）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒． （1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式； （2）连接BD，当t时，求△DNB的面积； （3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标； （4）当t时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标． 【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2， ∴a，b， ∴yx2x+2； （2）C（0，2）， ∴BC的直线解析式为yx+2， 当t时，AM＝3， ∵AB＝5， ∴MB＝2， ∴M（2，0），N（2，1），D（2，3）， ∴△DNB的面积＝△DMB的面积﹣△MNB的面积MB×DMMB×MN2×2＝2； （3）∵BM＝5﹣2t， ∴M（2t﹣1，0）， 设P（2t﹣1，m）， ∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2， ∵PB＝PC， ∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2， ∴m＝4t﹣5， ∴P（2t﹣1，4t﹣5）， ∵PC⊥PB， ∴•1 ∴t＝1或t＝2， ∴M（1，0）或M（3，0）， ∴D（1，3）或D（3，2）； 方法二，过点C作CH⊥MN于H，可证△BMP≌△PHC，利用全等三角形的性质可求解． （4）当t时，M（，0）， ∴点Q在抛物线对称轴x上， 如图：过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x的交点分别为Q1与Q2， ∵AB＝5， ∴AM， ∵∠AQ1C+∠OAC＝90°，∠OAC+∠MAG＝90°， ∴∠AQ1C＝∠MAG， 又∵∠AQ1C＝∠CGA＝∠MAG， ∴Q1（，）， ∵Q1与Q2关于x轴对称， ∴Q2（，）， ∴Q点坐标分别为（，），（，）； 28．（2018•兰州）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC． （1）求抛物线的表达式； （2）求证：AB平分∠CAO； （3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（5，﹣4）代入得：， 解得：a，b． ∴抛物线的解析式为yx2x﹣4． （2）∵AO＝3，OC＝4， ∴AC＝5． 取D（2，0），则AD＝AC＝5． 由两点间的距离公式可知BD5． ∵C（0，﹣4），B（5，﹣4）， ∴BC＝5． ∴BD＝BC． 在△ABC和△ABD中，AD＝AC，AB＝AB，BD＝BC， ∴△ABC≌△ABD（SSS）， ∴∠CAB＝∠BAD， ∴AB平分∠CAO； 证法二：∵C（0，﹣4），B（5，﹣4）， ∴BC∥x轴， ∴∠BAD＝∠ABC， ∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠ABC， ∴∠CAB＝∠BAD， ∴AB平分∠CAO． （3）如图所示：抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC与点F． 抛物线的对称轴为x，则AE． ∵A（﹣3，0），B（5，﹣4）， ∴tan∠EAB． ∵∠M′AB＝90°． ∴tan∠M′AE＝2． ∴M′E＝2AE＝11， ∴M′（，11）． 同理：tan∠MBF＝2． 又∵BF， ∴FM＝5， ∴M（，﹣9）． ∴点M的坐标为（，11）或（，﹣9）． 29．（2017•兰州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：yx﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式； （2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标； （3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标； ②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值． 【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4； （2）设直线AB的解析式为y＝kx+n过点A，B， ∴， ∴， ∴直线AB的解析式为y＝2x+4， 设E（m，2m+4）， ∴G（m，﹣m2﹣2m+4）， ∵四边形GEOB是平行四边形， ∴EG＝OB＝4， ∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4＝4， ∴m＝﹣2 ∴G（﹣2，4）． （3）①如图1， 由（2）知，直线AB的解析式为y＝2x+4， ∴设E（a，2a+4）， ∵直线AC：yx﹣6， ∴F（a，a﹣6）， 设H（0，p）， ∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形， ∵直线AB的解析式为y＝2x+4，直线AC：yx﹣6， ∴AB⊥AC， ∴EF为对角线， ∴EF与AH互相平分， ∴（﹣4+0）（a+a），（﹣4+p）（2a+4a﹣6）， ∴a＝﹣2，p＝﹣1， ∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）； ②如图2， 由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4）， ∴EH，AE＝2， 设AE交⊙E于G，取EG的中点P， ∴PE， 连接PC交⊙E于M，连接EM， ∴EM＝EH， ∴， ∵， ∴，∵∠PEM＝∠MEA， ∴△PEM∽△MEA， ∴， ∴PMAM， ∴AM+CM的最小值＝PC， 设点P（p，2p+4）， ∵E（﹣2，0）， ∴PE2＝（p+2）2+（2p+4）2＝5（p+2）2， ∵PE， ∴5（p+2）2， ∴p或p（由于E（﹣2，0），所以舍去）， ∴P（，﹣1）， ∵C（0，﹣6）， ∴PC， 即：AM+CM的最小值为 ． 30．（2016•兰州）如图1，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），B（0，4）两点，动点P从A出发，在线段AB上沿A→B的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥y于点D，交抛物线于点C．设运动时间为t（秒）． （1）求二次函数y＝﹣x2+bx+c的表达式； （2）连接BC，当t时，求△BCP的面积； （3）如图2，动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA上沿O→A的方向以1个单位长度的速度运动．当点P与B重合时，P、Q两点同时停止运动，连接DQ，PQ，将△DPQ沿直线PC折叠得到△DPE．在运动过程中，设△DPE和△OAB重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系及t的取值范围． 【解答】解：（1）把A（3，0），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c中得： 解得， ∴二次函数y＝﹣x2+bx+c的表达式为：y＝﹣x2x+4； （2）如图1，当t时，AP＝2t， ∵PC∥x轴， ∴， ∴， ∴OD， 当y时，x2x+4， 3x2﹣5x﹣8＝0， x1＝﹣1，x2， ∴C（﹣1，）， 由得， 则PD＝2， ∴S△BCPPC×BD34； （3）如图3， 当点E在AB上时， 由（2）得OD＝QM＝ME， ∴EQ， 由折叠得：EQ⊥PD，则EQ∥y轴 ∴， ∴， ∴t， 同理得：PD＝3， ∴当0≤t时，S＝S△PDQPD×MQ（3）， St2t； 当t≤2.5时， 如图4，P′D′＝3， 点Q与点E关于直线P′C′对称，则Q（t，0）、E（t，）， ∵AB的解析式为：yx+4， D′E的解析式为：yxt， 则交点N（，）， ∴S＝S△P′D′NP′D′×FN（3）（）， ∴St2t． 综上，S与t的函数关系：S． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$