第三章 第2节 导数与函数的单调性（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第三章 一元函数的导数及其应用 第2节　导数与函数的单调性 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 函数的单调性与导数的关系★★★☆☆ 考点2 利用导数判断函数单调性的步骤★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.函数的单调性与导数的关系★★★☆☆ 条件 恒有 结论 函数y=f(x)在区间(a,b)上可导 f'(x)>0 f(x)在(a,b)上单调递增 f'(x)<0 f(x)在(a,b)上单调递减 f'(x)=0 f(x)在(a,b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤★★★☆☆ 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导函数f'(x)的零点; 第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 【名师点拨】 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立. 2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f'(x)<0有解. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f'(x)>0.(　　) (2)在(a,b)内f'(x)≤0且f'(x)=0的根为有限个,则f(x)在(a,b)内单调递减.(　　) (3)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增.(　　) (4)函数f(x)=x-sin x在R上是增函数.(　　) 2.(人教B选修三P95A组T1改编)已知函数f(x)的定义域为[0,2],且y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递增区间是　　　　,单调递减区间是　　　　.  3.(人教A选修二P101习题T3改编)函数f(x)=x3+2x2-4x的单调递增区间是　　　　.  4.(苏教选修一P213【典例】2改编)若函数f(x)=x3+ax2-ax在R上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　不含参函数的单调性 【典例】1 (1)设函数f(x)在定义域内可导,f(x)的图象如图所示,则其导函数f'(x)的图象可能是(　　) (2)(2025·浙江名校联考)函数f(x)=ln(2x-1)-x2+x的单调递增区间是(　　) A.(0,1) B. C. D. 【变式训练】1 (1)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xex C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x (2)设f(x)=2x2-x3,则f(x)的单调递减区间是(　　) A. 　　　　B. C.(-∞,0) 　　　　D.(-∞,0)和 考点二　含参函数的单调性 【典例】2 已知函数f(x)=2ax3-3(a+1)x2+6x+1(a∈R),试讨论函数f(x)的单调性. 【变式训练】2 (2021·全国乙卷节选)讨论函数f(x)=x3-x2+ax+1的单调性. 考点三　函数单调性的应用 角度1　由单调性求参数 【典例】3 (多选)(2025·茂名模拟)若f(x)=-x3+x2+2x+1是区间(m-1,m+4)上的单调函数,则实数m的值可以是(　　) A.-4 B.-3 C.3 D.4 角度2　比较大小 【典例】4 已知函数f(x)=xsin x,x∈R,则f,f(1),f的大小关系为　　　　.  角度3　解不等式 【典例】5 (2025·西安模拟)已知函数f(x)=(ex+e-x)x2,若满足f(log3m)-e-<0,则实数m的取值范围为(　　) A. B. C.(0,3) D.(3,+∞) 【变式训练】3 (1)(2025·长沙模拟)若函数f(x)=ex-a+1-x在区间(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,-1] B.(-∞,1) C.[0,+∞) D.(-∞,1] (2)已知函数f(x)=ln x-,设a=f,b=f(2),c=f,则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b (3)不等式x<sin+的解集为　　　　.  【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递减区间是(　　) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 2.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(　　) 3.已知函数f(x)=2x-sin x,则下列结论正确的是(　　) A.f(2.7)<f(π)<f(e) B.f(π)<f(e)<f(2.7) C.f(e)<f(2.7)<f(π) D.f(2.7)<f(e)<f(π) 4.