第三章 第4节 导数与函数的极值、最值（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第三章 一元函数的导数及其应用 第4节　导数与函数的极值、最值 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 函数的极值★★★☆☆ 考点2 函数的最大(小)值★★★☆☆ 【知识拓展】三次函数的对称性★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.函数的极值★★★☆☆ (1)函数的极小值 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0.则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0.则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值. 2.函数的最大(小)值★★★☆☆ (1)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件: 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)求y=f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值的步骤: ①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 【名师点拨】 1.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值. 2.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)对于可导函数f(x),若f'(x0)=0,则x0为极值点.(　　) (2)函数的极大值不一定是最大值,最小值也不一定是极小值.(　　) (3)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值.(　　) (4)连续函数f(x)在区间[a,b]上一定存在最值.(　　) 【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 【解析】(1)反【典例】:f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的极值点.同理,有最值的函数不一定有极值,如f(x)=x,x∈[-1,1].(3)反【典例】:f(x)=x2在区间(-1,2)上的最小值为0. 2.(人教B选修三P100T1改编)如图是f(x)的导函数f'(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】由题意知在x=-1处f'(-1)=0,且其两侧导数值符号左负右正. 3.(湘教选修二P49T7改编)已知f(x)=x3-12x+1,x∈,则f(x)的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  【答案】　-10 【解析】f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2), 因为x∈, 所以f'(x)<0, 故f(x)在上单调递减, 所以f(x)的最大值为f=,最小值为f(1)=-10. 4.(人教A选修二P104T9改编)函数f(x)=x(x-c)2有极值,则实数c的取值范围是　　　　　　.  【答案】(-∞,0)∪(0,+∞) 【解析】f'(x)=(x-c)2+2x(x-c) =3x2-4cx+c2. 由题意知f'(x)有变号零点, ∴Δ=16c2-12c2=4c2>0,解得c≠0, 即c∈(-∞,0)∪(0,+∞). 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　利用导数求函数的极值 角度1　根据函数图象判断极值 【典例】1 (多选)如图是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象,下列说法正确的是(　　) A.f(1)为函数f(x)的极大值 B.当x=-1时,f(x)取得极小值 C.f(x)在(-1,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减 D.当x=3时,f(x)取得极小值 【答案】BC 【解析】由图象知,当x∈(-2,-1)时,f'(x)<0, 即f(x)在(-2,-1)上单调递减, 当x∈(-1,2)时,f'(x)>0, 即f(x)在(-1,2)上单调递增, 所以当x=-1时,f(x)取得极小值, 故A错误,B正确; 当x∈(2,4)时,f'(x)<0, 即f(x)在(2,4)上单调递减,故C正确,D错误. 【思维建模】由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点:(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点;(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点. 角度2　求已知函数的极值 【典例】2 已知函数f(x)=ln x+2ax2+2(a+1)x(a≠0),讨论函数f(x)的极值. 【解析】因为f(x)=ln x+2ax2+2(a+1)x, 所以f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=+4ax+2a+2=, 若a<0,则当x∈时,f'(x)>0; 当x∈时,f'(x)<0, 故函数f(x)在上单调递增, 在上单调递减; 故f(x)在x=-处取得唯一的极大值, 且极大值为f=ln--1. 若a>0,则当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0恒成立, 故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值. 