2025年高三数学秋季开学摸底考（江苏专用）

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C A D C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD BC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12. 13. 14.5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】（1）在中，由及正弦定理得， 由余弦定理得，而，..........................3分 所以................................................................................................5分 （2）在中，由余弦定理得， 则， 即，当且仅当时取等号，.........................................9分 此时，....................11分 所以的最大值为8，.........................................................13分 16．（15分） 【详解】（1）因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面，..................................................................................3分 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面，...............................................................................4分 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面；...........................................................................6分 （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，.........7分 ，则，， 设，，则，，...................................................8分 设平面的一个法向量为， ， 令得，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即，.............................10分 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为，................................................................12分 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为...................................................15分 17．（15分）【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布． ........................3分 的分布列为 0 1 2 的数学期望．.......................................................6分 （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ．................................................................9分 即每位员工经过培训合格的概率为．............................................................................10分 （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则， ，则（万元）....................................14分 即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．.....15分 18．（17分）【解析】（1）因为，所以， 因为曲线在点处的切线方程为，..............................3分 所以，解得；....................................................................5分 （2）由（1）可得，所以， 则，定义域为， 所以， 因为，令，即，解得； 令，即，解得，.........................................................7分 所以的单调递增区间为，单调递减区间为；....8分 （3）由（2）可知在上单调递增， 又，， 又， 所以，即，............................................................................10分 所以，使得， 所以当时，即，所以在上单调递减； 当时，即，所以在上单调递增； 又，， 所以，.................................................................15分 所以当时，.........................................................................17分 19．（17分）【解析】（1）抛物线C的方程可化为，求导可得， 将点的坐标代入抛物线C的方程，有， .......................................................3分 过点的切线的方程为，代入，有， 整理为，令，可得，有， 故数列是公比为的等比数列， 同理，数列也是公比为的等比数列；.....................................................................5分 （2）由焦点，设直线的方程为， 联立方程消去y后整理为，有， 由数列是公比为的等比数列，有， ...................6分 有， 有， 两边乘以，有， 两式作差，有， 有，可得；..........................................10分 （3）由（2）知，点的坐标为，点的坐标为， 直线的斜率为， 直线的方程为， ..............................13分 令，有，........................................15分 故当时，直线过定点．.......................................................17分 ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考全部内容 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z满足，则（ ） A． B． 1 C． 2 D． 2．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（   ） A．第85百分位数为18 B．众数为12 C．中位数为17 D．平均成绩为14 4．已知向量,满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．当时，方程的解的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 7．已知纸的长宽比约为．现将一张纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）．当该圆柱的高等于纸的长时，设其体积为，轴截面的面积为；当该圆柱的高等于纸的宽时，设其体积为，轴截面的面积为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 8．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（ ） A．已知一组数据，，，的方差为3，则，，，的方差也为3 B．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 C．已知随机变量X服从正态分布，若，则 D．已知随机变量X服从二项分布，若，则 10．已知数列是首项为2的等比数列，其前项和为，若，则（ ） A． B． C．， D． 11．定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．是奇函数 C．在上单调递减 D．不等式的解集为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为 . 13．小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为__________. 14．已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若为的中点，且的长为2，求的最大值，并求此时的值． 16．（15分）底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 18．（17分）已知，且曲线在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）设的导函数为，求的单调区间； （3）证明：当时，. 19．（17分）已知抛物线的焦点为F，在第一象限内的点和第二象限内的点都在抛物线C上，且直线过焦点F．按照如下方式依次构造点：过点作抛物线C的切线与x轴交于点，过点作x轴的垂线与抛物线C相交于点，设点的坐标为．用同样的方式构造点，设点的坐标为． （1）证明：数列都是等比数列； （2）记，求数列的前n项和； （3）证明：当时，直线都过定点． 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考全部内容 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以， 故选：A. 2．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，， ∴结合数轴可知：. 故选：B. 3．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（   ） A．中位数为17 B．众数为12 C．第85百分位数为18 D．平均成绩为14 【答案】C 【详解】将得分数据按升序排列为：8，9，12，12，14，17，17，17，18，20， 对于A：中位数为：，故A错误； 对于B：众数为17，故B错误； 对于C：因为，所以第85百分位数为第9位数，即为18，故C正确； 对于D：平均数，故D错误； 故答案为：C. 4．