江苏省南京市等校2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期末考试试卷 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，则=（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 2．珠算是以算盘为工具进行数字计算的一种方法，2013年年底联合国教科文组织将中国珠算项目列入人类非物质文化遗产名录．算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从最右边两档的14颗算珠中任取1颗，则这一颗是上珠的概率为（    ） A． B． C． D． 3．为提高学生学习数学的热情，实验中学举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）78，70，72，86，79，80，81，84，56，83，则这10人成绩的第80百分位数是（    ） A．83 B．83.5 C．84 D．70 4．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 6．与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 7．若实数、、使得函数的三个零点分别为椭圆、双曲线、抛物线的离心率、、，则、、的一种可能取值依次为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形ABCD中，，若，，，则等于（    ）    A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为与的交点，下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 10．下列关于向量说法正确的是（    ） A．向量的长度和向量的长度相等 B．若向量与向量，满足，且与同向，则 C．已知平面上四点，且，则三点共线 D．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上 11．下列四个命题为真命题的是（   ）． A．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 B．若向量，，则在上的投影向量为 C．已知向量，，则的最大值为 D．函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，四棱柱为正方体． ①直线的一个方向向量为；      ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为；      ④平面的一个法向量为． 则上述结论正确的是 .（填序号） 13．已知的三内角，，满足，则的面积与外接圆的面积之比为 ． 14．已知圆关于直线对称的圆的方程，则圆的方程为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．某人参加一项抽奖游戏，盒中放有红、蓝、绿、黄四色小球各1个，参加游戏的人需有放回地从盒中连续摸两次，每次摸出1个小球，并记录小球的颜色（其中红色、黄色为暖色；蓝色、绿色为冷色）．设两次记录的颜色分别为α，b．奖励规则如下：①若两次记录的颜色中有红色，获得一等奖；②若两次记录的颜色中没有红色，但不全是冷色，获得二等奖；③其余情形获得鼓励奖．假设小球除颜色外其他都相同． (1)求此人获得一等奖的概率； (2)比较此人获得二等奖与获得鼓励奖的概率的大小，并说明理由． 16．已知，，与的夹角为45°. (1)求在方向上的投影向量； (2)求的值； (3)若向量与平行且方向相同，求实数. 17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 (1)求角B的大小； (2)若，D为AC边上的一点，，且BD是的平分线，求的面积. 18．中，内角、、的对边分别为、、，． (1)若，．求证：； (2)若为边的中点，且的面积为，求长的最小值． 19．如图所示，正四棱锥，，底面边长，M为侧棱PA上的点，且． (1)求正四棱锥的体积； (2)若为的中点，证明：平面； (3)侧棱上是否存在一点E，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025学年度第二学期期末考试试卷 高一数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B D C C A ABD AC 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】由平面向量线性运算与数量积的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意可得，故． 故选：B． 2．C 【分析】计算古典概型概率即可. 【详解】总共14颗算珠，其中上珠4颗，故从最右边两档的14颗算珠中任取1颗，则这一颗是上珠的概率为. 故选：C 3．B 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】将10个数据从小到大排列得，56，70，72，78，79，80，81，83，84，86， ，故其第80百分位数是， 故选：B. 4．B 【分析】根据题意，得到，结合复数的运算法则，即可求解. 【详解】由复数满足，可得，所以. 故选：B. 5．D 【分析】由线面平行的性质定理得到，故，转化为求即可． 【详解】    连接 交 于 ，连接 ， 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ，所以 . 又 ， 为 的中点， 所以 ， 所以 . 故选：D. 6．C 【分析】作出图形，由圆心作直线的垂线段，则以为直径的圆即为所求圆，另作一圆进行说明理由，再根据图形特征求出圆的圆心和半径即得方程. 【详解】    如图，过圆的圆心作直线的垂线，垂足为， 则以为直径的圆(设其半径为)即为所求圆.理由如下： 另作一个圆，与圆相切，与直线切于点，设其半径为， 由图知，即，即，即圆是符合要求的最小圆. 