专题6 反比例函数综合-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

42 专题六　反比例函数综合 反比例函数综合属于必考内容,常见的题型有反比例函数图象与一次函数图象的交点、尺规作图、 几何变换与几何图形综合等,需要在解题过程中灵活运用转化、数形结合、方程与建模的思想方法. 类型一 反比例函数图象与一次函数图象的 交点 1. (菏泽中考)如图,在平面直角坐标系中,一 次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= k x 的图象交于A(2,-4)、B(-4,m)两点. (1) 求反比例函数和一次函数的表达式; (2) 过O、A 两点的直线与反比例函数图象 交于另一点C,连结BC,求△ABC 的面积. 第1题 类型二 反比例函数与尺规作图 2. (河南中考)如图,反比例函数y= k x (x>0) 的图象经过点A(2,4)和点B,点B 在点A 的下方,AC 平分∠OAB,交x轴于点C. (1) 求反比例函数的表达式. (2) 请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC 的垂直平分线.(不写作法,保留作图痕迹) (3) 线段OA 与(2)中所作的垂直平分线相 交于点D,连结CD.求证:CD∥AB. 第2题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 拍 照 批 改 43 类型三 反比例函数与几何变换 答案讲解 3. (杭州中考)设函数y1= k1 x ,函数 y2=k2x+b.(k1、k2、b均是常数, 且k1≠0,k2≠0) (1) 若函数y1 和函数 y2 的 图 象 交 于 点A(1,m)和点B(3,1). ① 求函数y1、y2的表达式; ② 当2<x<3时,比较y1与y2的大小.(直 接写出结果) (2) 若点C(2,n)在函数y1 的图象上,点C 先向下平移2个单位,再向左平移4个单位, 得到点D,点D 恰好落在函数y1的图象上, 求n的值. 答案讲解 4. 如图,在平面直角坐标系中,菱 形ABCD 的顶点C 与原点O 重 合,点B 在y 轴的正半轴上,点A 在反比例函数y= k x (k>0,x>0)的图象 上,点D 的坐标为(4,3). (1) 求反比例函数的表达式. (2) 若将菱形ABCD 的边OD 沿x 轴正方 向平移,当点D 落在函数y= k x (k>0,x> 0)的图象上时,求线段OD 扫过的图形的 面积. (3) 在x轴上是否存在一点P,使PA+PB 有最小值? 若存在,请直接写出点P 的坐 标;若不存在,请说明理由. 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 44 类型四 反比例函数与存在性问题 5. 如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例 函数y= m x 的图象交于A(-3,1)、B(1,n) 两点,连结OA、OB. (1) 求一次函数和反比例函数的表达式. (2) 求△AOB 的面积. (3) 在x轴上是否存在点P,使得△PAO 为 等腰三角形? 若存在,请直接写出点P 的坐 标;若不存在,请说明理由. 第5题 答案讲解 6. 分类讨论思想 如图,A(1,6)和 B(n,2)是一次函数y=kx+b的 图象与反比例函数y= m x (x>0)的 图象的两个交点. (1) 求m、n的值; (2) 求一次函数的表达式; (3) 设P 是y 轴上的一个动点,当△PAB 的周长最小时,求点P 的坐标; (4) 在(3)的条件下,设D 是坐标平面内一 个动点,当以点A、B、P、D 为顶点的四边形 是平行四边形时,请直接写出符合条件的所 有点D 的坐标. 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 13 7. (1) 设y1=k1x.把(20,840)代入,得20k1=840,解得 k1=42.∴ y1=42x.当0≤x≤20时,设y2=k2x.把(20, 1000)代入,得20k2=1000,解得k2=50.∴ y2=50x,即 在乙商店,每支羽毛球拍的原价为50元;当x>20时, y2=50×20+50×(x-20)×0.8=40x+200, ∴ y2= 50x(0≤x≤20), 40x+200(x>20). (2) 由 题 图,可 知42m = 40m+200,解得m=100,m 的实际意义是当购买100支 羽毛球拍时,在甲、乙两家商店购买所需的费用相同. (3) 由(2)知,当x=100时,在两家商店购买所需的费用 相同,即任意选一家购买都很合算;当42x<40x+200,即 80<x<100时,选择甲商店购买更合算;当42x>40x+ 200,即100<x≤120时,选择乙商店购买更合算. 