河南省金科·新未来2024-2025学年高二下学期期末联考数学试题

2024~2025年高二下学期期末联考考试 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答；字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知集合M={x∈Z-1<x<4},N={0,2,3,4},则M∩N= A.{0,2} B.{2,3} C.{0,2,3} D.{0,3,4》 2.设偶函数f(x)的定义域为R,在区间[0,4]上单调递减，则 A.f(π)<f(-2)<f(-3) B.f(π)<f(-3)<f(-2) C.f(-2)<f(-3)<f(π) D.f(-3)<f(-2)<f(π) 3.已知向量a=(n,1),b=(-2,n-3),则“n=2”是“a∥b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数f(x)=sin(3x-平)的图象的一条对称轴是 A.=57 12 B. Cx=-是 D.x=- 6 5.已知双曲线C:若-芳-1a>0,6>0)的一条海近线方程为7x一E)=0,则C的离心率为 A.6 2 B.3② 2 C.2 D.√5 6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a=4,B=买，若这个三角形有两组解，则b 的取值范围为 A.b>4 B.0<b<2√3 C.0<b<22 D.2√2<b<4 【高二数学第1页（共4页）】 7.杨村四中组织“我爱共青团”知识测试，随机调查高一年级100名学生，将他们的测试成绩（满 分100分)按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成五组得到如图所示的频率 分布直方图，则下列说法正确的是 频率 组距 0.030 0.025 0.020 0.015 5060708090100成绩/分 A.图中x=0.001 B.估计样本数据的第80百分位数为93分 C.测试成绩不少于80分的人数为45人 D.若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这100名学生成绩的平均数为79.5分 8.已知三棱锥ABCD的棱长均为2，点P在△BCD内，且AP-2,则点P的轨迹的长度为 A. B. C D.π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知复数=行则 A=号-9 Bz的实部与虚部之和为号 Cz的共轭复数为号+ D.之在复平面内对应的点位于第二象限 10.下列命题中，正确的是 A.方差、标准差、极差均能度量一组数据的离散程度 B.在平均数为无的一组样本数据中增加1个比无大的数据，则新样本平均数一定比元大 C.若随机变量X~N(1,4),则P(X<1)=P(X>3) D.一组样本点的经验回归方程为y=2x十a,若其中两个样本点(p,1)和(2，g)的残差相等， 则2p十q=5 11.设抛物线E:x2=2y(p>0)的焦点为F,直线y=kx十1(>0)与抛物线相交于A(x1,y1), B()两点，与x轴交于点C,AF=号，BP=4,则下列说法正确的是 A.y1y2=2 B.p=4 C.IABI-17 D.△AFB与△AFC的面积之比为3：1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知tang=-2,tang=子，则tana+= 【高二数学第2页（共4页）】 13.若从0,1,2,3,4,5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数.则这样的三位 数一共有 个（用数字作答）. 14定义在R上的函数fx)的导函数为fx),且fx)=T①e+f9r-,若存在实数x e 使不等式f(x)≤m2-am一3对于a∈[0,3]恒成立，则实数m的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 设f)=lnx,g(x)=1-2(x>0,a∈R). (1)当a=一2时，求函数y=f(x)+g(x)的单调区间； (2)若曲线y=f(x)在点P(1,0)处的切线与曲线y=g(x)也相切，求a的值. 16.