【10年压轴题】2016-2025年安徽省选择、填空、解答题中考真题汇编卷

【10年压轴题】2016-2025年安徽省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 一．选择题（共10小题） 1．（2025•安徽）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（　　） A．EC﹣ED的最大值是2 B．FB的最小值是 C．EC+ED的最小值是4 D．FC的最大值是 2．（2024•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BD是边AC上的高．点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重合），且DE⊥DF．设AE＝x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为（　　） A．B． C．D． 3．（2023•安徽）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（　　） A．PA+PB的最小值为3 B．PE+PF的最小值为2 C．△CDE周长的最小值为6 D．四边形ABCD面积的最小值为3 4．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（　　） A． B． C．3 D． 5．（2021•安徽）在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（　　） A．CD＝2ME B．ME∥AB C．BD＝CD D．ME＝MD 6．（2020•安徽）如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　） A． B． C．D． 7．（2019•安徽）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（　　） A．0 B．4 C．6 D．8 8．（2018•安徽）如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN＝1．正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处．将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止．记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于l1，l2之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A．B． C． D． 9．（2017•安徽）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PABS矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　） A． B． C．5 D． 10．（2016•安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•安徽）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m；若余数为0，则m；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由8+1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为　 　 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为　 　 ． 12．（2024•安徽）如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，BC上．沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B′，C′处，然后还原． （1）若点N在边CD上，且∠BEF＝α，则∠C′NM＝　 　 （用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平面内的点D′处，然后还原．若点D′在线段B′C′上，且四边形EFGH是正方形，AE＝4，EB＝8，MN与GH的交点为P，则PH的长为 　 　 ． 13．（2023•安徽）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C． （1）k＝　 　 ； （2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为 　 　 ． 14．（2022•安徽）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题： （1）∠FDG＝　 　 °； （2）若DE＝1，DF＝2，则MN＝　 　 ． 15．（2021•安徽）设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数． （1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝　 　 ； （2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是　 　 ． 16．（2020•安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究： （1）∠PAQ的大小为　 　 °； （2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为　 　 ． 17．（2019•安徽）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x﹣a+1和y＝x2﹣2ax的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是 　 　 ． 18．（2018•安徽）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为　 　 ． 19．（2017•安徽）在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），剪去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为　 　 cm． 20．（2016•安徽）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论： ①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABGS△FGH；④AG+DF＝FG． 