【10年压轴题】2016-2025年福建省选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年福建省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2025•福建）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 2．（2024•福建）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a（a≠0）的图象经过，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个实数a，使得y1＞a B．无论实数a取什么值，都有y1＞a C．可以找到一个实数a，使得y2＜0 D．无论实数a取什么值，都有y2＜0 3．（2023•福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（　　） A． B．2 C．3 D．2 4．（2022•福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是（　　） A．96 B．96 C．192 D．160 5．（2021•福建）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（　　） A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0 C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0 6．（2020•福建）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（　　） A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2 C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2 D．若y1＝y2，则x1＝x2 7．（2019•福建）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 8．（2018•福建）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（　　） A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根 B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根 C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根 D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根 9．（2017•福建）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（　　） A．1区 B．2区 C．3区 D．4区 10．（2016•福州）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c＝0一定有实数根的是（　　） A．a＞0 B．a＝0 C．c＞0 D．c＝0 二．填空题（共10小题） 11．（2025•福建）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 　 　 千克． 12．（2024•福建）无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2，f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F＝AD＝400，则f2＝CD＝　 　 ．（单位：N）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77） 13．（2023•福建）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 　 　 ． 14．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 　 　 ． 15．（2021•福建）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF＝AB，G是五边形AEFCD内满足GE＝GF且∠EGF＝90°的点．现给出以下结论： ①∠GEB与∠GFB一定互补；②点G到边AB，BC的距离一定相等； ③点G到边AD，DC的距离可能相等；④点G到边AB的距离的最大值为2． 其中正确的是 　 　 ．（写出所有正确结论的序号） 16．（2020•福建）设A，B，C，D是反比例函数y图象上的任意四点，现有以下结论： ①四边形ABCD可以是平行四边形； ②四边形ABCD可以是菱形； ③四边形ABCD不可能是矩形； ④四边形ABCD不可能是正方形． 其中正确的是 　 　 ．（写出所有正确结论的序号） 17．（2019•福建）如图，菱形ABCD顶点A在函数y（x＞0）的图象上，函数y（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B，D两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k＝　 　 ． 18．（2018•福建）如图，直线y＝x+m与双曲线y相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为　 　 ． 19．（2017•福建）已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为　 　 ． 20．（2016•福州）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB＝AC，BG＝DG． （1）求证：∠ABC＝∠DBE+∠E； （2）求证：AH2＝HF•HC； （3）若tan∠ABC，AD＝2DE，CD，求△AGH的周长． 22．（2024•福建）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E，BE的延长线交于点F． （1）求的值； （2）求证：△AEB∽△BEC； （3）求证：AD与EF互相平分． 