8. (1) 设枣树的单价为x元,石榴树的单价为y元.根据 题意,得 2x+3y=44, 5x+6y=98, 解得 x=10, y=8. ∴ 枣树的单价为 10元,石榴树的单价为8元.(2) ① 根据题意,得W1= 10×90%m+8×90%×50=9m+360.当0<m≤50时, W2=10m+8×50=10m+400;当m>50时,W2=10× 50+10×80%(m-50)+8×50=8m+500,∴ W2= 10m+400(0<m≤50), 8m+500(m>50). ② 当0<m≤50时,W1-W2= 9m+360-(10m+400)=-m-40<0,则W1<W2, ∴ 选择方案一购买更合算;当m>50时,若W1=W2,则 9m+360=8m+500,解得m=140,若W1<W2,则9m+ 360<8m+500,解得m<140,若W1>W2,则9m+360> 8m+500,解得m>140.综上所述,当m=140时,选择两 种方案的购买费用一样;当0<m<140时,选择方案一购 买更合算;当m>140时,选择方案二购买更合算. 解决方案选取型问题 (1) 不同的方案有不同的函数表达式,首先要设法 求出各方案对应的函数表达式,可用待定系数法求解, 也可直接根据题意列关系式求解.涉及分段函数的,要 审清题意,注意自变量的取值范围,正确确定各区间所 对应的函数表达式.(2) 方案比较,即比较同一自变量 所对应的函数值.常与不等式、方程相结合,考查一次 函数与方程、不等式之间的相互转化.(3) 确定最优方 案:涉及一次函数的最值问题,熟练掌握一次函数的增 减性,是解题的关键.方案选取问题运用广泛,在门票、 购物、收费、设计等问题中都有涉及. 专题六　反比例函数综合 1. (1) 将A(2,-4)代入y= k x ,得k=2×(-4)= -8.∴ 反比例函数的表达式为y=- 8 x. 将B(-4,m)代 入y=- 8 x ,解得m=2,∴点B 的坐标为(-4,2).将 A(2,-4)和 B (-4,2)代 入 y =ax +b,得 2a+b=-4, -4a+b=2, 解得 a=-1 , b=-2. ∴ 一次函数的表达式为 y=-x-2.(2) 设AB 与x 轴交于点D,连结CD.由题 意,可知点A 与点C 关于原点对称,∴ C(-2,4).在 y=-x-2中,当x=-2时,y=0,∴ D(-2,0). ∴ CD⊥x 轴 于 点 D,CD=4.∴ S△ABC =S△ADC + S△BCD= 1 2×4× (2+2)+12×4× (4-2)=8+4=12. 2. (1) ∵ 反比例函数y= k x (x>0)的图象经过点A(2, 4),∴ k=2×4=8.∴ 反比例函数的表达式为y= 8 x (x>0).(2) 如图,直线m 即为所求作.(3) 如图,连结 CD. ∵ AC平分∠OAB,∴ ∠OAC=∠BAC.∵ 直线m 垂直平分线段AC,∴ DA=DC.∴ ∠DAC=∠DCA. ∴ ∠DCA=∠BAC.∴ CD∥AB. 第2题 3. (1) ① 把B(3,1)代入y1= k1 x ,得k1=3×1=3.∴ 函 数y1 的表达式为y1= 3 x ;把A(1,m)代入y1= 3 x ,得 m=31=3.∴ 点A 的坐标为(1,3).把A(1,3)、B(3, 1)代入y2=k2x+b,得 k2+b=3, 3k2+b=1, 解得 k2=-1, b=4. ∴ 函 数y2的表达式为y2=-x+4.② y1<y2.(2) 由平移, 可得点D 的坐标为(-2,n-2).∵ 点C、D 都在函数 y1的图象上,∴ -2(n-2)=2n,解得n=1. 4. (1) 过点D 作x轴的垂线,垂足为F.∵ 点D 的坐标 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 14 为(4,3),∴ OF=4,DF=3.∴ OD= OF2+DF2= 5.∵ 四边形 ABCD 为菱形,∴ AD=OD=5,AD∥ OB.∴ 易得AD⊥x 轴,AF=8.∴ 点A 的坐标为(4, 8).∵ 点A(4,8)在反比例函数y= k x (x>0)的图象上, ∴ k=4×8=32.∴ 反比例函数的表达式为y= 32 x (x> 0).(2) 将OD 沿x 轴正方向平移,使得点D 落在函数 y= 32 x (x>0)的图象上,设落点为D',过点D'作x 轴的 垂线,垂足为F'.∵ DF=3,∴ D'F'=3.∴ 点D'的纵坐 标为3.