其中正确的是　 　 ．（把所有正确结论的序号都选上） 三．解答题（共10小题） 21．（2025•安徽）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点（4，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝x2﹣2x上（A，B与原点都不重合）． （i）若a，且x1＝x2，比较y1与y2的大小； （ii）当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值． 22．（2024•安徽）已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上． （ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值； （ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值． 23．（2023•安徽）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2． （1）求a，b的值； （2）已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E． （i）当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和； （ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由． 24．（2022•安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； （ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）． 25．（2021•安徽）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：△ABF≌△EAD； （2）如图2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 26．（2020•安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB． （1）求证：BD⊥EC； （2）若AB＝1，求AE的长； （3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DGAG． 27．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°． （1）求证：△PAB∽△PBC； （2）求证：PA＝2PC； （3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证：h2•h3． 28．（2018•安徽）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F． （1）求证：CM＝EM； （2）若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小； （3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM． 29．（2017•安徽）已知正方形ABCD，点M为边AB的中点． （1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F． ①求证：BE＝CF； ②求证：BE2＝BC•CE． （2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值． 30．（2016•安徽）如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点． （1）求证：△PCE≌△EDQ； （2）延长PC，QD交于点R． ①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形； ②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值． 【10年压轴题】2016-2025年安徽省选择、填空、解答题中考真题汇编卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A B A A D A D B 一．选择题（共10小题） 1．（2025•安徽）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（　　） A．EC﹣ED的最大值是2 B．FB的最小值是 C．EC+ED的最小值是4 D．FC的最大值是 【解答】解：∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF， ∴DE＝DF，∠EDF＝90°， 又∵∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1， 过点D作DG⊥BC于点G，在DG上取一点H，使得DH＝AD＝1，延长FH交AB于点I，则四边形ABGD是矩形， ∴∠GDA＝∠ADE+∠EDG＝90°＝∠EDG+∠HDF． ∴∠ADE＝∠HDF， ∴△DHF≌△DAE（SAS）， ∴∠DHF＝∠DAE＝90°， ∴FH⊥DG，即点F在FH上运动， ∴四边形DAIH和四边形BGHI是矩形， ∴HI＝AD＝BG＝1，AI＝DH＝1，BI＝4﹣1＝3， ∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1， ∴，， ∴， ∴BE最大时，EC﹣ED最大， 当点E与点A重合时，F与H重合时，BF最小，此时，ED＝1，，故A错误，符合题意； ，故B正确，不符合题意； 作点D关于AB的对称点M，连接MC，则ED＝EM，AD＝AM＝1，∠BAM＝∠BAD＝90°，过M作MN⊥CB于点N，此时EC+ED≥CM，当C、E、M三点共线时，EC+ED最小， ∵MN⊥CB，∠ABN＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形AMNB是矩形， ∴BN＝AM＝1，CN＝3+1＝4，AB＝MN＝4， ∴EC+ED的最小值，故C正确，不符合题意； 当E与A重合时，， 当E与B重合时，过C作CQ⊥FH，则四边形CQIB是矩形，如图， ∴CQ＝IB＝4﹣1＝3，QI＝BC＝3， ∵△DHF≌△DAE， ∴FH＝AE＝4， ∴QF＝FH+HI﹣QI＝4+1﹣3＝2， ∴， 综上，FC最大值为.故D项正确，不符合题意； 故选：A． 2．（2024•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BD是边AC上的高．