已知向量,满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又，所以，解得．故选：A. 5．当时，方程的解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】由，得， 即，所以， 解得，则或， 因为， 当时，则或， 当时，则， 因此共有三个解. 故选：D. 6．若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线的准线方程为，圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为， 所以，截圆所得的弦长为，故选：C 7．已知纸的长宽比约为．现将一张纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）．当该圆柱的高等于纸的长时，设其体积为，轴截面的面积为；当该圆柱的高等于纸的宽时，设其体积为，轴截面的面积为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】不妨设纸的长宽分别为； 当圆柱的高等于纸的长时，也即圆柱高为时，设其底面圆半径为，则，解得， 故， 此时矩形轴截面的两条边长分别为，故； 当圆柱的高等于纸的宽时，也即圆柱高为时，设其底面圆半径为，则，解得， 故， 此时矩形轴截面的两条边长分别为，故； 综上所述，，. 故选：B. 8．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，，，由， 可得，可得， 令，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 由可得，则，可得， 令，其中，则， 当时，，即函数在上递减， 当时，，即函数在上递增， 所以，，即实数的取值范围是. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的有（ ） A. 已知一组数据，，，的方差为3，则，，，的方差也为3 B. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 C. 已知随机变量X服从正态分布，若，则 D. 已知随机变量X服从二项分布，若，则 【答案】BCD 【解析】对于A：设的平均数为，方差为， 则，， 所以，，，的平均数为， 所以方差为 ，故选项A不正确； 对于B：因为线性回归直线过样本点中心，所以，可得， 故选项B正确； 对于C：因为随机变量服从正态分布，所以对称轴为，又， 而，所以， 则，故选项C正确； 对于D：因为服从二项分布，所以， 所以，则，故选项D正确. 故选：BCD 10.已知数列是首项为2的等比数列，其前项和为，若，则（ ） A. B. C. ， D. 【答案】BC 【解析】设公比为，根据题意有， 所以或， 当时，，， 当时，，故A错误，B正确； 当时，，， 当时，，， 所以，，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：BC. 11.定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．是奇函数 C．在上单调递减 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【详解】因为， 取可得， 所以，A错误； 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 由， 用替换可得，， 所以，即， 所以函数为奇函数，B正确； 任取，， 则， 又当时，，且， 所以，故， 所以函数在上单调递减，C正确； 因为， 所以不等式可化为， 所以，又函数在上单调递减， 所以， 所以，所以不等式的解集为，D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12.已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为 . 【答案】 【详解】已知，，所以 因为函数在上单调递减， 而函数在上单调递减，所以 由此可得不等式组，解得 则的最大值为 故答案为： 13.小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为__________. 【答案】 【解析】设第一次投篮成功为事件B，通过测试为事件A， 则， 所以， 所以， 故答案为： 14.已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则__________. 【答案】5 【解析】由题意可知， 所以由， 由上得，且 所以， 所以，所以即， 令得，故直线经过点， 联立， 所以， 所以同理可得， 所以. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若为的中点，且的长为2，求的最大值，并求此时的值． 【答案】(1)；(2)的最大值为8，. 【解析】（1）在中，由及正弦定理得， 由余弦定理得，而， 所以.（2）在中，由余弦定理得， 则， 即，当且仅当时取等号，此时， 所以的最大值为8，. 16．（15分）底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，，则，， 设平面的一个法向量为， ， 令得，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为. 17．（15分）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布． 的分布列为 0 1 2 的数学期望． （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ． 即每位员工经过培训合格的概率为． （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则， ，则（万元） 即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元． 18．（17分）已知，且曲线在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）设的导函数为，求的单调区间； （3）证明：当时，. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为； （3）证明见解析 【解析】（1）因为，所以， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，解得； （2）由（1）可得，所以， 则，定义域为， 所以， 因为，令，即，解得； 令，即，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）由（2）可知在上单调递增， 又，， 又， 所以，即， 所以，使得， 所以当时，即，所以在上单调递减； 当时，即，所以在上单调递增； 又，， 所以， 所以当时，. 19．（17分）已知抛物线的焦点为F，在第一象限内的点和第二象限内的点都在抛物线C上，且直线过焦点F．按照如下方式依次构造点：过点作抛物线C的切线与x轴交于点，过点作x轴的垂线与抛物线C相交于点，设点的坐标为．用同样的方式构造点，设点的坐标为． （1）证明：数列都是等比数列； （2）记，求数列的前n项和； （3）证明：当时，直线都过定点． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】（1）抛物线C的方程可化为，求导可得， 将点的坐标代入抛物线C的方程，有， 过点的切线的方程为，代入，有， 整理为，令，可得，有， 故数列是公比为的等比数列， 同理，数列也是公比为的等比数列； （2）由焦点，设直线的方程为， 联立方程消去y后整理为，有， 由数列是公比为的等比数列，有， 有， 有， 两边乘以，有， 两式作差，有， 有，可得； （3）由（2）知，点的坐标为，点的坐标为， 直线的斜率为， 直线的方程为， 令，有， 故当时，直线过定点． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考全部内容 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z满足，则（ ） A． B．1 C．2 D． 2．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（   ） A．第85百分位数为18 B．众数为12 C．中位数为17 D．平均成绩为14 4．已知向量,满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．当时，方程的解的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 7．已知纸的长宽比约为．现将一张纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）．当该圆柱的高等于纸的长时，设其体积为，轴截面的面积为；当该圆柱的高等于纸的宽时，设其体积为，轴截面的面积为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 8．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（ ） A．已知一组数据，,,的方差为3，则，,,的方差也为3 B．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 C．已知随机变量X服从正态分布，若，则 D．已知随机变量X服从二项分布，若，则 10．已知数列是首项为2的等比数列，其前项和为，若，则（ ） A． B． C．， D． 11．定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．是奇函数 C．在上单调递减 D．不等式的解集为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为 . 13．小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为__________. 14．已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若为的中点，且的长为2，求的最大值，并求此时的值． 16．（15分）底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 18．（17分）已知，且曲线在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）设的导函数为，求的单调区间； （3）证明：当时，. 19．（17分）已知抛物线的焦点为F，在第一象限内的点和第二象限内的点都在抛物线C上，且直线过焦点F．按照如下方式依次构造点：过点作抛物线C的切线与x轴交于点，过点作x轴的垂线与抛物线C相交于点，设点的坐标为．用同样的方式构造点，设点的坐标为． （1）证明：数列都是等比数列； （2）记，求数列的前n项和； （3）证明：当时，直线都过定点． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$