已知函数f(x)=x3+2x-sin x,若f(2a2)+f(a-1)≤0,则实数a的取值范围为(　　) A.∪[1,+∞) B. C.(-∞,-1]∪ D. 5.(2025·安徽名校联考)已知函数f(x)=sin x+acos x在上单调递减,则实数a的取值范围为(　　) A.(-1,+∞) B.[1,+∞) C.(1-,+∞) D.[-1,+∞) 6.函数f(x)的图象如图所示,设f(x)的导函数为f'(x),则f(x)·f'(x)>0的解集为(　　) A.(1,6) B.(1,4) C.(-∞,1)∪(6,+∞) D.(1,4)∪(6,+∞) 7.已知函数f(x)=(1-x)ln x+ax在(1,+∞)上不单调,则a的取值范围是(　　) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.[0,+∞) D.[1,+∞) 8.已知f(x)=(a2-1)ex-1-x2,若不等式f(ln x)<f(x-1)在(1,+∞)上恒成立,则a的取值范围为(　　) A.[-1,1] B.[-,] C.[0,1] D.(-∞,-]∪[,+∞) 二、多选题 9.(2025·晋城模拟)若一个函数在区间D上的导数值恒大于0,则该函数在D上纯粹递增,若一个函数在区间D上的导数值恒小于0,则该函数在D上纯粹递减,则(　　) A.函数f(x)=x2-2x在[1,+∞)上纯粹递增 B.函数f(x)=x3-2x在[1,2]上纯粹递增 C.函数f(x)=sin x-2x在[0,1]上纯粹递减 D.函数f(x)=ex-3x在[0,2]上纯粹递减 10.若函数f(x)=x2-9ln x在区间[m-1,m+1]上单调,则实数m的值可以是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 11.已知函数f(x)=ln x,且a=f ,b=f,c=f(),则(　　) A.a>b B.b>a C.c>b D.c>a 三、填空题 12.已知函数f(x)=则f(x)的单调递减区间为　　　　.  13.若函数f(x)=x3+bx2+x恰有三个单调区间,则实数b的取值范围为　　　　.  14.(2025·保定质检)已知x∈,则不等式esin x-cos x-tan x≥0的解集为　　　　.  四、解答题 15.已知函数f(x)=-2x+2ln a(a>0),判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性. 16.已知函数f(x)=ln x-ax2-2x(a≠0). (1)若f(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围; (2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间,求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一元函数的导数及其应用 第2节　导数与函数的单调性 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 函数的单调性与导数的关系★★★☆☆ 考点2 利用导数判断函数单调性的步骤★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.函数的单调性与导数的关系★★★☆☆ 条件 恒有 结论 函数y=f(x)在区间(a,b)上可导 f'(x)>0 f(x)在(a,b)上单调递增 f'(x)<0 f(x)在(a,b)上单调递减 f'(x)=0 f(x)在(a,b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤★★★☆☆ 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导函数f'(x)的零点; 第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 【名师点拨】 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立. 2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f'(x)<0有解. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f'(x)>0.(　　) (2)在(a,b)内f'(x)≤0且f'(x)=0的根为有限个,则f(x)在(a,b)内单调递减.(　　) (3)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增.(　　) (4)函数f(x)=x-sin x在R上是增函数.(　　) 【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 【解析】(1)f(x)在(a,b)内单调递增,则有f'(x)≥0. (3)反【典例】,f(x)=-,虽然f'(x)=>0,但f(x)=-在其定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不具有单调性. 2.