2025年北京市中考数学试卷

2025年北京市中考数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 2．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞﹣1 B．a+b＝0 C．a﹣b＞0 D．|a|＞|b| 3．（2分）若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（　　） A．60 B．90 C．120 D．150 4．（2分）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（2分）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4 6．（2分）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016H03的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为4×105km，则该小行星与地球的最近距离约为（　　） A．1.8×105km B．1.8×106km C．1.8×107km D．1.8×1010km 7．（2分）如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　） A．80° B．100° C．110° D．120° 8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y（x＞0）的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面四个结论： ①△COM与△CON的面积一定相等；②△MON与△MCN的面积可能相等； ③△MON一定是锐角三角形；④△MON可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　 ． 10．（2分）分解因式：7m2﹣28＝　 　 ． 11．（2分）方程0的解为　 　 ． 12．（2分）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（BMI）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的BMI数据（单位：kg/m2），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 BMI ≤15.4 15.5～22.1 22.2～24.9 ≥25.0 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是　 　 ． 13．（2分）能说明命题“若a2＞4b2，则a＞2b”是假命题的一组实数a，b的值为a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ． 14．（2分）如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝∠FOB＝23.5°．夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为　 　 °． 15．（2分）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为　 　 ． 16．（2分）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： n＝1 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6 … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商　 　 分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为　 　 万元． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17．（5分）计算：|﹣3|2sin30°． 18．（5分）解不等式组：． 19．（5分）已知a+b﹣3＝0，求代数式的值． 20．（6分）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC． （1）求证：四边形DFCG是矩形； （2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长． 21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，3）和（2，5）． （1）求k，b的值； （2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既小于函数y＝kx+b的值，也小于函数y＝x+k的值，直接写出m的取值范围． 22．（6分）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）；一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的，AB．CD的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 23．（5分）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩： 12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 （1）表中m的值为 　 　 ； （2）表中n 　 　 0.056（填“＞”“＝”或“＜”）； （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为 　 　 ． 24．（6分）如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交⊙O于点D，连接BD． （1）求证：∠ADB＝∠AOP； （2）延长OP交DB的延长线于点E．若AP＝10，tan∠AOP，求DE的长． 25．（5分）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T＝0和T＝3时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T＝0时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 T＝3时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 T＝3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线∁T.