23．（2023•福建）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M． （1）求证：△ADE∽△FMC； （2）求∠ABF的度数； （3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO． 24．（2022•福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． （1）求抛物线的解析式； （2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； （3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 25．（2021•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值； （2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上． ①求抛物线的解析式； ②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等． 26．（2020•福建）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2． （1）求二次函数的表达式； （2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1； （3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值． 27．（2019•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式； （2）设A为抛物线上的顶点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形． ①求点A的坐标和抛物线的解析式； ②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线． 28．（2018•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）． （1）若点（，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式； （2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°． ①求抛物线的解析式； ②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN． 29．（2017•福建）已知直线y＝2x+m与抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b． （Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）； （Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点； （Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N． （ⅰ）若﹣1≤a，求线段MN长度的取值范围； （ⅱ）求△QMN面积的最小值． 30．（2016•福州）已知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）． （1）当h＝1，k＝2时，求抛物线的解析式； （2）若抛物线y＝tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式； （3）当点A在抛物线y＝x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围． 【10年压轴题】2016-2025年福建省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B C C D D D D 一．选择题（共10小题） 1．（2025•福建）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 【解答】解：∵y＝3x2+bx+1， ∴当x＝0时，y＝1， ∴抛物线过点（0，1）， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵3＜b＜4， ∴， ∵，， ∴点A（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，y2）到对称轴的距离， ∴1＜y1＜y2， 故选：A． 2．（2024•福建）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a（a≠0）的图象经过，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个实数a，使得y1＞a B．无论实数a取什么值，都有y1＞a C．可以找到一个实数a，使得y2＜0 D．无论实数a取什么值，都有y2＜0 【解答】解：∵二次函数解析式为y＝x2﹣2ax+a（a≠0）， ∴二次函数开口向上，且对称轴为直线xa，顶点坐标为（a，a﹣a2）， 当a＞0时，0a， ∴a﹣a2＜y1＜a， 当a＜0时，a0， ∴a﹣a2＜y1＜a， 故A、B错误，不符合题意； 当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，由二次函数对称性可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，所以当x＝3a时，y2＞a＞0； 当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，由二次函数对称性可知可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以当x＝3a时y2＞a，可能大于0也可能小于0， 故C正确，符合题意；D错误，不符合题意； 故选：C． 3．