2024-2025学年北师大版数学八年级下册暑期收心测试（一）

2024-2025学年北师版八年级下册暑期收心测试（一） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．春节期间，人工智能温情相伴，下列软件图标是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．下列因式分解错误的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，与相交于点，，，，则的周长为（   ） A．18 B．21 C．22 D．24 5．把不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在与中，点B在上，点D在上，且，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 7．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．某工程队改造一条长3500米的人行道，为尽量缩短施工时间，施工时每天比计划多改造15米，结果提前8天完成．设计划每天改造人行道x米，则可得方程（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，将绕点逆时针旋转一定角度得到，点的对应点是点，点恰好落在上．若，此时的周长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 10．如图所示，点是等边内一点，，将绕点逆时针旋转一定角度后得到，下列四个结论中：①为等边三角形；②；③；④；其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是 ． 12．已知，则的值是 ． 13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值 ． 14．一次知识竞赛中共有道题，答对一题得分，不答得分，答错扣分，小李有道题没答，竞赛成绩不少于分，则小李至少答对了 道题． 15．如图所示，在中，与均为的高线，交于点F，连接，若，则 ；将沿翻折得到，若，则 ． 16．如图，在中，，，，点D、E分别是，上的动点，且，连接，，则的最小值是 ． 三、解答题：（本大题9个小题，17-18题每小题8分，19-25题各10分，86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．计算： (1)；(2)． 18．先化简，再求值：，其中满足：，且为整数，选择一个你认为合适的的值代入求值． 19．如图，已知中，为边上的中线． (1)请用基本尺规作图：在下方作，使射线交的延长线于点．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： (2)若，，在（1）所作的图形中，求线段的取值范围． 解：为边上的中线， ______． 在和中 ______， ， ． 在中，， ______． ， ______． 20．如图，在菱形中，对角线交于点O，，．动点P从O点出发，沿路线运动，到达点A时停止运动，设，的面积的为，的长度与x的比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 21．新能源汽车有着动力强、油耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车进价的1.2倍，若用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆． (1)求每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为多少万元？ (2)该汽车4S店决定购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，问购进乙型汽车多少辆时，可使投资总额最少？最少投资总额是多少万元？ 22．综合与实践 某商场准备购进一批两种不同型号的衣服．已知购进种型号衣服1件和种型号衣服2件，共需290元；购进种型号衣服2件和种型号衣服3件，共需480元．销售一件种型号衣服可获利20元，销售一件种型号衣服可获利30元． (1)，两种型号衣服的进价各是多少元？ (2)若已知购进种型号衣服是种型号衣服的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且种型号衣服不多于26件，则该商场在这次进货中，共有哪几种方案？ (3)为了进一步落实降本增效的工作目标，请你帮助该商场判断（2）中的进货方案，哪种方案利润率最高？（利润率利润成本） 23．如图，四边形是某公园游览步道．我班数学两个综合实践小组对部分步道进行了测量，数据包括：第一小组在点处测得点在正西方向、点在东北方向，在点处测得点在正东方，点在南偏西方向；第二小组测得米．（参考数据：，） (1)计算的长度； (2)某同学欲从去往处，他有两条线路可以前往：①；②．请计算说明他选择线路①还是线路②路程更短．（计算结果保留到1米） 24．如图1，已知直线l：交x，y轴于点 ， 两点，正比例函数的图象与直线 交于点． (1)求直线的解析式和点C的坐标； (2)y轴负半轴上有一动点E，连接．点F是x轴上有一动点，当时，求的最小值； (3)如图2，将直线l向下平移7个单位长度，平移后的直线与y轴交于点G，与直线交于点M，点P在x轴上．当时，请直接写出点P的坐标． 25．在等边中，点是射线上一点，点是线段上一点，将绕点逆时针旋转得到． (1)如图1，若点恰好落在边上，点是的中点，交干点，，求的面积； (2)如图2，若，连接、，求证：； (3)如图3，若，，连接，，，当最小时．直接写出四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2024-2025学年北师版八年级下册暑期收心测试（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B B C C D C D 1．B 【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 2．D 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否必然成立，特别注意平方运算对不等式符号的影响． 