13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和定理 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件围绕三角形内角和定理，系统呈现证明（平行线性质与平角定义）及应用，通过“兄弟之争”故事导入引发认知冲突，连接小学结论，引导动手拼角验证，过渡到多种辅助线证法，构建直观到逻辑的学习支架。 其特色在于融合数学眼光、思维与语言。故事导入激发好奇心（数学眼光），多种证法培养推理能力（数学思维），方向角例题体现模型应用（数学语言）。动手操作与分层练习结合，学生深化理解并提升应用能力，教师高效落实教学目标。

13.3.1 三角形内角和 第十三章 三角形 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.（重点） 2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点） 兄弟之争 在一个直角三角形里住着三兄弟，它们就是直角三角形的三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”. “为什么？” 老二很纳闷. 同学们，你们知道其中的道理吗？ 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的. 除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 4 动手操作：将三角形的三个角变成一个平角。 图1 图2 A B C C B A B C A B 验证：三角形的三个内角和是180° 结论：三角形三个内角的和等于1800. 证明：过点A作EF∥BC ∴∠B=∠2（两直线平行,内错角相等） 同理∠C=∠1 ∵∠2+∠1+∠BAC=1800（平角定义） ∴∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换） 已知：△ABC. A B C E F 求证：∠A +∠B +∠C =180° E F ∵EF∥BC 验证：三角形的三个内角和是180° 图3 A B C B 动手操作：将三角形的三个角变成一组同旁内角。 探究新知 C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 B G C 2 4 A 3 E D F H 1 试一试 同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？ 图1 图2 图3 图4 图5 两直线平行，同旁内角互补． 平角 180° 【证法三】 证明：过点C作CD∥AB, 则∠4=∠1(两直线平行，内错角相等), ∠2+∠BCD=180° (两直线平行，同旁内角互补). 即∠2+∠3+∠4=180°. ∴∠2+∠3+∠1=180°(等量代换). 证明：过点B任意作一条直线BD，分别 过 点A、C作BD的平行线AE、CF. ∴∠ABC +∠ACB+∠BAC =180°. 则CF∥AE∥BD， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∠DBC +∠BCF=180°. 即∠1+∠ABC +∠ACB +∠4=180°. 【证法四】 得到180°的方法： 平角定义；两直线平行，同旁内角互补. 北 . A D 北 . C B . 东 E 例 4 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？ 三角形的内角和定理在实际问题中的应用 新知探究 解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°. 由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °. 所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°, ∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°. 在△ABC中， ∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB =180°-60°-30° =90°, 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°. 北 . A D 北 . C B . 东 E 【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数. 解：如图， 由题意得BE∥AD,∠BAD=40°， ∠CAD=15°，∠EBC=80°， ∴∠EBA=∠BAD=40°， ∠BAC=40°+15°=55°, ∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°， ∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC =180°-55°-40°=85°． D E 1.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的 度数为(　　) A．30°　　B．40°　 C．50° 　D．60° D 2.(中考·邵阳)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是(　　) A．45° B．54° C．40° D．50° C 练一练 3.求出下列各图中的x值． x=70 x=60 x=30 x=50 练一练 4.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ . B A C D 4 1 3 2 E 40° （ 280 ° 练一练  直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°， 则∠2＝________． 40° l1 l2 巩固练习 基本图形 由三角形的内角和定理易得 ∠A+∠B=∠C+∠D. 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 3 4 归纳总结 探究新知 2.如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数． 解：∵∠A+∠ADE=180°， ∴AB∥DE， ∴∠CED=∠B=78°． 又∵∠C=60°， ∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C） =180°-（78°+60°） =42°． 当堂训练 3.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数. 解：∵∠B=42°，∠C=78°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD= ∠BAD=30°， ∴∠ADC=180°-∠C-∠CAD=72°. 当堂训练 4.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数． 解：∵△ABC中，∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∠PBC= ∠ABC, ∠PCB= ∠ACB ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°-60°=120°． 当堂训练 探究新知 思路总结 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 典例解析 例1.如图：在△ABC中,∠BAC=40°,∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. A D C B 解：∵∠BAC=40°, AD是△ABC的角平分线得： ∴∠BAD= ∴∠ADB=180°- ∠B -∠BAD = 180°-75°- 20° =85° 典例解析 例2.如图，A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢？ ∵AD//BE ∴ ∠DAB+ ∠ABE=180° ∴ ∠ABE=180°-∠DAB =180°-80° =100° ∴ ∠ABC= ∠ABE- ∠EBC = 100°- 40° =60° ∵ ∠BAC= ∠DAB- ∠DAC =80°-50° =30° ∴ ∠ACB= 180°- ∠CAB- ∠ABC = 180°-30°-60° = 90° 北 A D 北 C B 东 E 解： $