第三章 第3节 导数中的函数构造问题（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第三章 一元函数的导数及其应用 第3节　导数中的函数构造问题 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 题型一　通过导数的运算法则构造 ★★★☆☆ 题型二　通过变量构造具体函数★★★☆☆ 题型三　通过数值构造具体函数 ★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【题型分析】函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容,经常以客观题出现,同构法构造函数也在解答题中出现,通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题. 题型一　通过导数的运算法则构造★★★☆☆ 角度1　利用f(x)与ex构造 【典例】1 (2025·南通、连云港联考)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x∈R,有f'(x)-f(x)>0,则“x<2”是“e2x-3f(x+1)>ex+1f(2x-3)”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分又不必要条件 D.充要条件 角度2　利用f(x)与xn构造 【典例】2 (多选)(2025·六安质检)已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意的正数x,都满足f(x)<xf'(x)<2f(x)-2x,则下列结论正确的是(　　) A.f(1)<2f B.f(1)<f(2) C.f(1)<4f-2 D.f(1)<f(2)+1 角度3　利用f(x)与sin x,cos x构造 【典例】3 (多选)(2025·长沙调研)已知函数y=f(x)对任意x∈满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是(　　) A.f(0)>f B.f>f C.f(0)>2f D.f< f 【变式训练】1 (1)f(x)为定义在R上的可导函数,且f'(x)>f(x),对任意正实数a,下列式子一定成立的是(　　) A.f(a)<eaf(0) B.f(a)>eaf(0) C.f(a)< D.f(a)> (2)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),其导函数为f'(x),若xf'(x)-1<0,f(e)=2,则关于x的不等式f(ex)<x+1的解集为　　　　.  (3)(2025·杭州调研)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈(0,π),有 f'(x)sin x>f(x)cos x,设a=2f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系为　　　　.  题型二　通过变量构造具体函数★★★☆☆ 【典例】4 若实数a,b,c∈[0,1],且满足ae=ea,be1.2=1.2eb,ce1.6=1.6ec,则a,b,c的大小关系是(　　) A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a 【变式训练】2 (多选)(2025·江西名校联考)已知x,y∈R,若2(e2y-ex)=(y-x)(y+x+2),则下列关系式能成立的是(　　) A.y>x>0 B.x>y>0 C.x<y<0 D.x=y=0 题型三　通过数值构造具体函数★★★☆☆ 【典例】5 (2022·新高考Ⅰ卷)设a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 【变式训练】3 实数e3,3π,π3的大小关系为　　　　.  【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.(2025·广州质检)若函数y=f(x)满足xf'(x)>-f(x)在R上恒成立,且a>b,则(　　) A.af(b)>bf(a) B.af(a)>bf(b) C.af(a)<bf(b) D.af(b)<bf(a) 2.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R,满足f(x)+f'(x)<0,则下列结论一定正确的是(　　) A.e2f(2)>e3f(3) B.e2f(2)<e3f(3) C.e3f(2)>e2f(3) D.e3f(2)<e2f(3) 3.(2025·衡阳调研)已知函数f(x)的定义域为R,设f(x)的导函数是f'(x),且f(x)·f'(x)+sin x>0恒成立,则(　　) A.f<f B.f>f C.< D.> 4.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(　　) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) 5.已知f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数为f'(x).