点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重合），且DE⊥DF．设AE＝x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过D作DH⊥AB于H，如图： ∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2， ∴AC2， ∵BD是边AC上的高， ∴BD； ∴CD，AD＝AC﹣CD， ∴DH， ∴S△ADEAE•DHxx，S△BDEBE•DH（4﹣x）x； ∵∠BDE＝90°﹣∠BDF＝∠CDF，∠DBE＝90°﹣∠CBD＝∠C， ∴△BDE∽△CDF， ∴（）2＝（）2， ∴S△CDFS△BDE（x）x， ∴y＝S△ABC﹣S△ADE﹣S△CDF2×4x﹣（x）x， ∵0， ∴y随x的增大而减小，且y与x的函数图象为线段（不含端点）， 观察各选项图象可知，A符合题意； 故选：A． 3．（2023•安徽）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（　　） A．PA+PB的最小值为3 B．PE+PF的最小值为2 C．△CDE周长的最小值为6 D．四边形ABCD面积的最小值为3 【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，如图： ∵△ADE和△BCE是等边三角形， ∴∠DEA＝∠MBA＝60°，∠CEB＝∠MAB＝60°， ∴DE∥BM，CE∥AM， ∴四边形DECM是平行四边形， ∵P为CD中点， ∴P为EM中点， ∵E在线段AB上运动， ∴P在直线l上运动， 由AB＝4知等边三角形ABM的高为2， ∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为， 作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB＝PA'+PB最小， 此时PA+PB最小值A'B2，故选项A错误，符合题意； ∵PM＝PE， ∴PE+PF＝PM+PF， ∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度， ∵F为AB的中点， ∴MF⊥AB， ∴MF为等边三角形ABM的高， ∴PE+PF的最小值为2，故选项B正确，不符合题意； 过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，如图， ∵△ADE和△BCE是等边三角形， ∴KEAE，TEBE， ∴KT＝KE+TEAB＝2， ∴CD≥2， ∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2， ∴DE+CE+CD≥6， ∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意； 设AE＝2m，则BE＝4﹣2m， ∴AK＝KE＝m，BT＝ET＝2﹣m，DKAKm，CTBT＝2m， ∴S△ADKm•mm2，S△BCT（2﹣m）（2m）m2﹣2m+2，S梯形DKTC（m+2m）•2＝2， ∴S四边形ABCDm2m2﹣2m+22m2﹣2m+4（m﹣1）2+3， ∴当m＝1时，四边形ABCD面积的最小值为3，故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 4．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（　　） A． B． C．3 D． 【解答】解：如图，不妨假设点P在AB的左侧， ∵S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC， ∴S1+S0＝S2+S3， ∵S1+S2+S3＝2S0， ∴S1+S1+S0＝2， ∴S1S0， ∵△ABC是等边三角形，边长为6， ∴S062＝9， ∴S1， 过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T． ∵△PAB的面积是定值， ∴点P的运动轨迹是直线PM， ∵O是△ABC的中心， ∴CT⊥AB，CT⊥PM， ∴•AB•RT，CR＝3，OR， ∴RT， ∴OT＝OR+TR， ∵OP≥OT， ∴OP的最小值为， 当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为， 如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为， ∵， 故选：B． 5．（2021•安徽）在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（　　） A．CD＝2ME B．ME∥AB C．BD＝CD D．ME＝MD 【解答】解：根据题意可作出图形，如图，延长EM交BD于点F，延长DM交AB于点N， 在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E， 由此可得点A，C，D，B四点共圆， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴CD＝DB，（故选项C正确） ∵点M是BC的中点， ∴DM⊥BC， 又∵∠ACB＝90°， ∴AC∥DN， ∴点N是线段AB的中点， ∴AN＝DN， ∴∠DAB＝∠ADN， ∵CE⊥AD，BD⊥AD， ∴CE∥BD， ∴∠ECM＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM， ∵点M是BC的中点， ∴CM＝BM， ∴△CEM≌△BFM（AAS）， ∴EM＝FM，∠CEM＝∠BFM， ∴点M是EF的中点， ∵∠EDF＝∠CED＝90°， ∴EM＝FM＝DM（故选项D正确）， ∴∠DEM＝∠MDE＝∠DAB， ∴EM∥AB（故选项B正确）， 综上，可知选项A的结论不正确． 故选：A． 6．（2020•安徽）如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H． ∵△ABC和△DEF均为等边三角形， ∴△GEJ为等边三角形． ∴GHEJx， ∴yEJ•GHx2． 当x＝2时，y，且抛物线的开口向上． 如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H． yFJ•GH（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上． 故选：A． 7．（2019•安徽）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（　　） A．0 B．4 C．6 D．