6.3一元一次方程的应用（行程问题）课件　2024—2025学年鲁教版（五四制）数学六年级下册

6.3一元一次方程的应用 ——行程问题 学习目标： 会用“线段图”分析行程问题的数量关系，设出未知数，列出方程，解答出来。 课堂导入 我坐车以30公里/小时的速度从家出发去奶奶家需要4小时，那么我家到奶奶家有_____公里. 120 如果我想用3小时的时间从家出发到奶奶家，那么我需要的速度为____公里/小时. 如果我以60公里/小时的速度从家出发到奶奶家，那么需要用______小时. 40 2 路程= 速度= 时间= 速度×时间 路程÷时间 路程÷速度 等量关系：A车路程＋B车路程=相距路程 想一想回答下面的问题： 1、A、B两车分别从相距S千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，两车会相遇吗？请画出线段图。 导入 甲 乙 A B 2、如果两车相遇，则相遇时两车所走的路程与A、B两地的距离有什么关系？ 3、如果A、B两车同向而行，B车先出发a小时，A车再出发，在什么情况下两车能相遇？ A车速度>B车速度 4、如果A车能追上B车，你能画出线段图吗？ 甲 乙 B A 相等关系：慢车先行路程＋慢车后行路程=快车路程 例1、 A、B两车分别停靠在相距240千米的甲、乙两地，A车每小时行50千米，B车每小时行30千米.若两车同时相向而行，请问B车行了多长时间后与A车相遇？ 精讲 例题 分 析 甲 乙 A B A车路程＋B车路程=相距路程 小王、叔叔在400米长的环形跑道上练习跑步，小王每秒跑5米，叔叔每秒跑7.5米。（1）若两人同时同地反向出发，多长时间两人首次相遇？ （2）若两人同时同地同向出发，多长时间两人首次相遇？ 分 析 （1）反向 相等关系： 小王路程+叔叔路程=400 叔叔 小王 小王、叔叔在400米长的环形跑道上练习跑步，小王每秒跑4米，叔叔每秒跑7.5米。（1）若两人同时同地反向出发，多长时间两人首次相遇？ （2）若两人同时同地同向出发，多长时间两人首次相遇？ 分 析 （2）同向 相等关系： 叔叔路程-小王路程=400 叔叔 小王 等量关系：相距总路程=A车路程＋B车路程 1、A、B两车分别从相距S千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，两车会相遇吗？请画出线段图。 甲 乙 A B S总 线段图 如果A、B两车同时同向而行，B车距离甲地200米，A车在甲地出发，在什么情况下两车能相遇？ A车速度>B车速度 线段图 甲 乙 B A 等量关系：相差路程=快车路程-慢车路程 探究新知 行程问题 1 探究： 一艘轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行时需 4 h，逆水航行时需 5 h. 已知水流速度为 2 km/h，则轮船在静水中的航行速度是多少? 顺水时 逆水时 船的速度＝船在静水中的速度＋水流速度 船的速度＝船在静水中的速度－水流速度 行船问题 分析： 轮船顺水航行的路程＝轮船逆水航行的路程 解：设轮船在静水中的航行速度为 x km/h. 根据上述等量关系，可列出方程： 去括号，得 4x＋8＝5x－10， 移项，得 4x－5x＝－10－8， 合并同类项，得 －x＝－18， x＝18. 因此，轮船在静水中的航行速度为 18 km/h. 4(x＋2)＝5(x－2). 练一练 1. 汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少 1.5 小时. 已知船在静水的速度为 18 千米/时，水流速度为 2 千米/小时，求甲、乙两地之间的距离？ 分析：本题是行程问题，故有： 路程 = 平均速度×时间； 时间 = 路程÷平均速度. 但涉及水流速度，必须要掌握： 顺水速度 = 船速+水速；逆水速度 = 船速－水速. 解：设甲、乙两地的距离为 x 千米， 等量关系：逆水所用时间－顺水所用时间 = 1.5 依题意，得 解方程，得 x = 120 答：甲乙两地之间的距离为 120 千米. 想一想，这道题 是不是只有这一 种解法呢？ 方法一：直接设元法 解：设汽船逆水航行从乙地到甲地需 x 小时， 则汽船顺水航行的距离是 (18+2)(x－1.5) 千米， 逆水航行的距离是 (18 －2)x 千米. 等量关系：汽船顺水航行的距离 = 汽船逆水航行的距离. (18 －2) ×7.5 = 120 答：甲、乙两地距离为 120 千米. 依题意，得： (18+2)(x－1.5) = (18－2)x x = 7.5 解方程，得： 方法二：间接设元法 新知探究 知识点1 追及问题 小明每天早上要在7：50之前赶到距家1 000 m的学校上学.一天，小明以80 m/min的速度出发，5 min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书.