江苏省苏州市阳光调研2024-2025学年高三上学开学考数学试卷含答案

2025届高三年级期初阳光调研试卷 数学 2024.9 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题 ~第14题)、解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后， 请将答题卡交回. 2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定 位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫 米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.若i是虚数单位，则21= i A.1-2i B.-1-2i C.1+2i D.-1+2i 2.已知集合A={x|2≤x<6},B={xx2-4x<0},则A∩B= A.(0,6) B.(4,6) C.[2,4) D.(-∞，0)U[2,+∞) 3.将函数f(y)=s血x的图象先向左平移牙个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变， 横坐标变为原来的)，得到函数y=g()的图象，则g= A.-2 B.1 c.2 D.-1 2 2 4.己知向量a=(1,-1),b=(x-2,x2),则“x=-2”是“a∥b”的 A.充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感 不断提升、某校高一年级举行环保知识竞赛，共500人参加，若参赛学生成绩的第60百分 位数是80分，则关于竞赛成绩不小于80分的人数的说法正确的是 A.至少为300人 B.至少为200人 C.至多为300人 D.至多为200人 6.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为 A要 B.2 C.5 5 D.v10 5 7.已知函数f(x)=e+e(c-a-1)(e为自然对数的底数)，g(x)=ln(xe*)-a的零点分别为x1, 2,则立的最大值为 A.e B.日 C.1 D. 2 高三数学第1页共4页 8.在平面直角坐标系xO中，A,B为双曲线C:x2-y2=1右支上两点，若AB=6,则AB中 点横坐标的最小值为 A.2W2 B.√o C.45 3 D.Is 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已阳二项式(：+》的展开式则 A.二项式系数最大的项为第3项 B.常数项为第5项 C.展开式中含x的项为60x D.展开式中所有项的系数和为64 10.如图，己知直线4∥1,2，A是，12之间的一定点，A到1的距离AE=1,A到1，的距离AD=2. B,C分别在l,I,上，设∠ACD=a,则 E B A.若=30°，AB⊥AC,则AB=2 B.若AB⊥AC,则△ABC面积的最小值为2 C.若△MBC为等边三角形，则ana= 2 D D.若∠BAC=60°，则布+名的最大值为1 1.若数列{a}满足：a=1,对Vm,neN有L=L+1成立.则 anim an am A.a4o4=2024 1 B.neN,使得G+店+…>号 C.对n∈N,都有a+a2+马+…+an>ln(n+l) D.对neNr,都有a2+a+a4+…+an1<ln(n+l) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=30°，b=√3，c=2,则a=_▲ 13.已知直线1：(2k+1)x-y-1=0(其中k为常数)，圆O:x2+y2=8,直线1与圆0相交于 A,B两点，则AB长度最小值为▲ 14.如图，线段AD,BC相交于O,且AB,AD,BC,CD长度构成集合1,5,9，x,∠ABO= ∠DCO=90°，则x的取值个数为▲ 高三数学第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组 织和运行，以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干 名志愿者参加服务，每名志愿者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400米、800 米、1500米、5000米比赛在法兰西体育场举行 (1)志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件 下，选择1500米服务的概率； (2)为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其 中6名参加5000米服务，4名参加800米服务.现从这10名同学中再选3名同学做进 一步调查.将其中参加800米服务的人数记作X,求随机变量X的分布列和数学期望. 16.(15分) 如图，在三棱锥D-ABC中，△ABC是以AB为斜边的等腰直 角三角形，△ABD是边长为2的正三角形，E为AD的中点，F 为DC上一点，且平面BEF⊥平面ABD. (1)求证：AD⊥平面BEF; (2)若平面ABC⊥平面ABD,求平面BEF与平面BCD夹角的 B 余弦值 17.(15分) 已知函数fx)=sinx+e-4x,e为自然对数的底数，函数g(x)=x3-ar+3. (1)若fx)在(0,1)处的切线也是g(x)的切线，求实数a的值： (2)求fx)在(-π，+∞)上的零点个数 高三数学第3页共4页 18.(17分) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆士+ +芳=1(a>b>0)的离心率为9，A为椭圆左顶点，已 知点PQ,2),且直线PA的斜率为号.过点M,0)作直线I交椭圆于B,C两点(B在x轴上 方，C在x轴下方)，设PB,PC两直线分别交椭圆于另一点D,E(B,E分别在线段PD,PC 上)： (1)求椭圆的标准方程： (2)当1=1时，若1的斜率小于零，且△PBC的面积为号，求证：∠BMD=∠DPC: (3)若存在实数2，使得BE=1DC,求此时直线DC的斜率. 19.(17分) 如果数列{an}满足a≤a,a+2(neN),则称之为凸数列. 现给定函数f(x)及凸数列{an},它们满足以下两个条件： ①0<an<an+1i ②对n≥2，有f(a)-f(a≤2"la。