（2023•福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（　　） A． B．2 C．3 D．2 【解答】解：如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心， 过A作AM⊥OB于M， 在正十二边形中，∠AOB＝360°÷12＝30°， ∴AMOA， ∴S△AOBOB•AM， ∴正十二边形的面积为123， ∴3＝12×π， ∴π＝3， ∴π的近似值为3， 故选：C． 4．（2022•福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是（　　） A．96 B．96 C．192 D．160 【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝8， 则BC＝AB•tan∠CAB＝8， 由平移的性质可知：AC＝A′C′，AC∥A′C′， ∴四边形ACC′A′为平行四边形， ∵点A对应直尺的刻度为12，点A′对应直尺的刻度为0， ∴AA′＝12， ∴S四边形ACC′A′＝12×896， 故选：B． 5．（2021•福建）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（　　） A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0 C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0 【解答】解：如图，由题意对称轴为直线x＝1， 观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3， 若y1y2＞0，如图1中，则y3y4＜0，选项A不符合题意， 若y1y4＞0，如图2中，则y2y3＜0，选项B不符合题意， 若y2y4＜0，如图3中，则y1y3＜0，选项C符合题意， 若y3y4＜0，如图4中，则y1y2＞0，选项D不符合题意， 故选：C． 6．（2020•福建）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（　　） A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2 C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2 D．若y1＝y2，则x1＝x2 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a， ∴该抛物线的对称轴是直线x＝1， 当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误； 当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误； 若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确； 若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误； 故选：C． 7．（2019•福建）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 【解答】解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n）， ∴二次函数的对称轴x， ∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近， ∵|a|＞0， ∴y1＞y3＞y2； 故选：D． 8．（2018•福建）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（　　） A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根 B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根 C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根 D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根， ∴， ∴b＝a+1或b＝﹣（a+1）． 当b＝a+1时，有a﹣b+1＝0，此时﹣1是方程x2+bx+a＝0的根； 当b＝﹣（a+1）时，有a+b+1＝0，此时1是方程x2+bx+a＝0的根． ∵a+1≠0， ∴a+1≠﹣（a+1）， ∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根． 故选：D． 9．（2017•福建）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（　　） A．1区 B．2区 C．3区 D．4区 【解答】解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转中心， 由图可知，线段AB和点P绕着同一个点逆时针旋转90°， ∴点P逆时针旋转90°后所得对应点P′落在4区， 故选：D． 10．（2016•福州）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c＝0一定有实数根的是（　　） A．a＞0 B．a＝0 C．c＞0 D．c＝0 【解答】解：∵一元二次方程有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4ac＝16﹣4ac≥0，且a≠0， ∴ac≤4，且a≠0； A、若a＞0，当a＝1、c＝5时，ac＝5＞4，此选项错误； B、a＝0不符合一元二次方程的定义，此选项错误； C、若c＞0，当a＝1、c＝5时，ac＝5＞4，此选项错误； D、若c＝0，则ac＝0≤4，此选项正确； 故选：D． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•福建）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 　0.8　 千克． 