8 【解答】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H， ∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12， ∴EC＝8，FC＝4＝AE， ∵点M与点F关于BC对称， ∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°， ∴∠ACM＝90°， ∴EM4， 则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为49， 在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝12， ∴点P在CH上时，4PE+PF≤12， 在点H左侧，当点P与点B重合时，BF2， ∵AB＝BC，AE＝CF，∠BAE＝∠BCF， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴BE＝BF＝2， ∴PE+PF＝4， ∴点P在BH上时，4PE+PF≤4， ∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9， 同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9． 即共有8个点P满足PE+PF＝9， 故选：D． 8．（2018•安徽）如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN＝1．正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处．将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止．记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于l1，l2之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当0≤x≤1时，y＝2x， 当1＜x≤2时，y＝2， 当2＜x≤3时，y＝﹣2x+6， ∴函数图象是A， 故选：A． 9．（2017•安徽）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PABS矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　） A． B． C．5 D． 【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h． ∵S△PABS矩形ABCD， ∴AB•hAB•AD， ∴hAD＝2， ∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离． 在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4， ∴BE， 即PA+PB的最小值为． 故选：D． 10．（2016•安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC， ∴∠BAP+∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半）， ∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小， 在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3， ∴OC5， ∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2． ∴PC最小值为2． 故选：B． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•安徽）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m；若余数为0，则m；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由8+1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为　2　 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为　11　 ． 【解答】解：（1）∵15÷3＝5...0， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵5÷3＝1…2， ∴15进行二次变换后得到的数为5+1＝6； ∵6÷3＝2…0， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为1×3＝3，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为1﹣1＝0，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则n＝3×3＝9，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则n＝3﹣1＝2，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为2+9＝11， 故答案为：11． 12．（2024•安徽）如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，BC上．沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B′，C′处，然后还原． （1）若点N在边CD上，且∠BEF＝α，则∠C′NM＝　90°﹣α　 （用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平面内的点D′处，然后还原．若点D′在线段B′C′上，且四边形EFGH是正方形，AE＝4，EB＝8，MN与GH的交点为P，则PH的长为 　3　 ． 【解答】解：（1）∵MN⊥EF，∠BEF＝α， ∴∠EMN＝90°﹣α， ∵CD∥AB， ∴∠CNM＝∠EMN＝90°﹣α， ∴∠C′NM＝∠CNM＝90°﹣α． 故答案为：90°﹣α． （2）如图，设PH与NC'交于点G'， ∵四边形ABCD和四边形EFGH是正方形， ∴∠A＝∠D＝∠GHE＝90°，GH＝EH， ∴∠AHE+∠GHD＝∠AHE+∠AEH＝90° ∴∠GHD＝∠AEH， ∴△EAH≌△HDG（AAS） 同理可证△EAH≌△HDG≌△GCF≌△FBE， ∴DH＝CG＝AE＝4，DG＝EB＝8， ∴GH4， ∵MN⊥GH，且∠C′NM＝∠CNM， ∴MN垂直平分GG'，即PG＝PG'GG'，且NG＝NG'， ∵四边形CBMN沿MN折叠， ∴CN＝C'N， ∴CN﹣NG＝C'N﹣NG'，即C'G'＝CG＝4， ∵△GDH沿GH折叠得到△GD'H， ∴GD'＝GD＝8， ∵∠HC'G'＝∠HD'G＝90°， ∴C'G'∥D'G， ∴， ∴HG'＝GG'HG＝2， 又∵PG'GG'， ∴PH＝PG'+HG'＝3． 