综上,当a<0时,f(x)的极大值为ln--1,无极小值;当a>0时,f(x)无极值. 【思维建模】运用导数求函数f(x)极值的一般步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f'(x);(3)解方程f'(x)=0,求出导函数在定义域内的所有根;(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号;(5)求出极值. 角度3　由函数的极值求参数 【典例】3 (2024·新高考Ⅱ卷节选)已知函数f(x)=ex-ax-a3,若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围. 【解析】易知函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-a, 当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在R上单调递增,无极值; 当a>0时,由f'(x)>0,得x>ln a,由f'(x)<0,得x<ln a, 所以函数f(x)在(-∞,ln a)上单调递减, 在(ln a,+∞)上单调递增, 所以f(x)的极小值为f(ln a)=a-aln a-a3. 由题意知a-aln a-a3<0(a>0), 等价于1-ln a-a2<0(a>0). 令g(a)=1-ln a-a2(a>0), 则g'(a)=--2a<0, 所以函数g(a)在(0,+∞)上单调递减, 又g(1)=0,故当0<a<1时,g(a)>0; 当a>1时,g(a)<0. 故实数a的取值范围为(1,+∞). 【思维建模】 1.已知函数极值确定函数解析式中的参数时,要根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解,求解后要检验. 2.判断极值点的个数,转化为导数的根的个数. 【变式训练】1 (1)(2025·咸阳模拟)已知函数f(x)=2cos2+x2,若x=0是f(x)的唯一极小值点,则a的取值范围为(　　) A.[1,+∞) B.(0,1) C.[-1,+∞) D.(-∞,1] 【答案】A 【解析】因为f(x)=2cos2+x2=cos x+1+x2,所以f'(x)=-sin x+ax, 令g(x)=f'(x)=-sin x+ax, 则g'(x)=-cos x+a, 当a≥1时,g'(x)=-cos x+a≥0, 故g(x)单调递增, 又g(0)=0,故当x>0时,g(x)>0; 当x<0时,g(x)<0, 所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, 故x=0是函数f(x)的唯一极小值点, 符合题意; 当a<1时,g'(0)=-1+a<0, 故一定存在m>0,使得g(x)在(0,m)上单调递减, 当x∈(0,m)时,g(x)<g(0)=0,f(x)单调递减, 此时x=0不是函数f(x)的极小值点, 不符合题意. 综上所述,a的取值范围为[1,+∞). (2)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R),讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=-a=(x>0). 当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立, 则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时函数f(x)在定义域上无极值点; 当a>0时,若x∈,则f'(x)>0; 若x∈,则f'(x)<0, 则函数f(x)在上单调递增,在上单调递减, 故函数f(x)在x=处有极大值. 综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值点, 当a>0时,函数y=f(x)有一个极大值点,且为x=. 考点二　利用导数求函数的最值 角度1　求已知函数的最值 【典例】4 (2022·全国乙卷)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为(　　) A.-, B.-, C.-,+2 D.-,+2 【答案】D 【解析】f(x)=cos x+(x+1)sin x+1,x∈[0,2π],则f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)·cos x=(x+1)cos x,x∈[0,2π]. 令f'(x)=0,解得x=-1(舍去),x=或x=. 因为f=cos +sin +1=2+, f=cos +sin +1=-, 又f(0)=cos 0+(0+1)sin 0+1=2, f(2π)=cos 2π+(2π+1)sin 2π+1=2, 所以f(x)max=f=2+, f(x)min=f=-.故选D. 角度2　由函数的最值求参数 【典例】5 (2025·福建名校联考)已知函数f(x)=x3-3x2+3在区间(a,a+6)上存在最小值,则实数a的取值范围为(　　) A.[-1,2) B. C. D.[-1,1) 【答案】A 【解析】由题意得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2). 当f'(x)>0时,得x<0或x>2, 当f'(x)<0时,得0<x<2, 故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞),单调递减区间为(0,2), 即x=2时,函数f(x)取得极小值f(2)=-1,画出f(x)的图象如图. 当x3-3x2+3=-1时,(x+1)(x-2)2=0, 解得x=-1或x=2, 故要使函数f(x)=x3-3x2+3在区间(a,a+6)上存在最小值, 需有解得-1≤a<2, 即实数a的取值范围为[-1,2). 【思维建模】 1.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值. 2.