【10年压轴题】2016-2025年北京选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年北京选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2022•北京）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2016•北京）为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价．水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：m3），绘制了统计图．如图所示，下面四个推断合理的是（　　） ①年用水量不超过180m3的该市居民家庭按第一档水价交费； ②年用水量超过240m3的该市居民家庭按第三档水价交费； ③该市居民家庭年用水量的中位数在150﹣180之间； ④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．（2020•北京）有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（　　） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 4．（2021•北京）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m，矩形的面积为S m2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 5．（2023•北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论： ①a+b＜c；②a+b；③（a+b）＞c．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（2024•北京）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O为对角线的交点．将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点O到该八边形各顶点的距离都相等；④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 7．（2017•北京）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．①② D．①③ 8．（2025•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y（x＞0）的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面四个结论： ①△COM与△CON的面积一定相等；②△MON与△MCN的面积可能相等； ③△MON一定是锐角三角形；④△MON可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 9．（2018•北京）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论： ①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）； ②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）； ③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）； ④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④ 10．（2019•北京）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分 时间t 人数 学生类型 0≤t＜10 10≤t＜20 20≤t＜30 30≤t＜40 t≥40 性别 男 7 31 25 30 4 女 8 29 26 32 8 学段 初中 25 36 44 11 高中 下面有四个推断： ①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5～25.5之间 ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20～30之间 ③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间 ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间 所有合理推断的序号是（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 二．填空题（共10小题） 11．（2024•北京）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“A﹣B﹣C﹣D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 　 　 min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 　 　 的先后顺序彩排． 12．（2021•北京）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 　 　 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为 　 　 ． 13．（2018•北京）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第 　 　 ． 14．（2025•北京）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： n＝1 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6 … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商　 　 分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为　 　 万元． 15．（2019•北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中， ①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形； ②存在无数个四边形MNPQ是矩形； ③存在无数个四边形MNPQ是菱形； ④至少存在一个四边形MNPQ是正方形． 所有正确结论的序号是 　 　 ． 16．（2016•北京）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线l和l外一点P．（如图1） 求作：直线l的垂线，使它经过点P． 作法：如图2 （1）在直线l上任取两点A，B； （2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q； （3）作直线PQ． 所以直线PQ就是所求的垂线． 请回答：该作图的依据是 　 　 ． 17．（2017•北京）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程 已知：Rt△ABC，∠C＝90°，求作Rt△ABC的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线PQ，交AB于点O； （3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆． 请回答：该尺规作图的依据是 　 　 ． 18．（2020•北京）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 　 　 ． 19．（2023•北京）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B、C，D、E，F、G七道工序，加工要求如下： ①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 　 　 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 　 　 分钟． 