专题8 四边形中的折叠问题-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

48 专题八　四边形中的折叠问题 折叠问题一般是将一个图形沿着一条直线折叠求角或边,解决折叠问题的几个关键点: (1) 折叠前后位置的图形全等;(2) 折痕两边的图形关于折痕对称;(3) 折叠前后对应点的连线被 折痕垂直平分.而解决动点问题需“动中求静”,在变化中找到不变的性质,通过点的运动来探索 图形性质及图形变化,解题中渗透空间观念与合情推理,在点的运动过程中观察图形的变化情 况,理解图形不同位置的情况,做好计算推理的过程. 类型一 矩形中的折叠问题 1. 如图,在矩形纸片ABCD 中,AB=4cm, BC=6cm.现将其沿AE 折叠,使得点B 落 在边AD 上的点B1 处,折痕与边BC 交于 点E,则CE 的长为 ( ) A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 第1题 第2题 2. ★如图,在矩形ABCD 中,AB=9,BC=3, 将矩形沿AC 折叠,使点B 落在点B'处,则 重叠部分△AFC 的面积为 ( ) A. 7 B. 7.5 C. 6 D. 6.5 答案讲解 3. 有一张矩形纸片ABCD,已知AB= 3,AD=2,小明按如图所示的步骤 折叠纸片,则线段DG 的长为 ( ) 第3题 A. 3 B. 2 C. 2 D. 1 答案讲解 4. 如图,在矩形ABCD 中,AB=8, BC=6.E 为线段AB 上的动点,将 矩形ABCD 沿CE 折叠,使点B 落 在矩形内的点F 处.AF 长的最小值为 . 第4题 5. 如图,AC 为矩形ABCD 的对角线,将矩 形ABCD 分别沿AE、CF 折叠,使点B 落 在AC 上的点M 处、点 D 落在AC 上的 点N 处. (1) 求证:四边形AECF 为平行四边形; (2) 若AB=6,AC=10,求四边形AECF 的 面积. 第5题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 拍 照 批 改 49 答案讲解 6. 操作:第一步:如图①,对折矩形纸 片ABCD,使AD 与BC 重合,得到 折痕EF,把纸片展开. 第二步:如图②,再一次折叠纸片,使点A 落 在EF 上的点N 处,并使折痕经过点B,得 到折痕BM,同时得到线段BN.连结AN, 易知△ABN 的形状是 . 论证:如图③,若延长MN 交BC 于点P,试 判定△BMP 的形状,并说明理由. 第6题 类型二 菱形中的折叠问题 7. 对角线长分别为6和8的菱形ABCD 如图 所示,O 为对角线的交点,过点O 折叠菱形, 使点B、C 分别落在点B'、C'处,MN 是折 痕.若B'M=1.5,则CN 的长为 ( ) 第7题 A. 3.5 B. 4.5 C. 5.5 D. 6.5 8. 如图①,四边形ABCD 是一张菱形纸片,其 中∠A=45°,把点A 与点C 分别折向点D, 折痕分别为EG 和FH,两条折痕的延长线 交于点O. (1) 请在图②中将图形补充完整. (2) 求∠EOF 的度数. (3) 四边形DGOH 是菱形吗? 请说明理由. 第8题 类型三 正方形中的折叠问题 9. 如图,正方形ABCD 的边长为15,P 为BC 边上一点,PB=2PC.将正方形ABCD 沿 PA 折叠,使点B 落在点B'处,延长PB'交 CD 于点Q,则PQ 的长为 . 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 50 答案讲解 10. 如图,在正方形ABCD 中,AB= 12,E 是CD 上一点,且DE=3,F 是AD 上一动点,连结EF.若将正 方形ABCD 沿EF 折叠后,点D 落在点D' 处,则 点 D' 到 点 B 的 最 短 距 离 为 . 第10题 11. 如图,E、F 分别是正方形ABCD 的边AB、 AD 的中点,连结EC、BF,将正方形ABCD 沿BF 折叠,使点A 落在点Q 处,延长FQ 交DC 于点G. (1) 求证:BF=CE; (2) 若AB=4,求FG 的长. 第11题 答案讲解 12. 通过折纸活动,可以探索图形的性 质,也可以得到一些特殊的图形. 如图,取一张正方形纸片ABCD, 第一次先将其对折,展开后进行第二次折 叠,使正方形右下角的顶点C 落在第一次 的折痕EF 上的点G 处,折痕为BH.试探 究∠CBH、∠GBH、∠GBA 之间的数量关 系,并说明理由. 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 15 ∠BCD,AD∥BC.∴ 易得∠EAM=∠FCN.∵ AD∥ BC,∴ ∠E = ∠F.在 △AEM 和 △CFN 中, ∠EAM=∠FCN, AE=CF, ∠E=∠F, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEM≌△CFN.