(人教B选修三P95A组T1改编)已知函数f(x)的定义域为[0,2],且y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递增区间是　　　　,单调递减区间是　　　　.  【答案】(0,1)　(1,2) 【解析】由图知,当x∈(0,1)时,f'(x)>0, 当x∈(1,2)时,f'(x)<0, 故f(x)的单调递增区间是(0,1), 单调递减区间是(1,2). 3.(人教A选修二P101习题T3改编)函数f(x)=x3+2x2-4x的单调递增区间是　　　　.  【答案】(-∞,-2), 【解析】由f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)>0, 得x<-2或x>, 故f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),. 4.(苏教选修一P213【典例】2改编)若函数f(x)=x3+ax2-ax在R上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】[-3,0] 【解析】f'(x)=3x2+2ax-a≥0在R上恒成立,所以4a2+12a≤0,解得-3≤a≤0. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　不含参函数的单调性 【典例】1 (1)设函数f(x)在定义域内可导,f(x)的图象如图所示,则其导函数f'(x)的图象可能是(　　) 【答案】A 【解析】由f(x)的图象可知,当x∈(-∞,0)时,函数f(x)单调递增, 则f'(x)≥0,故排除C,D; 当x∈(0,+∞)时,函数f(x)先单调递减、再单调递增最后单调递减, 则导函数值f'(x)应先小于0,再大于0,最后小于0,故排除B,选A. (2)(2025·浙江名校联考)函数f(x)=ln(2x-1)-x2+x的单调递增区间是(　　) A.(0,1) B. C. D. 【答案】D 【解析】函数f(x)=ln(2x-1)-x2+x的定义域为, 且f'(x)=-2x+1= =, 令f'(x)>0,解得<x<, 所以f(x)的单调递增区间为. 【思维建模】确定不含参的函数的单调性,按照判断函数单调性的步骤即可,但应注意一是不能漏掉求函数的定义域,二是函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开. 【变式训练】1 (1)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xex C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x 【答案】B 【解析】对于A,f'(x)=2cos 2x,f'=-1<0,不符合题意; 对于B,f'(x)=(x+1)ex>0,符合题意; 对于C,f'(x)=3x2-1,f'=-<0,不符合题意; 对于D,f'(x)=-1+,f'(2)=-<0,不符合题意. (2)设f(x)=2x2-x3,则f(x)的单调递减区间是(　　) A. 　　　　B. C.(-∞,0) 　　　　D.(-∞,0)和 【答案】D 【解析】由f(x)=2x2-x3,得f'(x)=4x-3x2=x(4-3x), 令f'(x)=0,得x=0或x=, f'(x),f(x)的变化情况如表所示. x (-∞,0) 0 f'(x) - 0 + 0 - f(x) 单调递减 单调递增 单调递减 所以f(x)的单调递减区间是(-∞,0)和. 考点二　含参函数的单调性 【典例】2 已知函数f(x)=2ax3-3(a+1)x2+6x+1(a∈R),试讨论函数f(x)的单调性. 【解析】由题知,f'(x)=6ax2-6(a+1)x+6 =6(ax-1)(x-1), 若a<0,当x<或x>1时, f'(x)<0,当<x<1时,f'(x)>0, ∴f(x)在区间和(1,+∞)上单调递减, 在区间上单调递增; 若a=0时,当x<1时,f'(x)>0, 当x>1时,f'(x)<0, ∴f(x)在区间(-∞,1)上单调递增, 在区间(1,+∞)上单调递减; 若0<a<1,当x<1或x>时,f'(x)>0, 当1<x<时,f'(x)<0, ∴f(x)在区间(-∞,1)和上单调递增,在区间上单调递减, 若a=1,则f'(x)≥0, ∴f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增; 若a>1,当x<或x>1时,f'(x)>0, 当<x<1时,f'(x)<0, ∴f(x)在区间和(1,+∞)上单调递增,在区间上单调递减. 综上所述,当a<0时,f(x)在区间和(1,+∞)上单调递减, 在区间上单调递增; 当a=0时,f(x)在区间(-∞,1)上单调递增, 在区间(1,+∞)上单调递减; 当0<a<1时,f(x)在区间(-∞,1)和上单调递增, 在区间上单调递减; 当a=1时,f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增; 当a>1时,f(x)在区间和(1,+∞)上单调递增, 在区间上单调递减. 【思维建模】若导函数为二次函数式,首先看能否因式分解,再讨论二次项系数的正负及两根的大小;若不能因式分解,则需讨论判别式Δ的正负,二次项系数的正负,两根的大小及根是否在定义域内. 