【详解】解：选项A：不等式两边同时减去1，不等号方向不变，因此可推出，故A一定成立． 选项B：不等式两边同时乘以正数2，不等号方向不变，因此可推出，故B一定成立． 选项C：不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得，两边同时加上2，不等号方向不变，得到，故C一定成立． 选项D：当和均为正数时，可推出；但若为正数，为负数（例如，），则成立，但，，此时，故，D不一定成立． 综上，不一定成立的是选项D． 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法、十字相乘法和公式法进行因式分解，逐项判断即可． 【详解】解：A．，提取公因式x，正确，不符合题意； B．，故选项B错误，符合题意； C．，正确，不符合题意； D．，正确，不符合题意； 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查了平行线四边形的性质，理解并掌握平行四边形的性质是解题关键．根据“平行四边形对角线相互平分”可得，，然后计算的周长即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，，，， ∴，， ∴的周长． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是掌握一元一次不等式解集的表示方法，当符号为“”或“”，边界点为实心圆点，当符号为“”或“”，边界点为空心圆点，即可． 【详解】∵不等式组的解集为：， ∴数轴上表示为：， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点． 先由三角形的外角求出，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出，再由邻补角即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了根据一次函数的图象确定不等式的解集，解题关键是能根据不等式结合函数图象求解． 根据不等式的意义，及它们的交点，即可得出不等式的解集． 【详解】解：直线与直线， 当时，直线在直线的上方， 直线与直线相交于点， 在点的右侧直线在直线的上方， 所以的解集为， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设计划每天改造人行道x米，根据“施工时每天比计划多改造15米，结果提前8天完成”列分式方程即可． 【详解】解：设计划每天改造人行道x米，列方程得， 故选：D． 9．C 【分析】本题主要考查旋转的性质，由旋转得，得，从而可求出的周长． 【详解】解：由旋转得， 又， ∴， ∴的周长为， 故选：C． 10．D 【分析】由旋转可得，进而证明，，可判断①；由，，可判断②；证明中，可判断③；取中点Q，连接，，证明，可判断④． 【详解】解：是等边三角形， ， ， 将绕点逆时针旋转一定角度后得到， ， ，，，， ， 为等边三角形； 故①正确； ， ， ； 故②正确； ， ， 在中，， ， ，， ； 故③正确； 如图，取中点Q，连接，， 则， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，点Q是中点， ，， ， 故④正确； 综上可知，正确的结论有4个， 故选D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形中线的性质等，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 11．6 【详解】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6． 故答案为：6. 12． 【分析】利用完全平方公式化简，然后将代入计算即可得出结果。 【详解】解： 当时，原式。 故答案为：。 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用和化简求值，能熟练运用完全平方公式是解题的关键。 13．2 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．先根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得m的取值范围，再根据范围得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 且， 的最小整数值为2． 故答案为：2． 14． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小李答对了道题，则答错了道，根据题意得，然后求出的取值范围即可，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设小李答对了道题，则答错了道， 根据题意得，， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴小李至少答对了道题， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查折叠的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，延长，交于点，易得，进而求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，折叠的性质，得到，三线合一，推出，证明四边形为矩形，得到，证明为等腰直角三角形，得到，即可． 【详解】解：延长，交于点，过作， ∵与均为的高线，交于点F， ∴为的高线， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为： 16． 【详解】解：在直线下方，作，且，连接，，设与的交点为G， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值即取得最小值， 故当点E与点G重合时，取得最小值， 过点A作于点M，交的延长线于点M， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，三角形内角和定理，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短是解题的关键． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则． （1）根据整式的混合运算，按照运算法则进行计算即可； （2）根据多项式乘以多项式，完全平方公式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． 18．； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除号后的项根据平方差公式约分得到最简结果，选择合适的x的值代入计算即可求出值，注意x的取值范围． 【详解】解： ； 当，且为整数， ∴ ∵ 时分式无意义， ∴ 带入得：原式. 19．(1)见解析 (2)；；2；1 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，三角形的三边关系，尺规作图，作一个角等于已知角，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）按照作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）先证明，根据全等三角形的性质得到，，然后在由三边关系求出 ，即可求出线段的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：为边上的中线， ． 在和中 ， ， ． 在中，， ． ， ． 故答案为：；；2；1． 20．(1)， (2)见解析；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； (3) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）由菱形的性质可得，则可得到，据此根据三角形面积公式可得； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴，； （2）解：如图所示，即为所求； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3）解：联立，解得或， ∴由函数图象可得，当时，． 21．(1)每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为10万元和12万元 (2)购进乙型汽车40辆时，可使投资总额最少，为万元． 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式和一次函数的实际应用： （1）设每辆乙型汽车的进价为万元，根据用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进乙型汽车辆时，可使投资总额最少，根据要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，列列出不等式求出的范围，设投资总额为万元，列出一次函数解析式，求出最小值即可． 【详解】（1）解：设每辆乙型汽车的进价为万元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； 答：每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为10万元和12万元； （2）设购进乙型汽车辆时，可使投资总额最少，由题意，得：， 解得：， 设投资总额为万元，则：， ∴随着的增大而减小， ∴当时，有最小值，为：； 答：购进乙型汽车40辆时，可使投资总额最少，为万元． 22．(1)型号衣服每件90元，型号衣服每件100元； (2)有两种进货方案：①型号衣服购买10件，型号衣服购进24件；②型号衣服购买11件，型号衣服购进26件． (3)方案②的利润率高一些，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立不等式组和方程组是解题的关键； （1）设型号衣服每件元，型号衣服每件元，根据种型号衣服1件和种型号衣服2件，共需290元；购进种型号衣服2件和种型号衣服3件，共需480元，再建立方程组求解即可； （2）设型号衣服购进件，则型号衣服购进件，根据获利不少于780元，且A型号衣服不多于26件．关系式为：型件数型件数，A型号衣服件数，据此建立不等式组求解即可； （3）根据利润率利润成本分别计算两种方案的利用率，再比较即可． 【详解】（1）解：设型号衣服每件元，型号衣服每件元， 由题意得， 解得， 答：型号衣服每件90元，型号衣服每件100元； （2）解：设型号衣服购进件，则型号衣服购进件， 由题意得 解得， 为正整数， 或， 当时，， 当时，． ∴有两种进货方案：①型号衣服购买10件，型号衣服购进24件；②型号衣服购买11件，型号衣服购进26件． （3）解：①型号衣服购买10件，型号衣服购进24件； 利润率， ②型号衣服购买11件，型号衣服购进26件． 利润率， ∴方案②的利润率高一些． 23．(1)的长度为米 (2)线路①的路程较短 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键： （1）作于点，作于点，则：，，在中求出的长，在中求出的长即可； （2）求出两条路径的长，进行比较判断即可． 【详解】（1）解：作于点，作于点，由题意，可得：，，， 在中，，， ∴， ∴，， 在中，， ∴； 答：的长度为米； （2）由①知：， ∴， 选择线路①的路程为：米； 选择路线②的路程为：米； ∵， 故选择线路①的路程较短． 24．(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据 ， ，带入可得解析式；点是正比例函数 和直线的交点，联立方程组可得点C的坐标； （2）设，可得，由面积可得或，然后再求解论即可； （3）由平移得直线的解析式为：，可得，接着分类讨论即可，①然后可知与关于直线对称，②点关于直线的对称点 【详解】（1）解：将点 ， 带入中得 ，则 ∴直线AB的解析式为： ∵点是正比例函数 和直线的交点， ∴ ，解得： ∴ （2）∵，，，设 ∴ 过点作垂直y轴交于点D ∴ 解得：或（舍去）， 当时，则，作点E关于x轴的对称点， ∴ 连接则与x轴交点G是使得的值最小； 在中，根据勾股定理可得 ∴的值最小是 综上所述：的最小值是：； （3）∵直线l：向下平移7个单位长度后，则直线的解析式为： ∴ 当时， ①如图；在x轴上取点，连接 ∴与关于直线对称， ∴ ∴ ∴ ∴ ②如图，过点的垂直于x轴的直线，点关于直线的对称点，连接 ∵直线与交于点 ∴ ，解得 ∴ ∵点是关于直线为对称轴的点的对称点 ∴ 综上所述：的坐标为或. 