若对任意x∈R,有f'(x)>1,f(1+x)+f(1-x)=0,且f(0)=-2,则不等式f(x-1)>x-1的解集为(　　) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(2,+∞) D.(3,+∞) 6.若ln x-ln y<-(x>1,y>1),则(　　) A.ey-x>1 B.ey-x<1 C.ey-x-1>1 D.ey-x-1<1 7.已知a=e-0.02,b=0.01,c=ln 1.01,则(　　) A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a 8.(2025·杭州调研)已知实数a,b,c∈(0,1),且ae2=2ea,be3=2eb,ce3=3ec,则(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 二、多选题 9.已知f'(x)是f(x)的导函数,对任意x∈,f'(x)cos x+f(x)sin x>0,则下列结论正确的是(　　) A.f>f B.f<f C.f<f D.f>f 10.已知a>b>0,且=,则(　　) A.0<b<1 B.0<a<1 C.1<b<e D.a>e 11.(2025·黑龙江部分学校联考)已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),若(x-1)[f'(x)-f(x)]>0,=,则下列关系式正确的是(　　) A.f(1)<ef(0) B.f(2)>e2f(0) C.f(3)>e3f(0) D.f(4)<e4f(0) 三、填空题 12.已知定义在R上的函数f(x)满足xf'(x)+f(x)>0,且f(1)=1,则xf(x)>1的解集为　　　　.  13.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),其导函数为f'(x),且满足ln x·f'(x)+·f(x)>0,则f(e)　　　　0(填“>”或“<”).  14.(2025·青岛调研)若a=ln ,b=e-1,c=,则实数a,b,c的大小关系为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一元函数的导数及其应用 第3节　导数中的函数构造问题 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 题型一　通过导数的运算法则构造 ★★★☆☆ 题型二　通过变量构造具体函数★★★☆☆ 题型三　通过数值构造具体函数 ★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【题型分析】函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容,经常以客观题出现,同构法构造函数也在解答题中出现,通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题. 题型一　通过导数的运算法则构造★★★☆☆ 角度1　利用f(x)与ex构造 【典例】1 (2025·南通、连云港联考)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x∈R,有f'(x)-f(x)>0,则“x<2”是“e2x-3f(x+1)>ex+1f(2x-3)”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分又不必要条件 D.充要条件 【答案】A 【解析】因为f'(x)-f(x)>0, 所以>0. 令g(x)=,则g'(x)=>0, 所以g(x)在R上单调递增. e2x-3f(x+1)>ex+1f(2x-3)⇔>⇔g(x+1)>g(2x-3)⇔x+1>2x-3⇔x<4, 所以“x<2”是“e2x-3f(x+1)>ex+1f(2x-3)”的充分不必要条件,故选A. 【思维建模】 (1)出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x). (2)出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=. 角度2　利用f(x)与xn构造 【典例】2 (多选)(2025·六安质检)已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意的正数x,都满足f(x)<xf'(x)<2f(x)-2x,则下列结论正确的是(　　) A.f(1)<2f B.f(1)<f(2) C.f(1)<4f-2 D.f(1)<f(2)+1 【答案】BC 【解析】设g(x)=(x>0), 则g'(x)=>0, 所以g(x)在(0,+∞)上单调递增, 由g(1)>g得f(1)>2f,故A错误; 由g(1)<g(2)得f(1)<f(2),故B正确; 设h(x)=(x>0), 则h'(x)= =<0, 所以h(x)在(0,+∞)上单调递减, 由h(1)<h得f(1)<4f-2, 故C正确; 由h(1)>h(2)得f(1)>f(2)+1,故D错误. 【思维建模】 1.出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x); 2.出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=. 