精品解析：湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题

雅礼教育集团2025年上学期期末考试试卷 高一数学 时量：120分钟 分值：150分 命题人：赵红顺 审题人：邹佳乐 陈朝阳 彭熹 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 4 2. 若复数是纯虚数，则 A. 3 B. 5 C. D. 3. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知两个单位向量满足，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 7. 一艘海轮从处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔．其方向是北偏东，那么两点间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 8. 抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（ ） A. 第二次朝上的数字是奇数 B. 第二次朝上的数字为2 C. 两次朝上的数字之和为9 D. 两次朝上的数字之和为10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 C. 复数， D. 若复数满足，则的最大值为6 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若事件与事件是互斥事件，则 B. 若事件与事件是对立事件，则 C. 把红､橙､黄3张纸牌随机分给甲､乙､丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 D. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 11. 如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的正切值为 B. 当时，截面S的形状为等腰梯形 C. 当时，S与交于点R，则 D. 当时，直线与平面的夹角正弦值的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，85，86，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的第25百分位数为______． 13. 在对某中学高一年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高一年级学生体重的方差为______． （参考公式：已知总体分为两层，各层的样本量，平均数，方差分别为m，，；n，，，记总的样本平均数和样本方差为，，其中． 14. 某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，正三棱柱中，是的中点，． （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求． 16. 某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图： 请完成以下问题： （1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均数； （2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率. 17. 某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的. （1）求甲第二次答题通过初赛的概率； （2）求乙通过初赛的概率； （3）求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求的长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 19. 图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面ABED； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼教育集团2025年上学期期末考试试卷 高一数学 时量：120分钟 分值：150分 命题人：赵红顺 审题人：邹佳乐 陈朝阳 彭熹 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得. 故选：B. 2. 若复数是纯虚数，则 A. 3 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先由已知，求出，进一步可得，再利用复数模的运算即可 【详解】由z是纯虚数，得且，所以，. 因此，. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题. 3. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加、减法和数乘运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 4. 已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，线面垂直的性质即可判断. 【详解】由题意，对于A，由面面平行的判定定理可以证得，故A正确； 对于B，或，故B错误； 对于C，由面面垂直的判定定理可以证得，故C正确； 对于D，由线面垂直的性质可以证得，故D正确. 故选：B. 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理角化边，得出，再根据同角三角函数的平方关系得出，由三角形面积公式即可求解． 【详解】由题意，在中， 由正弦定理可得， 又B为的内角， ， 的面积， 故选：D． 6. 已知两个单位向量满足，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由，求得，结合，利用向量的数量积的运算公式，即可求得的值，得到答案. 【详解】由两个单位向量，可得， 因为，可得，所以， 则，所以. 故选：C. 7. 一艘海轮从处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔．其方向是北偏东，那么两点间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】A 【解析】 【分析】确定中各角度数，利用正弦定理即可求出答案. 【详解】由已知可知（海里）， 则，故（海里）， 故选：A 8. 抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（ ） A. 第二次朝上的数字是奇数 B. 第二次朝上的数字为2 C. 两次朝上的数字之和为9 D. 两次朝上的数字之和为10 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由相互独立事件的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】抛掷骰子两次，共有个基本事件数， 则 ，共18个基本事件，则， 设事件为第二次朝上面的数字是奇数，则事件与事件是对立事件，故A错误； 设事件为第二次朝上面的数字是2，则，故B错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是9， 则共4个基本事件，则， 且，则， ，所以事件与事件相互独立，故C正确； 设事件两次朝上面的数字之和是10， 则，则， 且，则， 因为，所以事件与事件不相互独立，故D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 C. 复数， D. 若复数满足，则的最大值为6 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用虚数单位的计算即得；对于B，利用复数的四则运算与复数的几何意义即可判断；对于C，利用复数的四则运算化简复数，求其模长即可；对于D，利用复数的几何意义数形结合即可得到. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由，则， 则复平面内对应的点位于第三象限，故B错误； 对于C，因，则，故C错误； 对于D，由可知复数对应的点表示以原点为圆心，半径为1的单位圆， 而则可以理解为点到该圆上的点的距离， 故该距离最大值为.故D正确. 故选：AD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若事件与事件是互斥事件，则 B. 若事件与事件是对立事件，则 C. 把红､橙､黄3张纸牌随机分给甲､乙､丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 D. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件的概念一一判断即可. 【详解】对A，事件与事件互斥，则不可能同时发生，所以，故A正确； 对B，事件与事件是对立事件，则事件即为事件，所以，故B正确； 对C，“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生， 即“丙分得的是红牌”，所以不是互斥事件，故C错误； 对D，事件“至少两次中靶”与“至多一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，所以为对立事件，故D正确； 故选：ABD 11. 