（本小题满分15分) 记Sm为数列{an}的前n项和，且满足a1=1,√Sn+1-√Sn=1. (1)求Sm; (2)求an; (3)令6，=记数列.)的前n项和为T,证明：工，<分 anan+1 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱锥P-ABC和Q-ABC中，△PCB和△ABC均是以BC为斜边的等腰直角三 角形，平面PCB⊥平面ABC,QA⊥平面ABC,BC=2QA. (1)证明：PA∥平面QBC; (2)求二面角P-AB-Q的正弦值. 【高二数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 甲、乙两人进行游戏比赛，游戏共五局，先获得三局胜利的人赢得比赛；比赛分为进攻方与防 守方，一方进攻则另一方防守，进攻成功或防守成功的人均看作获得本局游戏胜利，一方进 攻成功则继续进攻，一方进攻失败则更换进攻方；甲在进攻方胜率为，乙在进攻方胜率为 b,甲优先进攻 (1)求第二局乙获胜的概率； (2)若a=号，b=了，求甲在四局以内赢得比赛的概率， (3)若a十b=1,记游戏局数为X,求E(X)的最大值. 19.（本小题满分17分) 已知椭圆C若+芳=1(a>6>0)的离心率为=号，点(1,2)在椭圆C上，过点P(2,0) 的直线与椭圆C交于A(x1,y),B(x2,y2)两点（其中x1>x2,y1≠y2),点B关于x轴的对 称点为D点，直线AD与x轴交于点E,直线BD与x轴交于点F. (1)求椭圆C的方程； (2)求点E的坐标； 3证明：A-4EF. 【高二数学第4页（共4页）】 2024~2025年高二下学期期末联考考试·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B A C B D 题号 7 8 9 10 11 答案 0 C BC ABD BCD 1.C【解析】由题设M={0,1,2,3},且N={0,2,3,4},则M∩N={0,2,3}.故选：C 2.B【解析】因为偶函数f(x),则f(一2)=f(2),f(-3)=f(3),又因为其在区间[0,4]上单调递减，则f(2) >f(3)>f(x),即f(π)<f(-3)<f(-2).故选：B. 3.A【解析】向量a=(n,1),b=(-2,n-3),若a∥b,则n(n-3)=-2,即n2-3n+2=0,解得n=1或n=2, 故“n=2”是“a∥b”的充分不必要条件.故选：A. 4.C【解析】令3x-至-kx十受(k∈刀，得x=g+子（∈，显然当k=-1时，x=一，所以C正确：其 余选项均不存在整数k满足的条件.故选：C. 5B【折】由题设符√侣得。--√-√+（合-V+-版选 6.D【解析】若这个三角形有两组解，则asin B<bKa,因为a=4,B=不，所以2√2<b<4.故选：D, 7.D【解析】对于A,由(x十0.015+0.020+0.025+0.030)×10=1，解得x=0.010,故A错误； 对于B,设第80百分位数为a,由0.1+0.15+0.2+0.3=0.75<0.8,0.1+0.15十0.2+0.3+0.25>0.8，所 以a∈(90,100)，则0.75+(a-90)×0.025=0.8,解得a=92,故B错误； 对于C,测试成绩不少于80分的频率为0.3十0.25=0.55，故测试成绩不少于80分的人数为0.55×100=55 人，故C错误； 对于D,这100名学生成绩的平均数为55×0.1十65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5，故D正 确，故选：D 8.C【解析】如图1，取CD的中点E,连接BE,过点A作AH⊥BE,垂足为H,由AB=2,知BE=√3，BH= ,HB=9所以AH=√-(2T-25,又AP=29所以HP=√(2）-(2T=号> HE,所以点P在以H为圆心，号为半径的圆上. 