20．（2022•北京）甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如下： 包裹编号 Ⅰ号产品重量/吨 Ⅱ号产品重量/吨 包裹的重量/吨 A 5 1 6 B 3 2 5 C 2 3 5 D 4 3 7 E 3 5 8 甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂． （1）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案 　 　 （写出要装运包裹的编号）； （2）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案 　 　 （写出要装运包裹的编号）． 三．解答题（共10小题） 21．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N． 对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”． （1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”． ①在图中画出点Q； ②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NTOM； （2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）． 22．（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP＝AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） （1）如图，⊙O的半径为1． ①在点A1（，0），A2（，0），A3（2，0）中，点　 　 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，该点与⊙O的关联角度为　 　 °； ②点B（1，m）在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为　 　 ； （2）已知点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α．若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围． 23．（2024•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”． （1）如图，点A（0，1），B（1，0）． ①在点C1（2，0），C2（1，2），中，点 　 　 是弦AB的“α可及点”，其中α＝　 　 °； ②若点D是弦AB的“90°可及点”，则点D的横坐标的最大值为 　 　 ； （2）已知P是直线上一点，且存在⊙O的弦MN，使得点P是弦MN的“60°可及点”．记点P的横坐标为t，直接写出t的取值范围． 24．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1． 给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”． （1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是 　 　 ；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点 　 　 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”； （2）若点A，B都在直线yx+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值； （3）若点A的坐标为（2，），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围． 25．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧． （1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长； （2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点． ①若t，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围； ②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围． 26．（2018•北京）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）． 已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）． （1）求d（点O，△ABC）； （2）记函数y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）＝1，直接写出k的取值范围； （3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接写出t的取值范围． 27．（2016•北京）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图． （1）已知点A的坐标为（1，0）， ①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积； ②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式； （2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围． 28．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点． （1）当⊙O的半径为2时， ①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是 　 　 ． ②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围． （2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围． 29．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”． （1）如图，点A（﹣1，0），B1（，），B2（，）． ①在点C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）中，弦AB1的“关联点”是 　 　 ； ②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长； （2）已知点M（0，3），N（，0），对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围． 30．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”． （1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 　 　 ； （2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值； （3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长． 【10年压轴题】2016-2025年北京选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B A D B B A D C 一．选择题（共10小题） 1．