精品解析：湖南省岳阳市2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试题

岳阳市2025年高二教学质量监测 数学 本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，只交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知等差数列，，，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 4. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 设随机变量服从正态分布，服从正态分布，下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与抛物线交于两点，且满足，，则线段中点到轴距离的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 如图，、、，是边长为4的正方形纸片的各边中点，将纸片沿虚线剪开，折成一个正四棱锥（，，，四点重合于点），则此正四棱锥体积最大时，底面正方形的边长为（ ） A. 2 B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确是（ ） A. 数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第70百分位数为16 B. 已知随机变量，若，，则 C. 经验回归方程中，解释变量每增加1个单位时，预测值减少1.5个单位 D 已知随机事件，，若，，，则 10. 若函数在区间上连续，称为函数在区间上定积分.定积分的计算可以利用牛顿一莱布尼兹公式：，其中.又的几何意义是函数的图象和直线，及轴所围成的图形的有向面积（上方为正，下方为负），如图，.下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若过函数上一点作切线，该切线与函数曲线及轴围成的图形面积为，则此切线方程为： 11. 已知正方体的棱长为4，点为正方形（包括边界）内的一个动点，为的中点，为四边形的中心，下列结论正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是椭圆的一部分 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 若，则周长的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是_____. 13. 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，其渐近线方程为，则此双曲线的离心率_____. 14. 已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_____（用区间表示）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求； （2）若，是的角平分线，，求的周长. 16. 在临床上，病毒的感染十分常见.假设某人感染病毒的概率为.若感染病毒，检测结果呈阳性的概率为；若未感染病毒，检测结果呈阴性的概率为.检测结果相互独立. （1）求某人病毒检测结果呈阴性的概率； （2）现有4人参加此项病毒检测，用，分别表示这4个人中病毒检测结果呈阳性和阴性的人数，记，求随机变量的分布列及均值. 17. 如图，三棱柱中，，，分别为，和的中点，在上，且. （1）证明：平面； （2）若四边形是边长为4的菱形，，平面，，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求正整数的最大值； （3）证明：， 19. 已知椭圆，我们称圆心在原点，半径为的圆为椭圆的“准圆”.若椭圆的离心率为，上的点到它的焦点的最大距离为3. （1）求椭圆的方程及椭圆的“准圆”方程； （2）已知点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的两条切线，，证明：； （3）过椭圆的上顶点作的两条切线，与椭圆分别交于，两点.问：是否存在，使得直线与之相切，若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 岳阳市2025年高二教学质量监测 数学 本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，只交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，即可根据交集定义求解. 【详解】或， 故， 故选：B 2. 若复数满足，则所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目所给的关于的等式，运用复数的除法，计算出，再写出其共轭复数，根据的实部与虚部得到在复平面内对应的点，判断该点所在象限即可. 【详解】由可得： ， 因此，且在复平面内所对应的点为， 位于第三象限， 故选：C. 3. 已知等差数列，，，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】等差中项的性质可转化可求解 【详解】等差数列，， 故选：A 4. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影向量的定义，结合向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为向量，向量，所以 向量在向量上投影向量的模为， 故选：B. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用诱导公式结合二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为， 则. 故选：A. 6. 设随机变量服从正态分布，服从正态分布，下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质逐项判断即可. 【详解】根据题意，随机变量服从正态分布，， 服从正态分布，， A选项：， ， 故，命题正确； B选项： ，所以，命题正确； C选项：， ， 所以，命题正确； D选项：， ， 所以，命题错误. 故选：D 7. 已知直线与抛物线交于两点，且满足，，则线段中点到轴距离的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】做辅助线，结合抛物线的定义可得，利用余弦定理结合基本不等式可得，即可得结果. 【详解】取线段中点，设在准线的投影分别为， 则，可得， 因为，， 由余弦定理可得 ， 即， 可得， 解得，可得， 当且仅当时，等号成立， 可得， 又因为线段的中点到轴距离的为， 所以线段中点到轴距离的最大值为. 故选：B. 8. 如图，、、，是边长为4的正方形纸片的各边中点，将纸片沿虚线剪开，折成一个正四棱锥（，，，四点重合于点），则此正四棱锥体积最大时，底面正方形的边长为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】设正方形的边长为，则可表示出四棱锥的体积，利用导数可求出最值. 【详解】如图，取的中点，设正方形的中心为，连接，，， 设正方形的边长为，则，， 所以（其中）， 所以四棱锥的体积 ． 设，得． 令，得，令，得， 故在上单调递增，在上单调递减． 所以当时，取得最大值，即体积取得最大值． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第70百分位数为16 B. 已知随机变量，若，，则 C. 在经验回归方程中，解释变量每增加1个单位时，预测值减少1.5个单位 D. 已知随机事件，，若，，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据百分位数定义计算可判断A；根据二项分布的期望和方差公式计算可判断B；根据回归直线方程解析式可判断C；由全概率公式，求得可判断D. 【详解】对于A，该组数据共10个，则， 所以第百分位数为，故A正确； 对于B，随机变量，所以，， 解得，，故B正确； 对于C，根据经验回归方程解析式可知，当解释变量每增加1个单位时， 预测值减少0.8个单位，故C错误； 对于D，由全概率公式可得，故D错误. 故选：AB. 10. 若函数在区间上连续，称为函数在区间上的定积分.定积分的计算可以利用牛顿一莱布尼兹公式：，其中.又的几何意义是函数的图象和直线，及轴所围成的图形的有向面积（上方为正，下方为负），如图，.下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若过函数上一点作切线，该切线与函数的曲线及轴围成的图形面积为，则此切线方程为： 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义即可求解A，根据几何意义即可根据圆的性质求解B，根据奇函数的对称性即可求解C，求解切线方程，结合所给定义即可求解D. 【详解】对于A, ，故A正确， 对于B，令，则，表示以坐标原点为圆心，以半径为的上半圆，故表示圆在第一象限的部分的面积，即为四分之一的圆的面积，故，故B错误， 对于C, 由于函数，故函数为奇函数，则其图象关于原点对称，因此根据几何意义可得，C正确， 对于D, 设函数的切点为，则，因此切线方程为，即，设切线与轴交于，则，过作轴的垂足为，则切线与函数的曲线及轴围成的图形面积为，则，则此切线方程为：，故D正确， 故选：ACD 11. 已知正方体的棱长为4，点为正方形（包括边界）内的一个动点，为的中点，为四边形的中心，下列结论正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是椭圆的一部分 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 若，则周长的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用椭圆的定义可判断；对于B，利用对称转化为两点间的距离最小，对于C，可用特值法排除；对于D，由题可知，点在以圆心，半径为1的圆上，利用椭圆与圆相切时取最小可解. 【详解】对于A，，所以点的轨迹是椭圆的一部分，故A正确； 对于B，延长，使， 根据对称性得，则，故B正确； 对于C，易知当点在点处时，，故C错误； 对于D，设底面的中心为，则， 又，所以， 即点在以圆心，半径为1的圆上，设中点为，以为原点建立平面直接坐标系， 设时取最小，即在以为焦点的椭圆上，故相切时取最小， 由对称性可知，切点在轴时取得最小值，即， 所以周长的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用乘法分配律及二项展开式的通项公式即可求得系数. 【详解】的通项公式， 则的展开式中的系数是. 故答案为：. 13. 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，其渐近线方程为，则此双曲线的离心率_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据渐近线方程即可求解离心率. 【详解】由题意可设双曲线的方程为， 故， 故答案为： 14. 已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_____（用区间表示）. 