角度3　利用f(x)与sin x,cos x构造 【典例】3 (多选)(2025·长沙调研)已知函数y=f(x)对任意x∈满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是(　　) A.f(0)>f B.f>f C.f(0)>2f D.f< f 【答案】BD 【解析】构造函数F(x)=, 依题意当x∈时, F'(x)=>0, 故函数F(x)在上单调递增. 由F(0)<F得<, 即f(0)<f,排除A; 由F>F得>, 即f>f,B正确; 由F(0)<F得<, 即f(0)<2f,排除C; 由F<F得<, 即f< f,D正确. 【思维建模】 1.若F(x)=f(x)sin x,则F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x; 2.若F(x)=, 则F'(x)=; 3.若F(x)=f(x)cos x, 则F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x; 4.若F(x)=, 则F'(x)=. 【变式训练】1 (1)f(x)为定义在R上的可导函数,且f'(x)>f(x),对任意正实数a,下列式子一定成立的是(　　) A.f(a)<eaf(0) B.f(a)>eaf(0) C.f(a)< D.f(a)> 【答案】B 【解析】令g(x)=, 则g'(x)=>0. ∴g(x)在R上为增函数, 又a>0,∴g(a)>g(0), 即>,故f(a)>eaf(0). (2)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),其导函数为f'(x),若xf'(x)-1<0,f(e)=2,则关于x的不等式f(ex)<x+1的解集为　　　　.  【答案】(1,+∞) 【解析】设F(x)=f(x)-ln x-1, 则F'(x)=f'(x)-=<0, ∴F(x)在(0,+∞)上单调递减, 又F(e)=0,∴F(ex)=f(ex)-ln ex-1=f(ex)-x-1<0=F(e), ∴ex>e,得x>1. ∴关于x的不等式f(ex)<x+1的解集为(1,+∞). (3)(2025·杭州调研)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈(0,π),有 f'(x)sin x>f(x)cos x,设a=2f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系为　　　　.  【答案】a<b<c 【解析】构造函数F(x)=,x≠kπ,k∈Z, 则x∈(0,π)时, F'(x)=>0. 所以函数F(x)在(0,π)上单调递增, 于是F<F<F, 即2f<f<f, 所以a<b<c. 题型二　通过变量构造具体函数★★★☆☆ 【典例】4 若实数a,b,c∈[0,1],且满足ae=ea,be1.2=1.2eb,ce1.6=1.6ec,则a,b,c的大小关系是(　　) A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a 【答案】C 【解析】由ae=ea,be1.2=1.2eb,ce1.6=1.6ec, 得=,=,=. 令f(x)=,则f'(x)=, 当x<1时,f'(x)>0, 当x>1时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 于是f(1)>f(1.2)>f(1.6), 即f(a)>f(b)>f(c), 又a,b,c∈[0,1],所以a>b>c. 【思维建模】若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解. 【变式训练】2 (多选)(2025·江西名校联考)已知x,y∈R,若2(e2y-ex)=(y-x)(y+x+2),则下列关系式能成立的是(　　) A.y>x>0 B.x>y>0 C.x<y<0 D.x=y=0 【答案】BCD 【解析】当x=y=0时,等式成立,故D成立. 若2(e2y-ex)=(y-x)(y+x+2), 则e2y--y=ex--x. 设f(x)=ex--x, 则f'(x)=ex-x-1, 令g(x)=ex-x-1,则g'(x)=ex-1, 当x<0时,g'(x)<0; 当x>0时,g'(x)>0. 所以g(x)在(-∞,0)上单调递减, 在(0,+∞)上单调递增, 所以g(x)≥g(0)=0, 即f'(x)≥0恒成立,所以f(x)单调递增. 当y>0时,ex--x=e2y--y>ey--y, 即f(x)>f(y),所以x>y>0, 故B成立,A不成立. 当y<0时,ex--x=e2y--y<ey--y,即f(x)<f(y),所以x<y<0,故C成立. 题型三　通过数值构造具体函数★★★☆☆ 【典例】5 (2022·新高考Ⅰ卷)设a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 【答案】C 【解析】法一　因为ex≥x+1,当且仅当x=0时,有ex=x+1, 所以当x=-0.1时,e-0.1>1-0.1=, 于是e0.1<,a=0.1e0.1<=b. 设函数f(x)=xex+ln(1-x), 则f'(x)=(x+1)ex-=. 