由点到直线的距离为，则， 设点，由可得，，即①， 由点到直线的距离等于可得②， 联立①②可解得，或，由图知仅符合题意， 即得，故所求圆的方程为. 故选：C. 7．C 【分析】分析可知，，，设，求出、、的范围，即可得出合适的选项. 【详解】由题意可知，，，， 设 ， 所以，，且，故满足条件的为C选项. 故选：C. 8．A 【分析】由对角线向量定理直接求解. 【详解】如图所示，由对角线向量定理得 =， 故选：A 9．ABD 【分析】根据线线平行证明线面平行，进而判断各选项. 【详解】因为为平行四边形对角线的交点，所以为的中点， 又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，A选项正确； 同理平面，平面，所以，B选项正确； 由四边形为平行四边形，所以，平面，平面，故平面，故D正确； 又与平面相交于点，故C错误； 故选：ABD. 10．AC 【分析】根据向量的概念可以判断A、B、D，由得，进而判断C. 【详解】对于A，向量与向量是互为相反向量，所以A选项正确； 对于B，向量不能比较大小，故B错误； 对于C，若，即，所以， 即，且有公共点，所以三点共线，故C正确； 对于D，若向量与向量是共线向量，则直线AB与直线CD有可能平行，故D错误. 故选：AC. 11．BCD 【分析】对于A，根据正弦定理得，进而求得的范围；对于B，根据投影向量的定义计算即可；对于C，根据向量的模的坐标运算，三角函数的性质即可判断；对于D，根据题意可得函数的周期性，再结合奇偶性可求值. 【详解】对于A，根据正弦定理可求得，所以， 所以，且，，可求得，故错误； 对于B，直接根据在上的投影向量，故B正确； 对于C，， 则，令，， 则， 当时，取最大值，最大值为，故C正确； 对于D，函数是偶函数，，， 所以的图象关于直线对称，函数是奇函数， 所以的图象关于对称， 则，可得， 所以是周期为4的周期函数． 所以，故D正确． 故选：BCD. 12．①②③ 【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量的定义，结合空间直角坐标系和正方体的性质即可一一判断. 【详解】不妨设正方体的棱长为1，则按照图中坐标系可知， 于是，,故① ，② 正确； 因平面，而， 故 可作为平面的法向量，即③正确； 在正方体中，因平面,平面， 则，易得，又，故平面， 而，即可作为平面的法向量，故④错误. 故答案为：①②③. 13． 【分析】利用正弦定理进行边角互化，进而可得面积之比. 【详解】由， 得， 即， 即， 所以的面积与外接圆的面积之比为， 故答案为：. 14． 【分析】设圆心关于直线对称的点的坐标为，则直线为线段的垂直平分线，则得，求得，的值，可得对称圆的方程． 【详解】解：圆的圆心为 则圆心关于直线对称的点为圆心，设的坐标为， 故直线为线段的垂直平分线， 可得，求得，，故对称圆的方程为. 故答案为：. 15．(1) (2)此人获得二等奖的概率大于获得鼓励奖的概率，理由见解析 【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率计算公式计算出所求概率. （2）结合（1）求得此人获二等奖、鼓励奖的概率，从而作出判断. 【详解】（1）依题意得样本空间为｛（红，红），（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（黄，红）， （黄，黄），（黄，蓝），（黄，绿），（蓝，红），（蓝，黄），（蓝，蓝），（蓝，绿）， （绿，红），（绿，黄），（绿，蓝），（绿，绿）｝，共有16个样本点， 其中有红色的样本点有7个， 所以此人获得一等奖的概率为． （2）由（1）得两次记录的颜色中没有红色，但不全是冷色的样本点有5个， 则此人获得二等奖的概率为， 获得鼓励奖的概率为， 故此人获得二等奖的概率大于获得鼓励奖的概率． 16．(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据投影向量求解公式求出答案； （2）平方后求出，得到模长； （3）根据两向量平行得到方程，求出的两个解，检验是否方向相同，得到答案. 【详解】（1）∵，，与的夹角为45°， ∴， ∴在方向上的投影向量为； （2）∵， ∴； （3）∵与平行， ∴ ∴，解得：或， 当时，，此时方向相同 当时，，此时方向相反，故舍去. ∴ 17．(1)； (2). 【分析】（1）根据同角的三角函数关系式中的商关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可； （2）根据三角形内角平分线的性质，结合三角形面积公式、余弦定理进行求解即可. 【详解】（1）， 又，则， 即，                                又，则； （2）由BD平分得： 则有，即              在中，由余弦定理可得： 又，则 联立                      可得 解得：（舍去）                   故. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出的值，然后利用正弦定理可证得结论成立； （2）由三角形的面积公式可求得的值，分析可知，利用平面向量的数量积运算可得出，利用基本不等式可求得长的最小值. 【详解】（1）证明：，，， 由余弦定理可得，． . （2）解：由可得． 为边的中点，则， ， 所以， ，即， 当且仅当时，等号成立，故长的最小值为. 19．(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据体积公式可求几何体的体积； （2）连，交于，可证，故可证平面； （3）存在，，此时作中点，连结，，，可证平面平面，故可得平面. 【详解】（1）连接，设，连接，则平面． 中，，，， 所以． （2）由正方形可得为的中点，而，， 又平面，平面， 平面． （3）存在，．理由如下：作中点，连结，，． ，， 又平面MBD，平面， 平面， ，， 又平面，平面， 平面， 又平面， 平面平面，而平面， 平面． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$