专题7 平行四边形的证明思路-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

45 专题七　平行四边形的证明思路 判定平行四边形的方法通常有四种,即定义和三种判定定理,选择判定方法时,一定要结合 题目的条件,选择恰当的方法,从而简化解题过程. 若给出一组对边相等,则可证另一组对边也相等或证这组对边平行;若给出一组对边平行, 则可证另一组对边也平行或证这组对边相等;若给出一组对角相等,则可证另一组对角也相等; 若给出对角线,则可证对角线互相平分. 类型一 利用两组对边分别相等判定平行 四边形 1. 如图,CD⊥AC,AB⊥AC,垂足分别为C、 A,AD=BC.求证: (1) Rt△ACD≌Rt△CAB; (2) 四边形ABCD 是平行四边形. 第1题 2. 如图,以△ABC 的三边为边分别作等边三角 形ADC、ABE、BCF.求证:四边形ADFE 是平行四边形. 第2题 类型二 利用两组对边分别平行判定平行 四边形 3. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D、E 分别为AB、AC 的中点,点F 在BC 的延长 线上,且∠CEF=∠A.求证:四边形DCFE 是平行四边形. 第3题 4. 如图,在四边形ABCD 中,BD⊥AC,垂足为 F,E 为四边形ABCD 外一点,且∠ADE= ∠BAD,AE⊥AC.求证:四边形ABDE 是 平行四边形. 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 46 类型三 利用一组对边平行且相等判定平行 四边形 5. 如图,在四边形BCDE 中,CD∥BE,F 是 DE 的中点,连结CF 并延长,交BE 的延长 线于点A,且E 是AB 的中点.求证:四边 形BCDE 是平行四边形. 第5题 答案讲解 6. 如图,在▱ABCD 中,延长DA 到 点E,延长BC 到点F,使得AE= CF,连结EF,分别交AB、CD 于 点M、N,连结DM、BN.求证: (1) △AEM≌△CFN; (2) 四边形BMDN 是平行四边形. 第6题 答案讲解 7. 如图,在▱ABCD 中,点G、H 分别 在边AB、DC 上,且DH=GB,连 结DG、BH 并延长,分别交CB、 AD 的延长线于点E、F.求证: (1) △ADG≌△CBH; (2) 四边形DEBF 是平行四边形. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 47 类型四 利用对角线互相平分判定平行 四边形 8. 在① AD=BC;② AD∥BC;③ ∠BAD= ∠BCD 这三个条件中选择一个你认为合适 的条件,补充在下面的问题中,并回答问题. 问题:如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点O,OA=OC.若 (填序号),求证:四边形ABCD 为平行四 边形. 第8题 9. 如图,G、H 是△ABC 的边AC 的三等分点, GE∥BH 交AB 于点E,HF∥BG 交BC 于 点F,延长EG、FH 交于点D,连结AD、 DC、BD,且AC 和BD 交于点O.求证:四边 形ABCD 是平行四边形. 第9题 答案讲解 10. 如图,AB、CD 相交于点O,AC∥ DB,OA=OB,E、F 分别是OC、 OD 的中点.求证: (1) OC=OD; (2) 四边形AFBE 是平行四边形. 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 14 为(4,3),∴ OF=4,DF=3.∴ OD= OF2+DF2= 5.∵ 四边形 ABCD 为菱形,∴ AD=OD=5,AD∥ OB.∴ 易得AD⊥x 轴,AF=8.∴ 点A 的坐标为(4, 8).∵ 点A(4,8)在反比例函数y= k x (x>0)的图象上, ∴ k=4×8=32.∴ 反比例函数的表达式为y= 32 x (x> 0).(2) 将OD 沿x 轴正方向平移,使得点D 落在函数 y= 32 x (x>0)的图象上,设落点为D',过点D'作x 轴的 垂线,垂足为F'.∵ DF=3,∴ D'F'=3.∴ 点D'的纵坐 标为3.∵ 点D'在反比例函数y= 32 x 的图象上,∴ 3= 32 x ,解得x=323.∴ 点D'的坐标为 323 ,3 .∴ DD'= 32 3-4= 20 3. 又∵ 线段OD 扫过的图形为平行四边形, ∴ 这个平行四边形的面积=203×3=20 ,即线段OD 扫过 的图形的面积为20.(3) 存在.点P 的坐标为 2013 ,0 . 5. (1) ∵ 反比例函数y= m x 的图象上有A(-3,1)、B(1, n)两点,∴ m=-3×1=-3.∴ 反比例函数的表达式为 y=- 3 x. 