故答案为：3． 13．（2023•安徽）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C． （1）k＝　　 ； （2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为 　4　 ． 【解答】解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°， ∴， ∴， ∵C是OB的中点， ∴OC＝BC＝AC＝2， 如图，过点C作CP⊥OA于P， ∴△OPC≌△APC（HL）， ∴， 在Rt△OPC中，PC， ∴C（，1）． ∵反比例函数y（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C， ∴， 解得k． 故答案为：． （2）设直线AC的解析式为y＝k1x+b（k≠0）， 则， 解得， ∴AC的解析式为yx+2， ∵AC∥BD， ∴直线BD的解析式为yx+4， ∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上， ∴联立得， 解得，， 当D的坐标为（23，）时， BD29+3＝12， ∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4； 当D的坐标为（23，）时， BD29+3＝12， ∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4； 综上，OB2﹣BD2＝4． 故答案为：4． 14．（2022•安徽）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题： （1）∠FDG＝　45　 °； （2）若DE＝1，DF＝2，则MN＝　　 ． 【解答】解：由题知，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴∠AEB+∠GEF＝90°， ∵∠AEB+∠ABE＝90°， ∴∠GEF＝∠ABE， 在△ABE和△GEF中， ， ∴△ABE≌△GEF（AAS）， ∴EG＝AB＝AD，GF＝AE， 即DG+DE＝AE+DE， ∴DG＝AE， ∴DG＝GF， 即△DGF是等腰直角三角形， ∴∠FDG＝45°， 故答案为：45°； （2）∵DE＝1，DF＝2， 由（1）知，△DGF是等腰直角三角形， ∴DG＝GF＝2，AB＝AD＝CD＝ED+DG＝2+1＝3， 延长GF交BC延长线于点H， ∴CD∥GH， ∴△EDM∽△EGF， ∴， 即， ∴MD， 同理△BNC∽△BFH， ∴， 即， ∴， ∴NC， ∴MN＝CD﹣MD﹣NC＝3， 故答案为：． 15．（2021•安徽）设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数． （1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝　0　 ； （2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是　2　 ． 【解答】解：（1）点（﹣1，m）代入抛物线解析式y＝x2+（a+1）x+a， 得（﹣1）2+（a+1）×（﹣1）+a＝m，解得m＝0． 故答案为：0． （2）y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位可得，y＝x2+（a+1）x+a+2， ∴y＝（x）2（a﹣1）2+2， ∴抛物线顶点的纵坐标n（a﹣1）2+2， ∵0， ∴n的最大值为2． 故答案为：2． 16．（2020•安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究： （1）∠PAQ的大小为　30　 °； （2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为　　 ． 【解答】解：（1）由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP， ∵∠QRA+∠QRP＝180°， ∴∠D+∠C＝180°， ∴AD∥BC， ∴∠B+∠DAB＝180°， ∵∠DQR+∠CQR＝180°， ∴∠DQA+∠CQP＝90°， ∴∠AQP＝90°， ∴∠B＝∠AQP＝90°， ∴∠DAB＝90°， ∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°， 故答案为：30； （2）由折叠的性质可得：AD＝AR，CP＝PR， ∵四边形APCD是平行四边形， ∴AD＝PC， ∴AR＝PR， 又∵∠AQP＝90°， ∴QRAP， ∵∠PAB＝30°，∠B＝90°， ∴AP＝2PB，ABPB， ∴PB＝QR， ∴， 故答案为：． 17．（2019•安徽）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x﹣a+1和y＝x2﹣2ax的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是 　a＜﹣1或a＞1　 ． 【解答】解：∵平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方， 令y＝x﹣a+1＜0， ∴x＜﹣1+a， 令y＝x2﹣2ax＜0， 当a＞0时，0＜x＜2a；当a＜0时，2a＜x＜0； ①当x＞0时，x＜﹣1+a与0＜x＜2a有解，则a＞1， ②当x＜0时，x＜﹣1+a与2a＜x＜0有解，a﹣1＞2a，则a＜﹣1； ∴a＜﹣1； 故答案为a＜﹣1或a＞1； 18．（2018•安徽）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为　或3　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝90°， ∴BD10， 当PD＝DA＝8时，BP＝BD﹣PD＝2， ∵△PBE∽△DBC， ∴，即， 解得，PE， 当P′D＝P′A时，点P′为BD的中点， ∴P′E′CD＝3， 故答案为：或3． 19．（2017•安徽）在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），剪去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为　40或　 cm． 