【解答】解：将F＝0.5g，x＝6.5﹣6＝0.5代入F＝kx， 得0.5g＝0.5k， 解得k＝g， ∴F与x的函数关系式为F＝gx， 将x＝6.8﹣6＝0.8，F＝mg代入F＝gx， 得mg＝0.8g， 解得m＝0.8， ∴当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 0.8千克． 故答案为：0.8． 12．（2024•福建）无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2，f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F＝AD＝400，则f2＝CD＝　128　 ．（单位：N）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77） 【解答】解：如图， ∵∠PDA＝70°，∠PDQ＝30°， ∴∠ADQ＝∠PDA﹣∠PDQ＝70°﹣30°＝40°，∠1＝∠PDQ＝30°， ∵AB//QD， ∴∠BAD＝∠ADQ＝40°， 在Rt△ABD中，F＝AD＝400，∠ABD＝90°， ∴F2＝BD＝AD•sin∠BAD＝400•sin 40°＝400×0.64＝256， 由题意可知，BD⊥DQ， ∴∠BDC+∠1＝90°， ∴∠BDC＝90°﹣∠1＝60°， 在Rt△BCD中，BD＝256，∠BCD＝90°， ∴f2＝CD＝BD•cos∠BDC＝256×cos60°＝256128， 故答案为：128． 13．（2023•福建）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 　﹣1＜n＜0　 ． 【解答】解：抛物线的对称轴为：x1， ∵a＞0， ∴抛物线开口向上， ∵y1＜y2， ∴若点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧， 由题意可得：， 不等式组无解； 若点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧， 由题意可得：， 解得：﹣1＜n＜0， ∴n的取值范围为：﹣1＜n＜0． 故答案为：﹣1＜n＜0． 14．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 　8　 ． 【解答】方法1、解：针对于抛物线y＝x2+2x﹣n， 令y＝0，则x2+2x﹣n＝0， ∴x＝﹣1±， 针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n， 令y＝0，则x2﹣2x﹣n＝0， ∴x＝1±， ∵抛物线y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1， ∴抛物线y＝x2+2x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1）， ∵抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1， ∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1）， ∴抛物线y＝x2+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等， ∴AB＝CD， ∵AD＝2BC， ∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴的交点C在左侧，D在右侧， ∴A（﹣1，0），B（﹣1，0），C（1，0），D（1，0）， ∴AD＝1（﹣1）＝2+2，BC＝﹣1（1）＝﹣2+2， ∴2+22（﹣2+2）， ∴n＝8， 故答案为：8． 方法2、∵y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1， ∴抛物线y＝x2+2x﹣n的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1）， ∵y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1， ∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣n﹣1）， ∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的图象可由y＝x2+2x﹣n的图象向右平移两个单位得到， ∵n＞0， ∴﹣n﹣1＜﹣1， 两函数的图象如图所示： 由平移得，AC＝BD＝2， ∵AB＝CD，AD＝2BC， ∴BC＝2AC＝4， ∴CD＝BC+BD＝6， ∵点C，D关于直线x＝1对称， ∴C（﹣2，0）， ∵点C在抛物线 y＝x2﹣2x﹣n 上， ∴4+4﹣n＝0， ∴n＝8， 故答案为：8． 15．（2021•福建）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF＝AB，G是五边形AEFCD内满足GE＝GF且∠EGF＝90°的点．现给出以下结论： ①∠GEB与∠GFB一定互补； ②点G到边AB，BC的距离一定相等； ③点G到边AD，DC的距离可能相等； ④点G到边AB的距离的最大值为2． 其中正确的是 　①②④　 ．（写出所有正确结论的序号） 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 又∵∠EGF＝90°，四边形内角和是360°， ∴∠GEB+∠GFB＝180°， 故①正确； 过G作GM⊥AB，GN⊥BC，分别交AB于M，交BC于N， ∵GE＝GF且∠EGF＝90°， ∴∠GEF＝∠GFE＝45°， 又∵∠B＝90°， ∴∠BEF+∠EFB＝90°，即∠BEF＝90°﹣∠EFB， ∵∠GEM＝180°﹣∠BEF﹣∠GEF＝180°﹣45°﹣（90°﹣∠EFB）＝45°+∠EFB， ∠GFN＝∠EFB+∠GFE＝∠EFB+45°， ∴∠GEM＝∠GFN， 在△GEM和△GFN中， ， ∴△GEM≌△GFN（AAS）， ∴GM＝GN， 故②正确； ∵AB＝4，AD＝5，并由②知， 点G到边AD，DC的距离不相等， 故③错误： 在直角三角形EMG中，MG≤EG，当点E、M重合时EG最大， ∵EF＝AB＝4， ∴最大值GE＝EB＝BF＝FG＝42， 故④正确． 故答案为：①②④． 16．