当T＝1和T＝2时，曲线C1，C2如图所示． （1）观察曲线C1，当整数x的值为　 　 时，y的值首次超过35； （2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝3时的曲线C3； （3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第　 　 日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行　 　 日的模拟练习． 26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝4，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围． 27．（7分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°﹣2α得到线段AE（点E不在直线AB上），过点E作EF∥AB，交直线BC于点F． （1）如图1，α＝45°，点D与点C重合，求证：BF＝AC； （2）如图2，点D，F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明． 28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP＝AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） （1）如图，⊙O的半径为1． ①在点A1（，0），A2（，0），A3（2，0）中，点　 　 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，该点与⊙O的关联角度为　 　 °； ②点B（1，m）在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为　 　 ； （2）已知点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α．若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围． 2025年北京市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C A C C B A 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：A、B中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A、B不符合题意； C、图形是中心对称图形，不轴对称图形，故C不符合题意； D、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞﹣1 B．a+b＝0 C．a﹣b＞0 D．|a|＞|b| 【解析】解：观察数轴可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，|a|＞|b|， ∴a+b＜0，a﹣b＜0， ∴A、B、C选项的结论错误，D选项的结论正确， 故选：D． 3．（2分）若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（　　） A．60 B．90 C．120 D．150 【解析】解：∵一个六边形的每个内角都是x°， ∴这个六边形为正六边形， ∴每个内角的度数为：（6﹣2）×180°÷6＝120°， 故选：C． 4．（2分）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中摸出的球是白球的结果有1种， ∴摸出的球是白球的概率为． 故选：A． 5．（2分）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4 【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0且a≠0． ∴22﹣4a＝0且a≠0． ∴a＝1． 故选：C． 6．（2分）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016H03的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为4×105km，则该小行星与地球的最近距离约为（　　） A．1.8×105km B．1.8×106km C．1.8×107km D．1.8×1010km 【解析】解：45×4×105km＝18000000km＝1.8×107km， 故选：C． 7．（2分）如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　） A．80° B．100° C．110° D．120° 【解析】解：连接AB，AC，BC， 由作图可得，OA＝OB，AC＝BC＝AB， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°． ∵OC＝OC， ∴△OAC≌△OBC（SSS）， ∴∠ACO＝∠BCO，50°， ∴∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝180°﹣30°﹣50°＝100°． 故选：B． 8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y（x＞0）的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面四个结论： ①△COM与△CON的面积一定相等； ②△MON与△MCN的面积可能相等； ③△MON一定是锐角三角形； ④△MON可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解析】解：设点M坐标为，点N坐标为， 则A（a，0），，， ∴，OA＝BC＝a，BN＝b，，CN＝a﹣b，， ∴， ， ∴S△COM＝S△CON，故结论①正确； ， ， 当△MON与△MCN的面积相等时，，即a＝b， 当a＝b时，M，N重合，与题意不符，故结论②错误； ∵四边形OACB是矩形，∠AOB＝90°，∠AOM是OM与x轴夹角，∠BON是ON与y轴夹角，M、N在第一象限， ∴∠AOM、∠BON均为锐角， 又∵∠MON＝90°﹣∠AOM﹣∠BON， ∴∠MON＜90°，即∠MON 是锐角， 过O作OH⊥MN于H， 由是一个固定形式的正数， 根据三角形面积公式， ∵S△MON＞0， ∴OH＞0， 在△OMH和△ONH中，∠OMH、∠ONH是直角三角形的锐角， ∴∠OMH＜90°，∠ONH＜90°，即∠OMN＜90°，∠ONM＜90°， ∴△MON的三个角都是锐角， ∴△MON一定是锐角三角形，故结论③正确； 假设△MON是等边三角形，则OM＝ON＝MN，且∠MON＝60°， 若OM＝ON，则OM2＝ON2，即：， 整理得：， ∴， ∵a≠b（M、N不重合）， ∴， ∴a2b2＝1， ∴ab＝1， 此时OM＝ON，但结合角度条件∠MON＝60°， 由于ab＝1时，∠AOM+∠BON＝90°﹣60°＝30°，但通过反比例函数和矩形的动态性，无法同时满足角度和边长的严格等边要求， ∴△MON不可能是等边三角形，结论④错误； 综上，①③正确、②④错误， 故选：A． 