(2) ∵ 四边形 ABCD 是 平 行 四 边 形,∴ AB =CD,AB ∥CD. ∵ △AEM≌△CFN,∴ AM=CN.∴ AB-AM=CD- CN,即BM=DN.又∵ BM∥DN,∴ 四边形BMDN 是 平行四边形. 7. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ ∠A=∠C, AD=BC,AB=DC.∵ DH=GB,∴ CD-DH=AB- GB,即CH=AG.在△ADG 和△CBH 中, AD=CB, ∠A=∠C, AG=CH, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADG≌△CBH.(2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边 形,∴ AD∥CB,∠ABC=∠ADC.∴ 易得∠EBG= ∠FDH.由(1),可知△ADG≌△CBH,∴ ∠AGD= ∠CHB.∵ ∠BGE = ∠AGD,∠DHF = ∠CHB, ∴ ∠BGE = ∠DHF.在 △BEG 和 △DFH 中, ∠EBG=∠FDH, BG=DH, ∠BGE=∠DHF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BEG ≌ △DFH.∴ BE= DF.又∵ BE∥DF,∴ 四边形DEBF 是平行四边形. 8. ②.∵ AD∥BC,∴ ∠DAO=∠BCO.在△AOD 和 △COB 中, ∠DAO=∠BCO, OA=OC, ∠DOA=∠BOC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOD ≌ △COB. ∴ OD=OB.又∵ OA=OC,∴ 四边形ABCD 为平行四 边形. 9. ∵ GE∥BH,HF∥BG,∴ 四边形GBHD 是平行四边 形.∴ GH 与BD 互相平分.∴ GO=HO,BO=DO. ∵ G、H 是△ABC 的边AC 的 三 等 分 点,∴ AG= HC.∴ AG+GO=HC+HO,即AO=CO.∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 10. (1) ∵ AC∥BD,∴ ∠C=∠D.在△AOC 和△BOD 中, ∠C=∠D, ∠COA=∠DOB, OA=OB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOC≌△BOD.∴ OC= OD.(2) ∵ E、F 分别是OC、OD 的中点,∴ OE=12OC , OF=12OD.∵ OC=OD,∴ OE=OF.又∵ OA=OB, ∴ 四边形AFBE 是平行四边形. 专题八　四边形中的折叠问题 1. B 2. B 折叠问题的解题方法 (1) 图形沿着某条直线折叠时,观察哪些量变了, 哪些量没有变;(2) 观察折叠前后哪些角、边相等,线段 和角之间分别有怎样的数量关系;(3) 知道折叠前后特 殊点、角和线的对应关系;(4) 运用全等三角形、勾股定 理等相关知识解决问题. 3. B 4. 4 5. (1) ∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ AD∥BC,AB∥ CD.∴ ∠BAC = ∠DCA.由 折 叠,可 知 ∠EAC = 1 2∠BAC ,∠FCA= 12 ∠DCA ,∴ ∠EAC=∠FCA. ∴ AE∥CF.又∵ AF∥EC,∴ 四边形AECF 为平行四边 形.(2) 在Rt△ABC中,AB=6,AC=10,由勾股定理,得 BC= AC2-AB2=8.由折叠,可知∠AME=∠ABC= 90°,EM=BE,AM=AB=6.∴ CM=AC-AM=10- 6=4.设EC=x,则EM=BE=8-x.在Rt△CEM 中,由 勾股定理,得ME2+CM2=EC2,即(8-x)2+42=x2,解 得x=5.由(1),得 四 边 形 AECF 为 平 行 四 边 形, ∴ S▱AECF=EC·AB=5×6=30. 6. 等边三角形.△BMP 是等边三角形.理由:∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ ∠BAD=∠ABC=90°.由折叠,可知 ∠NBM=∠ABM,∠BNM=∠BAD=90°,∴ ∠BNP= 90°.∵ △ABN 是 等 边 三 角 形,∴ ∠ABN =60°. ∴ ∠NBM=∠ABM=12∠ABN=30°.∵ ∠NBP= ∠ABP-∠ABN=30°,∠BNM=∠BNP=90°,∴ 易得 ∠BPM=∠MBP=60°.∴ △BMP 是等边三角形. 7. A 8. (1) 如图所示.(2) ∵ 四边形ABCD 是菱形,∠A= 45°,∴ AD=CD,∠A=∠C=45°,∠ADC=135°.由折 叠,可知AE=DE=12AD ,GE⊥AD,∠A=∠GDA= 45°,DF=FC=12CD ,HF⊥CD,∠C=∠CDH=45°. ∴ ∠OED = ∠OFD =90°.