【答案】 【解析】 【分析】首先通过对数运算法则对已知等式进行变形，构造函数，利用导数判断其单调性，再根据函数值相等及单调性得到，进而构造函数，通过求导判断其单调性来求解最小值. 【详解】， 由于，则， 设，则上式表明， 求导得，当时，在上单调递增， ，进而可得， ， 令，则， 当时，在单调递增；当时，在单调递减， ， 要使恒成立，则恒成立，故， 即 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求； （2）若，是的角平分线，，求的周长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解， （2）利用等面积法，结合三角形面积公式以及余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由和正弦定理可得， ，，由于,故. 【小问2详解】 由于，故， 又， 综合可得：， ，解得或（舍去） 的周长为. 16. 在临床上，病毒的感染十分常见.假设某人感染病毒的概率为.若感染病毒，检测结果呈阳性的概率为；若未感染病毒，检测结果呈阴性的概率为.检测结果相互独立. （1）求某人病毒检测结果呈阴性的概率； （2）现有4人参加此项病毒检测，用，分别表示这4个人中病毒检测结果呈阳性和阴性的人数，记，求随机变量的分布列及均值. 【答案】（1） （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）分别计算感染与未感染下检测结果呈阴性的概率，再相加 （2）找出Z的所有可能取值，再分别计算对应概率，得出分布列 【小问1详解】 设某人感染病毒为事件，某人病毒检测结果呈阴性为事件，则： 依题意有：，. . 【小问2详解】 因为，又，所以，2，， 设“这4个人中有人EB病毒检测结果呈阴性”为事件 由于与互斥，与互斥，故 . . 0 2 4 所以 17. 如图，三棱柱中，，，分别为，和的中点，在上，且. （1）证明：平面； （2）若四边形是边长为4的菱形，，平面，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只需证明平面平面，再结合面面平行的性质定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，然后结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 为中点，且，所以为的重心. 连延长交于点，为中点，又为中点， 则，且， 所以为平行四边形，有， 又平面，平面， 平面. 同理为平行四边形，有， 又平面，平面， 平面. ， 平面平面， 又平面， 平面. 【小问2详解】 面，如图以为原点，的中垂线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ，，，，， 则，又， ， 设面的法向量为，， . 直线与面所成角的正弦值为. 18. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求正整数的最大值； （3）证明：， 【答案】（1） （2）的最大正整数为 （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，结合点斜式可得出所求切线的方程； （2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，只需，在时，可得出，再构造函数，其中，利用导数分析其单调性，结合零点存在定理可得出的最大整数值；在时，结合单调性验证即可，综合可得出的最大整数值； （3）由（2）可得，可得出，再利用不等式的基本性质以及等比数列的求和公式可证得结论成立. 【小问1详解】 当时，，，则切点为， ， 的图象在点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 当时，，， 当时，，；，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 在时取得最小值，只需， 令，其中，， 在单调递减， 又，， 存在，使得， 只要，恒成立，的最大正整数为3. 当时，，在定义域内单调递增， 恒成立. 综上，的最大正整数为. 【小问3详解】 由（2）可知，时，恒成立①， 又时，， 令，由①有， ， 即. 19. 已知椭圆，我们称圆心在原点，半径为的圆为椭圆的“准圆”.若椭圆的离心率为，上的点到它的焦点的最大距离为3. （1）求椭圆的方程及椭圆的“准圆”方程； （2）已知点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的两条切线，，证明：； （3）过椭圆的上顶点作的两条切线，与椭圆分别交于，两点.问：是否存在，使得直线与之相切，若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据离心率及点到焦点的最大距离列式计算求出，即可求出椭圆方程及准圆方程； （2）设切线方程，联立直线及椭圆方程计算判别式为0，即可求出斜率乘积为，即可证明； （3）设直线方程，结合圆心到直线距离列式得出，计算得出相切即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以椭圆的方程：， 椭圆的“准圆”的方程：； 小问2详解】 设过点的直线分别与椭圆切于点，， 当两切线，，一条斜率不存在时，可得，则过点的另一条切线与轴平行，. 当两切线，斜率均存在时分别记为，设， 设过点的一条切线为： 由， 得 ，又因为， ， . 【小问3详解】 设，，设 直线与相切，有圆心到直线的距离为， ， 又 上式变为： 同理：由直线与相切可得， 设直线与相切，则圆心到直线的距离为：， 令， 有 或（舍去） 所以存在，使得直线与之相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$