【解答】解：∵∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30cm， ∴AB＝10，∠ABC＝60°， ∵△ADB≌△EDB， ∴∠ABD＝∠EBDABC＝30°，BE＝AB＝10， ∴DE＝10，BD＝20， 如图1，平行四边形的边是DF，BF，且DF＝BF， ∴平行四边形的周长， 如图2，平行四边形的边是DE，EG，且DE＝EG＝10， ∴平行四边形的周长＝40， 综上所述：平行四边形的周长为40或， 故答案为：40或． 20．（2016•安徽）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论： ①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABGS△FGH；④AG+DF＝FG． 其中正确的是　①③④　 ．（把所有正确结论的序号都选上） 【解答】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处， ∴∠1＝∠2，CE＝FE，BF＝BC＝10， 在Rt△ABF中，∵AB＝6，BF＝10， ∴AF8， ∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2， 设EF＝x，则CE＝x，DE＝CD﹣CE＝6﹣x， 在Rt△DEF中，∵DE2+DF2＝EF2， ∴（6﹣x）2+22＝x2，解得x， ∴ED， ∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处， ∴∠3＝∠4，BH＝BA＝6，AG＝HG， ∴∠2+∠3∠ABC＝45°，所以①正确； HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4， 设AG＝y，则GH＝y，GF＝8﹣y， 在Rt△HGF中，∵GH2+HF2＝GF2， ∴y2+42＝（8﹣y）2，解得y＝3， ∴AG＝GH＝3，GF＝5， ∵∠A＝∠D，，， ∴， ∴△ABG与△DEF不相似，所以②错误； ∵S△ABG•6•3＝9，S△FGH•GH•HF3×4＝6， ∴S△ABGS△FGH，所以③正确； ∵AG+DF＝3+2＝5，而GF＝5， ∴AG+DF＝GF，所以④正确． 故答案为①③④． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•安徽）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点（4，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝x2﹣2x上（A，B与原点都不重合）． （i）若a，且x1＝x2，比较y1与y2的大小； （ii）当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值． 【解答】解：（1）由题意得，将点（4，0）代入y＝ax2+bx得， 16a+4b＝0，即b＝﹣4a， ∴， 故所求抛物线的对称轴是直线x＝2． （2）①由（1）可知，抛物线的解析式为． 又∵x1＝x2， ∴． ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴x1≠0， ∴， 故y2＞y1； ②由题意知，，， ∵， ∴， ∵两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以x1≠0，x2≠0． 故，即x2＝a（x1﹣4）+2． ∴， 依题意知，是与x1无关的定值． 不妨将x1＝1和x1＝2分别代入，可得2﹣3a＝1﹣a， 解得， 经检验，当时，是一个与x1无关的定值，符合题意． ∴，b＝﹣4a＝﹣2． 22．（2024•安徽）已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上． （ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值； （ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx的顶点横坐标为，y＝﹣x2+2x的顶点横坐标为1， ∴， ∴b＝4； （2）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上， ∴， ∵B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+4x上， ∴， t）， ∴h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， （i）∵h＝3t， ∴3t＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， ∴t（t+2x1）＝t+2x1， ∵x1≥0，t＞0， ∴t+2x1＞0， ∴t＝1， ∴h＝3； （ii）将x1＝t﹣1代入h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， ∴h＝﹣3t2+8t﹣2， ， ∵﹣3＜0， ∴当，即时，h取最大值． 23．（2023•安徽）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2． （1）求a，b的值； （2）已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E． （i）当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和； （ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2， ∴， 解得：； （2）由（1）得：y＝﹣x2+4x， ∴当x＝t时，y＝﹣t2+4t， 当x＝t+1时，y＝﹣（t+1）2+4（t+1），即y＝﹣t2+2t+3， ∴B（t，﹣t2+4t），C（t+1，﹣t2+2t+3）， 设OA的解析式为y＝kx，将A（3，3）代入，得：3＝3k， ∴k＝1， ∴OA的解析式为y＝x， ∴D（t，t），E（t+1，t+1）， （i）设BD与x轴交于点M，过点A作AN⊥CE，如图， 则M（t，0），N（t+1，3）， ∴S△OBD+S△ACEBD•OMAN•CE（﹣t2+4t﹣t）•t（﹣t2+2t+3﹣t﹣1）•（3﹣t﹣1）（﹣t3+3t2）（t3﹣3t2+4）t3t2t3t2+2＝2； （ii）①当2＜t＜3时，过点D作DH⊥CE于H，如图， 则H（t+1，t），BD＝﹣t2+4t﹣t＝﹣t2+3t，CE＝t+1﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣2，DH＝t+1﹣t＝1， ∴S四边形DCEB（BD+CE）•DH， 即（﹣t2+3t+t2﹣t﹣2）×1， 解得：t； ②当t＞3时，如图，过点D作DH⊥CE于H， 则BD＝t﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣3t，CE＝t2﹣t﹣2， ∴S四边形DBCE（BD+CE）•DH， 即（t2﹣3t+t2﹣t﹣2）×1， 解得：t11（舍去），t21（舍去）； 综上所述，t的值为． 