若所给函数f(x)含参数,则需通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值. 【变式训练】2 (1)(2025·南京、盐城模拟)用min{x,y}表示x,y中较小的数.已知函数f(x)=,则min{f(x),f(x+ln 2)}的最大值为(　　) A. B. C. D.ln 2 【答案】C 【解析】∵f(x)=,∴f'(x)=, 易知f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 由题意,令f(x)=f(x+ln 2),即=,解得x=ln 2. 作出y=f(x)与y=f(x+ln 2)的大致图象如图所示. 则min{f(x),f(x+ln 2)}的最大值为两函数图象交点处函数值,为. (2)(2025·河北名校联考)已知函数f(x)=ax-ln x的最小值为0,则a=　　　　.  【答案】 【解析】由f(x)=ax-ln x, 得f'(x)=a-=,x>0. 若a≤0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减,无最小值,则a>0, 则f(x)在上单调递减, 在上单调递增, 所以f(x)min=f=1+ln a=0,解得a=. 【知识拓展】三次函数的对称性★★★☆☆ 结论1:三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象关于点中心对称. 结论2:已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)中心对称点的横坐标为x0,两个极值点分别为x1,x2,则=f'(x0)=-(x1-x2)2. 结论3:若y=f(x)图象关于点(m,n)对称,则y=f'(x)图象关于轴x=m对称,点对称函数的导数是轴对称函数,轴对称函数的导数是点对称函数,奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 【典例】已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心,若函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且M(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的对称中心,则必有g'(x0)=0(其中函数g(x)=f'(x)).若实数m,n满足则m+n=(　　) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 【答案】A 【解析】令f(x)=x3+6x2+13x, 则f'(x)=3x2+12x+13, 令h(x)=3x2+12x+13,h'(x)=6x+12=0,解得x=-2, 又f(-2)=(-2)3+6×(-2)2+13×(-2)=-10, 所以函数f(x)的图象关于点(-2,-10)成中心对称. 因为 所以f(m)+f(n)=-20, 又f'(x)=3x2+12x+13=3(x+2)2+1>0, 所以函数f(x)=x3+6x2+13x在R上单调递增, 所以m+n=2×(-2)=-4. 【变式训练】 (多选)(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则(　　) A.当a>1时,f(x)有三个零点 B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心 【答案】AD 【解析】由题可知,f'(x)=6x(x-a). 对于A,当a>1时,由f'(x)<0得0<x<a, 由f'(x)>0得x<0或x>a, 则f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增, 且当x→-∞时,f(x)→-∞,f(0)=1,f(a)=-a3+1<0, 当x→+∞时,f(x)→+∞,故f(x)有三个零点,A正确; 对于B,当a<0时,由f'(x)<0得a<x<0, 由f'(x)>0得x>0或x<a, 则f(x)在(-∞,a)上单调递增,在(a,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故x=0是f(x)的极小值点,B错误; 对于C,假设存在这样的a,b,使得x=b为f(x)的对称轴, 即存在这样的a,b使f(x)=f(2b-x), 即2x3-3ax2+1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2+1, 根据二项式定理,等式右边(2b-x)3展开式含有x3的项为2(2b)0(-x)3=-2x3, 于是等式左右两边x3的系数都不相等,原式不可能相等, 故曲线y=f(x)必不存在对称轴,C错误; 对于D,由题意知=1,即a=2, 故存在a=2,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心,D正确,故选AD. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) 【答案】D 【解析】由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0; 当-2<x<1时,f'(x)<0; 当1<x<2时,f'(x)<0; 当x>2时,f'(x)>0. 由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值, 在x=2处取得极小值. 2.函数f(x)=x3+x2-3x-1的极小值点是(　　) A.1 B. C.-3 D.(-3,8) 【答案】A 【解析】f'(x)=x2+2x-3,由x2+2x-3=0,得x=-3或x=1, 所以函数f(x)=x3+x2-3x-1在(-∞,-3)上单调递增,在(-3,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 故f(x)在x=1处有极小值,极小值点为1. 3.函数f(x)=xcos x-sin x在区间[-π,0]上的最大值为(　　) A.1 B.