于是，爸爸立即以180 m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他. 想象一下追及的过程，你能用一个图 直观表示问题中各个量之间的关系吗? 新知探究 追及问题 假设爸爸追上小明用了x分钟. 180x 80×5 80x 追上 爸爸追赶小明时走的路程：180x 小明5 min走的路程：80×5 小明在爸爸追时走的路程：80x 新知探究 知识点1 追及问题 假设爸爸追上小明用了x分钟. 180x 80×5 80x 追上 爸爸 小明 【分析】当爸爸追上小明时，两人所行路程相等， 小明走的总时间－爸爸追的时间=5 min. 新知探究 知识点1 追及问题 180x 80×5 80x 追上 爸爸 小明 解：(1)设爸爸追上小明用了x min. 根据题意，得 180x=80x＋80×5. 因此，爸爸追上小明用了4 min． 化简，得 100x=400. x=4. 新知探究 知识点1 追及问题 (2)爸爸追上小明时，距离学校还有多远？ 180×4 1 000 m ？ 小明每天早上要在7：50之前赶到距家1 000 m的学校上学.一天，小明以80 m/min的速度出发，5 min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书.于是，爸爸立即以180 m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他. 新知探究 知识点1 追及问题 (2)爸爸追上小明时，距离学校还有多远？ 180×4 1 000 m ？ 解：180×4=720(m) 1 000－720=280(m) 所以，爸爸追上小明时，距离学校还有280 m. 归纳： 知识点1 追及问题 追及问题 (1)对于同向同地不同时的问题 （出发地、追及地相同，出发时间不同） S甲＝S乙先＋S乙后． 对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系． 新知探究 归纳： 知识点1 追及问题 追及问题 (2)对于同向同时不同地的问题 （两者出发地不同，但同时出发）， S甲－S乙＝两出发地的距离. 新知探究 归纳： 追及问题 追及问题 对于同向同地不同时的问题 （出发地、追及地相同，出发时间不同） 甲路程=乙路程． 对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系． 探究一 归纳： 追及问题 追及问题 对于同向同时不同地的问题 （两者出发地不同，但同时出发）， S甲－S乙＝两出发地的距离 探究一 探究二 相遇问题 例三：老师家距学校6000米，老师到校后发现把学生的试卷忘家里了，打电话让爸爸从家出发来学校送，老师从学校同时出发，相向而行，去接试卷，爸爸从家出发每分钟走800米，老师从学校出发每分钟走400米，那么老师出发几分钟后与爸爸相遇? 【分析】等量关系：甲走的时间=乙走的时间 甲的行程+乙的行程=A、B两地间的距离 探究二 相遇问题 解：设老师出发t分钟后与爸爸相遇. 根据题意，得 400t+800t=6000 解得 t=5. 所以，老师出发5分钟后与爸爸相遇. 【分析】等量关系：甲走的时间=乙走的时间 甲的行程+乙的行程=A、B两地间的距离 归纳： 相遇问题 相遇问题 往往根据路程之和等于总路程列方程． S甲＋S乙＝两地距离． 甲的行程 乙的行程 相遇地 甲出发地 乙出发地 探究二 模型应用 环形跑道问题 1.操场一周是400米，小明每秒跑4米，小华每秒跑5米，两人绕跑道同时同地同向而行，他俩能再次相遇吗？如果能相遇，什么时候第一次相遇？ 模型应用 环形跑道问题 小华 小明 他俩能相遇，第一次相遇时小华比小明多跑了一圈. 同时同地，同向而行 等量关系：小华路程-小明路程=操场一周的长度. 环形跑道问题 解：设经过x秒两人第一次相遇. 依题意，得 5x-4x=400， 解得 x=400. 所以，经过400秒两人第一次相遇. 等量关系：小华路程-小明路程=操场一周的长度. 操场一周是400米，小明每秒跑4米，小华每秒跑5米，两人绕跑道同时同地同向而行，他俩能再次相遇吗？如果能相遇，什么时候第一次相遇？ 模型应用 环形跑道问题 2.操场一周是400米，小明每秒跑4米，小华骑每秒跑5米，两人绕跑道同时同地相背而行，则两个人何时首次相遇？ 模型应用 环形跑道问题 操场一周是400米，小明每秒跑4米，小华每秒跑5米，两人绕跑道同时同地相背而行，则两个人何时首次相遇？ 当他们首次相遇时，他们的总路程等于操场的一周的长度. 小华 小明 同时同地，相背而行 模型应用 环形跑道问题 解：设经过x秒两人首次相遇. 依题意得：5x+4x=400 解得： x= 所以，经过 秒两人首次相遇. 等量关系：小明路程+小华路程=操场一周的长度. 操场一周是400米，小明每秒跑5米，小华骑自行车每秒行驶15米，两人绕跑道同时同地相背而行，则两个人何时首次相遇？ 解决行程问题的基本步骤： 课堂小结 $$