（2020•福建）设A，B，C，D是反比例函数y图象上的任意四点，现有以下结论： ①四边形ABCD可以是平行四边形； ②四边形ABCD可以是菱形； ③四边形ABCD不可能是矩形； ④四边形ABCD不可能是正方形． 其中正确的是 　①④　 ．（写出所有正确结论的序号） 【解答】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD． 由对称性可知，OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 当直线AC和直线BD关于直线y＝x对称时，此时OA＝OC＝OB＝OD，即四边形ABCD是矩形． ∵反比例函数的图象在一，三象限， ∴直线AC与直线BD不可能垂直， ∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形， 故选项①④正确， 故答案为：①④． 17．（2019•福建）如图，菱形ABCD顶点A在函数y（x＞0）的图象上，函数y（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B，D两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k＝　6+2　 ． 【解答】解：连接OC，AC，过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G， ∵函数y（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称， ∴O，A，C三点在同直线上，且∠COE＝45°， ∴OE＝AE， 不妨设OE＝AE＝a，则A（a，a）， ∵点A在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴a2＝3， ∴a， ∴AE＝OE， ∵∠BAD＝30°， ∴∠OAF＝∠CAD∠BAD＝15°， ∵∠OAE＝∠AOE＝45°， ∴∠EAF＝30°， ∴AF，EF＝AEtan30°＝1， ∵AD＝AB＝AF＝2，AE∥DG， ∴EF＝EG＝1，DG＝2AE＝2， ∴OG＝OE+EG1， ∴D（1，2）， ∴， 故答案为：6+2． 18．（2018•福建）如图，直线y＝x+m与双曲线y相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为　6　 ． 【解答】解：方法一： 设A（a，），B（b，），则C（a，）． 将y＝x+m代入y，得x+m， 整理，得x2+mx﹣3＝0， 则a+b＝﹣m，ab＝﹣3， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝m2+12． ∵S△ABCAC•BC （）（a﹣b） ••（a﹣b） （a﹣b）2 （m2+12） m2+6， ∴当m＝0时，△ABC的面积有最小值6． 故答案为6． 方法二： 因为y＝x+m斜率为1，且BC∥x轴，AC∥y轴， ∴∠ABC＝∠BAC＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AC＝BCAB， ∴S△ABCAC•BCAB2， 当AB最小时，m＝0，直线为y＝x， 联立方程，解得或， ∴A（，），B（，）， AB22， ∴S△ABC最小4×6＝6． 故答案为：6． 19．（2017•福建）已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为　　 ． 【解答】解法1：如图所示，根据点A在反比例函数y的图象上，且点A的横坐标是2，可得A（2，）， 根据矩形和双曲线的对称性可得，B（，2），D（，﹣2）， 由两点间距离公式可得，AB，AD， ∴矩形ABCD的面积＝AB×AD； 解法2：如图所示，过B作BE⊥x轴，过A作AF⊥x轴， 根据点A在反比例函数y的图象上，且点A的横坐标是2，可得A（2，）， 根据矩形和双曲线的对称性可得，B（，2）， ∵S△BOE＝S△AOF， 又∵S△AOB+S△AOF＝S△BOE+S梯形ABEF， ∴S△AOB＝S梯形ABEF（2）×（2）， ∴矩形ABCD的面积＝4， 故答案为：． 20．（2016•福州）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是　　 ． 【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF＝30°，∠BEF＝60°，AEa，EB＝2a ∴∠AEC＝90°， ∵∠ACE＝∠ACG＝∠BCG＝60°， ∴E、C、B共线， 在Rt△AEB中，tan∠ABC． 故答案为． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB＝AC，BG＝DG． （1）求证：∠ABC＝∠DBE+∠E； （2）求证：AH2＝HF•HC； （3）若tan∠ABC，AD＝2DE，CD，求△AGH的周长． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠ADB， ∴∠ABC＝∠ADB． ∵∠ADB＝∠DBE+∠E， ∴∠ABC＝∠DBE+∠E； （2）证明：连接CD，如图， ∵BG＝DG， ∴∠ABD＝∠GDB， 由（1）知：∠ABC＝∠ADB， ∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠ADB＝∠GDB+∠GDA， ∴∠DBE＝∠GDA， ∵∠DBE＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠GDA， ∴AH＝HD． ∵∠ACD＝∠ABD， ∴∠ACD＝∠GDB． ∵∠CHD＝∠DHF， ∴△CHD∽△DHF， ∴， ∴HD2＝HC•HF， ∴AH2＝HF•HC； （3）解：连接AO并延长交CB于点M，连接CD，如图， ∵AB＝AC， ∴， ∴AM⊥BC，CM＝BM， ∴tan∠ABC， 设BM＝k，则AMk，BC＝2k， ∴ABk， ∵AD＝2DE， ∴设DE＝a，则AD＝2a， ∴AE＝AD+DE＝3a． ∵∠ADB＝∠ACB，∠ACB＝∠ABC， ∴∠ADB＝∠ABC， ∵∠BAD＝∠EAB， ∴△BAD∽△EAB， ∴， ∴， ∴k＝a， ∴DE＝k，AE＝3k， ∵四边形ABCD为圆的内接四边形， ∴∠EDC＝∠ABC， ∵∠E＝∠E， ∴△EDC∽△EBA， ∴， ∴， ∴CE2+2k•CE﹣3k2＝0， ∵CE＞0， ∴CE＝k， ∵△EDC∽△EBA， ∴， ∴， ∴AB＝3． 