当x=1时,y=-3,∴ n=-3.∴ B(1, -3).将A(-3,1)、B(1,-3)代入y=kx+b,得 -3k+b=1, k+b=-3, 解得 k=-1 , b=-2. ∴ 一次函数的表达式为 y=-x-2.(2) 由(1),知直线AB 的函数表达式为 y=-x-2.设直线AB 与x 轴交于点C.当y=0时, x=-2,∴ 点C 的坐标为(-2,0).∴ S△AOB=S△OAC+ S△OBC= 1 2×2×1+ 1 2×2×3=4. (3) 点P 的坐标为 (-6,0)或(10,0)或(- 10,0)或 -53 ,0 . 6. (1) 将A(1,6)代入y= m x ,得6=m1 ,解得m=6. ∴ 反比例函数的表达式为y= 6 x. 将B(n,2)代入y= 6 x ,得6 n=2 ,解得n=3,即点B 的坐标为(3,2).∴ m= 6,n=3.(2) 将A(1,6)、B(3,2)代入y=kx+b,得 k+b=6, 3k+b=2, 解 得 k=-2 , b=8. ∴ 一 次 函 数 的 表 达 式 为 y=-2x+8.(3) 作点A 关于y轴的对称点G(-1,6), 连结BG 交y轴于点P,连结PA,此时△PAB 的周长= AP+PB+AB=GP+PB+AB.∵ AB 的长一定,∴当 GP+PB 最小时,△PAB 的周长最小,即当GP+PB= BG 时,△PAB 的周长最小,此时P 为所求点.设直线BG 对应的函数表达式为y=cx+d.将B(3,2)、G(-1,6)代 入,得 3c+d=2, -c+d=6, 解得 c=-1 , d=5. ∴ 直线BG 对应的函数 表达式为y=-x+5.令x=0,则y=5.∴ 点P 的坐标 为(0,5).(4) 点D 的坐标为(2,1)或(-2,9)或(4,3). 专题七　平行四边形的证明思路 1. (1) 在 Rt△ACD 和 Rt△CAB 中, AD=CB, AC=CA, ∴ Rt△ACD≌Rt△CAB.(2) ∵ Rt△ACD≌Rt△CAB, ∴ CD=AB,AD=CB.∴ 四边形ABCD 是平行四边形. 2. ∵ △ABE、△BCF 为等边三角形,∴ AB=BE=AE, BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF=60°.∴ ∠ABE- ∠ABF= ∠CBF - ∠ABF,即 ∠FBE = ∠CBA.在 △EBF 和△ABC 中, EB=AB, ∠FBE=∠CBA, BF=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EBF≌ △ABC.∴ EF=AC.又∵ △ADC 为 等 边 三 角 形, ∴ CD=AD =AC.∴ EF=AC=AD.同 理,可 得 △ABC≌△DFC.∴ AB=AE=DF.∴ 四边形ADFE 是平行四边形. 3. ∵ D、E 分别为AB、AC 的中点,∴ AD=DB, AE= EC.∵ ∠ACB=90°,AD=DB,∴ CD=DA=DB. ∴ ∠A = ∠DCA.∵ ∠CEF = ∠A,∴ ∠CEF = ∠DCA.∴ CD∥EF.∵ AD=DC,AE=EC,∴易得 ∠AED=∠ACB=90°.∴ DE∥CF.∴ 四边形DCFE 是 平行四边形. 4. ∵ BD⊥AC,AE⊥AC,∴ AE∥BD.∵ ∠ADE= ∠BAD,∴ AB∥ED.∴ 四边形ABDE 是平行四边形. 5. ∵ CD∥BE,∴ ∠D=∠AEF.∵ F 是DE 的中点, ∴ DF=EF.在△CDF 和△AEF 中, ∠D=∠AEF, DF=EF, ∠CFD=∠AFE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CDF≌△AEF.∴ CD=AE.∵ E 是AB 的中点, ∴ AE=BE.∴ CD=BE.又∵ CD∥BE,∴ 四边形 BCDE 是平行四边形. 6. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ ∠DAB= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15 ∠BCD,AD∥BC.∴ 易得∠EAM=∠FCN.∵ AD∥ BC,∴ ∠E = ∠F.在 △AEM 和 △CFN 中, ∠EAM=∠FCN, AE=CF, ∠E=∠F, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEM≌△CFN.(2) ∵ 四边形 ABCD 是 平 行 四 边 形,∴ AB =CD,AB ∥CD. ∵ △AEM≌△CFN,∴ AM=CN.∴ AB-AM=CD- CN,即BM=DN.又∵ BM∥DN,∴ 四边形BMDN 是 平行四边形. 7. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ ∠A=∠C, AD=BC,AB=DC.