二、填空题（共16分，每题2分） 9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　x≥1　 ． 【解析】解：若在实数范围内有意义， 则3x﹣3≥0， 解得：x≥1， 故答案为：x≥1． 10．（2分）分解因式：7m2﹣28＝　7（m+2）（m﹣2）　 ． 【解析】解：原式＝7（m2﹣4） ＝7（m+2）（m﹣2）， 故答案为：7（m+2）（m﹣2）． 11．（2分）方程0的解为　x＝2　 ． 【解析】解：方程两边乘最简公分母x（x﹣6）得， 2x+x﹣6＝0， 解得x＝2， 经检验x＝2是原方程的解， 故答案为：x＝2． 12．（2分）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（BMI）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的BMI数据（单位：kg/m2），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 BMI ≤15.4 15.5～22.1 22.2～24.9 ≥25.0 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是　1500　 ． 【解析】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是， 故答案为：1500． 13．（2分）能说明命题“若a2＞4b2，则a＞2b”是假命题的一组实数a，b的值为a＝ 　﹣3　 ，b＝ 　1（答案不唯一）　 ． 【解析】解：当a＝﹣3，b＝1时，a2＞4b2，但是a＜2b， 故答案为：﹣3，1（答案不唯一）． 14．（2分）如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝∠FOB＝23.5°．夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为　43　 °． 【解析】解：∵∠DOB＝∠FOB＝23.5°， ∴∠DOF＝∠DOB+∠FOB＝47°， ∵GD∥HF， ∴∠OFH＝180°﹣∠DOF＝180°﹣47°＝133°， ∵FI是⊙O的切线， ∴OF⊥FI， ∴∠OFI＝90°， ∴∠IFH＝133°﹣90°＝43°， 故答案为：43． 15．（2分）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为　　 ． 【解析】解：过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC＝90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝∠FMC， ∴AB∥FM， ∴FN＝BM， ∵，， ∴S△ABF＝S△ABM， ∵CF⊥BE，垂足为F，AB＝1＝BC，∠EBC＝30°， ∴∠BFC＝90°，， ∴∠CFM＝90°﹣∠BCF＝30°， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2分）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： n＝1 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6 … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商　B　 分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为　157　 万元． 【解析】解：（1）当n＝2时， A经销商的利润为60，比n＝1时增加60﹣40＝20（万元）， B经销商的利润为55，比n＝1时增加55﹣30＝25（万元）， C经销商的利润为40，比n＝1时增加40﹣20＝20（万元）， D经销商的利润为38，比n＝1时增加38﹣14＝24（万元）， ∵25＞24＞20， ∴应向经销商B分配2台设备， 故答案为：B； （2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为D经销商的134万元， 当分配给多家销售时： 当分配四家时，最大利润为40+55+20+38＝153（万元）， 当分配给三家时，最大利润为40+55+62＝157（万元）， 当分配给两家时，最大利润为60+90＝150（万元）或40+110＝150（万元）， 综上所述：企业可获得的总利润的最大值为157万元． 故答案为：157． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17．（5分）计算：|﹣3|2sin30°． 【解析】解：原式＝3+32﹣2 ＝3+32﹣1 ＝4+3． 18．（5分）解不等式组：． 【解析】解：， 解不等式①，得：x＞﹣3， 解不等式②，得：x＜1， ∴原不等式组的解集为﹣3＜x＜1． 19．（5分）已知a+b﹣3＝0，求代数式的值． 【解析】解：∵a+b﹣3＝0， ∴a+b＝3， ∴原式 ． 20．（6分）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC． （1）求证：四边形DFCG是矩形； （2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长． 【解析】（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∵DG＝FC， ∴四边形DFCG是平行四边形， 又∵DF⊥BC， ∴∠DFC＝90°， ∴平行四边形DFCG是矩形； （2）解：∵DF⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∵∠B＝45°， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴BF＝DF＝3， ∵DG＝FC＝5， ∴BC＝BF+FC＝3+5＝8， 由（1）可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形， ∴DEBC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°， ∴EG＝DG﹣DE＝5﹣4＝1， ∴CE， ∵E为AC的中点， ∴AC＝2CE＝2． 21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，3）和（2，5）． （1）求k，b的值； （2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既小于函数y＝kx+b的值，也小于函数y＝x+k的值，直接写出m的取值范围． 