由（2）知：AH＝HD，BG＝DG， ∴△AGH的周长＝AG+GH+AH ＝AG+GH+HD ＝AG+GD ＝AG+GB ＝AB ＝3． 22．（2024•福建）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E，BE的延长线交于点F． （1）求的值； （2）求证：△AEB∽△BEC； （3）求证：AD与EF互相平分． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，且AB是⊙O的直径， ∴AC＝2AO， ∵∠BAC＝90°， 在Rt△AOC 中，， ∵AE⊥OC， 在Rt△AOE 中，， ∴， ∴； （2）证明：过点B作 BM∥AE，交EO延长线于点M，如图1， ∴∠BAE＝∠ABM，∠AEO＝∠BMO＝90°． ∵AO＝BO， ∴△AOE≌△BOM（AAS）， ∴AE＝BM，OE＝OM， ∵， ∴BM＝2OE＝EM， ∴∠MEB＝∠MBE＝45°， ∠AEB＝∠AEO+∠MEB＝135°， ∠BEC＝180°﹣∠MEB＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ABM＝∠CBE， ∴∠BAE＝∠CBE， ∴△AEB∽△BEC； （3）连接DE，DF．如图2， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠AFB＝90°，AB＝2AO． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴BC＝2BD，∠DAB＝45°， 由（2）知，△AEB∽△BEC， ，∠EAO＝∠EBD， ∴△AOE∽△BDE， ∴∠BED＝∠AEO＝90°， ∴∠DEF＝90°， ∴∠AFB＝∠DEF， ∴AF∥DE， 由（2）知，∠AEB＝135°， ∴∠AEF＝180°﹣∠AEB＝45°． ∵∠DFB＝∠DAB＝45°， ∴∠DFB＝∠AEF， ∴AE∥FD， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴AD与EF互相平分． 23．（2023•福建）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M． （1）求证：△ADE∽△FMC； （2）求∠ABF的度数； （3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO． 【解答】（1）证明：如图： ∵DF是由线段DC绕点D顺时针旋转 90° 得到的， ∴∠FDC＝90°，FD＝CD，∠DFC＝45°， ∵AB＝AC，AO⊥BC， ∴． ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAO＝∠ABC＝45°， ∴∠BAO＝∠DFC， ∵∠EDA+∠ADM＝90°，∠M+∠ADM＝90° ∴∠EDA＝∠M， ∴△ADE∽△FMC； （2）解：设BC与DF的交点为I，如图： ∵∠DBI＝∠CFI＝45°，∠BID＝∠FIC， ∴△BID∽△FIC， ∴，即， ∵∠BIF＝∠DIC， ∴△BIF∽△DIC， ∴∠IBF＝∠IDC， ∵∠IDC＝90°， ∴∠IBF＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ABF＝∠ABC+∠IBF＝135°； （3）证明：延长ON交BF于点T，连接DT，DO，如图： ∵∠FBI＝∠BOA＝90°， ∴BF∥AO， ∴∠FTN＝∠AON． ∵N是AF的中点， ∴AN＝NF， ∵∠TNF＝∠ONA， ∴△TNF≌△ONA（AAS）， ∴NT＝NO，FT＝AO， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AO⊥BC， ∴AO＝CO， ∴FT＝CO， 由（2）知，△BIF∽△DIC， ∴∠DFT＝∠DCO． ∵DF＝DC， ∴△DFT≌△DCO（SAS）， ∴DT＝DO，∠FDT＝∠CDO， ∴∠FDT+∠FDO＝∠CDO+∠FDO，即∠ODT＝∠CDF， ∵∠CDF＝90°， ∴∠ODT＝∠CDF＝90°， ∴． 24．（2022•福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． （1）求抛物线的解析式； （2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； （3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为：yx2x． （2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t， 将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t， ∴， 解得． ∵A（4，0），B（1，4）， ∴S△OAB4×4＝8， ∴S△OAB＝2S△PAB＝8，即S△PAB＝4， 过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图， ∴S△PAB＝S△PNB+S△PNAPN×BEPN×AMPN＝4， ∴PN． 设点P的横坐标为m， ∴P（m，m2m）（1＜m＜4），N（m，m）， ∴PNm2m﹣（m）． 解得m＝2或m＝3； ∴P（2，）或（3，4）． （3）∵PD∥OB， ∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC， ∴△DPC∽△BOC， ∴CP：CO＝CD：CB＝PD：OB， ∵，， ∴． 设直线AB交y轴于点F．则F（0，）， 过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图， ∵∠PDC＝∠OBC， ∴∠PDG＝∠OBF， ∵PG∥OF， ∴∠PGD＝∠OFB， ∴△PDG∽△OBF， ∴PD：OB＝PG：OF， 设P（n，n2n）（1＜n＜4）， 由（2）可知，PGn2n， ∴PG（n）2． ∵1＜n＜4， ∴当n时，的最大值为． 25．