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数平移，全等三角形的性质，等腰三角形对称的性质，构造辅助线利用勾股定理求最值的问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 25．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意先证明为等边三角形，得，，则，由旋转可知，，，再证，得，进而可知，则，，过点作，则，即可求解； （2）结合等边三角形的性质，在上截取，则为等边三角形，，证明，得，，由旋转可知，，，则，在上截取，连接交于，然后证，得，，再证四边形为平行四边形，得，设，则，求得，，进而可知，得，再证为等边三角形，得，进而可证明结论； （3）结合题意可知，，将绕点逆时针旋转得到，则，，可证明，得，延长至，使得，则，得为等边三角形，可知，，则，即点在直线上，延长交延长线于点，则为等边三角形，进而可知，即为的中点，得，，由垂线段最短可知，当点与点重合时，最小，过点作，求得，可得四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：在等边中，，， ∵点是的中点， ∴， 又∵ ∴，则为等边三角形，， ∴，则， 由旋转可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 过点作，则， ∴的面积为； （2）证明：在等边中，，， 在上截取，则为等边三角形，， ∴，， 则， ∵，则 ∴， ∴，， 由旋转可知，，，则， 在上截取，连接交于， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴，则四边形为平行四边形， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，则， ∴，则为等边三角形， ∴， 则； （3）在等边中，，，则， ∵， ∴，， 由旋转可知，，， 将绕点逆时针旋转得到，则，， ∴，， ∴， ∴， 延长至，使得，则， ∴为等边三角形， ∴，， 则，即点在直线上， 延长交延长线于点，则为等边三角形， ∴， ∵，即为的中点， ∴，， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，最小， 过点作，则， 四边形的面积， 即当最小时，四边形的面积． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，平行四边形的判定及性质等知识点，添加辅助线，构造全等三角形及等边三角形，得点的运动轨迹是解决问题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 《2024-2025学年北师版八年级下册暑期收心测试（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B B C C D C D 1．B 【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 2．D 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否必然成立，特别注意平方运算对不等式符号的影响． 【详解】解：选项A：不等式两边同时减去1，不等号方向不变，因此可推出，故A一定成立． 选项B：不等式两边同时乘以正数2，不等号方向不变，因此可推出，故B一定成立． 选项C：不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得，两边同时加上2，不等号方向不变，得到，故C一定成立． 选项D：当和均为正数时，可推出；但若为正数，为负数（例如，），则成立，但，，此时，故，D不一定成立． 综上，不一定成立的是选项D． 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法、十字相乘法和公式法进行因式分解，逐项判断即可． 【详解】解：A．，提取公因式x，正确，不符合题意； B．，故选项B错误，符合题意； C．，正确，不符合题意； D．，正确，不符合题意； 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查了平行线四边形的性质，理解并掌握平行四边形的性质是解题关键．根据“平行四边形对角线相互平分”可得，，然后计算的周长即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，，，， ∴，， ∴的周长． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是掌握一元一次不等式解集的表示方法，当符号为“”或“”，边界点为实心圆点，当符号为“”或“”，边界点为空心圆点，即可． 【详解】∵不等式组的解集为：， ∴数轴上表示为：， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点． 先由三角形的外角求出，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出，再由邻补角即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了根据一次函数的图象确定不等式的解集，解题关键是能根据不等式结合函数图象求解． 根据不等式的意义，及它们的交点，即可得出不等式的解集． 【详解】解：直线与直线， 当时，直线在直线的上方， 直线与直线相交于点， 在点的右侧直线在直线的上方， 所以的解集为， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设计划每天改造人行道x米，根据“施工时每天比计划多改造15米，结果提前8天完成”列分式方程即可． 【详解】解：设计划每天改造人行道x米，列方程得， 故选：D． 9．C 【分析】本题主要考查旋转的性质，由旋转得，得，从而可求出的周长． 【详解】解：由旋转得， 又， ∴， ∴的周长为， 故选：C． 10．D 【分析】由旋转可得，进而证明，，可判断①；由，，可判断②；证明中，可判断③；取中点Q，连接，，证明，可判断④． 