2025年广东省中考数学试卷

2025年广东省中考数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（3分）（2025•广东）某品牌乒乓球产品质量参数是2.74g±0.02g，如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作+0.02g，那么低于标准质量0.02g记作（　　） A．﹣0.02g B．+0.02g C．﹣0.04g D．+0.04g 2．（3分）（2025•广东）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024﹣2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（　　） A．3×109 B．3×1010 C．30×1010 D．3×1011 3．（3分）（2025•广东）计算的结果是（　　） A．3 B．6 C． D． 4．（3分）（2025•广东）如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）（2025•广东）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝（　　） A．20° B．40° C．70° D．110° 6．（3分）（2025•广东）某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（　　） A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96 7．（3分）（2025•广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　） A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1﹣x）2＝9100 C．2500（1﹣2x）2＝9100 D．2500（1+2x）2＝9100 8．（3分）（2025•广东）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y（W•h）与骑行里程x（km）之间的关系如图．当电池剩余能量小于100W•h时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．电池能量最多可充400W•h B．摩托车每行驶10km消耗能量300W•h C．一次性充满电后，摩托车最多行驶25km D．摩托车充满电后，行驶18km将自动报警 9．（3分）（2025•广东）如图，在直径BC为2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）（2025•广东）如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG．若AB＝8，BC＝12，则tan∠GCF的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．（3分）（2025•广东）因式分解：a2b+ab2＝　 　 ． 12．（3分）（2025•广东）如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是 　 　 ． 13．（3分）（2025•广东）不解方程，判断一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是　 　 ． 14．（3分）（2025•广东）计算20﹣2sin30°的结果是　 　 ． 15．（3分）（2025•广东）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是　 　 ．（写出一个即可） 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．（7分）（2025•广东）在解分式方程2时，小李的解法如下： 第一步：•（x﹣2）•（x﹣2）﹣2， 第二步：1﹣x＝﹣1﹣2， 第三步：﹣x＝﹣1﹣2﹣1， 第四步：x＝4． 第五步：检验：当x＝4时，x﹣2≠0． 第六步：∴原分式方程的解为x＝4． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 17．（7分）（2025•广东）如图，点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D．求证：AD平分∠BAC． 18．（7分）（2025•广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 四、解答题（二）：本大随共3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分）（2025•广东）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点A，C分别作AE∥DC，CE∥AB，AE与CE相交于点E．现有以下命题： 命题1：若连接BE交CA于点F，则S△CFB＝2S△CEF． 命题2：若连接ED，则ED⊥AC． 命题3：若连接ED，则ED＝BC． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 20．（9分）（2025•广东）2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》．某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理．部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 1．你每天参加体育活动（含体育课）的时间（单位：小时）（　　）（单选） A．0.5≤x＜1 B．1≤x＜1.5 C．1.5≤x＜2 D．x≥2 2．随着体育活动时间的延长，学校拟增设体育活动项目，你希望增设的活动项目有（　　）（可多选） E．球类 F．田径类 G．体操类 H．水上类 希望增设的活动项目统计表 活动项目 球类 田径类 体操类 水上类 百分比 72% 23% 40% 46% 根据以上信息，解答下列问题： （1）求参与这次问卷调查的学生人数． （2）估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数． （3）基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议． 21．（9分）（2025•广东）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】 万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用洲距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图2，在空旷地找一点C； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m，AC≈388.5m． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离． （参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算A，B两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．