（2022•北京）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解答】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合题意； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②符合题意； 用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故③不符合题意； 所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②． 故选：A． 2．（2016•北京）为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价．水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：m3），绘制了统计图．如图所示，下面四个推断合理的是（　　） ①年用水量不超过180m3的该市居民家庭按第一档水价交费； ②年用水量超过240m3的该市居民家庭按第三档水价交费； ③该市居民家庭年用水量的中位数在150﹣180之间； ④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解答】解：①由条形统计图可得：年用水量不超过180m3的该市居民家庭一共有（0.25+0.75+1.5+1.0+0.5）＝4（万）， 100%＝80%，故年用水量不超过180m3的该市居民家庭按第一档水价交费，正确； ②∵年用水量超过240m3的该市居民家庭有（0.15+0.15+0.05）＝0.35（万）， ∴100%＝7%≠5%，故年用水量超过240m3的该市居民家庭按第三档水价交费，故此选项错误； ③∵5万个数数据的中间是第25000和25001的平均数， ∴该市居民家庭年用水量的中位数在120﹣150之间，故此选项错误； ④由①得，该市居民家庭年用水量的平均数不超过180，正确， 故选：B． 3．（2020•北京）有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（　　） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 【解答】解：设容器内的水面高度为h，注水时间为t，根据题意得： h＝0.2t+10， ∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系． 故选：B． 4．（2021•北京）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m，矩形的面积为S m2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【解答】解：由题意得， 2（x+y）＝10， ∴x+y＝5， ∴y＝5﹣x， 即y与x是一次函数关系． ∵S＝xy ＝x（5﹣x） ＝﹣x2+5x， ∴矩形面积满足的函数关系为S＝﹣x2+5x， 即满足二次函数关系， 故选：A． 5．（2023•北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论： ①a+b＜c； ②a+b； ③（a+b）＞c． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解答】解：①过点D作DF∥AC，交AE于点F；过点B作BG⊥FD，交FD于点G． ∵DF∥AC，AC⊥AE， ∴DF⊥AE． 又∵BG⊥FD， ∴BG∥AE， ∴四边形ABGF为矩形． 同理可得，四边形BCDG也为矩形． ∴FD＝FG+GD＝a+b． ∴在Rt△EFD中，c＞a+b． 故①正确． ②∵△EAB≌△BCD， ∴AE＝BC＝b， ∴在Rt△EAB中，BE． ∵AB+AE＞BE， ∴a+b． 故②正确． ③∵△EAB≌△BCD， ∴∠AEB＝∠CBD， 又∵∠AEB+∠ABE＝90°， ∴∠CBD+∠ABE＝90°， ∴∠EBD＝90°． ∵BE＝BD， ∴∠BED＝∠BDE＝45°， ∴BEc•sin45°c． ∴c． ∵2（a2+2ab+b2）＝2（a2+b2）+4ab＞2（a2+b2）， ∴， ∴c． 故③正确． 故选：D． 6．（2024•北京）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O为对角线的交点．将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点O到该八边形各顶点的距离都相等； ④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解答】解：延长BD和DB，连接OH， ∵菱形ABCD，∠BAD＝60°， ∴∠BAO＝∠DAO＝30°，∠AOD＝∠AOB＝90°， ∵菱形ABCD绕点O逆时针旋转 90° 得到菱形 A'B'C'D'， ∴点A′，D′，B′，C′一定在对角线AC，BD上，且 OD＝OD'＝OB＝OB'，OA＝OA'＝OC＝OC'， ∴AD'＝C'D，∠D'AH＝∠DC'H＝30°， ∵∠D′HA＝∠DHC′， ∴△AD'H≌△C'DH（AAS）， ∴D′H＝DH，C′H＝AH， 同理可证 D'E＝BE，BF＝B'F，B'G＝DG， ∵∠EA'B＝∠HC'D＝30°，A′B＝C′D，∠A'BE＝∠C'DH＝120°， ∴△A'BE≌△C'DH（ASA）， ∴DH＝BE， ∴DH＝BE＝D′H＝D′E＝BF＝FB′＝B′G＝DG， ∴该八边形各边长都相等，故①正确； 根据角的平分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，故④正确； 根据题意，得∠ED'H＝120°， ∵∠D'OD＝90°，∠OD'H＝∠ODH＝60°， ∴∠D'HD＝150°， ∴该八边形各内角不相等，故②错误； ∵OD＝OD′，D′H＝DH，OH＝OH， ∴△D'OH≌△DOH（SSS）， ∴∠D'OH＝∠DOH＝45°，∠D'HO＝∠DHO＝75°， ∴OD≠OH， ∴点O到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误； 故选：B． 7．（2017•北京）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．①② D．①③ 【解答】解：当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：308÷500＝0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误， 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确， 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误， 故选：B． 8．（2025•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y（x＞0）的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面四个结论： ①△COM与△CON的面积一定相等； ②△MON与△MCN的面积可能相等； ③△MON一定是锐角三角形； ④△MON可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解答】解：设点M坐标为，点N坐标为， 则A（a，0），，， ∴，OA＝BC＝a，BN＝b，，CN＝a﹣b，， ∴， ， ∴S△COM＝S△CON，故结论①正确； ， ， 当△MON与△MCN的面积相等时，，即a＝b， 当a＝b时，M，N重合，与题意不符，故结论②错误； ∵四边形OACB是矩形，∠AOB＝90°，∠AOM是OM与x轴夹角，∠BON是ON与y轴夹角，M、N在第一象限， ∴∠AOM、∠BON均为锐角， 又∵∠MON＝90°﹣∠AOM﹣∠BON， ∴∠MON＜90°，即∠MON 是锐角， 过O作OH⊥MN于H， 由是一个固定形式的正数， 根据三角形面积公式， ∵S△MON＞0， ∴OH＞0， 在△OMH和△ONH中，∠OMH、∠ONH是直角三角形的锐角， ∴∠OMH＜90°，∠ONH＜90°，即∠OMN＜90°，∠ONM＜90°， ∴△MON的三个角都是锐角， ∴△MON一定是锐角三角形，故结论③正确； 假设△MON是等边三角形，则OM＝ON＝MN，且∠MON＝60°， 若OM＝ON，则OM2＝ON2，即：， 整理得：， ∴， ∵a≠b（M、N不重合）， ∴， ∴a2b2＝1， ∴ab＝1， 此时OM＝ON，但结合角度条件∠MON＝60°， 由于ab＝1时，∠AOM+∠BON＝90°﹣60°＝30°，但通过反比例函数和矩形的动态性，无法同时满足角度和边长的严格等边要求， ∴△MON不可能是等边三角形，结论④错误； 综上，①③正确、②④错误， 故选：A． 