∵ ∠EOF+ ∠OED + 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16 ∠OFD+∠ADC=360°,∴ ∠EOF=360°-90°-90°- 135°=45°.(3) 四边形DGOH 是菱形.理由:∵ ∠ADC= 135°,∠ADG = ∠CDH = 45°,∴ 易得∠GDC= ∠ADH=90°,即GD⊥CD,DH⊥AD.又∵ GE⊥AD, HF⊥CD,∴ GE∥DH,GD∥HF.∴ 四边形DGOH 是 平行四边形.∵ AE=DE=12AD ,DF=FC=12CD , AD=CD,∴ DE=DF,且∠ADG=∠CDH =45°, ∠DEG=∠DFH=90°.∴ △DEG≌△DFH.∴ DG= DH.∴ 四边形DGOH 是菱形. 第8题 9. 13 10. 12 11. (1) ∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ AB=BC=CD= AD,∠A=∠ABC=90°.∵ E、F 分别是正方形ABCD 的边AB、AD 的中点,∴ BE= 12AB ,AF= 12AD. ∴ BE=AF.在△ABF和△BCE 中, AB=BC, ∠A=∠CBE=90°, AF=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABF≌△BCE.∴ BF=CE.(2) 连结BG.由折叠, 可知 BQ =AB,∠BQF = ∠A =90°,∴ BC=BQ, ∠BQG=∠BCG=90°.在Rt△BQG 和 Rt△BCG 中, BG=BG, BQ=BC, ∴ Rt△BQG ≌Rt△BCG.∴ QG =CG. ∵ AD=DC=AB=4,FQ=AF=FD=12AD=2 ,设 CG=x,则 DG=DC-CG=4-x,FG=FQ+QG= AF+CG=2+x.在 Rt△DFG 中,根据勾股定理,得 DF2+DG2=FG2,即22+(4-x)2=(2+x)2,解得x= 4 3.∴ QG=CG=43.∴ FG=2+x=2+43= 10 3. 12. ∠CBH=∠GBH=∠GBA.理由:连结CG.由第一 次折叠,知点B、C 关于EF 对称,∴ EF 垂直平分BC. ∴ BG=CG.由 第 二 次 折 叠,知△BCH ≌ △BGH. ∴ BG=BC.∴ BG=CG=BC.∴ △BCG 是等边三角 形.∴ ∠CBG=60°.∵ △BCH≌△BGH,∴ ∠CBH= ∠GBH=12∠CBG=30°.∵ ∠ABC=90°,∴ ∠GBA= 90°-60°=30°.∴ ∠CBH=∠GBH=∠GBA. 整合提优自主检测 一、 1. A 2. D 3. A 4. B 5. D 6. A 7. C 8. A 9. B 二、 10. y2<y3<y1 11. x=3 12. 18° 13. 15 14. -12 ,0 或 92,0 三、 15. (1) 8x2+9.(2) 原式=- 2a+2. 当a=2时,原 式=- 22+2=- 1 2. 16.∵ E 是BC的中点,∴ CE=BE.∵ 四边形ABCD 是 平行 四 边 形,∴ AB∥CD,AB=CD.∴ ∠DCE= ∠FBE.在 △CED 和 △BEF 中, ∠DCE=∠FBE, CE=BE, ∠CED=∠BEF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CED≌△BEF.∴ CD=BF.∴ AB=BF. 17. (1) 95;90;20.(2) A型扫地机器人扫地质量更好. 理由:∵ 在平均除尘量都是90的情况下,A型扫地机器 人除尘量的众数大于B型扫地机器人除尘量的众数, ∴ A型扫地机器人扫地质量更好.(理由不唯一) 18. (1) 设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元.根据题 意,得300 x = 300 5 4x +3,解得x=20.经检验,x=20是原方 程的解.∴ 菜苗基地每捆 A种菜苗的价格是20元. (2) 设购买 A种菜苗 m 捆,则购买B种菜苗(100- m)捆.∵ A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数, ∴ m≤100-m,解得m≤50.设本次购买花费w 元,则 w=20×0.9m+30×0.9(100-m)=-9m+2700. ∵ -9<0,∴ w 随m 的增大而减小.∴ 当m=50时, w 取得最小值,最小值为-9×50+2700=2250.∴ 本次 购买最少花费2250元. 19. (1) 把A(a,3)代入y= 1 2x+1 ,得1 2a+1=3 ,解得 a=4.∴ A(4,3).把A(4,3)代入y= k x ,得3=k4 ,解得 k=12.(2) ① ∵ 点A 的坐标是(4,3),点D 的纵坐标是 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