π C. D. 【答案】B 【解析】由题意得f'(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x, 当x∈[-π,0]时,sin x≤0,f'(x)≤0, 所以f(x)在[-π,0]上单调递减, 故函数f(x)在区间[-π,0]上的最大值为f(-π)=π. 4.已知函数f(x)=x3+(a-1)x2+x+1没有极值,则实数a的取值范围是(　　) A.[0,1] 　　　　B.(-∞,0]∪[1,+∞) C.[0,2] 　　　　D.(-∞,0]∪[2,+∞) 【答案】C 【解析】由f(x)=x3+(a-1)x2+x+1, 得f'(x)=x2+2(a-1)x+1. 根据题意得[2(a-1)]2-4≤0, 解得0≤a≤2. 5.(2025·重庆诊断)若f(x)=ex-2msin xcos x,x∈存在极值,则实数m的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可知,f(x)=ex-msin 2x, f'(x)=ex-2mcos 2x=0在上有解, 即2m=. 令g(x)=, 则g'(x)=>0, 则g(x)在上单调递增, 又当x→0时,g(0)→1, 当x→时,g→,所以1<2m<, 所以<m<. 6.(2025·河南五市联考)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=-f '(3)ln x-f(1)x2-4x,则f(x)的极值点为(　　) A.或 B. C.-或 D. 【答案】D 【解析】由f(x)=-f'(3)ln x-f(1)x2-4x, 可得f'(x)=-f'(3)·-2f(1)x-4, 将x=3代入整理得 4f'(3)+21f(1)+14=0,① 将x=1代入f(x)=-f'(3)ln x-f(1)x2-4x可得f(1)=-f(1)-4, 即f(1)=-2, 将其代入①,解得f'(3)=7, 故得f(x)=-3ln x+2x2-4x. 则f'(x)=-+4x-4, 令f'(x)=0可得x=-或x=, 因为x>0,所以当0<x<,f'(x)<0; 当x>时,f'(x)>0, 则函数f(x)在上单调递减,在上单调递增, 即是函数f(x)的极小值点, 函数f(x)没有极大值点. 7.(2025·佛山调研)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则下列结论一定正确的是(　　) A.a<0 B.b<0 C.ab>-1 D.a+b>0 【答案】B 【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=--=, 因为函数f(x)既有极大值也有极小值, 所以函数f'(x)在(0,+∞)上有两个零点, 因为a≠0,所以方程ax2-4x-2b=0有两个不等的正实数根,设为x1,x2, 所以 即ab>-2,a>0,b<0. 结合选项知选B. 8.(2025·榆林质检)已知函数f(x)=若存在实数x1,x2,x3且x1<x2<x3,使得f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1f(x1)+x2f(x2)+x3f(x3)的最大值为(　　) A.3e3-12 B.3e3-20 C.5e5-12 D.5e5-20 【答案】D 【解析】作出f(x)的大致图象如图所示. 由题意知,存在实数x1,x2,x3且x1<x2<x3,使得f(x1)=f(x2)=f(x3), 因为f(x)=x2+4x+5的图象关于直线x=-2对称. 所以x1+x2=-4, 所以x1f(x1)+x2f(x2)+x3f(x3)=(x1+x2+x3)f(x3)=(x3-4)f(x3)=(x3-4)ln x3, 由图可知,1<f(x3)≤5,所以e<x3≤e5. 设g(x)=(x-4)ln x,x∈(e,e5], 则g'(x)=ln x+1-, 易知g'(x)在(e,e5]上单调递增, 又g'(e)=2->0, 所以当x∈(e,e5]时,g'(x)>0, 所以g(x)在(e,e5]上单调递增, 所以g(x)max=g(e5)=(e5-4)ln e5=5e5-20. 二、多选题 9.(2025·运城调研)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则下面结论正确的为(　　) A.a=-1 B.f(x)的单调递增区间为(-2,1) C.f(x)的极小值为1 D.f(x)的极大值为5e-3 【答案】AD 【解析】由题可得f'(x)=ex-1[x2+(a+2)x+a-1],x∈R, 因为x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点, 所以f'(-2)=0,则4-2(a+2)+a-1=0,解得a=-1, 故f(x)=(x2-x-1)ex-1, f'(x)=ex-1(x2+x-2)=(x-1)(x+2)ex-1, 当x<-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当-2<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 故f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(1,+∞), 单调递减区间为(-2,1),故A正确,B错误; 由上可知,f(x)的极大值为f(-2)=5e-3,极小值为f(1)=-1,故C错误,D正确. 10.(2025·武汉调研)已知函数f(x)=-x3+3x2-2,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增 B.x=2是函数f(x)的极大值点 C.函数f(x)有3个零点 D.