9．（2018•北京）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论： ①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）； ②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）； ③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）； ④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④ 【解答】解：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，每个方格的长度表示1，所以表示左安门的点的坐标为（5，﹣6），此结论正确； ②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，每个方格的长度表示2，所以表示左安门的点的坐标为（10，﹣12），此结论正确； ③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，可建立如图所示平面直角坐标系，每个方格的长度表示2，所以表示左安门的点的坐标为（11，﹣11），此结论正确； ④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，如图所示，每个方格的长度表示3，所以表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5），此结论正确． 故选：D． 10．（2019•北京）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分 时间t 人数 学生类型 0≤t＜10 10≤t＜20 20≤t＜30 30≤t＜40 t≥40 性别 男 7 31 25 30 4 女 8 29 26 32 8 学段 初中 25 36 44 11 高中 下面有四个推断： ①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5～25.5之间 ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20～30之间 ③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间 ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间 所有合理推断的序号是（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【解答】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：（24.5×97+25.5×103）÷200＝25.015，一定在24.5～25.5之间，正确； ②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为 15，60，51，62，12，则中位数在20～30 之间，故②正确． ③由统计表计算可得，初中学段栏0≤t＜10 的人数在 0～15 之间，当人数为 0 时中位数在 20～30 之间；当人数为 15 时，中位数在 20～30 之间，故③正确． ④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为 0﹣15，35，15，18，1，当0≤t＜10时间段人数为 0 时，中位数在 10～20 之间；当 0≤t＜10时间段人数为 15 时，中位数在 10～20 之间，故④错误． 故选：C． 二．填空题（共10小题） 11．（2024•北京）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“A﹣B﹣C﹣D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 　60　 min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 　C﹣A﹣B﹣D　 的先后顺序彩排． 【解答】解：根据题意，节目D的演员的候场时间为：30+10+20＝60（min）； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按：C﹣A﹣B﹣D顺序排序， 即（10+2+1）×20+（2+1）×30+1×10＝360（min）， 故答案为：60；C﹣A﹣B﹣D． 12．（2021•北京）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 　2：3　 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为 　　 ． 【解答】解：设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5﹣x）吨，依题意可得： 4x+1＝2（5﹣x）+3， 解得：x＝2， ∴分配到B生产线的吨数为5﹣2＝3（吨）， ∴分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为2：3； ∴第二天开工时，给A生产线分配了（2+m）吨原材料，给B生产线分配了（3+n）吨原材料， ∵加工时间相同， ∴4（2+m）+1＝2（3+n）+3， 解得：mn， ∴， 故答案为：2：3；． 13．（2018•北京）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第 　3　 ． 【解答】解：根据中国创新综合排名全球第22，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11，再根据中国创新产出排名为第11在另一排名中找到创新效率排名为第3． 故答案为：3 14．（2025•北京）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： n＝1 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6 … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商　B　 分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为　157　 万元． 【解答】解：（1）当n＝2时， A经销商的利润为60，比n＝1时增加60﹣40＝20（万元）， B经销商的利润为55，比n＝1时增加55﹣30＝25（万元）， C经销商的利润为40，比n＝1时增加40﹣20＝20（万元）， D经销商的利润为38，比n＝1时增加38﹣14＝24（万元）， ∵25＞24＞20， ∴应向经销商B分配2台设备， 故答案为：B； （2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为D经销商的134万元， 当分配给多家销售时： 当分配四家时，最大利润为40+55+20+38＝153（万元）， 当分配给三家时，最大利润为40+55+62＝157（万元）， 当分配给两家时，最大利润为60+90＝150（万元）或40+110＝150（万元）， 综上所述：企业可获得的总利润的最大值为157万元． 故答案为：157． 15．（2019•北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中， ①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形； ②存在无数个四边形MNPQ是矩形； ③存在无数个四边形MNPQ是菱形； ④至少存在一个四边形MNPQ是正方形． 所有正确结论的序号是 　①②③　 ． 