如图2，由BH-2,H=号，∠FBH=吾，得(2)‘+BF-2BFx2×号-（号）°，解得BF=号 (结合图形BF=专舍去)，所以四边形BGHF是菱形，∠GHF=号，所以点P的轨迹的长度为故选：C 图1 图2 【高二数学参考答案第1页（共5页）】 9.0【解析】由题意得，-异-告+D侣-》-号-号，放A错误的实部是日虚部是-日，则实部与 虚部之和为弓-号-日，故B正确：的共轭复数为：号+号，故C正确；：在复平面内对应的点为（行， 761 一），位于第四象限，故D结误故选：C 10.ABD【解析】对于A,方差、标准差、极差均能度量一组数据的离散程度，A正确； 对于B,令样本容量为n,增加的一个数据为4，则新样本平均数”，十>”，十三-元，B正确； n+1n+1 对于C,X~N(1,4),P(X<1)=P(X>1)>P(X>3),C错误； 对于D,依题意，1-(2p十a)=q-(4十a),解得2p十q=5,D正确.故选：ABD. 1.BCD【解折】由题得AF=%十号-号，BF=%十号=4且为>n>0,则A在第二象限，B在第一象 限，且<8， T=2py,>-2p地x-2p=0>十a=2p,a=-2p,则n十g=k(x十a)+2=2p0+2, 联立 y=kx+1 n=·=1,所以（号一号）(4-号）=1户=4或p=9C含去)，所以题物线E=8.F(2.0 =2%=2,所以可得A(-2,号），B4,2.=所以1AB1=√4+2+(2-含)=是，直线y =子x+1与x轴交于点C(-4,0),所以1AC1=√-2+4+（合-0）'=，所以Sam·Se= (合AFIIABIsin∠FAC:(号1 AFIACIsir∠FAB)=1AB1:1AC=3:Y=3:1.所以A错 2 2 误，BCD正确.故选：BCD. 12.一号【解析】tan(a十) 2 1-(-)×4 9 13.52【解析】从0,1,2,3,4,5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，有两种情况：第一 种，0在个位，有A号=20个；第二种，0不在个位，此时排个位有A种方法，排百位有A}种方法，排十位有 A}种方法，共有A2A1A1=32个，所以符合题意的三位偶数共有20+32=52个. 14.(-0,-2]U[4,+o)【解析】因为f()=fDe+f0x-x,fx)=fDe+f0x-1,令x=1, e 2 e f1)=f(1)+f0)-1,解得：f(0)=1,所以f(x)=f四e+x-1,令z=0,f(0)=f①-1，所以 f1)=e,所以f()=e+号2-x,f(x)=e+x-1在R上单调递增，又f(0)=0,所以当x<0时， f(x)<0,当x>0时，f(x)>0,所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，十o)上单调递增，所以f(x)m =f(0)=1,存在实数x使不等式f(x)≤m2-am-3对于a∈[0,3]恒成立，所以1=f(x)mn≤m2-am一3 【高二数学参考答案第2页（共5页）】 1m2-4≥0 对于a∈[0,3]恒成立，所以m2-am-4≥0对于a∈[0,3]恒成立，即 解得：m≥4或m≤ m2-3m-4≥0 一2，则实数m的取值范围为：（一∞，一2]U[4,十∞）. 15.解：(1)当a=-2时，y=f(x)十g()=1nx十2+1，定义域为(0，十o∞)，… (1分) 所以y-是-号，令y>09>2,<0>0<2, (4分) 所以函数y=f(x)十g(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，十∞).…(6分) (2)由f(x）=三，f(1)=1,则曲线y=f(x)在点P(1,0)处的切线1的方程为y=x-1,…（(8分) 设直线1与曲线y=g(x)相切于点()，且g()=号，结合切点在g(x)=1-名上，…(10分) x 所以1-号=-1，且号=1→a=1. (13分) 16.(1)解：由√Sn+1一√Sn=1可知数列{√Sn}是首项为1，公差为1的等差数列，…(3分) 故√S%=1十n-1=n,即Sn=n2.………… (5分) (2)解：当n≥2时，an=Sw一Sn-1=2n-1,… (8分) 又因为a1=1满足上式，故an=2n一1；… (10分) 1 11 3)证明：6.