【变式训练】2 (2021·全国乙卷节选)讨论函数f(x)=x3-x2+ax+1的单调性. 【解析】由题意知f(x)的定义域为R, f'(x)=3x2-2x+a, 对于f'(x)=0,Δ=(-2)2-4×3a=4(1-3a). ①当a≥时,f'(x)≥0,f(x)在R上单调递增; ②当a<时,令f'(x)=0, 即3x2-2x+a=0, 解得x1=, x2=, 令f'(x)>0,则x<x1或x>x2; 令f'(x)<0,则x1<x<x2. 所以f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减. 综上,当a≥时,f(x)在R上单调递增; 当a<时,f(x)在, 上单调递增, 在上单调递减. 考点三　函数单调性的应用 角度1　由单调性求参数 【典例】3 (多选)(2025·茂名模拟)若f(x)=-x3+x2+2x+1是区间(m-1,m+4)上的单调函数,则实数m的值可以是(　　) A.-4 B.-3 C.3 D.4 【答案】CD 【解析】由题意,f'(x)=-x2+x+2 =-(x-2)(x+1), 令f'(x)>0,解得-1<x<2, 令f'(x)<0,解得x<-1或x>2, 所以f(x)在(-1,2)上单调递增,在(-∞,-1),(2,+∞)上单调递减. 若f(x)=-x3+x2+2x+1是区间(m-1,m+4)上的单调函数, 则m+4≤-1或m-1≥2或 解得m≤-5或m≥3. 角度2　比较大小 【典例】4 已知函数f(x)=xsin x,x∈R,则f,f(1),f的大小关系为　　　　.  【答案】f<f(1)<f 【解析】由题意易得f(x)是偶函数, 所以f=f. 又当x∈时,f'(x)=sin x+xcos x>0, 所以f(x)在上单调递增, 所以f<f(1)<f, 即f<f(1)<f. 角度3　解不等式 【典例】5 (2025·西安模拟)已知函数f(x)=(ex+e-x)x2,若满足f(log3m)-e-<0,则实数m的取值范围为(　　) A. B. C.(0,3) D.(3,+∞) 【答案】B 【解析】∵f(x)的定义域为R, f(-x)=(e-x+ex)(-x)2 =(e-x+ex)x2=f(x), ∴f(x)为偶函数. ∵f'(x)=(ex-e-x)x2+2x(ex+e-x), ∴f'(0)=0, 当x>0时,ex>1,0<e-x<1,∴ex-e-x>0, ∴f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. ∵f(log3m)-e-<0, 即f(log3m)<e+=f(1), 即f(log3m)<f(1). ∵f(x)=(ex+e-x)x2在(0,+∞)上单调递增且为偶函数, ∴f(x)在(-∞,0)上单调递减, ∴|log3m|<1,即-1<log3m<1, 解得<m<3, ∴实数m的取值范围为. 【思维建模】 1.根据函数单调性求参数的方法: (1)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且在(a,b)内的任一非空子区间上,f'(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解. (2)函数在区间(a,b)上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集. (3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f'(x)=0在(a,b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号). 2.利用导数比较大小或解不等式,其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性,利用其单调性比较大小或解不等式. 【变式训练】3 (1)(2025·长沙模拟)若函数f(x)=ex-a+1-x在区间(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,-1] B.(-∞,1) C.[0,+∞) D.(-∞,1] 【答案】D 【解析】由f(x)=ex-a+1-x, 得f'(x)=ex-a+1-1. 因为函数f(x)=ex-a+1-x在区间(0,+∞)上单调递增, 所以f'(x)=ex-a+1-1≥0在区间(0,+∞)上恒成立, 且f'(x)不恒为0,所以x-a+1≥0在区间(0,+∞)上恒成立, 即a≤x+1在区间(0,+∞)上恒成立,所以a≤1. (2)已知函数f(x)=ln x-,设a=f,b=f(2),c=f,则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 【答案】C 【解析】易知f'(x)= =, 又x∈(0,+∞)时,ex>1,-≥-, 所以f'(x)>0, 即f(x)在(0,+∞)上单调递增, 故f>f(2)>f,即c>b>a. (3)不等式x<sin+的解集为　　　　.  【答案】 【解析】设f(x)=x-sin-, 则f'(x)=1-cos>0, ∴f(x)在R上单调递增,又f=0, ∴f(x)<0的解集为, 故x<sin+的解集为. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递减区间是(　　) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 【答案】A 【解析】由已知得,f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex, 当x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0, 所以f(x)的单调递减区间是(-∞,2),单调递增区间是(2,+∞). 2.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(　　) 【答案】D 【解析】f'(x)>0的解集对应y=f(x)的单调递增区间,f'(x)<0的解集对应y=f(x)的单调递减区间,验证只有D符合. 3.已知函数f(x)=2x-sin x,则下列结论正确的是(　　) A.f(2.7)<f(π)<f(e) B.f(π)<f(e)<f(2.7) C.f(e)<f(2.7)<f(π) D.f(2.7)<f(e)<f(π) 【答案】D 【解析】f'(x)=2-cos x, 因为cos x∈[-1,1], 所以f'(x)>0恒成立, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增, 因为2.7<e<π, 所以f(2.7)<f(e)<f(π). 4.已知函数f(x)=x3+2x-sin x,若f(2a2)+f(a-1)≤0,则实数a的取值范围为(　　) A.∪[1,+∞) B. C.(-∞,-1]∪ D. 【答案】D 【解析】函数f(x)=x3+2x-sin x的定义域为R, f(-x)=(-x)3+2(-x)-sin(-x)=-f(x), 故函数f(x)是奇函数. 又f'(x)=3x2+2-cos x>0恒成立, 所以函数f(x)在R上单调递增, 不等式f(2a2)+f(a-1)≤0⇔f(2a2)≤-f(a-1),即f(2a2)≤f(-a+1), 于是2a2≤-a+1,即2a2+a-1≤0, 解得-1≤a≤, 所以实数a的取值范围为. 5.(2025·安徽名校联考)已知函数f(x)=sin x+acos x在上单调递减,则实数a的取值范围为(　　) A.(-1,+∞) B.[1,+∞) C.(1-,+∞) D.[-1,+∞) 【答案】B 【解析】由题意,f'(x)=cos x-asin x≤0在上恒成立, 即a≥=在上恒成立. 因为y=tan x在上单调递增, 所以y=tan x>1, 所以当x∈时,0<<1,所以a≥1. 6.函数f(x)的图象如图所示,设f(x)的导函数为f'(x),则f(x)·f'(x)>0的解集为(　　) A.(1,6) B.(1,4) C.(-∞,1)∪(6,+∞) D.(1,4)∪(6,+∞) 【答案】D 【解析】由图象可得, 当x<4时,f'(x)>0,当x>4时,f'(x)<0. 结合图象可得,当1<x<4时,f'(x)>0,f(x)>0,即f(x)·f'(x)>0; 当x>6时,f'(x)<0,f(x)<0, 即f(x)·f'(x)>0, 所以f(x)·f'(x)>0的解集为(1,4)∪(6,+∞). 7.已知函数f(x)=(1-x)ln x+ax在(1,+∞)上不单调,则a的取值范围是(　　) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.[0,+∞) D.[1,+∞) 【答案】A 【解析】依题意f'(x)=-ln x++a-1, 故f'(x)在(1,+∞)上有变号零点, 令g(x)=-ln x++a-1, 令g(x)=0,得a=ln x-+1, 令z(x)=ln x-+1, 则z'(x)=+, 由x>1,得z'(x)>0,z(x)在(1,+∞)上单调递增, 又由z(1)=0,得z(x)>0,故a=z(x)>0, 所以a的取值范围是(0,+∞). 8.已知f(x)=(a2-1)ex-1-x2,若不等式f(ln x)<f(x-1)在(1,+∞)上恒成立,则a的取值范围为(　　) A.[-1,1] B.[-,] C.[0,1] D.(-∞,-]∪[,+∞) 【答案】D 【解析】设y=x-1-ln x(x>1), 则y'=1->0, ∴y=x-1-ln x在(1,+∞)上单调递增, ∴x-1-ln x>0, ∴ln x<x-1,x∈(1,+∞), ∴0<ln x<x-1, 又f(ln x)<f(x-1)在(1,+∞)上恒成立, ∴需要f(x)在(1,+∞)上单调递增, ∴f'(x)=(a2-1)ex-1-x≥0对∀x∈(1,+∞)恒成立, 即a2-1≥在(1,+∞)上恒成立. 令g(x)=,x∈(1,+∞),g'(x)=, 当x>1时,g'(x)<0, g(x)在(1,+∞)上单调递减, 故g(x)<g(1)=1, ∴a2-1≥1,解得a≥或a≤-. 二、多选题 9.(2025·晋城模拟)若一个函数在区间D上的导数值恒大于0,则该函数在D上纯粹递增,若一个函数在区间D上的导数值恒小于0,则该函数在D上纯粹递减,则(　　) A.函数f(x)=x2-2x在[1,+∞)上纯粹递增 B.函数f(x)=x3-2x在[1,2]上纯粹递增 C.函数f(x)=sin x-2x在[0,1]上纯粹递减 D.函数f(x)=ex-3x在[0,2]上纯粹递减 【答案】BC 【解析】A项,f'(x)=2x-2,由f'(1)=0, 知A错误; B项,f'(x)=3x2-2,当x∈[1,2]时, f'(x)>0恒成立,所以B正确; C项,f'(x)=cos x-2<0在[0,1]上恒成立, 所以C正确; D项,f'(x)=ex-3<0在[0,2]上不恒成立, 所以D错误. 