若函数f(x)在区间(3a-1,a+3)上存在最小值,则实数a的取值范围为(-3,0] 【答案】BCD 【解析】对于A,f'(x)=-3x2+6x=-3x(x-2), 当x<0或x>2时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 当0<x<2时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以函数f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,故A错误; 对于B,由A知,x=2是函数f(x)的极大值点,故B正确; 对于C,由A知,x=0是函数f(x)的极小值点,且f(2)=-23+3×22-2=2>0, f(0)=-03+3×02-2=-2<0, 所以f(x)在x∈(0,2)上有1个零点, 又f(-1)=-(-1)3+3×(-1)2-2=2>0, f(3)=-33+3×32-2=-2<0, 所以f(x)在x∈(-∞,0),x∈(2,+∞)上各有1个零点, 所以函数f(x)有3个零点,故C正确; 对于D,要使函数f(x)在区间(3a-1,a+3)上存在最小值, 则满足 即 解得-3<a≤0,故D正确. 11.(2025·济南联考)已知函数f(x)=ex(sin x+cos x)在区间(-2π,0)内有两个极值点x1,x2,且x1<x2,则(　　) A.|x1+x2|=π B.f(x)在区间(x1,x2)上单调递减 C.f(x1)+f(x2)>0 D.|f(x1)-f(x2)|<1 【答案】BD 【解析】对于A,由题意知函数f(x)=ex(sin x+cos x)在区间(-2π,0)内有两个极值点x1,x2, 则f'(x)=2excos x=0有两个实数根x1,x2, 令cos x=0,x∈(-2π,0), 故x1=-,x2=-, 当-2π<x<-时,f'(x)>0, 当-<x<-时,f'(x)<0, 当-<x<0时,f'(x)>0, 即x1=-为f(x)在(-2π,0)内的极大值点,x2=-为f(x)在(-2π,0)内的极小值点, 所以|x1+x2|=2π,故A错误; 对于B,当x∈时,f'(x)<0, 所以f(x)在区间(x1,x2)上单调递减,故B正确; 对于C,f(x1)==,f(x2)==-, 又y=ex是R上的增函数,故<, 所以f(x1)+f(x2)=-<0,故C错误; 对于D,|f(x1)-f(x2)|=+<+=, 因为>1,所以>e,所以<<1, 故|f(x1)-f(x2)|<1,故D正确. 三、填空题 12.已知函数f(x)=x(ln x-ax)在(0,+∞)上有两个极值,则实数a的取值范围为　　　　.  【答案】 【解析】f'(x)=ln x+1-2ax, 由题意知ln x+1-2ax=0在(0,+∞)上有两个不相等的实根,则2a=, 设g(x)=,则g'(x)=-. 当0<x<1时,g'(x)>0,g(x)单调递增; 当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减, 所以g(x)的极大值为g(1)=1, 又当x>1时,g(x)>0, 当x→+∞时,g(x)→0, 当x→0时,g(x)→-∞, 所以0<2a<1,即0<a<. 13.甲、乙两地相距240 km,汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成,固定成本为160元,可变成本为元.为使全程运输成本最小,汽车应以　　　　 km/h的速度行驶.  【答案】80 【解析】设全程运输成本为y元,由题意,得 y==240,v>0, y'=240. 令y'=0,得v=80. 当v>80时,y'>0;当0<v<80时,y'<0. 所以函数y=在(0,80)上单调递减,在(80,+∞)上单调递增, 所以当v=80时,全程运输成本最小. 14.(2024·广州模拟)设a,b为实数,函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则f(-1)=　　　　.  【答案】30 【解析】因为f(x)=x3+ax2+bx+a2, 所以f'(x)=3x2+2ax+b, 因为函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10, 所以 解得或 当a=-3,b=3时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,且f'(x)不恒为0, 此时,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值,不符合题意; 当a=4,b=-11时,f(x)=x3+4x2-11x+16, f'(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11), 由f'(x)=0可得x=1或x=-, x,f'(x),f(x)的关系如表所示. x - 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数f(x)在x=1处取得极小值, 且极小值f(1)=1+4-11+16=10,符合题意, 所以f(-1)=-1+4+11+16=30. 四、解答题 15.(2025·江西名校联考)已知函数f(x)=ex(2x2+ax-1),其中a∈R.若f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为2x+by+1=0.求: (1)函数f(x)的解析式; (2)函数f(x)在区间[-3,1]上的最值. 【解析】(1)依题意,f(0)=-1,切点(0,-1)在切线2x+by+1=0上,则b=1, f'(x)=ex(2x2+ax-1)+ex(4x+a) =ex[2x2+(a+4)x+a-1], 而f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线斜率为-2,则f'(0)=a-1=-2,解得a=-1, 所以f(x)=ex(2x2-x-1). (2)由(1)知, f'(x)=ex(2x2+3x-2)=ex(x+2)(2x-1), 由f'(x)=0得x=-2或x=, 当-3<x<-2或<x<1时,f'(x)>0, 当-2<x<时,f'(x)<0, 所以f(x)在[-3,-2],上单调递增,在上单调递减, 又f(-3)=,f(-2)=,f=-, f(1)=0, 所以f(x)在[-3,1]上的最大值为,最小值为-. 