=a.a1=(2m-1)(2m+1=22m-12%十月 (12分) 故工.=(1-号+日+…+2十23十)=(1-2n中），故工<分得证 1 (15分) 17.(1)证明：取BC的中点为D,连接PD、QD, 则由△PCB是以BC为斜边的等腰直角三角形可知PD⊥BC,· (1分) 平面PCB⊥平面ABC,平面PCB∩平面ABC=BC,PDC平面PCB, 所以有PD⊥平面ABC,…… (2分) 由已知QA⊥平面ABC,可得PD∥QA,… (3分) 由△PCB是以BC为斜边的等腰直角三角形亦可知BC=2PD, 又BC=2QA,所以PD=QA,… (4分) 从而可得四边形PAQD为平行四边形，因此有PA∥DQ, (5分) 又DQC平面QBC,PA中平面QBC,所以PA∥平面QBC,得证. (6分) (2)解：连接AD,由△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形可知AD⊥BC, 由(1)知PD⊥平面ABC,知DC,DA,DP两两垂直，以{DC,DA,D泸}为正交基底，建立如图所示的空间直 角坐标系D-xy之，… …………（7分) 【高二数学参考答案第3页（共5页）】 设BC=2,则A(0,1,0),B(-1,0,0),P(0,0,1),Q(0,1,-1), (8分) 于是Ai=(-1,-1,0),Ap=(0,-1,1),AQ=(0,0,-1).… (9分) 设平面PAB的一个法向量为m=(x1,y1,之1)，则 a 由 ,令=1，得m=（-1,1,1)；…(11分) 设平面QAB的一个法向量为n=(x2,y2,2),则 由《 ,得厂%=0 n·AB=0 ,令x2=1,得n=(1,一1,0).……(13分) n.AQ= \-2=0 于是om,m心-调滑-1XX-D- 3, (14分) √5X√2 设二面角P-AB-Q的平面角为a,则 na=osm=√-(-9 即二面角P-ABQ的正弦值为 3 (15分) 18.解：(1)设第二局乙获胜的概率为P(A), 则P(A)=a(1-a)十(1-a)b=(1-a)(a十b).… (3分) (2)设比赛三局甲获胜的概率为P(B),比赛四局甲获胜的概率为P(C), 则P(B)=a3,P(C)=(1-a)(1-b)aa+a(1-a)(1-b)a+aa(1-a)(1-b),…(7分) 代人a=号，b=号，得甲在四局以内赢得比赛的概率PCB)+P(C=名+号×号×3=是 8… (9分) (3)若a十b=1,则每局游戏中甲获胜的概率为a,失败的概率为b.…(10分) 由题意，P(X=3)=a3+b3,P(X=4)=Ca3b+Cgab,P(X=5)=Ca3b2+Cab.…(13分) 于是，利用a十b=1, E(X)=3(a3+b)+12(a3b+ab)+30(a3b2+ab3) =3(a2+b-ab)+12ab(a2+b)+30a2b(a+b) =3(1-3ab)+12ab(1-2ab)+30a2b =6ab+3ab十3………(15分) 因为0<a长（士）'=，所以b=}时，B(X)取得最大值号. (17分) 19.(1)解：设椭圆C的焦距为2，由e=台=，有a=Bc,6V3P--亿c、… (1分) 可得椭圆C的方程为影+茶-1，代人点(1,2)的坐标，有2十是=1，可得=1， 【高二数学参考答案第4页（共5页）】 故稀圆C的方程为写+ =1.………(3分) 2 (2)解：设直线AB的方程为my=x一2，点E的坐标为(t,0), 联立方程 后+号= 消去x后整理为(2m2+3)y2+8my+2=0, my=x-2 8m 2 有1+%=一2m十31%=2m+3 (5分) 由A,D,E三点共线，点D的坐标为(x2,一)，有二当= x2-t x1-t' -y2 y1 有m2千2-tmy+2- 整理为2my1y归十(2-)(y十y归)=0.…(7分) 2m2+3)=0, 又由m的任意性，有21-3=0，可得t= 2, 故点E的坐标为（号，0） (10分) (3)证明：由(2)有十业=一4，可得m%=一当十业 4y1 (12分) y1 y2 又由 y2二y1 (14分) 引=+=-+产 有铝 =4EF列，得证. (17分) 【高二数学参考答案第5页（共5页）】