13.3.1三角形的内角（第1课时）（培优教学课件）数学人教版2024八年级上册

人教版2024·八年级上册 13.3.1 三角形的内角 （第1课时） 第十三章 三角形 学 习 目 标 1 2 3 探索并掌握三角形内角和定理，会用三角形内角和进行角度的计算. 能证明三角形的内角和定理及其推论. 能运用三角形的内角和定理及其推论判断角和边的关系，解决简单的实际问题. 思考：下面是一副三角板，你知道它们三个内角是多少吗？它们的内角和是多少吗？能说明理由吗？ 45° 45° 90° 方法一：度量法 30° 60° 90° 三角形的内角和为180°. 用什么方法呢？ 还有其他方法吗？ 情境引入 这是什么方法呢？ 方法二：拼凑法 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.三角形的内角和为180°. 你能进行推理证明吗？ 情境引入 已知：△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°. 方法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1 ，∠C=∠2 ∵∠2+∠1+∠BAC=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180° 1 2 新知探究 还有其他方法吗？ C B A E D 1 2 已知：△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°. 方法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA ∴∠A=∠1 ，∠B=∠2 ∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180° 新知探究 还有其他方法吗？ 方法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB ∵DE∥AC，DF∥AB ∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC ∵∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180° ∴∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180° ∴∠A+∠B+∠C=180°. C B A E D F 已知：△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°. 你能得出什么结论呢？ 新知探究 三角形的内角和定理： 三角形内角和等于180°.即∠A+∠B+∠C=180°. C B A 添加辅助线，辅助线通常画成虚线. 转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 方法： 思路： 通过上面的证明，可以发现哪些方法和思路呢？ 总结归纳 1.如图，说出各图中∠1的度数．　　 80° 45° 1 30° 106° 1 24° 1 （1） （2） （3） 55° 44° 66° 小试牛刀 例1 如图,在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分线 . 求∠ADB的度数. C B A D 分析：先用角平分线的知识求出∠BAD， 再用三角形内角和定理求∠ADB. 解：由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分 线，得∠BAD=∠BAC=20°. 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°. 典例精析 例2 如图是A,B,C三岛的平面图， C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度?从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢? C B A 北 D 北 E 分析：A,B,C三岛的连线构成△ABC,所求的∠ACB是△ABC的一个内角.如果能求出∠CAB,∠ABC,就能求出∠ACB. 50° 80° 40° 典例精析 解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°. 由AD//BE,得∠BAD+∠ABE=180°. 所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°, ∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°. 在△ABC中， ∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°. 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°. C B A 北 D 北 E 50° 80° 40° 典例精析 分析：关键找出在△AEF和△CDF中. 解：∵ DE⊥AB，∴∠FEA=90°． ∵在△AEF中，∠FEA=90°，∠A=30°， ∴∠AFE=180°－∠FEA－∠A=60°. ∵∠CFD=∠AFE， ∴∠CFD=60°. ∴ 在△CDF 中，∠D=180°－∠CFD－∠FCD=40°. 例3 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交 AC于F. 已知∠A=30°，∠FCD=80°，求∠D的度数. 典例精析 事实上， 在△AEF 中，∠A+∠AFE+∠AEF=180°, 在△CDF 中，∠D+∠FCD+∠CFD＝180°, 而∠AFE=∠CFD， 故有∠A+∠AEF=∠D+∠FCD. 由三角形的内角和定理得∠A +∠B =∠C +∠D. “八字型”： 总结归纳 常见模型 由三角形的内角和定理易得，∠1 +∠2 =∠3 +∠4. 总结归纳 1.如图，从A处观测C处时的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处时的仰角∠CBD=45°. 则从C处观测A，B两处时的视角∠ACB= °. 15 分析：由∠CBD=45°可得∠ABC=135°, 再由三角形内角和定理可得，∠ACB=180°-30°-135°=15°. 随堂检测 2.如图，在△ABC中，∠A=40°，则∠B+∠C+∠ADE+∠AED = °. 280 分析：在△ABC中，∠B+∠C=180°-40°=140°, 在△ADE中，∠ADE+∠AED=180°-40°=140°, 所以∠B+∠C+∠ADE+∠AED=280°. 随堂检测 分析：在△BOC中，∠BOC=132° ∴∠OBC+∠OCB=180°-132°=48° ∵∠B，∠C的平分线交于点O ∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB ∴∠ABC+∠ACB=2∠OBC+2∠OCB=2(∠OBC+∠OCB)=96° ∴∠A=84°. 1.在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，若∠BOC=132°,则∠A=____. 84° 拓展提升 2.如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点，则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是 . 360° 分析：∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N可看作由△AMN，△BDE，△CFG的9个内角，再减去∠DBE,∠MAN,∠FCG, ∵∠DBE=∠ABC,∠MAN=∠BAC,∠FCG=∠ACB, ∴∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N=180°×3-180°=360°. 拓展提升 内 容 三角形的内角和 证明方法 三角形的内角和为180° 推理验证 转化思想 常见模型 “八”字模型 课堂小结 1.直接写出下列各图中∠1的度数. ∠1=　 　 ∠1=　 　 ∠1=　 　. 90° 85° 85° 课后作业 1.如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝ °． 55 分析：∵DE∥BC，∠BDE＝120° ∴∠B=60° ∵FG∥AC，∠DFG=115° ∴∠A=65° ∴∠C=180°-65°-60°=55°. 培优作业 解：∵∠A=40°，∠B=80°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=60°. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD= ∠ACB=30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC=∠BCD=30°. 在△BDC中，∠BDC=180°-∠B-∠BCD=70°. 2.如图，CD是∠ACB 的平分线，DE∥BC，∠A＝40°，∠B＝80°，求∠EDC，∠BDC的度数． 培优作业 感谢聆听! $$