精品解析：湖南省岳阳市临湘市第二中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

2024年高二下学期期末考试数学试题 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 集合的子集的个数是（ ） A. 16 B. 8 C. 7 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断出集合有2个元素，再求子集个数即可. 【详解】易知集合有2个元素， 所以集合的子集个数是. 故选：D. 2. 若，且能被17整除，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】二项式定理整除问题，把改写成，利用二项式定理展开，再令能被17整除，求出的最小值即可. 【详解】 ， 因为能被17整除， 所以上式中能被17整除即可满足题意， 所以， 即， 所以的最小值为16， 故选：D. 3. 若，且，则（ ）． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求出的解析式，再利用即可求出结果. 【详解】因，令，则， 所以，即， 又，所以，得到， 故选：A. 4. 某电视台计划在五一期间某段时间连续播放5个广告，其中2个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个必须是公益广告，且商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）种. A. 144 B. 72 C. 64 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】先安排3个不同的公益广告，再用插入法排2个不同的商业广告即可求总的方法数. 【详解】先排3个不同的公益广告有，每两个公益广告之间及最后一个位置可播放2个不同的商业广告有种方法， 由分步计数原理共有种方法. 故选：D. 5. 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义知瞬时速度为该时刻处的导数值. 【详解】因为，所以时，此木块在水平方向的瞬时速度为. 故选：A 6. 已知，.设p：，q：，则p是q的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用导数确定函数的单调区间，分别化简条件p与条件q，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案. 【详解】对于p：，两边取以e为底的对数得， 由于，所以 则设，， 所以在区间上，单调递增， 在区间上，单调递减， 所以由，即， 若或，则，若不在的同一单调区间，则. 对于，q：，即， 设，， 所以在上单调递增，故等价于. 根据以上的分析，可知：由p不能推出q成立，由q可以推出p成立. 所以条件p是条件q的必要且不充分条件. 故选：B. 7. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ） （参考数据：） A. B. C. 8min D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据初始条件求得参数，然后利用已知函数关系求得口感最佳时泡制的时间． 【详解】由题意可知，当时，，则，解得， 所以， 当时，，即， 则 ， 所以茶水泡制时间大的为7 min. 故选：B. 8. 已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，且，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过分析不等式，构造新函数求导后得出单调性，即可得出结论 【详解】由可得，， 设，， 则， 故函数在上单调递增，所以， 即， 所以. 故选：A 二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质求解. 【详解】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得A正确； 对于B中，由，根据不等式的性质，可得正确； 对于C中，由，可得C错误； 对于D中，由，可得D错误. 故选：AB. 10. 有6个相同小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（ ） A. B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：借助独立事件乘法公式计算即可得；对B：借助相互独立事件定义，分别计算出、、后，验证是否满足即可得，C、D同理. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，， 则，故与不相互独立，故B错误； 对C：，， 则，故与相互独立，故C正确； 对D：， 则，故与相互独立，故D正确； 故选：ACD. 11. 函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数，例如：，则下列命题正确的是（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数的值域为 C. 若，则的最小值为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，代值验证即可，对于B，根据高斯函数的定义分析判断，对于C，先求出的范围，然后根据对勾函数的性质求解判断即可，对于D，解不等式后再根据高斯函数的定义可求得结果. 【详解】对于A，，显然，故错误； 对于，由取整函数的定义知：， 函数的值域为，故B正确； 对于C，由于，则，易知， 而函数在上单调递增， 当时，的最小值为，故C正确； 对于D，，则，故，故D正确. 故选：BCD. 12. 在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按x的升幂排列，将各项系数列表如下（如图2）： 上表图2中第n行的第m个数用表示，即展开式中的系数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于ABC选项，由图2中数据特征可得，对于D，左式可由的展开式中的系数得到，故根据以及二项式定理研究展开式中的系数即可求解. 【详解】依据题意结合图2可知图2中每一行的每一个数等于其上一行头顶和左右肩上共三个数的和（没有的用0代替）， 如：第四行的第三个数10，等于上一行头顶上的数3加上左右肩上的数1和6； 第三行中的第二个数3，等于上一行头顶上的数1加上左右肩上的数0（左肩上没有数，故用0代替）和2； 所以， 对于A，由上，故A错； 对于B，由图可知， 以此类推可得，故B对； 对于C，由上可知正确，故C对； 对于D，因为， ， 则， 所以根据乘法规则的展开式中的系数为： ， 又， 其通项为， 因为，故展开式中的系数为0， 故，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：求证D选项的关键是借助展开式中的系数引出D中左式，进而借助展开式研究得证. 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 已知函数，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由函数，可得， 所以. 故答案为：. 14. 已知，则_____________. 【答案】4048 【解析】 【分析】求导赋值可得，直接赋值可得，即可得结果. 【详解】因为， 两边同时求导得， 令，可得， 由， 令，可得； 令，可得； 可得； 所以. 故答案为：4048. 15. 设函数是定义域为的奇函数，且，都有.当时，，则函数在区间上有__________个零点. 【答案】6 【解析】 【分析】由函数是定义域为的奇函数，结合的条件可得函数的一个周期为4，根据函数的单调性与零点存在性定理可得零点个数. 【详解】如图，因为函数是定义域为的奇函数，所以，且. 又，即，所以函数的图象关于直线对称， 且，所以，所以4是函数的一个周期， 所以.易知函数在上单调递增， 且， 所以函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上. 由对称性，知函数在区间上有且仅有1个零点. 因为是定义域为的奇函数且是4是它的一个周期，所以， 所以函数的图象关于点中心对称，所以函数在区间上有且仅有2个零点. 因为函数在区间上没有零点，所以函数在区间上没有零点. 结合，得函数在区间上有6个零点. 故答案为：6. 16. 已知不等式恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，将不等式化为，令，利用导数即可得出 ，令，利用导数即可求解. 【详解】由可得，即恒成立， 令， 则不等式可化为：， 令，则， 所以，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增. 所以， 故要使恒成立，只需，即，即， 令，所以， 令，则， 所以时，，上单调递增，且当时，， 时，，在上单调递减，且当时，， 所以， 故. 故答案为： 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件，.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 四．解答题（共5小题，共70分） 17. 已知集合，. （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）确定或，，再计算补集和并集即可. （2）确定，考虑和两种情况，计算得到答案. 【小问1详解】 集合或，， 故，. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，所以； 当时，或，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 18. 为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）． （1）现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望； （2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差； （3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率． 参考数据：若，则，，，，． 【答案】（1）分布列见解析， （2）， （3）0.2056． 【解析】 【分析】（1）由题意服从超几何分布，求出对应的概率即可得到分布列以及数学期望； （2）由二项分布的概率公式以及方差公式即可得解； （3）由正态分布曲线的对称性即可求解. 小问1详解】 由题知，的可能取值为0，1，2，． 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以，数学期望． 【小问2详解】 由题意可知，服从二项分布， 故， 技术攻坚成功的概率为 ， ． 【小问3详解】 记“至少有一个零件直径大于10.4nm”为事件A， 因为，所以，， 所以， 所以， 所以． 从而至少有一件零件直径大于9.4nm的概率为0.2056． 19. 某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. （1）用含有的代数式表示，并写出的取值范围； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】（1） （2）当时，才能使鲜花种植的总面积最大 【解析】 【分析】（1）根据题意，设矩形花园的长为，由条件可得，即可得到结果； （2）由（1）中的结论可得鲜花种植的总面积为与矩形花园的一条边长的函数关系式，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设矩形花园的长为， 矩形花园的总面积为， ，可得， 又阴影部分是宽度为小路， 可得，可得， 即关于的关系式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 20. 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为. （1）求P； （2）当时，求甲得分X的分布列及数学期望； （3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，则，，利用条件概率可得，求解即可； （2）X可能的取值为0，1，2，计算可求得分布列，进而计算可求数学期望； （3）设甲的积分为，乙的积分为，由已知可得甲晋级时n必为偶数，令，当n为奇数时，，计算可得，可得结论. 【小问1详解】 记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”， 则，，，，， ， 则，解得； 【小问2详解】 由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由（1）可知 ， ， ， X的分布列为： X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望为. 【小问3详解】 由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为， 则，且，所以甲晋级时n必为偶数，令 当n为奇数时，， 则 又∵时，随着m的增大而增大， ∴. 21. 已知函数. （1）当时，求函数极值； （2）讨论在区间上单调性； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）极大值，无极小值 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，由导函数的正负确定函数单调性，即可根据极值点定义求解， （2）求导，分类讨论导函数的正负即可求解， （3）构造函数，利用导数求解函数的最值即可求解，或者利用对数运算，结合换元法将不等式转化为，设，求导求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，， 求导得，由，得， 由，得，由，得， 因此在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，无极小值. 【小问2详解】 由， 在时，， 若，,即在区间上单调递增； 若，,即在区间上单调递减； 若，令，令， 可知在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：时，在区间上单调递增； 时，在区间上单调递减； 时，在上单调递增， 在上单调递减. 【小问3详解】 方法1： 根据题意可知， ， 设， 则， 令， 则定义域上单调递增，易知， 即，使得， 即时，，故，此时单调递减， 时，，，此时单调递增， 则， ，即. 方法2：由， ， 设，则， 设，则， 当单调递减； 当单调递增； . 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二下学期期末考试数学试题 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 集合的子集的个数是（ ） A. 16 B. 8 C. 7 D. 4 2. 若，且能被17整除，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 15 D. 16 3. 若，且，则（ ）． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 某电视台计划在五一期间某段时间连续播放5个广告，其中2个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个必须是公益广告，且商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）种. A. 144 B. 72 C. 64 D. 36 5. 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，.设p：，q：，则p是q的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 7. 中国茶文化博大精深，茶水口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ） （参考数据：） A. B. C. 8min D. 8. 已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，且，则必有（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（ ） A. B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 11. 函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数，例如：，则下列命题正确的是（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数的值域为 C. 若，则的最小值为 D. 不等式的解集为 12. 在探究展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按x的升幂排列，将各项系数列表如下（如图2）： 上表图2中第n行的第m个数用表示，即展开式中的系数为，则（ ） A. B. C. D. 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 已知函数，则__________. 14. 已知，则_____________. 15. 设函数是定义域为的奇函数，且，都有.当时，，则函数在区间上有__________个零点. 16. 已知不等式恒成立，则实数a的取值范围是________. 四．解答题（共5小题，共70分） 17. 已知集合，. （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围. 18. 为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）． （1）现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望； （2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差； （3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率． 参考数据：若，则，，，，． 19. 某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. （1）用含有的代数式表示，并写出的取值范围； （2）当值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 20. 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为. （1）求P； （2）当时，求甲得分X的分布列及数学期望； （3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：. 21. 已知函数. （1）当时，求函数极值； （2）讨论区间上单调性； （3）若恒成立，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$