13.3.1三角形的内角（第2课时）（培优教学课件）数学人教版2024八年级上册

人教版2024·八年级上册 13.3.1 三角形的内角 （第2课时） 第十三章 三角形 学 习 目 标 1 2 3 探索并掌握三角形内角和定理，会用三角形内角和进行角度的计算. 能证明三角形的内角和定理及其推论. 能运用三角形的内角和定理及其推论判断角和边的关系，解决简单的实际问题. 思考：如下图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少度? 45° 45° 30° 60° 30°+ 60°=90° 45°+ 45°=90° 三角板的两锐角之和90°. 你能得出什么结论呢？ 其他三角形也是一样吗？ 情境引入 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，由三角形内角和定理，得 ∠A+∠B+∠C=180°, 即∠A+∠B+90°=180°, 所以∠A+∠B=180°-∠C=90°. 思考：如图，在直角△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？ A B C 结论：直角三角形的两个锐角互余. 你能得出什么结论呢？ 新知探究 结论：直角三角形的两个锐角互余. A B C 在Rt△ABC 中， ∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 90°．　 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC． 符号语言： 直角三角形怎么表示呢？ 新知探究 例3 如图,∠C=∠D=90°,AD,BC相交于点E.比较∠CAE与∠DBE的大小. 分析：△ACE和△BDE中有两组角分别相等. 解：在Rt△ACE中 ，∠CAE=90°-∠AEC. 在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED. ∵AEC=∠BED, ∴∠CAE=∠DBE. C D E A B 结论：同角（等角）的余角相等． 方法指导 关键找出在△ACE和△BDE中相等的角. 你能得出什么结论呢？ 典例精析 思考：从以上例题中我们能得到什么启发？可以得出什么模型呢？ 证明：∵∠B=∠D=90°， ∴∠A+∠AOB=90°， ∠C+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠C. 如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，则∠A=∠C . 模型：双垂八字型 总结归纳 已知：△ABC中，∠A+∠B=90°，求证：△ABC是直角三角形. 证明：由三角形的内角和定理，得： ∠A+∠B+∠C=180°，即90°+∠C=180°， 所以∠C=90°，即△ABC是直角三角形. 思考 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由. A B C 你能得出什么结论呢？ 结论：有两个角互余的三角形是直角三角形. 新知探究 A B C 在△ABC中， ∵∠A+∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形． 有两个角互余的三角形是直角三角形.　　 直角三角形的判定： 符号语言： 总结归纳 分析：可以利用前面的结论，同角（等角）的余角相等． 解：∠ACD=∠B.理由如下： 在Rt△ADC中，∠ACD=90°-∠A. 在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A. ∴∠ACD=∠B. 1.在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ 思考 上面图中还有其他相等的锐角吗？ ∠A=∠BCD 随堂检测 A C B D E 1 2 解：△ADE是直角三角形.理由如下： 在Rt△ABC中 ∵∠C=90°， ∴∠A+∠2=90°. ∵∠1=∠2， ∴∠A+∠1=90°. ∴△ADE是直角三角形. 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AB，AC上，且∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ 随堂检测 1.如图，在△ABC中，已知∠B= ∠A= ∠C.求证:△ABC为直角三角形. 分析：利用上面的数量关系，用∠B来表示∠A和∠C. 证明：∵∠B= ∠A=∠C， ∴∠A=2∠B，∠C=3∠B. ∵∠A+∠B+∠C=2∠B+∠B+3∠B =6∠B=180°， ∴∠B=30°，∠A=60°，∠C=90°， ∴△ABC为直角三角形. C B A 拓展提升 2.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数. 解：∵∠3+∠ADB=180°，∠1+∠2+∠ADB=180°， ∴∠3=∠1+∠2. ∵∠3=∠4，∠1=∠2， ∴∠4=∠1+∠2=2∠1. ∵∠1+∠2+∠4+∠DAC=180°， ∴∠DAC=180°-∠1-∠2-∠4=180°-4∠1. ∵∠BAC=∠1+∠DAC=∠1+（180°-4∠1）=180°-3∠1=63°， ∴∠1=39°，则∠DAC=24°. A C B D 1 2 3 4 拓展提升 性质 判定 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 有两个角互余的三角形是直角三角形. 直角三角形两锐角互余. 有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形. 直 角 三 角 形 课堂小结 1.如图，一张长方形纸片，剪去一角后得到一个三角形，则图中∠1 + ∠2 的度数是______. 2.如图，AB、CD相交于点 O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A=_____°. 90° 52 第1题图 第2题图 课后作业 3.如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（　　） A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO B 课后作业 4.在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（　　） A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45° C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90° D 课后作业 1.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC， AD、BE相交于点F． (1)若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数； (2)试说明：∠AEF＝∠AFE． 解：(1)∵AD⊥BC， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD＝36°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=1/2∠ABC＝18°， ∴∠AEF＝90°-∠ABE＝72°. 培优作业 1.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC， AD、BE相交于点F． (1)若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数； (2)试说明：∠AEF＝∠AFE． (2)证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠AEF＝∠AFE． 培优作业 感谢聆听! $$