【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O， 过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q， 则四边形MNPQ是平行四边形， 故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确； ②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确； ③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确； ④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ， 则△AMQ≌△DQP， ∴AM＝QD，AQ＝PD， ∵PD＝BM， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形， 当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故错误； 故答案为：①②③． 16．（2016•北京）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线l和l外一点P．（如图1） 求作：直线l的垂线，使它经过点P． 作法：如图2 （1）在直线l上任取两点A，B； （2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q； （3）作直线PQ． 所以直线PQ就是所求的垂线． 请回答：该作图的依据是 　到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上）　 ． 【解答】解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上）， 理由：如图，∵PA＝AQ，PB＝QB， ∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上， ∴直线AB垂直平分线段PQ， ∴PQ⊥AB． 17．（2017•北京）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程 已知：Rt△ABC，∠C＝90°，求作Rt△ABC的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线PQ，交AB于点O； （3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆． 请回答：该尺规作图的依据是 　到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线；90°的圆周角所对的弦是直径；圆的定义等．　 ． 【解答】解：该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周角所对的弦是直径． 故答案为到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一直线；90°的圆周角所对的弦是直径；圆的定义． 18．（2020•北京）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 　丙、丁、甲、乙或丙、丁、乙、甲或丙、甲、丁、乙或丙、乙、丁、甲　 ． 【解答】解：根据题意，丙第一个购票，只能购买3，1，2，4号票， 此时，3号左边有6个座位，4号右边有5个座位， 即甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排， ①第二个丁可以购买3号左边的5个座位，另一侧的座位甲和乙购买， 即丙（3，1，2，4）、丁（5，7，9，11，13）、甲（6，8）、乙（10，12，14）， 或丙（3，1，2，4）、丁（5，7，9，11，13）、乙（6，8，10）、甲（12，14）； ②第二个由甲或乙购买，此时，只能购买5，7号票，第三个购买的只能是丁，且只能购买6，8，10，12，14号票， 此时，四个人购买的票全在第一排， 即丙（3，1，2，4）、甲（5，7）、丁（6，8，10，12，14）、乙（9，11，13）， 或丙（3，1，2，4）、乙（5，7，9）、丁（6，8，10，12，14）、甲（11，13）， 因此，第一个是丙购买票，丁只要不是最后一个购买票的人，都能使四个人购买的票全在第一排， 故答案为：丙、丁、甲、乙或丙、丁、乙、甲或丙、甲、丁、乙或丙、乙、丁、甲． 19．（2023•北京）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B、C，D、E，F、G七道工序，加工要求如下： ①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 　53　 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 　28　 分钟． 【解答】解：由题意得：9+9+7+9+7+10+2＝53（分钟）， 即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟； 假设这两名学生为甲、乙， ∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成， ∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟， 然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟， 最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟， ∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+9+10＝28（分钟）， 故答案为：53，28． 20．（2022•北京）甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如下： 包裹编号 Ⅰ号产品重量/吨 Ⅱ号产品重量/吨 包裹的重量/吨 A 5 1 6 B 3 2 5 C 2 3 5 D 4 3 7 E 3 5 8 甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂． （1）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案 　ABC （或ABE或AD或ACD或BCD或ACE）　 （写出要装运包裹的编号）； （2）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案 　ACE　 （写出要装运包裹的编号）． 【解答】解：（1）选择ABC时，装运的I号产品重量为：5+3+2＝10（吨），总重6+5+5＝16＜19.5（吨），符合要求； 选择ABE时，装运的I号产品重量为：5+3+3＝11（吨），总重6+5+8＝19＜19.5（吨），符合要求； 选择AD时，装运的1号产品重量为：5+4＝9（吨），总重6+7＝13＜19.5 （吨），符合要求； 选择ACD时，装运的I号产品重量为：5+2+4＝11（吨），总重6+5+7＝18＜19.5（吨），符合要求； 选择BCD时，装运的1号产品重量为：3+2+4＝9（吨），总重5+5+7＝17＜19.5（吨），符合要求； 选择DCE时，装运的I号产品重量为：4+2+3＝9（吨），总重7+5+8＝20＞19.5（吨），不符合要求； 选择BDE时，装运的I号产品重量为：3+4+3＝10（吨），总重5+7+8＝20＞19.5（吨），不符合要求； 选择ACE时，装运的I号产品重量为5+3+3＝11（吨），总重6+5+8＝19（吨），符合要求， 综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或AD或ACD或BCD或ACE． 故答案为：ABC （或ABE或AD或ACD或BCD或ACE）； （2）选择ABC时，装运的Ⅱ号产品重量为：1+2+3＝6（吨）； 选择ABE时，装运的Ⅱ号产品重量为：1+2+5＝8（吨）； 选择AD时，装运的Ⅱ号产品重量为：1+3＝4 （吨）； 选择ACD时，装运的Ⅱ号产品重量为：1+3+3＝7 （吨）； 选择BCD时，装运的Ⅱ号产品重量为：2+3+3＝8 （吨）； 选择ACE时，Ⅰ产品重量：5+2+3＝10 （吨）且9≤10≤11；Ⅱ产品重量：1+3+5＝9（吨）， 故答案为：ACE． 