当0≤x≤0.1时,(1-x2)ex-1≥(1-x2)(x+1)-1=x(1-x-x2)≥0, 所以f'(x)≥0,f(x)在[0,0.1]上单调递增, 有f(0.1)>f(0)=0, 即0.1e0.1+ln 0.9>0,所以a>c. 故c<a<b. 法二　使用三个放缩工具: (1)1-≤ln x≤x-1(x>0),当且仅当x=1时等号成立; (2)ex≥x+1,当且仅当x=0时等号成立; (3)ln x≤(x≥1),当且仅当x=1时等号成立. 因为0.1=1-<c=ln <-1==b, 所以>e0.1,所以a=0.1e0.1<=b, 又a=0.1e0.1>0.1×(0.1+1)=0.11, c=ln <×=<0.11, 故c<a. 综上所述,b>a>c. 【思维建模】当要比较的各数为某些函数的函数值时,要仔细观察这些数值的共同之处,构造一个或两个函数,使要比较的数成为该函数的函数值,然后利用函数的单调性比较大小. 【变式训练】3 实数e3,3π,π3的大小关系为　　　　.  【答案】e3<π3<3π 【解析】设f(x)=,则f'(x)=, 当x>e时,f'(x)<0, 所以f(x)在(e,+∞)上单调递减, 所以f(3)>f(π),即>, 所以πln 3>3ln π, 所以ln 3π>ln π3,即3π>π3. 因为y=x3在(0,+∞)上单调递增,e<π, 所以e3<π3,所以e3<π3<3π. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.(2025·广州质检)若函数y=f(x)满足xf'(x)>-f(x)在R上恒成立,且a>b,则(　　) A.af(b)>bf(a) B.af(a)>bf(b) C.af(a)<bf(b) D.af(b)<bf(a) 【答案】B 【解析】由题意,设g(x)=xf(x), 则g'(x)=xf'(x)+f(x)>0, 所以g(x)在R上是增函数, 又a>b,所以g(a)>g(b), 即af(a)>bf(b),故选B. 2.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R,满足f(x)+f'(x)<0,则下列结论一定正确的是(　　) A.e2f(2)>e3f(3) B.e2f(2)<e3f(3) C.e3f(2)>e2f(3) D.e3f(2)<e2f(3) 【答案】A 【解析】构造函数g(x)=exf(x), 则g'(x)=ex[f'(x)+f(x)], ∵f(x)+f'(x)<0,故g'(x)<0, 可得g(x)在R上单调递减,故g(2)>g(3), ∴e2f(2)>e3f(3).无法判断C,D的正误. 3.(2025·衡阳调研)已知函数f(x)的定义域为R,设f(x)的导函数是f'(x),且f(x)·f'(x)+sin x>0恒成立,则(　　) A.f<f B.f>f C.< D.> 【答案】D 【解析】设g(x)=f 2(x)-2cos x, 则g'(x)=2f(x)·f'(x)+2sin x>0, 故g(x)在定义域R上是增函数, 所以g>g, 即f 2>f 2, 所以>. 4.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(　　) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) 【答案】B 【解析】∵f(x)>2x+4,∴f(x)-2x-4>0, 令g(x)=f(x)-2x-4, 则g'(x)=f'(x)-2>0, ∴g(x)为R上的增函数, 又∵g(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0. ∴由g(x)>g(-1)=0得x>-1. 5.已知f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数为f'(x).若对任意x∈R,有f'(x)>1,f(1+x)+f(1-x)=0,且f(0)=-2,则不等式f(x-1)>x-1的解集为(　　) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(2,+∞) D.(3,+∞) 【答案】D 【解析】法一　∵f(1+x)+f(1-x)=0, f(0)=-2,∴令x=1得f(2)=2. 设g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-1>0, ∴g(x)在R上单调递增, 且g(2)=f(2)-2=0, ∴不等式f(x-1)>x-1可化为g(x-1)>0=g(2), ∴x-1>2,解得x>3. 法二　设g(x)=f(x)-x, 则g'(x)=f'(x)-1>0, ∴g(x)在R上单调递增. ∵g(1+x)+g(1-x)=f(1+x)+f(1-x)-(1+x)-(1-x)=-2, ∴g(x)的图象关于点(1,-1)对称, 又g(0)=f(0)-0=-2, ∵g(x)的图象关于点(1,-1)对称,∴g(2)=0, ∴不等式f(x-1)>x-1可化为g(x-1)>0=g(2), ∴x-1>2,解得x>3. 6.