16.已知函数f(x)=ln x-ax,x∈(0,e]. (1)若x=1为f(x)的极值点,求f(x)的单调区间和最大值; (2)是否存在实数a,使得f(x)的最大值是-3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 【解析】(1)∵f(x)=ln x-ax,x∈(0,e], ∴f'(x)=, 由f'(1)=0,得a=1,∴f'(x)=, ∴当x∈(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,e]时,f'(x)<0, ∴f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e], ∴f(x)的极大值为f(1)=-1, 也即f(x)的最大值为f(1)=-1. (2)∵f(x)=ln x-ax,∴f'(x)=, ①当a≤0时,f(x)在(0,e]上单调递增, ∴f(x)的最大值是f(e)=1-ae=-3, 解得a=>0,舍去; ②当a>0时,由f'(x)==0,得x=, 当0<<e,即a>时, ∴x∈时,f'(x)>0; x∈时,f'(x)<0, ∴f(x)在上单调递增,在上单调递减, 又f(x)在(0,e]上的最大值为-3, ∴f(x)max=f=-1-ln a=-3, ∴a=e2,符合题意; 当e≤,即0<a≤时,f(x)在(0,e]上单调递增,∴f(x)max=f(e)=1-ae=-3, 解得a=>,舍去. 综上,存在a符合题意,此时a=e2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一元函数的导数及其应用 第4节　导数与函数的极值、最值 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 函数的极值★★★☆☆ 考点2 函数的最大(小)值★★★☆☆ 【知识拓展】三次函数的对称性★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.函数的极值★★★☆☆ (1)函数的极小值 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0.则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0.则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值. 2.函数的最大(小)值★★★☆☆ (1)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件: 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)求y=f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值的步骤: ①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 【名师点拨】 1.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值. 2.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)对于可导函数f(x),若f'(x0)=0,则x0为极值点.(　　) (2)函数的极大值不一定是最大值,最小值也不一定是极小值.(　　) (3)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值.(　　) (4)连续函数f(x)在区间[a,b]上一定存在最值.(　　) 2.(人教B选修三P100T1改编)如图是f(x)的导函数f'(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(湘教选修二P49T7改编)已知f(x)=x3-12x+1,x∈,则f(x)的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  4.(人教A选修二P104T9改编)函数f(x)=x(x-c)2有极值,则实数c的取值范围是　　　　　　.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　利用导数求函数的极值 角度1　根据函数图象判断极值 【典例】1 (多选)如图是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象,下列说法正确的是(　　) A.f(1)为函数f(x)的极大值 B.当x=-1时,f(x)取得极小值 C.f(x)在(-1,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减 D.当x=3时,f(x)取得极小值 角度2　求已知函数的极值 【典例】2 已知函数f(x)=ln x+2ax2+2(a+1)x(a≠0),讨论函数f(x)的极值. 角度3　由函数的极值求参数 【典例】3 (2024·新高考Ⅱ卷节选)已知函数f(x)=ex-ax-a3,若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围. 【变式训练】1 (1)(2025·咸阳模拟)已知函数f(x)=2cos2+x2,若x=0是f(x)的唯一极小值点,则a的取值范围为(　　) A.[1,+∞) B.(0,1) C.[-1,+∞) D.(-∞,1] (2)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R),讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 考点二　利用导数求函数的最值 角度1　求已知函数的最值 【典例】4 (2022·全国乙卷)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为(　　) A.-, B.-, C.-,+2 D.