三．解答题（共10小题） 21．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N． 对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”． （1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”． ①在图中画出点Q； ②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NTOM； （2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）． 【解答】解：（1）①由题意知，P'（﹣2+1，0+1）， ∴P'（﹣1，1）， 如图，点Q即为所求； ②连接PP'， ∵∠P'PO＝∠MOx＝45°， ∴PP'∥ON， ∵P'N＝QN， ∴PT＝QT， ∴NTPP'， ∵PP'＝OM， ∴NTOM； （2）如图，连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM， 由题意知，PP'∥OM，PP'＝OM，P'N＝NQ， ∴TQ＝2MN， ∵MN＝OM﹣ON＝1﹣t， ∴TQ＝2﹣2t， ∴SQ＝ST﹣TQ＝1﹣（2﹣2t）＝2t﹣1， ∵PS﹣QS≤PQ≤PS+QS， ∴PQ的最小值为PS﹣QS，PQ的最大值为PS+QS， ∴PQ长的最大值与最小值的差为（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝4t﹣2． 22．（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP＝AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） （1）如图，⊙O的半径为1． ①在点A1（，0），A2（，0），A3（2，0）中，点　A3　 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，该点与⊙O的关联角度为　60　 °； ②点B（1，m）在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为　　 ； （2）已知点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α．若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围． 【解答】解：（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有∠PAQ≤∠MAN； 当A在⊙O内部时，过A的直径MN使得⊙O的关联角度为180°； 当A在⊙O的外部时，且AM，AN为⊙O的切线时，∠MAN最大； 如图，A3是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，A1与⊙O的关联角度为180°，A2与⊙O的关联角度大于90°， ∵A3（2，0），⊙O的半径为1， ∴OM＝1，OA3＝2，且MA3是⊙OO的切线， ∴， ∴∠MA3O＝30°， ∴∠MA3N＝60°，即与⊙O的关联角度为60°， 故答案为：A3，60； ②根据定义可得B为⊙O外一点， ∵BD＜1，⊙O的半径为1， ∴BO≥2， 当OB＝2时，如图，取点G（1，0），则∠OBG＝90°， ∴， ∴m的最小值为， 故答案为：； （2）由（1）可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时，∠MAN最大，且A距离圆心越近， ∵90°≤α≤180°， ∴当∠MAN＝90°时，由∠TMA＝∠TNA＝90°，如图， ∴四边形TMAN是矩形， ∵TM＝TA， ∴四边形TMAN是正方形， ∴， 当∠MAN≥90°时，， ∵点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，则r＝|t|， ∴EF上距离T最近的点在的圆环内， ①EF和的圆相切，如图， ∴， 解得：； ②EF和半径为t的圆相切时，如图， ∴t＝3 （不包含临界值）， ∴； ③当E在半径为t的圆，如图， ∴t2＝（t﹣1）2+32， 解得：t＝5 （不包含临界值）， ∴t＞5时，E，F都在⊙T内部，此时α＝180°； ④当F在半径为的圆，如图， 设⊙T的半径为r，则t＝﹣r， ∴， 解得：， ∴时，此时90°≤α≤180°； 综上所述，或t＞5或． 23．（2024•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”． （1）如图，点A（0，1），B（1，0）． ①在点C1（2，0），C2（1，2），中，点 　C2　 是弦AB的“α可及点”，其中α＝　45　 °； ②若点D是弦AB的“90°可及点”，则点D的横坐标的最大值为 　　 ； （2）已知P是直线上一点，且存在⊙O的弦MN，使得点P是弦MN的“60°可及点”．记点P的横坐标为t，直接写出t的取值范围． 【解答】解：（1）①反过来思考，由相对运动理解，作出⊙O关于AB的对称圆⊙O， ∵若点C关于直线AB的对称点C'在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”， ∴点C应在⊙O'的圆内或圆上， ∵点A（0，1），B（1，0）， ∴OA＝OB＝1， ∵∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝∠OAB＝45°， 由对称得：∠O'BA＝O'AB＝45°， ∴△O′BA为等腰直角三角形， ∴O'（1，1）， 设⊙O半径为R， 则，故C1在⊙O'外，不符合题意； C2O'＝2﹣1＝1＝R，故C2在⊙O'上，符合题意； ，故C3在⊙O'外，不符合题意， ∴点C2是弦AB的“α可及点”， 可知B，O′，C2三点共线， ∵， ∴， 故答案为：C2，45； ②取AB中点为H，连接DH， ∵∠ADB＝90°， ∴HD＝HA＝HB， ∴点D在以H为圆心，HA为半径的AB上方半圆上运动（不包括端点A、B）， ∴当DH∥x轴时，点D横坐标最大， ∵OA＝OB＝1，∠AOB＝90°， ∴， ∴， ∵点A（0，1），B（1，0）， ∴， ∴， ∴点D的横坐标的最大值为， 故答案为：； （2）反过来思考，由相对运动理解，作出⊙O关于AB的对称圆⊙O'， ∵若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”， ∴点C应在⊙O'的圆内或圆上， ∴点P需要在⊙O'的圆内或圆上， 作出△MPN的外接圆⊙O″，连接O″M，O″N， ∴点P在以O″为圆心，MO″为半径的上运动（不包括端点M、N）， ∴∠MO″N＝2∠MPN＝120°， ∴∠O″MN＝30°， 由对称得点O，O'在MN的垂直平分线上， ∵△MPN的外接圆为⊙O″， ∴点O″也在MN的垂直平分线上，记OO'与NM交于点Q， ∴MQ＝MO″•cos30°MO“， ∴MN＝2MQMO″， 随着MN的增大，⊙O'会越来越靠近⊙O，当点O'与点O″重合时，点P在⊙O'上，即为临界状态，此时MN最大，MN， 连接O″P，OP， ∵OP≤OO″+O″P， ∴当MN最大，时，此时△MNP为等边三角形， 由上述过程知MN＝2MQMO″， ∴MO″＝O″P1， ∴当r＝1，OP的最大值为2， 设，则， 解得：， 记直线与⊙O交于T，S，与y轴交于点K，过点S作SL⊥x轴， 当x＝0，，当y＝0时，， 解得x＝1， ∴与x轴交于点T（1，0）， ∴， ∵OT＝OS， ∴△OTS为等边三角形， ∴∠TOS＝60°， ∴， ∴， ∴t的取值范围是． 24．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1． 给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”． （1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是 　P1P2∥P3P4　 ；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点 　P3　 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”； （2）若点A，B都在直线yx+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值； （3）若点A的坐标为（2，），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围． 