（13分）（2025•广东）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．如表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，　 　 ，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全如表中的勾股数． （2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 23．（14分）（2025•广东）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． （1）如图1，点P是线段MN的中外比点，MP＞PN，MN＝2，求PN的长． （2）如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图3，动点B在第一象限内，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D，E，与对角线OB相交于点F．当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明． 2025年广东省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D． B C C B A C D B 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（3分）（2025•广东）某品牌乒乓球产品质量参数是2.74g±0.02g，如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作+0.02g，那么低于标准质量0.02g记作（　　） A．﹣0.02g B．+0.02g C．﹣0.04g D．+0.04g 【解答】解：如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作+0.02g， 那么低于标准质量0.02g记﹣0.02g， 故选：A． 2．（3分）（2025•广东）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024﹣2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（　　） A．3×109 B．3×1010 C．30×1010 D．3×1011 【解答】解：3000亿＝300000000000＝3×1011． 故选：D． 3．（3分）（2025•广东）计算的结果是（　　） A．3 B．6 C． D． 【解答】解：原式6， 故选：B． 4．（3分）（2025•广东）如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从左边看有两层，底层是两个正方形，上层的左边的一个正方形． 故选：C． 5．（3分）（2025•广东）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝（　　） A．20° B．40° C．70° D．110° 【解答】解：∵点D，E分别BC、AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC， ∴∠DEB＝∠A＝70°， 同理可得：DF∥AB， ∴∠EDF＝∠DEB＝70°， 故选：C． 6．（3分）（2025•广东）某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（　　） A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96 【解答】解：将这组数据重新排列为88，92，94，95，95，95，96， 所以这组数据的中位数为95，众数为95， 故选：B． 7．（3分）（2025•广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　） A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1﹣x）2＝9100 C．2500（1﹣2x）2＝9100 D．2500（1+2x）2＝9100 【解答】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x， 根据题意得：2500（1+x）2＝9100． 故选：A． 8．（3分）（2025•广东）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y（W•h）与骑行里程x（km）之间的关系如图．当电池剩余能量小于100W•h时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．电池能量最多可充400W•h B．摩托车每行驶10km消耗能量300W•h C．一次性充满电后，摩托车最多行驶25km D．摩托车充满电后，行驶18km将自动报警 【解答】解：由图象可得，当x＝0km时，y＝500W•h， ∴电池能量最多可充500W•h，故A错误； 500÷25＝20（W•h），20×10＝200（W•h）， ∴摩托车每行驶10km消耗能量200W•h，故B错误； 由图象可得，当x＝25km时，y＝0W•h， ∴一次性充满电后，摩托车最多行驶25km，故C正确； （500﹣100）÷20＝20（km）， ∴摩托车充满电后，行驶20km将自动报警，故D错误； 故选：C． 9．（3分）（2025•广东）如图，在直径BC为2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D， ∵BC是直径， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵AD⊥BC， ∴， ∴， ∴，， ∴该粒米落在扇形内的概率为， 故选：D． 10．（3分）（2025•广东）如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG．若AB＝8，BC＝12，则tan∠GCF的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点G作GM⊥BC于点M，如图所示： 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝90°， ∵点E，F是BC的三等分点， ∴BE＝EF＝CFBC＝4， ∴BF＝BE+EF＝8， ∴AB＝BF＝8， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴∠BFA＝45°， 同理：△CDE是等腰直角三角形， ∴∠CED＝45°， ∴∠BFA＝∠CED＝45°， ∴△GEF是等腰直角三角形， ∵GM⊥EF， ∴GM＝EM＝FMEF＝2， ∴CM＝CF+MF＝4+2＝6， 在Rt△GMC中，tan∠GCF． 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．（3分）（2025•广东）因式分解：a2b+ab2＝　ab（a+b）　 ． 【解答】解：a2b+ab2＝ab•a+ab•b＝ab（a+b）， 故答案为：ab（a+b）． 12．（3分）（2025•广东）如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是 　1：3　 ． 【解答】解：∵△AOB放大后得到△COD， ∴△AOB∽△COD， ∴△AOB与△COD的相似比＝OB：OD＝2：6＝1：3． 