（2021•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值； （2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上． ①求抛物线的解析式； ②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等． 【解答】解：（1）把P（0，1）代入解析式得：c＝1， ∴y＝ax2+bx+1， 又∵抛物线与x轴只有一个公共点， ∴Δ＝b2﹣4a＝0，即， ∴， 当b＝﹣2时，a+b有最小值为﹣1； （2）①∵抛物线与x轴只有一个公共点， ∴抛物线上的顶点在x轴上， ∴抛物线上的点为P1，P3， 又∵P1，P3关于y轴对称， ∴顶点为原点（0，0）， 设解析式为y＝ax2， 代入点P1得：， ②证明： 联立直线l和抛物线得： ， 即：x2﹣4kx﹣4＝0， 设M（x1，kx1+1），N（x2，kx2+1）， 由韦达定理得：x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4， 设线段MN的中点为T，设A的坐标为（m，﹣1）， 则T的坐标为（2k，2k2+1）， ∴AT2＝（2k﹣m）2+（2k2+2）2， 由题意得：， ∵△MAN是直角三角形，且MN是斜边， ∴，即：， ∴16（k4+2k2+1）＝（2k﹣m）2+（2k2+2）2， 解得m＝2k， ∴A（2k，﹣1）， ∴B（2k，k2）， ∴C（2k，2k2+1）， ∵， ∴B是AC的中点， ∴AB＝BC， 又∵△MAB与△MBC的高都是点M到直线AC的距离， ∴△MAB与△MBC的高相等， ∴△MAB与△MBC的面积相等． 26．（2020•福建）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2． （1）求二次函数的表达式； （2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1； （3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值． 【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B， ∴点A（0，10），点B（5，0）， ∵BC＝4， ∴点C（9，0）或点C（1，0）， ∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2． ∴当x≥5时，y随x的增大而增大， 当抛物线过点C（9，0）时，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去， 当抛物线过点C（1，0）时，则当x＞3时，y随x的增大而增大，符合题意， ∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点A（0，10）， ∴10＝5a， ∴a＝2， ∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣5）＝2x2﹣12x+10； 方法二：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， 由题意可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：y＝2x2﹣12x+10； （2）当m＝﹣2时，直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10）， ∴直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10）与直线l1：y＝﹣2x+10不重合， 假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P（xP，yP）， ∴ 解得：n＝10， ∵n＝10与已知n≠10矛盾， ∴l1与l2不相交， ∴l2∥l1； （3）如图， 、 ∵直线l3：y＝﹣2x+q过点C， ∴0＝﹣2×1+q， ∴q＝2， ∴直线l3解析式为：y＝﹣2x+2， ∴l3∥l1， ∴CF∥AB， ∴∠ECF＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE， ∴△CEF∽△BEA， ∴（）2， 设BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t， ∴S△ABEt×10＝5t， ∴S△CEF＝（）2×S△ABE＝（）2×5t， ∴S△ABE+S△CEF＝5t10t40＝10（）2+4040， ∴当t＝2时，S△ABE+S△CEF的最小值为4040． 27．（2019•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式； （2）设A为抛物线上的顶点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形． ①求点A的坐标和抛物线的解析式； ②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线． 【解答】解：（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x﹣2）2＝ax2﹣4ax+4a， 则c＝4a； （2）y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1）， 且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与y轴的交点为（0，1）， 又△ABC为等腰直角三角形， ∴点A为抛物线的顶点； ①c＝1，顶点A（1，0）， 抛物线的解析式：y＝x2﹣2x+1， ②， x2﹣（2+k）x+k＝0， x（2+k±）， xD＝xB（2+k），yD＝﹣1； 则D， yC（2+k2+k）， C，A（1，0）， ∴直线AD表达式中的k值为：kAD，直线AC表达式中的k值为：kAC， ∴kAD＝kAC，点A、C、D三点共线． 28．（2018•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）． （1）若点（，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式； （2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°． ①求抛物线的解析式； ②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）， ∴c＝2． 