10.若函数f(x)=x2-9ln x在区间[m-1,m+1]上单调,则实数m的值可以是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】BD 【解析】f'(x)=x-=(x>0), 令f'(x)>0,得x>3,令f'(x)<0,得0<x<3, 所以函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞),单调递减区间为(0,3), 因为函数f(x)在区间[m-1,m+1]上单调, 所以或m-1≥3, 解得1<m≤2或m≥4. 11.已知函数f(x)=ln x,且a=f ,b=f,c=f(),则(　　) A.a>b B.b>a C.c>b D.c>a 【答案】ACD 【解析】由f(x)=ln x, 得f'(x)=ln x+, 当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 因为c=f,0<<<<1, 所以f>f >f , 故c>a>b. 三、填空题 12.已知函数f(x)=则f(x)的单调递减区间为　　　　.  【答案】(-∞,1) 【解析】当x<0时,f(x)=-x-2, 则f(x)在(-∞,0)上单调递减. 当x≥0时,f(x)=(x-2)ex, 则f'(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex, 当0≤x<1时,f'(x)<0,f(x)在[0,1)上单调递减. 又(0-2)e0=-0-2, 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1)(或(-∞,1]). 13.若函数f(x)=x3+bx2+x恰有三个单调区间,则实数b的取值范围为　　　　.  【答案】(-∞,-)∪(,+∞) 【解析】由题意得f'(x)=3x2+2bx+1, 函数f(x)=x3+bx2+x恰有三个单调区间, 则函数f(x)=x3+bx2+x有两个极值点, 即f'(x)=3x2+2bx+1的图象与x轴有两个交点, 则判别式Δ=4b2-12>0, 解得b>或b<-. 所以实数b的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞). 14.(2025·保定质检)已知x∈,则不等式esin x-cos x-tan x≥0的解集为　　　　.  【答案】 【解析】不等式esin x-cos x-tan x≥0 可化为≥, 当x∈时,cos x>0, 又esin x>0,∴≥. 令f(x)=,则f(cos x)≥f(sin x). ∵f'(x)=, ∴当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0, 当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0, ∴f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 当x∈时,cos x∈(0,1], sin x∈(-1,1),∴由f(x)的单调性可得cos x≥sin x, 即当x∈时,tan x≤1, ∴可得x∈, 即不等式esin x-cos x-tan x≥0的解集为. 四、解答题 15.已知函数f(x)=-2x+2ln a(a>0),判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性. 【解析】由题知,f(x)=-2x+2ln a, 所以f'(x)=,x>1, 当0<a≤时,f'(x)>0, f(x)在(1,+∞)上单调递增. 当a>时,令f'(x)=0,x=ln(2a), 当1<x<ln(2a)时,f'(x)<0, f(x)在(1,ln(2a))上单调递减; 当x>ln(2a)时,f'(x)>0, f(x)在(ln(2a),+∞)上单调递增. 综上,当0<a≤时,f(x)在(1,+∞)上单调递增; 当a>时,f(x)在(1,ln(2a))上单调递减,在(ln(2a),+∞)上单调递增. 16.已知函数f(x)=ln x-ax2-2x(a≠0). (1)若f(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围; (2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间,求实数a的取值范围. 【解析】(1)因为f(x)在[1,4]上单调递减, 所以当x∈[1,4]时,f'(x)=-ax-2≤0恒成立, 即a≥-恒成立. 设G(x)=-,x∈[1,4], 所以a≥G(x)max, 而G(x)=-1, 因为x∈[1,4],所以∈, 所以G(x)max=-(此时x=4), 所以a≥-, 又因为a≠0,所以实数a的取值范围是∪(0,+∞). (2)因为f(x)在[1,4]上存在单调递减区间, 则f'(x)<0在[1,4]上有解, 所以当x∈[1,4]时,a>-有解, 又当x∈[1,4]时,=-1(此时x=1), 所以a>-1,又因为a≠0, 所以实数a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$