∵ 点D'在反比例函数y= 32 x 的图象上,∴ 3= 32 x ,解得x=323.∴ 点D'的坐标为 323 ,3 .∴ DD'= 32 3-4= 20 3. 又∵ 线段OD 扫过的图形为平行四边形, ∴ 这个平行四边形的面积=203×3=20 ,即线段OD 扫过 的图形的面积为20.(3) 存在.点P 的坐标为 2013 ,0 . 5. (1) ∵ 反比例函数y= m x 的图象上有A(-3,1)、B(1, n)两点,∴ m=-3×1=-3.∴ 反比例函数的表达式为 y=- 3 x. 当x=1时,y=-3,∴ n=-3.∴ B(1, -3).将A(-3,1)、B(1,-3)代入y=kx+b,得 -3k+b=1, k+b=-3, 解得 k=-1 , b=-2. ∴ 一次函数的表达式为 y=-x-2.(2) 由(1),知直线AB 的函数表达式为 y=-x-2.设直线AB 与x 轴交于点C.当y=0时, x=-2,∴ 点C 的坐标为(-2,0).∴ S△AOB=S△OAC+ S△OBC= 1 2×2×1+ 1 2×2×3=4. (3) 点P 的坐标为 (-6,0)或(10,0)或(- 10,0)或 -53 ,0 . 6. (1) 将A(1,6)代入y= m x ,得6=m1 ,解得m=6. ∴ 反比例函数的表达式为y= 6 x. 将B(n,2)代入y= 6 x ,得6 n=2 ,解得n=3,即点B 的坐标为(3,2).∴ m= 6,n=3.(2) 将A(1,6)、B(3,2)代入y=kx+b,得 k+b=6, 3k+b=2, 解 得 k=-2 , b=8. ∴ 一 次 函 数 的 表 达 式 为 y=-2x+8.(3) 作点A 关于y轴的对称点G(-1,6), 连结BG 交y轴于点P,连结PA,此时△PAB 的周长= AP+PB+AB=GP+PB+AB.∵ AB 的长一定,∴当 GP+PB 最小时,△PAB 的周长最小,即当GP+PB= BG 时,△PAB 的周长最小,此时P 为所求点.设直线BG 对应的函数表达式为y=cx+d.将B(3,2)、G(-1,6)代 入,得 3c+d=2, -c+d=6, 解得 c=-1 , d=5. ∴ 直线BG 对应的函数 表达式为y=-x+5.令x=0,则y=5.∴ 点P 的坐标 为(0,5).(4) 点D 的坐标为(2,1)或(-2,9)或(4,3). 专题七　平行四边形的证明思路 1. (1) 在 Rt△ACD 和 Rt△CAB 中, AD=CB, AC=CA, ∴ Rt△ACD≌Rt△CAB.(2) ∵ Rt△ACD≌Rt△CAB, ∴ CD=AB,AD=CB.∴ 四边形ABCD 是平行四边形. 2. ∵ △ABE、△BCF 为等边三角形,∴ AB=BE=AE, BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF=60°.∴ ∠ABE- ∠ABF= ∠CBF - ∠ABF,即 ∠FBE = ∠CBA.在 △EBF 和△ABC 中, EB=AB, ∠FBE=∠CBA, BF=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EBF≌ △ABC.∴ EF=AC.又∵ △ADC 为 等 边 三 角 形, ∴ CD=AD =AC.∴ EF=AC=AD.同 理,可 得 △ABC≌△DFC.∴ AB=AE=DF.∴ 四边形ADFE 是平行四边形. 3. ∵ D、E 分别为AB、AC 的中点,∴ AD=DB, AE= EC.∵ ∠ACB=90°,AD=DB,∴ CD=DA=DB. ∴ ∠A = ∠DCA.∵ ∠CEF = ∠A,∴ ∠CEF = ∠DCA.∴ CD∥EF.∵ AD=DC,AE=EC,∴易得 ∠AED=∠ACB=90°.∴ DE∥CF.∴ 四边形DCFE 是 平行四边形. 4. ∵ BD⊥AC,AE⊥AC,∴ AE∥BD.∵ ∠ADE= ∠BAD,∴ AB∥ED.∴ 四边形ABDE 是平行四边形. 5. ∵ CD∥BE,∴ ∠D=∠AEF.∵ F 是DE 的中点, ∴ DF=EF.在△CDF 和△AEF 中, ∠D=∠AEF, DF=EF, ∠CFD=∠AFE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CDF≌△AEF.∴ CD=AE.∵ E 是AB 的中点, ∴ AE=BE.∴ CD=BE.又∵ CD∥BE,∴ 四边形 BCDE 是平行四边形. 6. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ ∠DAB= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