-,+2 角度2　由函数的最值求参数 【典例】5 (2025·福建名校联考)已知函数f(x)=x3-3x2+3在区间(a,a+6)上存在最小值,则实数a的取值范围为(　　) A.[-1,2) B. C. D.[-1,1) 【变式训练】2 (1)(2025·南京、盐城模拟)用min{x,y}表示x,y中较小的数.已知函数f(x)=,则min{f(x),f(x+ln 2)}的最大值为(　　) A. B. C. D.ln 2 (2)(2025·河北名校联考)已知函数f(x)=ax-ln x的最小值为0,则a=　　　　.  【知识拓展】三次函数的对称性★★★☆☆ 结论1:三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象关于点中心对称. 结论2:已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)中心对称点的横坐标为x0,两个极值点分别为x1,x2,则=f'(x0)=-(x1-x2)2. 结论3:若y=f(x)图象关于点(m,n)对称,则y=f'(x)图象关于轴x=m对称,点对称函数的导数是轴对称函数,轴对称函数的导数是点对称函数,奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 【典例】已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心,若函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且M(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的对称中心,则必有g'(x0)=0(其中函数g(x)=f'(x)).若实数m,n满足则m+n=(　　) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 【变式训练】 (多选)(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则(　　) A.当a>1时,f(x)有三个零点 B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) 2.函数f(x)=x3+x2-3x-1的极小值点是(　　) A.1 B. C.-3 D.(-3,8) 3.函数f(x)=xcos x-sin x在区间[-π,0]上的最大值为(　　) A.1 B.π C. D. 4.已知函数f(x)=x3+(a-1)x2+x+1没有极值,则实数a的取值范围是(　　) A.[0,1] 　　　　B.(-∞,0]∪[1,+∞) C.[0,2] 　　　　D.(-∞,0]∪[2,+∞) 5.(2025·重庆诊断)若f(x)=ex-2msin xcos x,x∈存在极值,则实数m的取值范围为(　　) A. B. C. D. 6.(2025·河南五市联考)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=-f '(3)ln x-f(1)x2-4x,则f(x)的极值点为(　　) A.或 B. C.-或 D. 7.(2025·佛山调研)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则下列结论一定正确的是(　　) A.a<0 B.b<0 C.ab>-1 D.a+b>0 8.(2025·榆林质检)已知函数f(x)=若存在实数x1,x2,x3且x1<x2<x3,使得f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1f(x1)+x2f(x2)+x3f(x3)的最大值为(　　) A.3e3-12 B.3e3-20 C.5e5-12 D.5e5-20 二、多选题 9.(2025·运城调研)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则下面结论正确的为(　　) A.a=-1 B.f(x)的单调递增区间为(-2,1) C.f(x)的极小值为1 D.f(x)的极大值为5e-3 10.(2025·武汉调研)已知函数f(x)=-x3+3x2-2,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增 B.x=2是函数f(x)的极大值点 C.函数f(x)有3个零点 D.若函数f(x)在区间(3a-1,a+3)上存在最小值,则实数a的取值范围为(-3,0] 11.(2025·济南联考)已知函数f(x)=ex(sin x+cos x)在区间(-2π,0)内有两个极值点x1,x2,且x1<x2,则(　　) A.|x1+x2|=π B.f(x)在区间(x1,x2)上单调递减 C.f(x1)+f(x2)>0 D.|f(x1)-f(x2)|<1 三、填空题 12.已知函数f(x)=x(ln x-ax)在(0,+∞)上有两个极值,则实数a的取值范围为　　　　.  13.甲、乙两地相距240 km,汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成,固定成本为160元,可变成本为元.为使全程运输成本最小,汽车应以　　　　 km/h的速度行驶.  14.(2024·广州模拟)设a,b为实数,函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则f(-1)=　　　　.  四、解答题 15.(2025·江西名校联考)已知函数f(x)=ex(2x2+ax-1),其中a∈R.若f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为2x+by+1=0.求: (1)函数f(x)的解析式; (2)函数f(x)在区间[-3,1]上的最值. 16.已知函数f(x)=ln x-ax,x∈(0,e]. (1)若x=1为f(x)的极值点,求f(x)的单调区间和最大值; (2)是否存在实数a,使得f(x)的最大值是-3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$