-al≤f(a-)-f(a(2为正常数). （1)若数列6，}满足6>1,6=26，+》，且数列(c}满足c,=h多 请判断{c,}是 否为凸数列，并说明理由： (2)若f(a)-f(a=2,求证： 2n-a小13 (3)对任何大于等于2的正整数i,j且≤j，求证：f(a,)-f(a,≤a-a: 高三数学第4页共4页 2025届高三年级期初阳光调研试卷 数学 2024.9 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.若i是虚数单位，则2-1 1 A.1-2i B.-1-2i C.1+2i D.-1+2i 【答案】B 【解析】 2-1 =-1-2i,选B. 2.已知集合A={x|2≤x<6},B={x|x2-4x<0},则A∩B= A.(0,6) B.(4,6) c.2,4) D.(-o0,0)U[2,+o) 【答案】C 【解析】B=x0<x<4},A∩B={x2≤x<4},选C. 3.将函数f(w)=six的图象先向左平移刀个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不 4 变，横坐标变为原来的二，得到函数y=g(x)的图象，则g √2 A. B.1 D.-1 2 【答案】A 【解折】八)=sinx向左平移香个单位变为y=sinx+星) 横坐标变为原来的。变为 4.已知向量a=(1,-1),b=(x-2,x2),则“x=-2”是"a∥b"的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】a∥b台x2=-(x-2)即x=1或-2，∴.“x=-2”是“a∥b”的充分不必要条 件，选A 5.“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感 不断提升，某校高一年级举行环保知识竞赛，共500人参加，若参赛学生成绩的第60百分位 数是80分，则关于竞赛成绩不小于80分的人数的说法正确的是 A.至少为300人B.至少为200人C.至多为300人D.至多为200人 【答案】B 【解析】60%×500=300,500-300=200，选B 6,已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为 5 1 V15 √10 A· B C D. 2 2 5 5 【答案】D 【解折】S=4Sa=4)SNAB=2SN4B,S=4B2, ∴.2SN·AB=2AB2,∴.SN=AB=2MN,侧棱与底面所成角为∠SBM BM 2MN MN 迈0 coS∠SBM= ,选D SB SN2+BN2 V4MN2+MN25 7.已知函数f(x)=e'+e(x-a-1)(e为自然对数的底数)，g(x)=ln(xe)-a的零点分 别为x,x3,则 ,的最大值为 A.e B. C.1 D 2 e e 【答案】C 【解析】f(x)=0,则e+e(x-a-1)=0,∴e+x-1-a=0,即e-+x-1-a=0 8)=0,则x+lnx-a=0,即，+ln-a=0,e=3,王= x e-I =。产，=。-0，x=1,M到在07，L+ h)m=h=。=l,选C 8.在平面直角坐标系xOy中，A,B为双曲线C:x2-y2=1右支上两点，若AB=6,则AB 中点横坐标的最小值为 A.22 B.V10 c. 45 16 D. 3 3 【答案】A 【解析】AB的斜率不存在时，AB:x=V10,此时AB中点的横坐标V1O AB的斜率存在时，资料分享Q群：618304895设AB:y=k+m kx-y+m=0. x2-y2=1 消y可得1-k2)x2-2kx-m2-1=0,xx2>0,.2>1 |AB=1+k2Vx,+x2)2-4xx2=M+k2 4k2m2 4-m2-1 V1-k2)2+1-k2 1+K2V4m2+4-4k222+1m2+1-k2 =61 1- k2-1 m-+k-1,+=深， 2km,￥+戈=km k2+1 21-k2 k'm2 k(9-+R-1 92k2 1-k2)21-2)2k2+1 k2+1k2-1 f(x)=9x+x 9 1 (x>1),f'(x)= x+1x-1 x+0(x-=0,x=2 f(x)mim=f(2)=8,∴.中点横坐标最小值2√2，选A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知二项式 的展开式，则 A.二项式系数最大的项为第3项 B.常数项为第5项 C.展开式中含x3的项为60x D.展开式中所有项的系数和为64 【答案】BC 【解析】 展式第1+1项7=C(2-C2x-C2x 二项式系数最大的项为第4项，A错 6-=0,则7=4，常数项第5项，B对 2 63,则r=2,1=C2x=60r,C对 x=1时，(1+2)6=36≠64，D错，选BC 10.如图，已知直线（∥12，A是L,12之间的一定点，A到1的距离AE=1,A到，的距离 AD=2,B,C分别在L,1,上，设∠ACD=a,则 L A.若=30°，AB⊥AC,则AB=2 B.若AB⊥AC,则△ABC面积的最小值为2 C.若△ABC为等边三角形，则tana= 5 2 D.若∠BAC=60°，则1+2 AB十AC的最大值为1 【答案】BCD 【解析】=30°，AB⊥AC,则∠DAC=60°，∠EAB=30°， AB=2-2V -≠2，A错 V33 AB⊥AC,则∠EAB=&,AC=2,AB=1 sina cosa 121=2≥2，B对 S△ABC=1 2 sina cosa sin2a RA4CD中，AC=2,∠0AC=g-a,∠BAC=,∴∠EAB= +0 sina 2 3 6 1 2 1 AB=- 即 ,∴.tanc= π sina π 2,C对 co (6+a cos + 6 2 ∠BAC=60°，则AB= AC=_ sina cos + 6 1.若数列a,}满足：a=1,对vm,neN有L=L+L成立，则 anm an am A.a2024= 2024 2 B.neN,使得a+g+…+a> 3 C.对n∈N,都有a+a2+a+…+an>ln(n+1) D.对Vn∈N,都有a2+4+a4+…+anl<ln(n+l) 【答案】ACD 【解折11=1+，六1=1， 1 是以1为公差的等差数列， an+an a anti an a 1 1=1+n-En,…a,,42242024Az7 an n 是动女60】 222 ,B错 32n+13 2 In~<1 1 31 In 22 41 lnx<x-1（当且仅当x=l时取“=”)，ln “33 n+11 In 2 2,3 n+11,1.1,1 ∴.ln +1 +…+ln -<1+ 一十 三+…+二，即a1+a2+…+an>ln(n+l),C对 12 n 23 n nx>1-1,1n2> ,ln2> 一> 2 3 ∴.ln2+ln2++ln n+1、1,1,1 +。+…+二，即a2+a3+…+an<n(n+1),D对 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.