若ln x-ln y<-(x>1,y>1),则(　　) A.ey-x>1 B.ey-x<1 C.ey-x-1>1 D.ey-x-1<1 【答案】A 【解析】依题意,ln x-<ln y-, 令f(t)=t-(t≠0),则f'(t)=1+>0, 所以f(t)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增; 又x>1,y>1,得ln x>0,ln y>0, 则f(ln x)<f(ln y), 由单调递增得ln x<ln y, ∴1<x<y,即y-x>0, 所以ey-x>e0=1,A正确,B不正确; 又y-x-1无法确定与0的大小关系,故C,D不正确. 7.已知a=e-0.02,b=0.01,c=ln 1.01,则(　　) A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a 【答案】C 【解析】由指数函数的性质得 a=e-0.02>=>=0.01=b, 设f(x)=ex-1-x, 则f'(x)=ex-1≥0在[0,+∞)上恒成立, 因此f(x)在[0,+∞)上单调递增, ∴f(0.01)>f(0),即e0.01-1-0.01>0, 即e0.01>1.01, ∴b=0.01>ln 1.01=c,∴a>b>c. 8.(2025·杭州调研)已知实数a,b,c∈(0,1),且ae2=2ea,be3=2eb,ce3=3ec,则(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 【答案】C 【解析】由ae2=2ea,可得=, 由be3=2eb,可得=, 由ce3=3ec,可得=. 记f(x)=, 则f'(x)='==, 当x∈(0,1)时,f'(x)<0, 所以f(x)在(0,1)上单调递减. 因为=>1,所以>, 显然>,所以>>, 即>>,所以b<c<a. 二、多选题 9.已知f'(x)是f(x)的导函数,对任意x∈,f'(x)cos x+f(x)sin x>0,则下列结论正确的是(　　) A.f>f B.f<f C.f<f D.f>f 【答案】BC 【解析】令g(x)=, 则g'(x)=, 对于∀x∈,可得g'(x)>0, 所以g(x)在上单调递增, 因为<<,所以g<g<g, 即<<, 所以<<f, 所以f<f,f<f,f<f . 10.已知a>b>0,且=,则(　　) A.0<b<1 B.0<a<1 C.1<b<e D.a>e 【答案】CD 【解析】=两边同取自然对数得=, 设f(x)=,由f'(x)=, 令f'(x)>0,解得0<x<e, 令f'(x)<0,解得x>e, ∴f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, ∴f(x)在x=e处取得最大值f(e)=, 在(0,e)内,函数f(x)有唯一的零点x=1,在(e,+∞)内,f(x)>0, 又∵a>b>0且f(a)=f(b)>0, ∴1<b<e,a>e,故选CD. 11.(2025·黑龙江部分学校联考)已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),若(x-1)[f'(x)-f(x)]>0,=,则下列关系式正确的是(　　) A.f(1)<ef(0) B.f(2)>e2f(0) C.f(3)>e3f(0) D.f(4)<e4f(0) 【答案】AC 【解析】令F(x)=, 则F'(x)==, 因为函数f(x)满足(x-1)[f'(x)-f(x)]>0, 所以当x>1时,F'(x)>0,F(x)在(1,+∞)上单调递增,当x<1时,F'(x)<0, F(x)在(-∞,1)上单调递减. =⇔F(2-x)=F(x), 所以F(x)的图象关于直线x=1对称, 从而F(1)<F(0)=F(2)<F(3)<F(4). 对于A,F(1)<F(0),即<, 所以f(1)<ef(0),故A正确; 对于B,F(0)=F(2),即=, 所以f(2)=e2f(0),故B错误; 对于C,F(3)>F(0),即>, 所以f(3)>e3f(0),故C正确; 对于D,F(4)>F(0),即>, 所以f(4)>e4f(0),故D错误. 三、填空题 12.已知定义在R上的函数f(x)满足xf'(x)+f(x)>0,且f(1)=1,则xf(x)>1的解集为　　　　.  【答案】(1,+∞) 【解析】令g(x)=xf(x),则g'(x)=xf'(x)+f(x)>0,则g(x)在R上单调递增, 因为f(1)=1,则g(1)=1, 则原不等式为g(x)>g(1),故x>1. 13.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),其导函数为f'(x),且满足ln x·f'(x)+·f(x)>0,则f(e)　　　　0(填“>”或“<”).  【答案】> 【解析】令g(x)=f(x)·ln x, 可得g'(x)=ln x·f'(x)+·f(x), 因为ln x·f'(x)+·f(x)>0, 可得g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增, 又由g(1)=0,所以g(e)>g(1), 即f(e)·ln e>0,即f(e)>0. 14.(2025·青岛调研)若a=ln ,b=e-1,c=,则实数a,b,c的大小关系为　　　　.  【答案】b>a>c 【解析】令f(x)=,则f'(x)=, 故当x∈(0,e)时,f'(x)>0; 当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0. 而a=ln ==f(3), b=e-1==f(e), c==f(2), 且e<3<2,故b>a>c. 学科网（北京）股份有限公司 $$