【解答】解：（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2∥P3P4；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”． 故答案为：P1P2∥P3P4，P3． （2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1， 设直线yx+2交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，2）， 过点E作EH⊥MN于H， ∵OM＝2，ON＝2， ∴tan∠NMO， ∴∠NMO＝60°， ∴EH＝EM•sin60°， 观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为． （3）如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N， 以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′，等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”， 当点A′与M重合时，AA′的值最小，最小值＝OA﹣OM1， 当点B与N重合时，AA′的长最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H． 由题意A′H，AH3， ∴AA′的最大值， ∴d2． 25．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧． （1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长； （2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点． ①若t，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围； ②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围． 【解答】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧， 连接DE， ∵∠A＝90°，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点， ∴BC4，DEBC4＝2， ∴弧2π＝π； （2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G， ①当t时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1）， 设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心在线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1， ∵OA＝OC，∠AOC＝90° ∴∠ACO＝45°， ∵DE∥OC ∴∠AED＝∠ACO＝45° 作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF 根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求； ∴m 综上所述，m或m≥1． ②如图4，设圆心P在AC上， ∵P在DE中垂线上， ∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM， ∴P（t，）， ∵DE∥BC ∴∠ADE＝∠AOC＝90° ∴AE， ∵PD＝PE， ∴∠AED＝∠PDE ∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°， ∴∠DAE＝∠ADP ∴AP＝PD＝PEAE 由三角形中内弧定义知，PD≤PM ∴AE，AE≤3，即3，解得：t， ∵t＞0 ∴0＜t． 如图5，设圆心P在BC上，则P（t，0）， ⊙P与AC相切于点E为临界状态，过点P作PM⊥DE，为△ABC的中内弧，只需PM≤1即可，由△EMP∽△ABC，得PM＝2t2，故t， ∵t＞0， ∴0＜t； 综上所述，t的取值范围为：0＜t． 26．（2018•北京）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）． 已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）． （1）求d（点O，△ABC）； （2）记函数y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）＝1，直接写出k的取值范围； （3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接写出t的取值范围． 【解答】解：（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2， ∴d（点O，△ABC）＝2； （2）y＝kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段， 当y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k＝﹣1，此时d（G，△ABC）＝1； 当y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k＝1，此时d（G，△ABC）＝1； ∴﹣1≤k≤1， ∵k≠0， ∴﹣1≤k≤1且k≠0； （3）⊙T与△ABC的位置关系分三种情况： ①当⊙T在△ABC的左侧时，由d（⊙T，△ABC）＝1知此时t＝﹣4； ②当⊙T在△ABC内部时， 当点T与原点重合时，d（⊙T，△ABC）＝1，知此时t＝0； 当点T位于T3位置时，由d（⊙T，△ABC）＝1知T3M＝2， ∵AB＝BC＝8、∠ABC＝90°， ∴∠C＝∠T3DM＝45°， 则T3D2， ∴t＝4﹣2， 故此时0≤t≤4﹣2； ③当⊙T在△ABC右边时，由d（⊙T，△ABC）＝1知T4N＝2， ∵∠T4DC＝∠C＝45°， ∴T4D2， ∴t＝4+2； 综上，t＝﹣4或0≤t≤4﹣2或t＝4+2． 27．（2016•北京）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图． （1）已知点A的坐标为（1，0）， ①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积； ②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式； （2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围． 