又∵点（，0）也在该抛物线上， ∴a（）2+b（）+c＝0， ∴2ab+2＝0（a≠0）． （2）①∵当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0， ∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大； 同理：当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下， ∴b＝0． ∵OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B、C， ∴△ABC为等腰三角形， 又∵△ABC有一个内角为60°， ∴△ABC为等边三角形． 设线段BC与y轴交于点D，则BD＝CD，且∠OCD＝30°， 又∵OB＝OC＝OA＝2， ∴CD＝OC•cos30°，OD＝OC•sin30°＝1． 不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（，﹣1）． ∵点C在抛物线上，且c＝2，b＝0， ∴3a+2＝﹣1， ∴a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2． ②证明：由①可知，点M的坐标为（x1，2），点N的坐标为（x2，2）． 直线OM的解析式为y＝k1x（k1≠0）． ∵O、M、N三点共线， ∴x1≠0，x2≠0，且， ∴﹣x1x2， ∴x1﹣x2， ∴x1x2＝﹣2，即x2， ∴点N的坐标为（，2）． 设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，2）． ∵点P是点O关于点A的对称点， ∴OP＝2OA＝4， ∴点P的坐标为（0，4）． 设直线PM的解析式为y＝k2x+4， ∵点M的坐标为（x1，2）， ∴2＝k2x1+4， ∴k2， ∴直线PM的解析式为yx+4． ∵•42， ∴点N′在直线PM上， ∴PA平分∠MPN． 29．（2017•福建）已知直线y＝2x+m与抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b． （Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）； （Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点； （Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N． （ⅰ）若﹣1≤a，求线段MN长度的取值范围； （ⅱ）求△QMN面积的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝ax2+ax+b过点M（1，0）， ∴a+a+b＝0，即b＝﹣2a， ∴y＝ax2+ax+b＝ax2+ax﹣2a＝a（x）2， ∴抛物线顶点Q的坐标为（，）； （Ⅱ）∵直线y＝2x+m经过点M（1，0）， ∴0＝2×1+m，解得m＝﹣2， 联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2＝0（*）， ∴△＝（a﹣2）2﹣4a（﹣2a+2）＝9a2﹣12a+4， 由（Ⅰ）知b＝﹣2a，且a＜b， ∴a＜0，b＞0， ∴Δ＞0， ∴方程（*）有两个不相等的实数根， ∴直线与抛物线有两个交点； （Ⅲ）联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2＝0，即x2+（1）x﹣20， ∴（x﹣1）[x﹣（2）]＝0，解得x＝1或x2， ∴N点坐标为（2，6）； （i）由勾股定理可得MN2＝[（2）﹣1]2+（6）245＝20（）2， ∵﹣1≤a， ∴﹣21， ∴MN2随的增大而减小， ∴当2时，MN2有最大值245，则MN有最大值7， 当1时，MN2有最小值125，则MN有最小值5， ∴线段MN长度的取值范围为5MN≤7； （ii）如图，设抛物线对称轴交直线于点E， ∵抛物线对称轴为x，点E在直线MN：y＝2x﹣2上， ∴E（，﹣3）， ∵M（1，0），N（2，6），且a＜0，设△QMN的面积为S， ∴S＝S△QEN+S△QEM|（2）﹣1|•|（﹣3）|， ∴27a2+（8S﹣54）a+24＝0（*）， ∵关于a的方程（*）有实数根， ∴△＝（8S﹣54）2﹣4×27×24≥0，即（8S﹣54）2≥（36）2， ∵a＜0， ∴S， ∴8S﹣54＞0， ∴8S﹣54≥36，即S， 当S时，由方程（*）可得a满足题意， ∴当a，b时，△QMN面积的最小值为． 30．（2016•福州）已知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）． （1）当h＝1，k＝2时，求抛物线的解析式； （2）若抛物线y＝tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式； （3）当点A在抛物线y＝x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围． 【解答】解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y＝a（x﹣1）2+2， ∵抛物线经过原点， ∴0＝a（0﹣1）2+2， ∴a＝﹣2， ∴抛物线解析式为y＝﹣2x2+4x． （2）∵抛物线经过原点， ∴设抛物线为y＝ax2+bx， ∵h， ∴b＝﹣2ah， ∴y＝ax2﹣2ahx， ∵顶点A（h，k）， ∴k＝ah2﹣2ah2＝﹣ah2， 抛物线y＝tx2也经过A（h，k）， ∴k＝th2， ∴th2＝ah2﹣2ah2， ∴t＝﹣a， （3）∵点A在抛物线y＝x2﹣x上， ∴k＝h2﹣h，又k＝ah2﹣2ah2， ∴h， ∵﹣2≤h＜1， ∴﹣21， ①当1+a＞0时，即a＞﹣1时，，解得a＞0， ②当1+a＜0时，即a＜﹣1时，解得a， 综上所述，a的取值范围a＞0或a． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$