24．（2022•安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； （ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）． 【解答】解：（1）由题意可得：A（﹣6，2），D（6，2）， 又∵E（0，8）是抛物线的顶点， 设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2+8，将A（﹣6，2）代入， （﹣6）2a+8＝2， 解得：a， ∴抛物线对应的函数表达式为yx2+8； （2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上， ∴P2的坐标为（m，m2+8）， ∴P1P2＝P3P4＝MNm2+8，P2P3＝2m， ∴l＝3（m2+8）+2mm2+2m+24（m﹣2）2+26， ∵0， ∴当m＝2时，l有最大值为26， 即栅栏总长l与m之间的函数表达式为lm2+2m+24，l的最大值为26； （ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18﹣3n， ∴矩形P1P2P3P4面积为（18﹣3n）n＝﹣3n2+18n＝﹣3（n﹣3）2+27， ∵﹣3＜0， ∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27， 此时P2P1＝3，P2P3＝9， 令x2+8＝3， 解得：x＝±， ∴此时P1的横坐标的取值范围为9≤x， 方案二：设P2P1＝n，则P2P39﹣n， ∴矩形P1P2P3P4面积为（9﹣n）n＝﹣n2+9n＝﹣（n）2， ∵﹣1＜0， ∴当n时，矩形面积有最大值为， 此时P2P1，P2P3， 令x2+8， 解得：x＝±， ∴此时P1的横坐标的取值范围为x． 25．（2021•安徽）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：△ABF≌△EAD； （2）如图2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 【解答】解：（1）如图1，∵AE∥CD， ∴∠AEB＝∠BCD， ∵∠ABC＝∠BCD， ∴∠ABC＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∵DE∥AB， ∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF， ∵∠ABC＝∠BCD， ∴∠DEC＝∠BCD， ∴DE＝DC， ∵CF∥AD，AE∥CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∴AF＝CD， ∴AF＝DE， 在△ABF和△EAD中， ， ∴△ABF≌△EAD（SAS）； （2）方法①：∵CF∥AD， ∴∠EAD＝∠CFE， ∵∠ECF＝∠AED， ∴△EAD∽△CFE， ∴， 由（1）知：四边形ADCF是平行四边形， ∴AD＝CF，AF＝CD， ∵AB＝9，CD＝5， ∴AE＝9，DE＝5， ∴EF＝AE﹣AF＝9﹣5＝4， ∴， ∴CF2＝4×9＝36，即CF＝6， ∴CE， ∵∠ABC＝∠BCD＝∠AEB＝∠DEC， ∴△ABE∽△DEC， ∴，即， ∴BE＝6； 方法②：由（1）知△ABF≌△EAD， ∴∠ABF＝∠EAD， ∵∠EAD＝∠CFE， ∴∠ABF＝∠CFE， ∵∠ABC＝∠AEB，∠ABC＝∠ABF+∠EBF，∠AEB＝∠CFE+∠ECF， ∴∠EBF＝∠ECF， ∵∠BAE＝∠AED＝∠ECF， ∴∠EBF＝∠BAE， ∵∠BEF＝∠AEB， ∴△BEF∽△AEB， ∴，即， ∴BE＝6； （3）如图3，延长BM、ED交于点G， ∵△ABE，△DCE均为等腰三角形，且∠ABC＝∠DCE， ∴△ABE∽△DCE， ∴， 设DC＝DE＝a，CE＝b，x， 则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，BE＝bx， ∴EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1）， ∵AB∥DG， ∴∠ABG＝∠G ∵AD的中点M， ∴AM＝DM， ∵∠AMB＝∠DMG， ∴△AMB≌△DMG（AAS）， ∴DG＝AB＝ax， ∴EG＝DG+DE＝ax+a＝a（x+1）， ∵AB∥DG（即AB∥EG）， ∴△ABF∽△EGF， ∴，即， ∴x2﹣2x﹣1＝0， 解得：x＝1或x＝1（舍去）， ∴x＝1． 26．（2020•安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB． （1）求证：BD⊥EC； （2）若AB＝1，求AE的长； （3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DGAG． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上， ∴∠EAF＝∠DAB＝90°， 又∵AE＝AD，AF＝AB， ∴△AEF≌△ADB（SAS）， ∴∠AEF＝∠ADB， ∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°， 即∠EGB＝90°， 故BD⊥EC， （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AE∥CD， ∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF， ∴△AEF∽△DCF， ∴， 即AE•DF＝AF•DC， 设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0， 解得或（舍去）， ∴AE． （3）证明：如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG， 在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG， ∴△AEP≌△ADG（SAS）， ∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG， ∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°， ∴△PAG为等腰直角三角形， ∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PGAG． 