【解析】解：（1）∵在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，3）和（2，5）， ∴， 解得； （2）由（1）可得函数y＝kx+b（k≠0）的解析式为y＝2x+1，函数y＝x+k的解析式为y＝x+2， 当mx＜2x+1时，则（m﹣2）x＜1， 当mx＜x+2时，则（m﹣1）x＜2， ∵当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既小于函数y＝kx+b的值，也小于函数y＝x+k的值， ∴m﹣2≥0，且m﹣1≥0， ∴m≥2， 当m＝2，x＜1时，2x＜2x+1和x＜2恒成立，故m＝2符合题意； 当m＞2时，则， 当时，则． 解不等式得m≤3，解不等式m≤3， ∴2＜m≤3； 当时，则， 解不等式得m＞3，解不等式得m≤3，此时不符合题意； 综上所述，2≤m≤3． 22．（6分）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）；一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的，AB．CD的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【解析】解：设胸腹高为x cm，则单根膀条长为5x cm，门条AD的长度为（5x﹣10）cm，，AB＝CD＝x，头部高为x，尾部高为2x cm，这只风筝的骨架的总高为4x cm， 由AD＝AB+BC+CD， 可得， 解得：x＝20； 所以这只风筝的骨架的总高4x＝80cm， 答：这只风筝的骨架的总高80cm． 23．（5分）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩： 12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 （1）表中m的值为 　12.5　 ； （2）表中n 　＜　 0.056（填“＞”“＝”或“＜”）； （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为 　乙、丁、甲、丙　 ． 【解析】解：（1）甲的10次测试成绩排列为：12.1，12.1，12.5，12.5，12.5，12.5，12.5，12.7，12.7，12.9， ∴中位数， 故答案为：12.5； （2）乙的10次测试成绩平均数为：12.6+12.6+12.3+12.5+12.5+12.7+12.5+12.7+12.4+12.2＝12.5， ∴方差为：n＝[（12.6﹣12.5）2×2+（12.3﹣12.5）2+（12.5﹣12.5）2×3+（12.7﹣12.5）2×2+（12.4﹣12.5）2+（12.2﹣12.5）2]＝0.024， ∴n＜0.056， 故答案为：＜； （3）丙的平均数， ∴丙的平均数最大，则实力最弱， ∵方差0.024＜0.034＜0.056， ∴乙实力最强， ∵丁的测试成绩中位数为12.45， ∴第5，6次成绩和为24.9， ∴前5次测试成绩小于平均数，甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次， ∴丁比甲强， ∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙， 故答案为：乙、丁、甲、丙． 24．（6分）如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交⊙O于点D，连接BD． （1）求证：∠ADB＝∠AOP； （2）延长OP交DB的延长线于点E．若AP＝10，tan∠AOP，求DE的长． 【解析】（1）证明：∵AP，BP分别切⊙O于A点，B点， ∴OP平分∠AOB， ∴， 又∵， ∴， ∴∠ADB＝∠AOP； （2）解：延长AO交⊙O于点F，连接DF，则∠ADF＝90°， ∵AP，BP分别切⊙O于A点，B点， ∴PA⊥OA， ∵C为OP的中点， ∴PC＝OC， ∴， 又∵AP＝10，， ∴，，，AF＝2AO＝40， ∵AC＝OC， ∴∠CAO＝∠AOC， 又∵∠PAO＝∠ADF＝90°， ∴， ∴，， ∵∠AOP＝∠ADB，∠ACO＝∠ECD， ∴△ACO∽△ECD， ∴， ∴． 25．（5分）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T＝0和T＝3时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T＝0时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 T＝3时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 T＝3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线∁T.当T＝1和T＝2时，曲线C1，C2如图所示． （1）观察曲线C1，当整数x的值为　6　 时，y的值首次超过35； （2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝3时的曲线C3； （3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第　7　 日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行　1　 日的模拟练习． 【解析】解：（1）由曲线C1看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35， 故答案为：6； （2）∵T＝3日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个， ∴相差48﹣43＝5（个）， 把5分成两个接近的数，5＝3+2， ∴第4日增加3个，第5日增加2个， ∴m＝43+3＝46， 画出T＝3时的曲线C3： （3）①单日制成不少于45个合格品的只有C2与C3， C3：T＝3日的模拟练习，然后试制阶段第x＝4日制成的合格品达到y＝46个， ∴T+x＝7； C2：T＝2日的模拟练习，然后试制阶段第x＝6日制成的合格品达到y＝45个， ∴T+x＝8， ∵7＜8， 故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书； 故答案为：7； ②如图， 当模拟练习T＝0日时， 4日内的试制时间x＝4﹣0＝4日， 4日的合格产品分别是7，8，10，12， ∴合格产品共有7+8+10+12＝37； 当模拟练习T＝1日时， 4日内的试制时间x＝4﹣1＝3日， 3日的合格产品分别是12，19，26， ∴合格产品共有12+19+26＝57； 当模拟练习T＝2日时， 4日内的试制时间x＝4﹣2＝2日， 2日的合格产品分别是20，30， ∴合格产品共有20+30＝50； 当模拟练习T＝3日时， 4日内的试制时间x＝4﹣3＝1日， 1日的合格产品是26； ∵26＜37＜50＜57， ∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习． 