【解答】解：（1）①∵A（1，0），B（3，1） 由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1， ∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1＝2； ②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线， 又∵点A，C的“相关矩形”为正方形 ∴直线AC与x轴的夹角为45°， 设直线AC的解析为：y＝x+m或y＝﹣x+n 把（1，0）分别y＝x+m， ∴m＝﹣1， ∴直线AC的解析为：y＝x﹣1， 把（1，0）代入y＝﹣x+n， ∴n＝1， ∴y＝﹣x+1， 综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y＝x﹣1或y＝﹣x+1； （2）设直线MN的解析式为y＝kx+b， ∵点M，N的“相关矩形”为正方形， ∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45°， ∴k＝±1， ∵点N在⊙O上， ∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“相关矩形”为正方形， 当k＝1时， 作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行， 其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B， 连接OA，OC， 把M（m，3）代入y＝x+b， ∴b＝3﹣m， ∴直线MN的解析式为：y＝x+3﹣m ∵∠ADO＝45°，∠OAD＝90°， ∴ODOA＝2， ∴D（0，2） 同理可得：B（0，﹣2）， ∴令x＝0代入y＝x+3﹣m， ∴y＝3﹣m， ∴﹣2≤3﹣m≤2， ∴1≤m≤5， 当k＝﹣1时，把M（m，3）代入y＝﹣x+b， ∴b＝3+m， ∴直线MN的解析式为：y＝﹣x+3+m， 同理可得：﹣2≤3+m≤2， ∴﹣5≤m≤﹣1； 综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1 28．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点． （1）当⊙O的半径为2时， ①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是 　P2，P3　 ． ②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围． （2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围． 【解答】解：（1）①∵点， ∴， ∴P1与⊙O的最小距离为，P2与⊙O的最小距离为1，OP3与⊙O的最小距离为， ∴⊙O的关联点是P2，P3； 故答案为：P2，P3； ②根据定义分析，可得当直线y＝﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意， ∴设P（x，﹣x），当OP＝1时， 由距离公式得，， ∴， 当OP＝3时，， 解得：； ∴点P的横坐标的取值范围为：，或； （2）∵直线y＝﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B， ∴A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，此时，CA＝3， ∴C（﹣2，0）， 如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D， ∴CD＝1， ∵直线AB的解析式为y＝﹣x+1， ∴直线AB与x轴的夹角为45°， ∴， ∴， ∴圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1； 如图3，当圆过点O，则AC＝1， ∴C（2，0）， 如图4，当圆过点B，连接BC，此时，BC＝3， ∴， ∴． ∴圆心C的横坐标的取值范围为：； 综上所述：圆心C的横坐标的取值范围为：或． 29．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”． （1）如图，点A（﹣1，0），B1（，），B2（，）． ①在点C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）中，弦AB1的“关联点”是 　C1，C2　 ； ②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长； （2）已知点M（0，3），N（，0），对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围． 【解答】解：（1）①由关联定义可知，若直线CA、CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”， ∵点A（﹣1，0），B1（，），点C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）， ∴直线AC2经过点O，且B1C2与⊙O相切， ∴C2是弦AB1的“关联点”， ∵C1（﹣1，1），A（﹣1，0）的横坐标相同，与B1（，）在直线y＝﹣x上， ∴AC1与⊙O相切，B1C1经过点O， ∴C1是弦AB1的“关联点”； 故答案为：C1，C2； ②∵A（﹣1，0），B2（，）， 设C（a，b），如图所示，共有两种情况， a、若C1B2与⊙O相切，AC经过点O， 则C1B2，AC1所在直线为， 解得， ∴C1（，0）， ∴OC1， b、若AC2与⊙O相切，C2B2经过点O， 则直线C2B2，AC2所在直线为， 解得， ∴C2（﹣1，1）， ∴OC2， 综上所述，OC； （2）∵线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”， ∵弦PQ随着S的变动在一定范围内变动，且M（0，3），N（，0），OM＞ON， ∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的MN的垂线上，如图所示， ①当S位于点M（0，3）时，MP为⊙O的切线，作PJ⊥OM， ∵M（0，3），⊙O的半径为1，且MP是⊙O的切线， ∴OP⊥MP， ∵PJ⊥OM， ∴△MPO∽△POJ， ∴，即， 解得OJ， ∴PJ，Q1J， ∴PQ1， 同理PQ2， ∴当S位于M（0，3）时，PQ1的临界值为和； ②当S位于经过点O的MN的垂线上的点K时， ∵M（0，3），N（，0）， ∴MN， ∴2， ∵⊙O的半径为1， ∴∠OKZ＝30°， ∴△OPQ为等边三角形， ∴PQ＝1或， ∴当S位于经过点O且垂直于MN的直线上即点K时，PQ1的临界点为1和， ∴在两种情况下，PQ的最小值在1≤t内，最大值在， 综上所述，t的取值范围为1≤t，． 30．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”． （1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 　B2C2　 ； （2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值； （3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长． 【解答】解：（1）由旋转的性质可知：AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′， 由图可知点A到圆上一点的距离d的范围为1≤d1， ∵AC1＝3＞d， ∴点C1′不可能在圆上， ∴B1C1不是⊙O的以A为中心的“关联线段”， ∵AC2＝1，AB2， ∴C2′（0，1），B2′（1，0）， ∴B2C2是⊙O的以A为中心的“关联线段”， ∵AC3＝2，AB3， 当B3′在圆上时，B3′（1，0）或（0，﹣1）， 由图可知此时C3′不在圆上， ∴B3C3不是⊙O的以A为中心的“关联线段”． 故答案为：B2C2． （2）∵△ABC是边长为1的等边三角形， 根据旋转的性质可知△AB′C′也是边长为1的等边三角形， ∵A（0，t）， ∴B′C′⊥y轴，且B′C′＝1， ∴AO为B′C′边上的高的2倍，且此高的长为， ∴t或． （3）OA的最小值为1时，此时BC的长为，OA的最大值为2，此时BC的长为． 理由：由旋转的性质和“关联线段”的定义， 可知AB′＝AB＝OB′＝OC′＝1，AC′＝AC＝2，如图1， 利用四边形的不稳定性可知， 当A，O，C′在同一直线上时，OA最小，最小值为1，如图2， 此时OA＝OB′＝OC′， ∴∠AB′C＝90°， ∴B′C′． 当A，B′，O在同一直线上时，OA最大，如图3， 此时OA＝2，过点A作AE⊥OC′于E，过点C′作C′F⊥OA于F． ∵AO＝AC′＝2，AE⊥OC′， ∴OE＝EC′， ∴AE， ∵S△AOC′•AO•C′F•OC′•AE， ∴C′F， ∴OF， ∴FB′＝OB′﹣OF， ∴B′C′． 综上OA的最小值为1，此时BC的长为，OA的最大值为2，此时BC的长为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$