【详解】解：是等边三角形， ， ， 将绕点逆时针旋转一定角度后得到， ， ，，，， ， 为等边三角形； 故①正确； ， ， ； 故②正确； ， ， 在中，， ， ，， ； 故③正确； 如图，取中点Q，连接，， 则， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，点Q是中点， ，， ， 故④正确； 综上可知，正确的结论有4个， 故选D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形中线的性质等，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 11．6 【详解】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6． 故答案为：6. 12． 【分析】利用完全平方公式化简，然后将代入计算即可得出结果。 【详解】解： 当时，原式。 故答案为：。 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用和化简求值，能熟练运用完全平方公式是解题的关键。 13．2 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．先根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得m的取值范围，再根据范围得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 且， 的最小整数值为2． 故答案为：2． 14． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小李答对了道题，则答错了道，根据题意得，然后求出的取值范围即可，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设小李答对了道题，则答错了道， 根据题意得，， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴小李至少答对了道题， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查折叠的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，延长，交于点，易得，进而求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，折叠的性质，得到，三线合一，推出，证明四边形为矩形，得到，证明为等腰直角三角形，得到，即可． 【详解】解：延长，交于点，过作， ∵与均为的高线，交于点F， ∴为的高线， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为： 16． 【详解】解：在直线下方，作，且，连接，，设与的交点为G， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值即取得最小值， 故当点E与点G重合时，取得最小值， 过点A作于点M，交的延长线于点M， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，三角形内角和定理，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短是解题的关键． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则． （1）根据整式的混合运算，按照运算法则进行计算即可； （2）根据多项式乘以多项式，完全平方公式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． 18．； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除号后的项根据平方差公式约分得到最简结果，选择合适的x的值代入计算即可求出值，注意x的取值范围． 【详解】解： ； 当，且为整数， ∴ ∵ 时分式无意义， ∴ 带入得：原式. 19．(1)见解析 (2)；；2；1 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，三角形的三边关系，尺规作图，作一个角等于已知角，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）按照作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）先证明，根据全等三角形的性质得到，，然后在由三边关系求出 ，即可求出线段的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：为边上的中线， ． 在和中 ， ， ． 在中，， ． ， ． 故答案为：；；2；1． 20．(1)， (2)见解析；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； (3) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）由菱形的性质可得，则可得到，据此根据三角形面积公式可得； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴，； （2）解：如图所示，即为所求； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3）解：联立，解得或， ∴由函数图象可得，当时，． 21．(1)每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为10万元和12万元 (2)购进乙型汽车40辆时，可使投资总额最少，为万元． 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式和一次函数的实际应用： （1）设每辆乙型汽车的进价为万元，根据用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进乙型汽车辆时，可使投资总额最少，根据要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，列列出不等式求出的范围，设投资总额为万元，列出一次函数解析式，求出最小值即可． 【详解】（1）解：设每辆乙型汽车的进价为万元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； 答：每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为10万元和12万元； （2）设购进乙型汽车辆时，可使投资总额最少，由题意，得：， 解得：， 设投资总额为万元，则：， ∴随着的增大而减小， ∴当时，有最小值，为：； 答：购进乙型汽车40辆时，可使投资总额最少，为万元． 22．(1)型号衣服每件90元，型号衣服每件100元； (2)有两种进货方案：①型号衣服购买10件，型号衣服购进24件；②型号衣服购买11件，型号衣服购进26件． (3)方案②的利润率高一些，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立不等式组和方程组是解题的关键； （1）设型号衣服每件元，型号衣服每件元，根据种型号衣服1件和种型号衣服2件，共需290元；购进种型号衣服2件和种型号衣服3件，共需480元，再建立方程组求解即可； （2）设型号衣服购进件，则型号衣服购进件，根据获利不少于780元，且A型号衣服不多于26件．关系式为：型件数型件数，A型号衣服件数，据此建立不等式组求解即可； （3）根据利润率利润成本分别计算两种方案的利用率，再比较即可． 【详解】（1）解：设型号衣服每件元，型号衣服每件元， 由题意得， 解得， 答：型号衣服每件90元，型号衣服每件100元； （2）解：设型号衣服购进件，则型号衣服购进件， 由题意得 解得， 为正整数， 或， 当时，， 当时，． ∴有两种进货方案：①型号衣服购买10件，型号衣服购进24件；②型号衣服购买11件，型号衣服购进26件． （3）解：①型号衣服购买10件，型号衣服购进24件； 利润率， ②型号衣服购买11件，型号衣服购进26件． 利润率， ∴方案②的利润率高一些． 23．(1)的长度为米 (2)线路①的路程较短 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键： （1）作于点，作于点，则：，，在中求出的长，在中求出的长即可； （2）求出两条路径的长，进行比较判断即可． 【详解】（1）解：作于点，作于点，由题意，可得：，，， 在中，，， ∴， ∴，， 在中，， ∴； 答：的长度为米； （2）由①知：， ∴， 选择线路①的路程为：米； 选择路线②的路程为：米； ∵， 故选择线路①的路程较短． 24．(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据 ， ，带入可得解析式；点是正比例函数 和直线的交点，联立方程组可得点C的坐标； （2）设，可得，由面积可得或，然后再求解论即可； （3）由平移得直线的解析式为：，可得，接着分类讨论即可，①然后可知与关于直线对称，②点关于直线的对称点 【详解】（1）解：将点 ， 带入中得 ，则 ∴直线AB的解析式为： ∵点是正比例函数 和直线的交点， ∴ ，解得： ∴ （2）∵，，，设 ∴ 过点作垂直y轴交于点D ∴ 解得：或（舍去）， 当时，则，作点E关于x轴的对称点， ∴ 连接则与x轴交点G是使得的值最小； 在中，根据勾股定理可得 ∴的值最小是 综上所述：的最小值是：； （3）∵直线l：向下平移7个单位长度后，则直线的解析式为： ∴ 当时， ①如图；在x轴上取点，连接 ∴与关于直线对称， ∴ ∴ ∴ ∴ ②如图，过点的垂直于x轴的直线，点关于直线的对称点，连接 ∵直线与交于点 ∴ ，解得 ∴ ∵点是关于直线为对称轴的点的对称点 ∴ 综上所述：的坐标为或. 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数平移，全等三角形的性质，等腰三角形对称的性质，构造辅助线利用勾股定理求最值的问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 25．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意先证明为等边三角形，得，，则，由旋转可知，，，再证，得，进而可知，则，，过点作，则，即可求解； （2）结合等边三角形的性质，在上截取，则为等边三角形，，证明，得，，由旋转可知，，，则，在上截取，连接交于，然后证，得，，再证四边形为平行四边形，得，设，则，求得，，进而可知，得，再证为等边三角形，得，进而可证明结论； （3）结合题意可知，，将绕点逆时针旋转得到，则，，可证明，得，延长至，使得，则，得为等边三角形，可知，，则，即点在直线上，延长交延长线于点，则为等边三角形，进而可知，即为的中点，得，，由垂线段最短可知，当点与点重合时，最小，过点作，求得，可得四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：在等边中，，， ∵点是的中点， ∴， 又∵ ∴，则为等边三角形，， ∴，则， 由旋转可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 过点作，则， ∴的面积为； （2）证明：在等边中，，， 在上截取，则为等边三角形，， ∴，， 则， ∵，则 ∴， ∴，， 由旋转可知，，，则， 在上截取，连接交于， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴，则四边形为平行四边形， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，则， ∴，则为等边三角形， ∴， 则； （3）在等边中，，，则， ∵， ∴，， 由旋转可知，，， 将绕点逆时针旋转得到，则，， ∴，， ∴， ∴， 延长至，使得，则， ∴为等边三角形， ∴，， 则，即点在直线上， 延长交延长线于点，则为等边三角形， ∴， ∵，即为的中点， ∴，， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，最小， 过点作，则， 四边形的面积， 即当最小时，四边形的面积． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，平行四边形的判定及性质等知识点，添加辅助线，构造全等三角形及等边三角形，得点的运动轨迹是解决问题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$