故答案为：1：3． 13．（3分）（2025•广东）不解方程，判断一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是　方程有两个不相等的实数根　 ． 【解答】解：一元二次方程2x2+x﹣1＝0， ∴Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝9＞0． ∴该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：方程有两个不相等的实数根． 14．（3分）（2025•广东）计算20﹣2sin30°的结果是　0　 ． 【解答】解：原式＝1﹣2 ＝1﹣1 ＝0， 故答案为：0． 15．（3分）（2025•广东）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是　y＝﹣x2+x+2（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0）， ∴0＝﹣c2+bc+c， ∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象不经过原点， ∴c≠0， 则c﹣b＝1， 若取b＝1，则c＝2， ∴该二次函数的表达式可以是y＝﹣x2+x+2， 故答案为：y＝﹣x2+x+2（答案不唯一）． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．（7分）（2025•广东）在解分式方程2时，小李的解法如下： 第一步：•（x﹣2）•（x﹣2）﹣2， 第二步：1﹣x＝﹣1﹣2， 第三步：﹣x＝﹣1﹣2﹣1， 第四步：x＝4． 第五步：检验：当x＝4时，x﹣2≠0． 第六步：∴原分式方程的解为x＝4． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【解答】解：小李的解法中，第一步是去分母； 去分母的依据是：等式的基本性质； 小李的解答过程不正确； 正确的解答过程： 2， 去分母，得•（x﹣2）•（x﹣2）﹣2（x﹣2），整理，得1﹣x＝﹣1﹣2x+4， 移项并合并，得x＝2． 检验：当x＝2时，x﹣2＝0． ∴原分式方程无解． 17．（7分）（2025•广东）如图，点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D．求证：AD平分∠BAC． 【解答】证明：连接OD，如图， ∵以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D， ∴OD⊥BC， ∵∠ABC＝90°， ∴OD∥AB， ∴∠ODA＝∠BAD， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠BAD＝∠OAD， ∴AD平分∠BAC． 18．（7分）（2025•广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为（0，0.0015），， 即A（0.85，0.18）， 设该抛物线的表达式为y＝ax2+0.0015， 将A（0.85，0.18）代入y＝ax2+0.0015， 得0.18＝0.852a+0.0015， 解得， ∴该抛物线的表达式为． 四、解答题（二）：本大随共3小题，每小题9分，共27分． 19．（9分）（2025•广东）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点A，C分别作AE∥DC，CE∥AB，AE与CE相交于点E．现有以下命题： 命题1：若连接BE交CA于点F，则S△CFB＝2S△CEF． 命题2：若连接ED，则ED⊥AC． 命题3：若连接ED，则ED＝BC． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 【解答】解：命题1：若连接BE交CA于点F， 则S△CFB＝2S△CEF 命题1是真命题， 证明如下：连接DE，交AC于O， 如图所示： ， ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴， ∵AE∥DC，CE∥AB， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵DA＝DC， ∴四边形ADCE是菱形， ∴AC⊥DE，且OA＝OC，OE＝OD， ∵D为AB的中点， ∴DO是△ABC的中位线， 则， ∴，S△CEFCF•OE，则S△CFB＝22S△CEF； 命题2：若连接ED，则ED⊥AC． 命题2是真命题，证明如下：连接DE，交AC于O， 如图所示： ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴， ∵AE∥DC，CE∥AB， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵DA＝DC， ∴四边形ADCE是菱形， ∴AC⊥DE； 命题3：若连接ED，则ED＝BC． 命题3是真命题，证明如下：连接DE，交AC于O， 如图所示： ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴， ∵AE∥DC，CE∥AB， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∴CE＝AD， ∴CE＝DB， ∵CE∥AB， ∴四边形BCED是平行四边形， ∴ED＝BC． 20．（9分）（2025•广东）2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》．某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理．部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 1．你每天参加体育活动（含体育课）的时间（单位：小时）（　　）（单选） A．0.5≤x＜1 B．1≤x＜1.5 C．1.5≤x＜2 D．x≥2 2．随着体育活动时间的延长，学校拟增设体育活动项目，你希望增设的活动项目有（　　）（可多选） E．球类 F．田径类 G．体操类 H．水上类 希望增设的活动项目统计表 活动项目 球类 田径类 体操类 水上类 百分比 72% 23% 40% 46% 根据以上信息，解答下列问题： （1）求参与这次问卷调查的学生人数． （2）估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数． （3）基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议． 【解答】解：（1）35÷17.5%＝200（人）， 答：参与这次问卷调查的学生人数为200人； （2）1000×37.5%＝375（人）， 答：估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数为375人； （3）由调查可知，大部分同学每天参加体育活动时间低于两小时，建议学校多提供一些球场等活动场所，多提供学生活动时间．（言之有理即可） 21．（9分）（2025•广东）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】 万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用洲距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图2，在空旷地找一点C； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m，AC≈388.5m． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离． （参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算A，B两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【解答】解：（1）∵∠A≈43°，∠B≈51°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B≈180°﹣43°﹣51°＝86°， 由题意得，， 又∵BC≈341m， ∴， 答：A，B两岛间的距离为499m； （2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程：步骤1：如图，在空旷地找一点C，使得△ABC是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠C的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC＝a m，AC＝b m． 计算过程：过点A作AD⊥BC，则∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵在 Rt△ACD中，，， ∴AD＝bsinC（m），CD＝bcosC（m）， ∴BD＝BC﹣CD＝（a﹣bcosC）（m）， ∵在Rt△ACD 中，AD2+BD2＝AB2， ∴， 答：A，B两岛间的距离为 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．（13分）（2025•广东）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．如表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，　24　 ，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全如表中的勾股数． （2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【解答】解：（1）由表中勾股数的规律可知，令a＝10，b，c＝26， 则由勾股数定义可知a2+b2＝c2，即102+b2＝262， ∴b2＝262﹣102＝（26+10）（26﹣10）＝36×16， 解得b＝24或b＝﹣24（舍去）； 故答案为：24； （2）令n为正整数，则由表中规律可知，表中第一行、第三行中a为奇数：a＝2n+1，则b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1， 证明如下： ∵a2＝（2n+1）2，b2＝[2n（n+1）]2，c2＝[2n（n+1）+1]2， ∴c2﹣b2＝[2n（n+1）+1]2﹣[2n（n+1）]2 ＝{[2n（n+1）+1]+[2n（n+1）]}{[2n（n+1）+1]﹣[2n（n+1）]} ＝4n（n+1）+1 ＝4n2+4n+1 ＝（2n+1）2 ＝a2， 表中第二行、第四行中a为偶数：a＝2n，则b＝n2﹣1，c＝n2+1， 证明如下： ∵a2＝4n2.b2＝（n2﹣1）2，c2＝（n2+1）2 ∴c2﹣b2＝（n2+1）2﹣（n2﹣1）2 ＝[（n2+1）+（n2﹣1）][（n2+1）﹣（n2﹣1）] ＝2n2×2 ＝（2n）2＝a2； （3）查表可以知道他的最短是20 21 29这个勾股数， 一个直角三角形三条边的长度之和为20+21+29＝70米， 因为图案是由四个全等的直角三角形组成， 所以需要种花70×4＝280株． 23．（14分）（2025•广东）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． （1）如图1，点P是线段MN的中外比点，MP＞PN，MN＝2，求PN的长． （2）如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图3，动点B在第一象限内，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D，E，与对角线OB相交于点F．当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明． 【解答】解：（1）设PN＝x，则MP＝MN﹣PN＝2﹣x， 根据题意，得：，即， 整理，得：x2﹣6x+4＝0，解得：，， ∵， ∴舍去， ∴； （2）如图所示，点C为所求． 设BD＝x， ∴根据题意，得：AD＝BD＝BF＝FG＝x，AB＝2x， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴点C为线段AB的中外比点． （3）当△ODE是等腰三角形时，点D、E、F分别为AB，BC，OB的中外比点，理由如下： 第一种情况：当△OED＝90°，则OE＝ED， ∴∠OEC+∠DEB＝90°， ∵四边形OABC是矩形， ∴∠OCE＝∠EBD＝90°， ∴∠COE+∠OEC＝90°， ∴∠COE＝∠DEB， ∴△COE≌△BED（AAS）， 设点E（m，n）， ∴OC＝EB＝n，CE＝BD＝m，则D（m+n，n﹣m）， ∵点D、E在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：k＝mn，将其代入②，得：， 整理，得：n2﹣mn﹣m2＝0， 解得：， ∴（舍去）， ∴，，， ∴，CE＝m，，BD＝m，，， ∵，，BD2＝m2，， ∴，， ∴点E、D为BC、AB的中外比点． ∵点E在反比例函数的图象上，， ∴， ∴反比例函数为， ∵， 设直线OB的函数解析式为y＝ax（a≠0）， 将点，O（0，0）代入，得：， ∴直线OB的函数解析式为， 联立方程组， 解得：， ∴， ∴， ∴点F为OB的中外比点． 第二种情况：当∠ODE＝90°，则OD＝DE， ∴∠ODA+∠EDB＝90°， ∵四边形OABC是矩形， ∴∠OAD＝∠EBD＝90°， ∴∠ODA+∠DOA＝90°， ∴∠EDB＝∠DOA， ∴△OAD≌△DBE（AAS）， 设点D（a，b）， ∴OA＝DB＝a，AD＝BE＝b，则E（a﹣b，a+b）， ∵点D、E在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：k＝ab，将其代入②，得：， 整理，得：b2+ab﹣a2＝0， 解得：， ∴，（舍去）， ∴，，， ∴，，BC＝a，BD＝a，，， ∴，， ∴点E、D为BC、AB的中外比点． ∵点E在反比例函数的图象上，， ∴， ∴反比例函数为， ∵， 设直线OB的函数解析式为y＝gx（g≠0）， 将点，O（0，0）代入，得：， ∴直线OB的函数解析式为， 联立方程组，， 解得：， ∴， ∴， ∴点F为OB的中外比点． 第三种情况：当∠EOD＝90°，则点E、D分别位于y轴、x轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在． ∴综上所述，当△ODE是等腰直角三角形时，点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/3 19:16:29；用户：思达教育；邮箱：15200006450@xyh.com；学号：30653724 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$