∵ DH=GB,∴ CD-DH=AB- GB,即CH=AG.在△ADG 和△CBH 中, AD=CB, ∠A=∠C, AG=CH, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADG≌△CBH.(2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边 形,∴ AD∥CB,∠ABC=∠ADC.∴ 易得∠EBG= ∠FDH.由(1),可知△ADG≌△CBH,∴ ∠AGD= ∠CHB.∵ ∠BGE = ∠AGD,∠DHF = ∠CHB, ∴ ∠BGE = ∠DHF.在 △BEG 和 △DFH 中, ∠EBG=∠FDH, BG=DH, ∠BGE=∠DHF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BEG ≌ △DFH.∴ BE= DF.又∵ BE∥DF,∴ 四边形DEBF 是平行四边形. 8. ②.∵ AD∥BC,∴ ∠DAO=∠BCO.在△AOD 和 △COB 中, ∠DAO=∠BCO, OA=OC, ∠DOA=∠BOC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOD ≌ △COB. ∴ OD=OB.又∵ OA=OC,∴ 四边形ABCD 为平行四 边形. 9. ∵ GE∥BH,HF∥BG,∴ 四边形GBHD 是平行四边 形.∴ GH 与BD 互相平分.∴ GO=HO,BO=DO. ∵ G、H 是△ABC 的边AC 的 三 等 分 点,∴ AG= HC.∴ AG+GO=HC+HO,即AO=CO.∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 10. (1) ∵ AC∥BD,∴ ∠C=∠D.在△AOC 和△BOD 中, ∠C=∠D, ∠COA=∠DOB, OA=OB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOC≌△BOD.∴ OC= OD.(2) ∵ E、F 分别是OC、OD 的中点,∴ OE=12OC , OF=12OD.∵ OC=OD,∴ OE=OF.又∵ OA=OB, ∴ 四边形AFBE 是平行四边形. 专题八　四边形中的折叠问题 1. B 2. B 折叠问题的解题方法 (1) 图形沿着某条直线折叠时,观察哪些量变了, 哪些量没有变;(2) 观察折叠前后哪些角、边相等,线段 和角之间分别有怎样的数量关系;(3) 知道折叠前后特 殊点、角和线的对应关系;(4) 运用全等三角形、勾股定 理等相关知识解决问题. 3. B 4. 4 5. (1) ∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ AD∥BC,AB∥ CD.∴ ∠BAC = ∠DCA.由 折 叠,可 知 ∠EAC = 1 2∠BAC ,∠FCA= 12 ∠DCA ,∴ ∠EAC=∠FCA. ∴ AE∥CF.又∵ AF∥EC,∴ 四边形AECF 为平行四边 形.(2) 在Rt△ABC中,AB=6,AC=10,由勾股定理,得 BC= AC2-AB2=8.由折叠,可知∠AME=∠ABC= 90°,EM=BE,AM=AB=6.∴ CM=AC-AM=10- 6=4.设EC=x,则EM=BE=8-x.在Rt△CEM 中,由 勾股定理,得ME2+CM2=EC2,即(8-x)2+42=x2,解 得x=5.由(1),得 四 边 形 AECF 为 平 行 四 边 形, ∴ S▱AECF=EC·AB=5×6=30. 6. 等边三角形.△BMP 是等边三角形.理由:∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ ∠BAD=∠ABC=90°.由折叠,可知 ∠NBM=∠ABM,∠BNM=∠BAD=90°,∴ ∠BNP= 90°.∵ △ABN 是 等 边 三 角 形,∴ ∠ABN =60°. ∴ ∠NBM=∠ABM=12∠ABN=30°.∵ ∠NBP= ∠ABP-∠ABN=30°,∠BNM=∠BNP=90°,∴ 易得 ∠BPM=∠MBP=60°.∴ △BMP 是等边三角形. 7. A 8. (1) 如图所示.(2) ∵ 四边形ABCD 是菱形,∠A= 45°,∴ AD=CD,∠A=∠C=45°,∠ADC=135°.由折 叠,可知AE=DE=12AD ,GE⊥AD,∠A=∠GDA= 45°,DF=FC=12CD ,HF⊥CD,∠C=∠CDH=45°. ∴ ∠OED = ∠OFD =90°.∵ ∠EOF+ ∠OED + 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