如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的正切值为 B. 当时，截面S的形状为等腰梯形 C. 当时，S与交于点R，则 D. 当时，直线与平面的夹角正弦值的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过平移得到线面所成角，计算即得；对于B，利用面面平行的性质定理作出截面，即可判断其形状；对于C，通过作图，利用面面平行的性质定理和三角形相似的性质计算即得；对于D，取中点，连接，交于点，连接，可证平面，推得即直线与平面的夹角，设，，结合图形求出，由函数的单调性即可求得其范围. 【详解】对于A，因，故即直线与直线所成角， 因，故A正确； 对于B，如图，连接，因，易得， 因平面平面，连接即为截面S与正方体的一条截线， 连接，计算易得，故截面S的形状为等腰梯形，故B正确； 对于C，如图，过点作的平行线交直线于点，连接，交于点， 因，易得，则，于是，，则， 如图，又可得，则，即，解得：，故C错误； 对于D，如图，取中点，连接，交于点，连接， 易得，则，又因平面，平面，则， 因平面，故平面， 则即直线与平面的夹角，设为，不妨设，则， 在中，， 因，则，可得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，85，86，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的第25百分位数为______． 【答案】86 【解析】 【分析】根据百分位数的计算规则即可求解. 【详解】，故这组数据的第25百分位数为86， 故答案为：86 13. 在对某中学高一年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高一年级学生体重的方差为______． （参考公式：已知总体分为两层，各层的样本量，平均数，方差分别为m，，；n，，，记总的样本平均数和样本方差为，，其中． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得总体的平均数，结合分层抽样的方差的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20， 抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11， 则总体的平均数为， 则高三年级学生体重的方差为 . 故答案为：. 14. 某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解． 【详解】 由轴截面为等边三角形的高为6，易得圆锥的母线长与底面圆的直径均为． 小球的半径为1，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环， 可知扇环的半径为，，扇环所在扇形的圆心角为， 所以扇环其面积为； 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为其面积为． 综上，圆锥内壁上小球能接触到的区域面积为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，正三棱柱中，是的中点，． （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求． 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点， 又是的中点，故， 因为平面，平面， 所以平面； （2）2 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到，从而得到线面平行； （2）证明⊥平面，求出，设，则，利用等体积法得到方程，求出，得到的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为等边三角形，是的中点， 所以⊥，又，故， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 设，则，， ， 所以，解得， 故. 16. 某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图： 请完成以下问题： （1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均数； （2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率. 【答案】（1）93分 （2） 【解析】 【分析】(1）先利用频率之和为1，计算出，进而求出平均值即可；(2）利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽2人，分别记为，需在内抽3人，分别记为.，写出样本空间和符合条件样本点数，即可求出相应概率． 【小问1详解】 由， 得. 数学成绩在： 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 样本平均值为： 可以估计样本数据中数学成绩均值为93分， 据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计93分． 【小问2详解】 由题意可知，分数段的人数为（人）， 分数段的人数为（人）. 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生， 则需在分数段内抽2人，分别记为， 需在分数段内抽3人，分别记为. 设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段内”为事件 A， 则样本空间共包含10个样本点而 A 的对立事件包含3个样本点， 所以． 即抽取的这2名学生至少有1人在内的概率为 17. 某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的. （1）求甲第二次答题通过初赛的概率； （2）求乙通过初赛的概率； （3）求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得； （3）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【小问1详解】 记甲第二次答题通过初赛为事件，则； 【小问2详解】 记乙通过初赛为事件，则； 【小问3详解】 依题意甲、乙、丙每人通过初赛的概率均为， 记甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛为事件， 则. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求的长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出即可得解. （2）（i）根据角平分线性质和三角形面积的分割关系列出等式，求解BD的长度. （ii）易知为向量的夹角，利用中线向量运算得，结合角平分线定理利用向量线性运算得，然后利用平面向量的夹角公式求解余弦值即可. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 即， 由余弦定理得，而，所以. 【小问2详解】 （i）已知的角平分线交于点D，则， 又在中，，即， 即，解得. （ii）因为为的中线， 所以， 又，则， 因为，为的角平分线， 在中，因为，得到①， 在中，因为，得到②， 又，由①②得到， 所以， 因为 ， 所以， 即的余弦值为. 19. 图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面ABED； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由． 【答案】（1）在图1中，连结AE，由已知条件得， ∵且， ∴四边形ABCE为菱形，连结AC交BE于点F， ∴，又∵在中，， ∴， 在图2中，，∵，∴， 由题意知，且 ∴平面ABED，又平面， ∴平面平面ABED； （2）；（3）存在，. 【解析】 【分析】（1）在图1中，连结AE，连结AC交BE于点F，证明，即可； （2）以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，算出平面的法向量和的坐标，然后可算出答案； （3）设，然后算出平面PBE、平面的法向量，然后可建立方程求解. 【详解】（1）略 （2）如图，以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系．由已知得各点坐标为 ，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，， 所以，即， 令，解得，， 所以，，记直线与平面所成角为， 则． （3）假设存在，设， 所以，， ∵平面，易得平面的一个法向量， 设平面PBE的一个法向量， 由，可得，可取， 则， 解得，此时． 【点睛】关键点睛：用向量方法解决空间中的角的问题时，关键是建立适当的空间直角坐标系，准确地写出点的坐标和向量的坐标，然后准确地运算出答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $