专题5 一次函数的应用-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

12 -(x-y) (x-2y)(x+2y)= 2y-x x+2y.∵ x 2 = - y 3 ,∴ 2y= -3x.∴ 原式=-3x-xx-3x = -4x -2x=2. 13. 原式= 5m+2- (m-2) ·m(m+2)3-m =5-m 2+4 m+2 · m(m+2) 3-m = (3+m)(3-m) m+2 ·m(m+2) 3-m =m (3+m)= m2+3m.∵ m2+3m-4=0,∴ m2+3m=4.∴ 原式= m2+3m=4. 专题五　一次函数的应用 1. (1) s 与 t 之 间 的 函 数 表 达 式 为 s = 15t(0≤t≤0.2), 20t-1(t>0.2). (2) 由(1),可知当0≤t≤0.2时,乙骑 行的速度为15km/h,而甲骑行的速度为18km/h,则甲在 乙的前面;当t>0.2时,乙骑行的路程为(20t-1)km,甲 骑行的路程为18tkm,若乙骑行在甲的前面,则18t< 20t-1,解得t>0.5.∴ 0.5h后乙骑行在甲的前面. 2. (1) 2;6.(2) 设y=kx+b.将(2,200)、(6,440)代入, 得 2k+b=200, 6k+b=440, 解得 k=60 , b=80. ∴ y=60x+80(2<x≤ 6).(3) ∵ 乙车的速度为(440-200)÷2=120(千米/时), ∴ 乙车到达A地所需时间为440÷120=113 (时).当x= 11 3 时,y=60× 11 3+80=300 ,∴ 当乙车到达A地时,甲车 距A地的路程为300千米. 3. (1) 60.(2) 由(1),可知y甲 与x之间的函数表达式为 y甲=60x(0≤x≤5);设y乙 与x 之间的函数表达式为 y乙=kx+b.根据题意,将(1,0)、(4,300)代入,得 k+b=0, 4k+b=300, 解得 k=100 , b=-100. ∴ y乙=100x-100(1≤ x≤4).(3) 根据题意,得60x=100x-100,解得x= 2.5.∴ 60x=60×2.5=150.∴ 点P 的坐标为(2.5, 150),点P 的实际意义是甲车出发2.5h后被乙车追上, 此时两车均行驶了150km. 运用函数图象的特殊点解决函数应用题 函数图象的特殊点包括图象与坐标轴的交点、两 条或多条函数图象的交点、分段函数图象的交点等, 理 解函数 特 殊 点 所 表 示 的 意 义,对 解 决 问 题 起 关 键作用.此外,我 们 还 能 根 据 函 数 图 象 的 特 殊 点 求 函数表达式. 4. (1) 设“绿心猕猴桃”每箱的售价是x 元,“红心猕猴 桃”每箱的售价是y 元.由题意,可得 y=x+25, 6x=5y-25, 解得 x=100, y=125. ∴ “绿心猕猴桃”每箱的售价是100元,“红心猕 猴桃”每箱的售价是125元.(2) 设“绿心猕猴桃”购进 a箱,则“红心猕猴桃“购进(21-a)箱,利润为w 元.由题 意,可得w=(100-80)a+(125-100)(21-a)=-5a+ 525.∵-5<0,∴ w 随a的增大而减小.∵ 要求总进价 不高于2000元,∴ 80a+100(21-a)≤2000,解得a≥ 5.∴ 当a=5时,w 取得最大值,此时w=-5×5+525= 500,21-a=16.∴ 购进“绿心猕猴桃”5箱,购进“红心猕 猴桃”16箱时,利润最大,最大利润是500元. 5. (1) 设每盆A种花卉的种植费用为x元,每盆B种花 卉的种植费用为y元.根据题意,得 3x+4y=330, 4x+3y=300, 解得 x=30, y=60. ∴ 每盆A种花卉的种植费用为30元,每盆B种 花卉的种植费用为60元.(2) 设种植A种花卉m 盆,则 种植B种花卉(400-m)盆,种植两种花卉的总费用为 w 元.根据题意,得(1-70%)m+(1-90%)(400-m)≤ 80,解得 m≤200.根据题意,得 w=30m+60(400- m)=-30m+24000.∵ -30<0,∴ w 随m 的增大而减 小.∴ 当m=200时,w 取得最小值,此时w=-30× 200+24000=18000.此时A种花卉需种植200盆,B种 花卉需种植400-200=200(盆).∴ 种植A、B两种花卉 各200盆,能使今年该项的种植总费用最低,最低费用为 18000元. 6. (1) 设篮球的单价为x 元,排球的单价为y 元.由题 意,可得 2x+y=170, 5x+2y=400, 解得 x=60, y=50. ∴ 篮球的单价为 60元,排球的单价为50元.(2) ① 由题意,可得w= 60m+50(100-m)=10m+5000.∵ 每种球至少买一个 且篮球个数不少于排球个数的3倍,∴ m≥1,100-m≥ 1且m≥3(100-m),解得75≤m≤99,即w 关于m 的函 数表达式为w=10m+5000(75≤m≤99).② ∵ w= 10m+5000,10>0,∴ w 随 m 的增大而增大.∵ 75≤ m≤99,∴ 当m=75时,w 取得最小值,此时w=10× 75+5000=5750,100-m=25,即总费用最低的购买方案 为购买篮球75个,排球25个,最低费用为5750元. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 7. (1) 设y1=k1x.把(20,840)代入,得20k1=840,解得 k1=42.∴ y1=42x.当0≤x≤20时,设y2=k2x.把(20, 1000)代入,得20k2=1000,解得k2=50.∴ y2=50x,即 在乙商店,每支羽毛球拍的原价为50元;当x>20时, y2=50×20+50×(x-20)×0.8=40x+200, ∴ y2= 50x(0≤x≤20), 40x+200(x>20). (2) 由 题 图,可 知42m = 40m+200,解得m=100,m 的实际意义是当购买100支 羽毛球拍时,在甲、乙两家商店购买所需的费用相同. (3) 由(2)知,当x=100时,在两家商店购买所需的费用 相同,即任意选一家购买都很合算;当42x<40x+200,即 80<x<100时,选择甲商店购买更合算;当42x>40x+ 200,即100<x≤120时,选择乙商店购买更合算. 8. (1) 设枣树的单价为x元,石榴树的单价为y元.根据 题意,得 2x+3y=44, 5x+6y=98, 解得 x=10, y=8. ∴ 枣树的单价为 10元,石榴树的单价为8元.(2) ① 根据题意,得W1= 10×90%m+8×90%×50=9m+360.当0<m≤50时, W2=10m+8×50=10m+400;当m>50时,W2=10× 50+10×80%(m-50)+8×50=8m+500,∴ W2= 10m+400(0<m≤50), 8m+500(m>50). ② 当0<m≤50时,W1-W2= 9m+360-(10m+400)=-m-40<0,则W1<W2, ∴ 选择方案一购买更合算;当m>50时,若W1=W2,则 9m+360=8m+500,解得m=140,若W1<W2,则9m+ 360<8m+500,解得m<140,若W1>W2,则9m+360> 8m+500,解得m>140.综上所述,当m=140时,选择两 种方案的购买费用一样;当0<m<140时,选择方案一购 买更合算;当m>140时,选择方案二购买更合算. 解决方案选取型问题 (1) 不同的方案有不同的函数表达式,首先要设法 求出各方案对应的函数表达式,可用待定系数法求解, 也可直接根据题意列关系式求解.涉及分段函数的,要 审清题意,注意自变量的取值范围,正确确定各区间所 对应的函数表达式.(2) 方案比较,即比较同一自变量 所对应的函数值.常与不等式、方程相结合,考查一次 函数与方程、不等式之间的相互转化.(3) 确定最优方 案:涉及一次函数的最值问题,熟练掌握一次函数的增 减性,是解题的关键.方案选取问题运用广泛,在门票、 购物、收费、设计等问题中都有涉及. 专题六　反比例函数综合 1. (1) 将A(2,-4)代入y= k x ,得k=2×(-4)= -8.∴ 反比例函数的表达式为y=- 8 x. 将B(-4,m)代 入y=- 8 x ,解得m=2,∴点B 的坐标为(-4,2).将 A(2,-4)和 B (-4,2)代 入 y =ax +b,得 2a+b=-4, -4a+b=2, 解得 a=-1 , b=-2. ∴ 一次函数的表达式为 y=-x-2.(2) 设AB 与x 轴交于点D,连结CD.由题 意,可知点A 与点C 关于原点对称,∴ C(-2,4).在 y=-x-2中,当x=-2时,y=0,∴ D(-2,0). ∴ CD⊥x 轴 于 点 D,CD=4.∴ S△ABC =S△ADC + S△BCD= 1 2×4× (2+2)+12×4× (4-2)=8+4=12. 2. (1) ∵ 反比例函数y= k x (x>0)的图象经过点A(2, 4),∴ k=2×4=8.∴ 反比例函数的表达式为y= 8 x (x>0).(2) 如图,直线m 即为所求作.(3) 如图,连结 CD. ∵ AC平分∠OAB,∴ ∠OAC=∠BAC.∵ 直线m 垂直平分线段AC,∴ DA=DC.∴ ∠DAC=∠DCA. ∴ ∠DCA=∠BAC.∴ CD∥AB. 第2题 3. (1) ① 把B(3,1)代入y1= k1 x ,得k1=3×1=3.∴ 函 数y1 的表达式为y1= 3 x ;把A(1,m)代入y1= 3 x ,得 m=31=3.∴ 点A 的坐标为(1,3).把A(1,3)、B(3, 1)代入y2=k2x+b,得 k2+b=3, 3k2+b=1, 解得 k2=-1, b=4. ∴ 函 数y2的表达式为y2=-x+4.② y1<y2.(2) 由平移, 可得点D 的坐标为(-2,n-2).∵ 点C、D 都在函数 y1的图象上,∴ -2(n-2)=2n,解得n=1. 4. (1) 过点D 作x轴的垂线,垂足为F.∵ 点D 的坐标 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 38 专题五　一次函数的应用 一次函数的应用是以一次函数的图象和性质为载体,将实际问题中的数量及其关系蕴含在 函数图象中,一般设置一个实际问题情景,给出若干的信息列方程组或不等式、利用一次函数的 增减性来解决实际问题. 类型一 一次函数与行程问题 1. (成都中考)随着“公园城市”建设的不断推 进,成都绕城绿道化身为这座城市的一个 超大型“体育场”,绿道骑行成为市民的一 种低碳生活新风尚.甲、乙两人相约同时从 绿道某地出发同向骑行,甲骑行的速度是 18km/h,乙骑行的路程s(km)与骑行的时 间t(h)之间的关系如图所示. (1) 直接写出当0≤t≤0.2和t>0.2时, s与t之间的函数表达式; (2) 何时乙骑行在甲的前面? 第1题 2. (长春中考)已知 A、B两地之间有一条长 440千米的高速公路.甲、乙两车分别从A、B 两地同时出发,沿此公路相向而行,甲车先 以100千米/时的速度匀速行驶200千米后 与乙车相遇,再以另一速度继续匀速行驶 4小时到达B地;乙车匀速行驶至A地,两 车到达各自的目的地后停止,两车距A地的 路程y(千米)与各自的行驶时间x(时)之间 的函数关系如图所示. (1) m= ,n= ; (2) 求两车相遇后,甲车距A地的路程y(千 米)与x(时)之间的函数表达式; (3) 当乙车到达A地时,求甲车距A地的 路程. 第2题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 拍 照 批 改 39 答案讲解 3. ★(新疆生产建设兵团中考)A、B两 地相距300km,甲、乙两人分别开 车从A地出发前往B地,其中甲先 出发1h.如图所示为甲、乙的行驶路程 y甲(km)、y乙(km)随行驶时间x(h)变化的 图象,请结合图象信息,解答下列问题: (1) 甲的速度为 km/h; (2) 分别求出y甲、y乙 与x 之间的函数表 达式; (3) 求出点P 的坐标,并写出点P 的实际 意义. 第3题 类型二 方案设计型问题 4. 某水果店打算试销“绿心猕猴桃”和“红心猕 猴桃”,决定“红心猕猴桃”每箱的售价比“绿 心猕猴桃”每箱的售价贵25元,销售6箱 “绿心猕猴桃”的总价比销售5箱“红心猕猴 桃”的总价少25元. (1) “绿心猕猴桃”与“红心猕猴桃”每箱的售 价各是多少元? (2) 若“绿心猕猴桃”每箱的进价为80元, “红心猕猴桃”每箱的进价为100元.现该水 果店打算购进“绿心猕猴桃”与“红心猕猴 桃”共21箱,要求总进价不高于2000元,则 该水果店应如何设计购进方案才能获得最 大利润? 最大利润是多少元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 40 答案讲解 5. (黔西南州中考)某乡镇新打造的 “田园风光”景区今年计划改造一片 绿化地,种植A、B两种花卉.已知 3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用 为330元,4盆A种花卉和3盆B种花卉的 种植费用为300元. (1) 每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植 费用分别为多少元? (2) 若该景区今年计划种植A、B两种花卉 共400盆,相关资料表明:A、B两种花卉的 成活率分别为70%和90%.若该景区明年要 将枯死的花卉补上相同的新花卉,但这两种 花卉在明年一共能补的盆数不多于80,则应 如何安排这两种花卉的种植数量,才能使今 年该项的种植总费用最低? 求出最低费用. 6. 某学校准备购买一批篮球和排球,已知购买 2个篮球和1个排球需170元,购买5个篮 球和2个排球需400元. (1) 分别求篮球和排球的单价. (2) 该学校准备购买篮球和排球共100个, 每种球至少买一个且篮球个数不少于排球 个数的3倍. ① 设购买篮球m 个,总费用为w 元,写出w 关于m 的函数表达式并写出自变量的取值 范围; ② 请设计总费用最低的购买方案,并求出最 低费用. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 41 类型三 方案选取型问题 7. 为了丰富学生的课外活动,激发学生参加体 育活动的兴趣,某中学准备购买一批新的羽 毛球拍.已知甲、乙两家商店销售同一种羽 毛球拍,但两家商店的原价和销售方式均不 同.在甲商店,无论一次性购买多少支羽毛 球拍,一律按原价销售;在乙商店,一次性购 买羽毛球拍的数量不超过20支,按原价销 售,若一次性购买羽毛球拍的数量超过 20支,则超出的部分打8折.设该中学购买 了x支羽毛球拍,在甲商店购买所需的费用 为y1 元,在 乙 商 店 购 买 所 需 的 费 用 为 y2元.y1、y2关于x的函数图象如图所示. (1) 分别求出y1、y2关于x的函数表达式; (2) 请求出m 的值,并说明m 的实际意义; (3) 若该中学一次性购买羽毛球拍的数量超 过80支,但不超过120支,则选择哪家商店 购买更合算? 第7题 答案讲解 8. ★为加强学生的劳动教育,某校准备 开展以“种下希望,共建美好家园” 为主题的义务植树活动.经了解,购 买2棵枣树和3棵石榴树共需44元;购买 5棵枣树和6棵石榴树共需98元.该校决定 购买m(m>0)棵枣树和50棵石榴树. (1) 求枣树和石榴树的单价. (2) 实际购买时,商家给出了如下优惠方案: 方案一:均按原价的9折销售. 方案二:若购买的枣树不超过50棵,则按原 价销售;若购买的枣树超过50棵,则超出的 部分按原价的8折销售,石榴树始终按原价 销售. ① 设方案一的购买费用为W1元,方案二的 购买费用为W2 元.分别求出两种方案的购 买费用W1、W2关于m 的函数表达式. ② 该校选择哪种方案购买更合算? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优