27．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°． （1）求证：△PAB∽△PBC； （2）求证：PA＝2PC； （3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证：h2•h3． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC 又∠APB＝135°， ∴∠PAB+∠PBA＝45° ∴∠PBC＝∠PAB 又∵∠APB＝∠BPC＝135°， ∴△PAB∽△PBC （2）∵△PAB∽△PBC ∴ 在Rt△ABC中，AC＝BC， ∴ ∴ ∴PA＝2PC （3）如图，过点P作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于点F， ∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3， ∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270° ∴∠APC＝90°， ∴∠EAP+∠ACP＝90°， 又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90° ∴∠EAP＝∠PCD， ∴Rt△AEP∽Rt△CDP， ∴，即， ∴h3＝2h2 ∵△PAB∽△PBC， ∴， ∴ ∴． 即：h2•h3． 28．（2018•安徽）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F． （1）求证：CM＝EM； （2）若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小； （3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝∠DCB＝90°， ∵DM＝MB， ∴CMDB，EMDB， ∴CM＝EM． （2）解：∵∠AED＝90°，∠A＝50°， ∴∠ADE＝40°，∠CDE＝140°， ∵CM＝DM＝ME， ∴∠MCD＝∠MDC，∠MDE＝∠MED， ∴∠CME＝360°﹣2×140°＝80°， ∴∠EMF＝180°﹣∠CME＝100°． （3）证明：如图2中，设FM＝a． ∵△DAE≌△CEM，CM＝EM， ∴AE＝ED＝EM＝CM＝DM，∠AED＝∠CME＝90° ∴△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形， ∴∠DEM＝60°，∠MEF＝30°， ∴AE＝CM＝EMa，EF＝2a， ∵CN＝NM， ∴MNa， ∴，， ∴， ∴EM∥AN． （也可以连接AM利用等腰三角形的三线合一的性质证明） 29．（2017•安徽）已知正方形ABCD，点M为边AB的中点． （1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F． ①求证：BE＝CF； ②求证：BE2＝BC•CE． （2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值． 【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°， ∴∠ABG+∠CBF＝90°， ∵∠AGB＝90°， ∴∠ABG+∠BAG＝90°， ∴∠BAG＝∠CBF， ∵AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°， ∴△ABE≌△BCF， ∴BE＝CF， ②∵∠AGB＝90°，点M为AB的中点， ∴MG＝MA＝MB， ∴∠GAM＝∠AGM， 又∵∠CGE＝∠AGM，∠GAM＝∠CBG， ∴∠CGE＝∠CBG， 又∠ECG＝∠GCB， ∴△CGE∽△CBG， ∴，即CG2＝BC•CE， 由∠CFG＝∠GBM＝∠BGM＝∠CGF得CF＝CG， 由①知BE＝CF， ∴BE＝CG， ∴BE2＝BC•CE； （2）延长AE、DC交于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴∠N＝∠EAB， 又∵∠CEN＝∠BEA， ∴△CEN∽△BEA， ∴，即BE•CN＝AB•CE， ∵AB＝BC，BE2＝BC•CE， ∴CN＝BE， ∵AB∥DN， ∴， ∵AM＝MB， ∴FC＝CN＝BE， 不妨设正方形的边长为1，BE＝x， 由BE2＝BC•CE可得x2＝1•（1﹣x）， 解得：x1，x2（舍）， ∴， 则tan∠CBF． 30．（2016•安徽）如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点． （1）求证：△PCE≌△EDQ； （2）延长PC，QD交于点R． ①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形； ②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值． 【解答】（1）证明：∵点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点， ∴DE＝OC，DE∥OC，CE＝OD，CE∥OD， ∴四边形ODEC是平行四边形， ∴∠OCE＝∠ODE， ∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形， ∴∠PCO＝∠QDO＝90°， ∴∠PCE＝∠PCO+∠OCE＝∠QDO+∠EDO＝∠EDQ， ∵PCAO＝OC＝ED，CE＝ODOB＝DQ， 在△PCE与△EDQ中，， ∴△PCE≌△EDQ； （2）①如图2，连接RO， ∵PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线， ∴AR＝OR＝RB， ∴∠ARC＝∠ORC，∠ORQ＝∠BRQ， ∵∠RCO＝∠RDO＝90°，∠COD＝150°， ∴∠CRD＝30°， ∴∠ARB＝60°， ∴△ARB是等边三角形； ②由（1）得，EQ＝EP，∠DEQ＝∠CPE， ∴∠PEQ＝∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ＝∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE＝∠ACE﹣∠RCE＝∠ACR＝90°， ∴△PEQ是等腰直角三角形，∵△ARB∽△PEQ，∴∠ARB＝∠PEQ＝90°， ∴∠OCR＝∠ODR＝90°，∠CRD∠ARB＝45°， ∴∠MON＝135°， 此时P，O，B在一条直线上，△PAB为直角三角形，且∠APB＝90°， ∴AB＝2PE＝2PQPQ，∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$