故答案为：1． 26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝4，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围． 【解析】解：（1）将点O（0，0）代入，抛物线y＝ax2+bx+c， 可得c＝0， ∴该抛物线解析式为y＝ax2+bx， 将点A（3，3a）代入，抛物线y＝ax2+bx， 可得3a＝9a+3b，解得b＝﹣2a； （2）①若 a＝1，则该抛物线及直线解析分别为y＝x2﹣2x，y＝x， 当t＝4时，可有点P（4，0），如下图， ∵PM⊥x轴， ∴xM＝xN＝4， 将x＝4代入y＝x2﹣2x，可得y＝42﹣2×4＝8，即M（4，8）， 将x＝4代入y＝x，可得y＝4，即N（4，4）， ∴MN＝8﹣4＝4； ②当点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中， ∵PM⊥x轴，P（t，0）， ∴xM＝xN＝t， 将x＝t代入y＝ax2﹣2ax，可得y＝at2﹣2at，即M（t，at2﹣2at）， 将x＝t代入y＝ax，可得y＝at，即N（t，at）， ∴MN＝|at2﹣2at﹣at|＝|at2﹣3at|， 令MN＝0，即at2﹣3at＝0，解得t＝0或t＝3， 若a＞0，可有2a＞0，即点B在y轴右侧，如下图， 当0＜t≤3时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向下，对称轴为直线， 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则， 解得， 当t＞3时，可有MN＝at2﹣3at其图象开口向上，对称轴为直线，不符合题意； 若a＜0，可有2a＜0，即点B在y轴左侧，如下图， 当t＜0时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向上，对称轴为直线， 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大， 则，解得， ∴a＜0， 综上所述，a的取值范围为． 27．（7分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°﹣2α得到线段AE（点E不在直线AB上），过点E作EF∥AB，交直线BC于点F． （1）如图1，α＝45°，点D与点C重合，求证：BF＝AC； （2）如图2，点D，F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明． 【解析】证明：（1）∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠BAC＝∠ABC＝45°， ∵线段AD绕点A逆时针旋转180°﹣2×45°＝90°得到线段AE，点D与点C重合， ∴AE＝AD＝AC，∠EAB＝90°﹣∠BAC＝45°， ∴∠EAB＝∠ABC， ∴BC∥AE， ∵EF∥AB， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∴BF＝AE， ∴BF＝AC； （2）DF＝2BC，证明： 如图，在DB上取一点G，使得AG＝AB， ∴∠AGB＝∠ABG＝α， ∴∠BAG＝180°﹣2α， ∵将线段AD绕点A逆时针旋转180°﹣2α得到线段AE， ∴DA＝EA， ∴∠DAE＝∠GAB＝180°﹣2α， ∴∠DAG＝∠EAB， ∴△DAG≌△EAB（SAS）， ∴DG＝BE，∠AGD＝∠ABE＝180°﹣∠AGC＝180°﹣α， 又∵∠ABC＝α， ∵∠FBE＝∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α， ∵EF∥AB， ∴∠BFE＝∠ABF＝α， ∴∠BEF＝180°﹣∠FBE﹣∠BFE＝α， ∴BE＝BF， ∴DG＝BF， ∵AG＝AB，AC⊥BC， ∴GC＝BC， ∴DF＝BD﹣BF＝BD﹣DG＝BG＝2BC． 28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP＝AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） （1）如图，⊙O的半径为1． ①在点A1（，0），A2（，0），A3（2，0）中，点　A3　 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，该点与⊙O的关联角度为　60　 °； ②点B（1，m）在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为　　 ； （2）已知点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α．若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围． 【解析】解：（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有∠PAQ≤∠MAN； 当A在⊙O内部时，过A的直径MN使得⊙O的关联角度为180°； 当A在⊙O的外部时，且AM，AN为⊙O的切线时，∠MAN最大； 如图，A3是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，A1与⊙O的关联角度为180°，A2与⊙O的关联角度大于90°， ∵A3（2，0），⊙O的半径为1， ∴OM＝1，OA3＝2，且MA3是⊙OO的切线， ∴， ∴∠MA3O＝30°， ∴∠MA3N＝60°，即与⊙O的关联角度为60°， 故答案为：A3，60； ②根据定义可得B为⊙O外一点， ∵BD＜1，⊙O的半径为1， ∴BO≥2， 当OB＝2时，如图，取点G（1，0），则∠OBG＝90°， ∴， ∴m的最小值为， 故答案为：； （2）由（1）可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时，∠MAN最大，且A距离圆心越近， ∵90°≤α≤180°， ∴当∠MAN＝90°时，由∠TMA＝∠TNA＝90°，如图， ∴四边形TMAN是矩形， ∵TM＝TA， ∴四边形TMAN是正方形， ∴， 当∠MAN≥90°时，， ∵点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，则r＝|t|， ∴EF上距离T最近的点在的圆环内， ①EF和的圆相切，如图， ∴， 解得：； ②EF和半径为t的圆相切时，如图， ∴t＝3 （不包含临界值）， ∴； ③当E在半径为t的圆，如图， ∴t2＝（t﹣1）2+32， 解得：t＝5 （不包含临界值）， ∴t＞5时，E，F都在⊙T内部，此时α＝180°； ④当F在半径为的圆，如图， 设⊙T的半径为r，则t＝﹣r， ∴， 解得：， ∴时，此时90°≤α≤180°； 综上所述，或t＞5或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$